a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2

Transkrypt

1 Ciało liczb zespoloych Twierdzeie Niech C = R W zbiorze C określamy dodawaie: a, b)+c, d) =a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) =ac bd, ad + bc) Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym dodawaia jest 0, 0), aelemetemeutralym możeia jest 1, 0) Dowód Pokażemy dla przykładu, że każdy 0, 0) elemet ma elemet odwroty względem możeia Niech 0, 0) a, b) C Rozważmy elemet: a a + b, b ) C a + b Wówczas a a, b) a + b, b ) ) a + b ab ab =, =1, 0) a + b a + b a + b Defiicja Ciało C, +, ) azywamyciałem liczb zespoloych Zwyczajowo piszemya+ib zamiast a, b) oraz a zamiast a, 0) Liczbę a azywamy częścią rzeczywistą liczby a+bi iozaczamyra+bi) Liczbę b azywamy częścią urojoą liczby a + bi iozaczamyia + bi) Przykłady: 1) Sprawdzamy, że 1 i)++7i) =5+i, 1+i) 5i) = 1) 5)) + 1) 5) + )i =1+11i oraz 1+i = 1+i) + 5i) 1 = 1+i) i)= +5i ) Podobie sprawdzamy, że i i = 1 Uwaga 5 Poieważ, jakzauważyliśmy, i i = 1, ituicyjie przyjmujemy 1=i Defiicja Niech z = a + bi C Liczbą sprzężoą zliczbą z azywamy liczbę z = a bi Przykład: ) Wprost z defiicji widzimy, że 1+i =1 i Twierdzeie 7 Niech z, w C Wówczas: 1) z + w = z + w, ) z w = z w,

2 1 ) z w = z w, ) z = z,oilew 0 w w Dowód Pokażemy dla przykładu własość ) Niech z = a + bi, w = c + di Wówczas skąd Z drugiej stroy z w = a + bi a + bi)c di) = = c + di c + d z w ca + bd cb ad = c + d c + d i z w = a bi a bi)c + di) = = c di c + d ca + bd cb ad + c + d c + d i, ca + bd cb ad c + d c + d i Defiicja 8 Niech z = a + bi C Wartością bezwzględą albo modułem) liczbyz azywamy liczbę rzeczywistą z = a + b Przykład: ) Wprost z defiicji widzimy, że +i = + =5 Twierdzeie 9 Niech z, w C Wówczas: 1) z w = odległość między puktami z i w, ) z w = z w, ) z = z z Dowód Niech z = a + bi, w = c + di 1) Wprost z defiicji modułu: z w = a c)+b d)i = a c) +b d), co, z kolei, jest dokładie rówe odległości między puktami o współrzędych a, b) i c, d) ) Podobie jak w pukcie 1) otrzymujemy: z w = ac bd)+ad + bc)i = a c abcd + b d + a d +abcd + b c = a c + d )+b c + d )= a + b c + d = z w ) Podobie jak w poprzedich puktach: z = a + b =a + bi) a bi) =z z Defiicja 10 Niech z = a + bi C Niechr, φ) będą takimi liczbami, że a = r cos φ, b = r si φ: tj iech r, φ)) będą współrzędymi bieguowymi puktu a, b)), a więc iechz = r cos φ + ir si φ = rcosφ + i si φ) Przedstawieie to azywamy postacią trygoometryczą liczby z Kąt skieroway φ azywamy argumetem liczby z iozaczamyargz) Kąt skierowayθ [0, π) taki, że cos θ = cos argz) i si θ = si argz) azywamy argumetem główym liczby z iozaczamyargz) Przykłady: 5) Rozważmy liczbę z =1+i, czyli pukt o współrzędych 1, 1) a płaszczyźie zespoloej:

3 1 Zrysukułatwo odczytujemy, że r =,zaś przykładowa wartość kąta φ to π W szczególości argumet główy liczby z =1+i to Argz) = π Argumetami argz) tej liczby mogą też być, a przykład, liczby 9π, 17π, 5π itd jako że si π = si 9π 17π = si = si 5π irówocześie cos π =cos9π =cos17π =cos 5π Tym samym przykładowe postaci trygoometrycze liczby z =1+i to z = cos π + i si π ) = cos 9π + i si 9π ) = ) Rozważmy liczbę z = i, czyli pukt o współrzędych, 1) a płaszczyźie zespoloej:

4 1 Zrysukułatwo odczytujemy, że r =,zaś przykładowa wartość kąta φ to 11π W szczególości argumet główy liczby z = i to Argz) = 11π Argumetami argz) tej liczby mogą też być, aprzykład, liczby π, 5π, 7π itd jako że si 11π = si π = si 5π = si 7π irówocześie cos 11π =cos π =cos 5π =cos 7π Tym samym przykładowe postaci trygoometrycze liczby z = i to z = cos 11π ) 11π + i si = cos π ) π + i si = Twierdzeie 11 Niech z 1 = r 1 cos φ 1 + i si φ 1 ), z = r cos φ + i si φ ) C Wówczas: 1) z 1 z = r 1 r [cosφ 1 + φ )+isiφ 1 + φ ), ) z 1 z = r 1 r [cosφ 1 φ )+isiφ 1 φ )], oilez 0, ) 1 z 1 = 1 r 1 cos φ 1 i si φ 1 ),oilez 0 Dowód Wzory te wyikają wprost ze wzorów a sumy i różice fukcji trygoometryczych zae ze szkoły średiej Udowodimy dla przykładu własość 1): Przykład: z 1 z = r 1 r [cos φ 1 + i si φ 1 )cos φ + i si φ )] = r 1 r [cos φ 1 cos φ si φ 1 si φ )] + icos φ 1 si φ + si φ 1 cos φ )] = r 1 r [cosφ 1 + φ )+i siφ 1 + φ )] 7) Rozważmy postać trygoometryczą liczby 1 + i) i) W poprzedich przykładach sprawdziliśmy, że 1+i = cos π + i si π ) oraz i = cos 11π ) 11π + i si Wobec tego postać trygoometrzycza liczby 1 + i) i) to: Zauważmy przy tym, że wobec czego cos 5π 1 + i si 5π 1 ) 5π 1 = π 1 + π 1 =π + π 1 cos π 1 =cos π 1 i liczbę 1 + i) i) możemy też zapisać jako oraz si π 1 = si π i) i) = cos π 1 + i si π 1 )

5 Tym samym posługując się postacią trygoometryczą liczb zespoloych możemy wyzaczyć dokłade wartości fukcji trygoometryczych kąta π 1 Istotie: 1 + i) i) = +1)+ 1)i = ) i = ) + + i, co po porówaiu z postacią trygoometryczą liczby 1 + i) i) daje cos π 1 = + oraz si π 1 = Wiosek 1 de Moivre) Niech z = rcos φ + i si φ) C, iech N Wówczasz = r cos φ + i si φ) Przykład: 8) Przy pomocy wzorów de Moivre a potęgowaie potrafi być aprawdę szybkie Obliczmy dla przykładu 1 + i) 10 Sprawdziliśmy już, że 1+i = cos π + i si π ) Wobec tego Ale z drugiej stroy iwobectego cos 10π =cosπ i liczbę 1 + i) 10 możemy zapisać jako 1 + i) 10 = cos 10π ) 10π + i si 1 + i) 10 = 10π = 8π + π =π + π cos π + i si π oraz si 10π = si π ) =0+1i) =i Twierdzeie 1 Niech z = rcos φ+i si φ) C, iech N Wówczasz ma różych pierwiastków stopia daych wzorem w k = r cos φ +kπ + i si φ +kπ ), gdzie k {0, 1,, 1} Dowód Niech w C będzie taką liczbą, że w = z i iech w = scos θ + i si θ) Wówczas s cos θ + i si θ) =rcos φ + i si φ), skąd s = r oraz cos θ =cosφ i si θ = si φ 15

6 1 Tym samym, wobec okresowości fukcji cos i si θ = φ +kπ, dla k N, awięc θ = φ+kπ, dla k N Zauważmy jedak, że dla k : φ +kπ φ + + l)π φ +π +lπ = = =π + φ +lπ, skąd cos φ+kπ =cos φ+lπ i si φ+kπ = si φ+lπ Wobec tego otrzymujemy tylko różych liczb i wystarczy rozpatrywać k {0,, 1} Przykład: 9) Wyzaczymy wszystkie pierwiastki stopia z liczby Sprawdzamy, że = 1+0i) =cosπ + i si π) Wobec tego pierwiastki stopia z wyrażą się astępującymi wzorami: w 0 = cos π + i si π ) ) = + i1 w 1 = cos π + i si π ) = cos π + i si π ) = 0+i1) = i w = cos 5π + i si 5π ) = [ cos π π ) + i si π π )] = = cos π + i si π ) = ) + i1 w = cos 7π + i si 7π ) = [ cos π + π ) + i si π + π )] = = cos π i si π ) = ) i1 w = cos 9π + i si 9π ) = [cos π + π)+isi π + π)] = = cosπ + i si π) = 1+i0) = w 5 = cos 11π ) 11π + i si = [ cos π π ) = cos π i si π ) ) = i1 + i si π π )] =

7 1 Ukady rówa liiowych Wyk ad Defiicja 1 Niech F bdzie ciaem Ukadem m rówa liiowych o iewiadomych x 1,,x, m, N, o wspóczyikach z ciaa F azywamy ukad rówa postaci: a 11 x a 1 x = b 1 a 1 x a x = b U : a m1 x a m x = b m gdzie a ij,b j F, i {1,,m}, j {1,,} Ukad te azywamy jedorodym, gdy b 1 = b = = b m =0 Defiicja Niech F bdzie ciaem Wielomia f F [x 1,,x ] azywamy form stopia m, gdy jest sum jedomiaów stopia m lub wielomiaem zerowym Zbiór form stopia m z pier cieia F [x 1,,x ] bdziemy ozaczali przez F h [x 1,,x ] m Formy stopia 1 bdziemy azywali formami liiowymi Formy stopia bdziemy azywami formami kwadratowymi Uwaga Niech F bdzie ciaem, iech U bdzie ukadem m rówa liiowych o iewiadomych i wspóczyikach z F Lewe stroy rówa ale cych do U s formami liiowymi ze zbioru F h [x 1,,x ] 1, a prawe elemetami ciaa F Defiicja Niech F bdzie ciaem, iech l 1 = b 1 l = b U : l m = b m bdzie ukadem rówa liiowych, l 1,,l m F h [x 1,,x ] 1, b 1,,b m F Ka de rówaie liiowe: a 1 l 1 + a l + + a m l m = a 1 b 1 + a b + + a m b m, gdzie a 1,,a m F, azywamy kombiacj liiow rówa daego ukadu Rozwi zaiem ukadu U azywamy ka dy taki ci g a 1,,a ) elemetów ciaa F, e dla i {1,,m} l i a 1,,a )=b i, Uwaga 5 Ka de rozwi zaie ukadu rówa liiowych jest rozwi zaiem ka dego rówaia bd cego kombiacj liiow rówa tego ukadu Defiicja Dwa ukady rówa U 1 i U azywamy rówowaymi gdy ka de rówaie ukadu U 1 jest kombiacj liiow rówa ukadu U i vice versa Uwaga 7 Rówowa e ukady rówa maj idetycze zbiory rozwi za Defiicja 8 Ukad rówa azywamy sprzeczym gdy rówaie 0=1jest kombiacj rówa tego ukadu Wiosek 9 Sprzeczy ukad rówa ie ma rozwi za liiow 17

8 18 Rozwa my ukad rówa: a 11 x a 1 x = b 1 a 1 x a x = b U : a m1 x a m x = b m Podamy metod rozwi zaia tego ukadu przez elimiacj Gaussa Etap I: sprowadzeie do postaci trójk tej Wybieramy rówaie i iewiadom o iezerowym wspóczyiku i azywamy j iewiadom bazow 1 kroku Zaó my, e jest i x 1 ze wspóczyikiem a 11 =0 Mo ymy wybrae rówaie u as rówaie pierwsze) przez a 1 a 11 i odejmujemy od drugiego rówaia Postpuj c idukcyjie mo ymy wybrae rówaie przez a 1i a 11 i odejmujemy od i tego rówaia, i {,,m} Nastpie przechodzimy do kroku, w którym wybieramy rówaie spo ród i {,,m}, iewiadom bazow drugiego kroku i powtarzamy procedur dla rówa i {,,m} Na koiec tego etapu ukad zostaje przeksztacoy do postaci a 11 x 1 +a 1 x +a 1 x + +a 1 x = b 1 a x + a x + + a x = b a rr x r + + a r x = b r x 1,,x r zostay wybrae jako iewiadome bazowe, a x r+1,,x pozostaj jako parametry Etap II: sprowadzeie do postaci diagoalej W ostatim rówaiu u as r) wybieramy iewiadom bazow, powiedzmy x r, i elimiujemy z rówa i {1,,r 1} odejmuj c rówaie r od i po wcze iejszym pomo eiu przez fa ir ga rr Nastpie postpujemy idukcyjie z rówaiami i {1,,r } Na koiec tego etapu ukad zostaje przeksztacoy do postaci a 11 x 1 +a 1,r+1 x r+1 + a 1,r+ x r+ + + a 1 x = b 1 a x +a,r+1 x r+1 + a,r+ x r+ + + a x = b a rr x r a r,r+1 x r+1 + a r,r+ x r+ + + a r x = b r stro i dziel c przez wspó- Etap III: zapisujemy rozwi zaie przeosz c parametry a praw czyiki przy x 1,,x r : x 1 = b 1 a 11 x = b ga a 1,r+1 a 11 x r+1 a,r+1 ga x r+1 a 1 a 11 x a ga x x r = e b r ga rr a r,r+1 ga rr x r+1 ga r ga rr x Przykad:

9 1) Rozwa my ukad: x 1 +x +x x + x 5 = x 1 +x +5x x +x 5 =5 x 1 +x +7x x + x 5 = 11 x 1 +x x x +x 5 = o wspóczyikach z ciaa Q Zaczyamy od sprowadzeia ukadu do postaci trójk tej Jako iewiadom bazow pierwszego kroku wybieramy x 1 w pierwszym rówaiu, a astpie przepisujemy to rówaie bez zmia, za od drugiego rówaia odejmujemy pierwsze pomo oe przez, od trzeciego pierwsze pomo oe przez 1, a od czwartego pierwsze pomo oe przez : x 1 +x +x x +x 5 = x 1 +x +5x x +x 5 =5 I x 1 +x +7x x +x 5 = 11 I x 1 +x x x +x 5 = I x 1 +x +x x +x 5 = x +x = 7 x x =7 8x +x +x 5 = Jako iewiadom bazow drugiego kroku wybieramy x w drugim rówaiu, a astpie przepisujemy pierwsze dwa rówaia bez zmia, za do trzeciego dodajemy drugie, a od czwartego odejmujemy drugie pomo oe przez : x 1 +x +x x +x 5 = x +x = 7 x x =7 + II 8x +x +x 5 = II x 1 +x +x x +x 5 = x +x = 7 0 = 0 x +x 5 = 1 Trzecie rówaie jest rówaiem to samo ciowym, mo emy wic je pomi w dalszych rozwa- aiach Jako iewiadom bazow trzeciego kroku wybieramy x 5 w ostatim rówaiu Tym samym sprowadzili my ukad rówa do postaci trójk tej, w której x 1,x,x 5 s iewiadomymi bazowymi, a x,x parametrami: x 1 +x +x 5 +x x = x +x = 7 x 5 x = 1 Nastpie sprowadzamy ukad do postaci diagoalej W pierwszym kroku rozwa amy iewiadom bazow x 5 w ostatim rówaiu i elimiujemy j z pozostaych rówa odejmuj cod pierwszego rówaia trzecie: x 1 +x +x 5 +x x = III x +x = 7 x 5 x = 1 x 1 +x +x +x = 8 x +x = 7 x 5 x = 1 W drugim kroku rozwa amy iewiadom bazow x w drugim rówaiu i elimiujemy j z pozostaych rówa dodaj c do pierwszego rówaia drugie rówaie pomo oe przez : x 1 +x +x +x = 8 + II x +x = 7 x 5 x = 1 x 1 +x + 5 x = 5 x +x = 7 x 5 x = 1 Tym samym sprowadzili my ukad rówa do postaci diagoalej Pozostaje zapisa rozwi zaie, przeosimy zatem wszystkie wyra eia zawieraj ce parametry a praw stro, pozostawiaj c a lewej stroie wyra eia zawieraj ce iewiadome bazowe, a astpie dzielimy wystpuj ce w 19

10 0 ukadzie rówaia przez wspóczyiki wystpuj ce przy iewiadomych bazowych, co sprowadza si do podzieleia drugiego rówaia przez : x 1 = 5 5 x x x 1 = 5 5 x x x = 7 x : ) x = x x 5 = 1 +x x 5 = 1 +x Dobrze jest uwzgldi w zapisie rozwi zaia wystpuj ce w im parametry tak, aby rozwi zaie ukadu rówa o 5 iewiadomych byo istotie picioelemetowym ci giem x 1,x,x,x,x 5 ): x 1 = 5 5 x x x = x x = 7 + 1x x = x x 5 = 1 +x Uwaga 10 Chc c zaoszczdzi czas ukady rówa zapisujemy jako macierze, czyli prostok te tabliczki liczb, które s odpowiedimi wspóczyikami w odpowiedich rówaiach Przyk ad: ) Rozwa my ukad: x +y +z +5t =0 x + y + z +t =0 x +5y +z +t =0 x +y +z +t =0 o wspóczyikach z ciaa Z 7 Zapisujemy go w otacji macierzowej, a astpie rozwi zujemy wykouj c odpowiedie operacje a wierszach macierzy: w w w w w w Na tym etapie wygodie jest wróci do tradycyjej otacji Pozostaje zapisa rozwi zaie ukadu: x +y +t =0 z +t =0 x = 0 +y +t z =0 +t : x = 0 +y +t z = 0 +t czyli po uwzgldieiu parametrów: x =y +t y = y z = t t = t

11 ) Rozwamy ukad rówa: i)x + i)y + + i)z + i)t =0 ix iy + z t =0 o wspóczyikach z ciaa C Otrzymujemy kolejo: i i +i i 0 + i) w 10i i 0 i i i i i i 0 + i i a zatem + i)x +y i)x +z czyli po uwzgl dieiu parametrów: : 10) i)t =0 i)t = x = x y = i)x+ 1 + i)t z = i)x + + 1i)t t = t + i i i i 0 y = i)x+ 1 + i)t z = i)x + + 1i)t i w 1