Zadania z funkcji zespolonych. III semestr

Transkrypt

1 Zadania funkcji espolonych III semestr

2 Spis treści 1. Licby espolone - dia lania i w lasności Zad Pochodna funkcji miennej espolonej holomorficność Zad Funkcje elementarne Zad Seregi espolone Zad Odworowania konforemne Zad Ca lka funkcji miennej espolonej i wory ca lkowe Cauchy ego Zad Seregi Taylora Zad Seregi Laurenta klasyfikacja punktów osobliwych Zad Twierdenie o residuach lemat Jordana Zad Twierdenie Rouché asada maksimum Zad

3 1. Licby espolone - dia lania i w lasności 1. Wykonać nastepuj ace dia lania na licbach espolonych: (a) (1 + i)(2 + i) + (1 i)(2 i) (b) (1 + 2i)(3 i)(5 5i) (c) 1+2i 3+i (d) (1+i)7 1 (1 i) Oblicyć: (a) Im[(1 2i)(1 + 2i)] (b) (2 + i) 1 (c) (1 2i)(2 i). 3. Udowodnić równość + iw 2 + w + i 2 = 2( 2 + w 2 ) dla w C. Wywnioskować stad że + iw 2 2( 2 + w 2 ) dla w C. 4. Zapisać w postaci trygonometrycnej nastepuj ace licby espolone: (a) i (b) 3 + i (c) 1 i 1+ 3i (d) i (e) 3 i. 5. Korystajac e worów Moivre a oblicyć: (a) ( 1 + 3i) 3 (b) (1 + i) 25 ( (c) ) i 2 2 (d) ( 2+2 3i) 16 (1+ 3i) 7 (e) i n n N (f) (g) (h) (1+i) 8 ( + (1 i)8 3+i) 18 ( 3 i) i 3

4 (i) Oblicyć: (a) 8 6i (b) 3 4i (c) i. 7. Rowiaać w diedinie espolonej równania: (a) 3 = 8i (b) 4 = 16 (c) = (d) (1 i) 4 4 = 1 (e) = 1 + 2i (f) ( ) = (g) + ( ) = 3 + 2i (h) 7 4 i + 3 i = (i) =. 8. Niech b edie pierwiastkiem wielomianu o wspó lcynnikach recywistych. Udowodnić że jest także pierwiastkiem wielomianu W (). 9. Znaleźć poosta le pierwiastki wielomianu w() = wiedac że = 2 i jest pierwiastkiem tego wielomianu. 1. Znaleźć poosta le pierwiastki wielomianu w() = wiedac że = 2 + i jest pierwiastkiem tego wielomianu. 11. Zanacyć na p lascyźnie espolonej biory: (a) {(x y) C : 1 < < 4} (b) {(x y) C : Re + 1 Imy} (c) {(x y) C : 1 2i = 5} (d) {(x y) C : 2i 1} (e) {(x y) C : 2 < < 9} (f) {(x y) C : 1 < + 2 }. 4

5 2. Pochodna funkcji miennej espolonej holomorficność 12. Znaleźć ceść recywista i urojona funkcji: (a) f() = 3 + i 2 b) f() = Dana jest c eść recywista u(x y) i c eść urojona v(x y) funkcji espolonej f. Predstawić t e funkcj e jako funkcj e miennej espolonej : (a) u(x y) = x 4 6x 2 y 2 + y 4 x v(x y) = 4x 3 y 4xy 3 y (b) u(x y) = x 2 y 2 + x v(x y) = 2xy + y (c) u(x y) = x + x v(x y) = x 2 +y 2 y x 2 +y 2 y. 14. Sprawdić w jakich punktach C nastepuj ace funkcje spe lniaja warunki Cauchy ego- Riemanna: (a) f() = 2 (b) f() = Im (c) f() = (d) f() =. 15. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f ora naleźć jej pochodna w punktach w których istnieje: (a) f() = Re (b) f() =. 16. Zbadać holomorficność funkcji: (a) f() = (b) f() = 2 (c) f() = ( 2 + 1) (d) f() = + 2 (e) f() = 2 ( + 1). 17. Dla funkcji wymienionych w adaniu 16 (a) policyć pochodne f x ora f y (b) korystajac definicji policyć pochodna formalna f 5

6 (c) w jakich punktach p lascyny istnieje f () (d) korystajac definicji policyć pochodna formalna f (e) badać holomorficość f. 18. Niech f H(D( R)). Udowodnić że: (a) jeśli f () = dla D( R) to f = const (b) jeśli f() = const dla D( R) to f = const. 19. Pokaać że twierdenie o wartości średniej nie achodi dla funkcji holomorficnych. 2. Znaleźć funkcje holomorficna f() = u(x y)+iv(x y) (a nastepnie apisać ja w postaci espolonej) wiedac że: (a) u(x y) = x 2 y 2 + xy (b) u(x y) = x 3 + 6x 2 y 3xy 2 2y 3 (c) u(x y) = x x 2 +y 2 (d) u(x y) = x2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 (e) u(x y) = 2xy + 3x (f) v(x y) = y. (x+1) 2 +y 2 6

7 3. Funkcje elementarne 21. Wykaać że: (a) sin = sin xchy + i cos xshy (b) cos = cos xchy i sin xshy (c) tg = sin 2x + i sh2y cos 2x+ch2y cos 2x+ch2y (d) sh = shx cos y + ichx sin y (e) ch = chx cos y + ishx sin y (f) th = 22. Wykaać że: sh2x + i sin 2y. ch2x+cos 2y ch2x+cos 2y (a) sin = sin 2 x + sh 2 y (b) cos = cos 2 x + sh 2 y (c) sh = sh 2 x + sin 2 y (d) ch = sh 2 x + cos 2 y. 23. Wykaać że nastepuj ace funkcje sa okresowe: (a) sin cos o okresie T = 2π (b) tg ctg o okresie T = π (c) ch sh o okresie T = 2πi. 24. Wykaać że dla C: (a) cos(i) = ch (b) sin = ish(i) (c) cos 2 + sin 2 = 1 (d) ch 2 sh 2 = 1 (e) sin = sin (f) cos = cos (g) cos( ) = cos (h) sin( ) = sin (i) cos( ) = cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 (j) sin( ) = sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2. 7

8 25. Korystajac definicji pochodnej formalnej f udowodnić że funkcje sin cos tg ctg sh ch th cth sa holomorficne w swojej diedinie. 26. Wyprowadić wór na pochodne funkcji sin cos tg ctg sh ch th cth. 27. Wykaać że funkcje odwrotne do f. trygonometrycnych i hiperbolicnych wyrażaja sie nastepuj acymi worami: (a) arcsin = i ln(i ) (b) arccos = i ln( + 2 1) (c) arctg = 1 2i ln ( 1+i 1 i ) (d) arcctg = 1 2i ln ( i+1 i 1) (e) arcsh = ln( ) (f) arcch = ln( + 2 1) (g) arcth = 1 2 ln ( 1+ 1 ) (h) arccth = 1 2 ln ( +1 1) 28. Jakimi worami wyrażaja sie: (a) pochodne funkcji definiowanych w poprednim adaniu? (b) pochodna funkcji pot egowej f() = µ? 29. Oblicyć wartość wyrażeń: (a) e i π 4 cos i sin(1 + i) tg(2 i) (b) ln 1 ln( 1) ln(1 + i) naleźć wartośc g lówna ln(1 + i 3) (c) ( 8) 1 3 ( 1) 1 4 i i i 2 i α+iβ naleźć wartość g lówna i 2 2 i 3. Rowiaać równania: (a) cos 2 = 4 (b) sin = 1 (c) ( 4 1) sin π = (d) ch 2 = (e) e 2 = 1 (f) Wykaać że tg ±i dla każdego C. 31. Znaleźć funkcje holomorficna f() = u(x y)+iv(x y) (a nastepnie apisać ja w postaci espolonej) wiedac że 8

9 (a) v(x y) = arctg( y ) x > x (b) u(x y) = ln(x 2 + y 2 ) (c) u(x y) = e x (x cos y y sin y) (d) v(x y) = e x (y cos y + x sin y) + x + y (e) u(x y) = e x (x cos y + y sin y) (f) v(x y) = e x (y cos y x sin y) (g) u(x y) = e y (x cos x y sin x) (h) v(x y) = e y (y cos x + x sin x) (i) u(x y) = e x ( y cos y x sin y) (j) v(x y) = e x ( y sin y + x cos y) (k) u(x y) = x sin xchy y cos xshy (l) v(x y) = y sin xchy + x cos xshy (m) u(x y) = x cos xchy + y sin xshy (n) v(x y) = y cos xchy x sin xshy (o) u(x y) = xshx cos y ychx sin y (p) v(x y) = yshx cos y + xchx sin y (q) u(x y) = xchx cos y y sin x sin y (r) v(x y) = ychx cos y + xshx sin y. 32. Wykaać że gdy w pewnym obsare istnieje jedna ga l aź jednonacna pierwiastka n to istnieje dok ladnie n takich ga l ei cym one sie różnia? 33. Znaleźć obray prostych x = const ora y = const: (a) pry odworowaniu f() = sin (b) pry odworowaniu f() = tg. 34. Znaleźć obray koncentrycnych okregów i promieni dla funkcji f() = 1 2 ( + 1 ). 9

10 4. Seregi espolone 35. Dla jakich C nastepuj ace seregi sa bieżne bewglednie: (a) (+1) n n= 2 n (b) (c) n= (d) n= ( n + n ) n=1 n 2 ( 1 +1) n n 1 n. 36. Znaleźć promień bieżności seregów: (a) n=1 ( 1)n n 2 n (b) n=1 n n!. 37. Dla jakich C nastepuj ace seregi sa bieżne: (a) ( 1) n+1 n=1 n+ (b) n=1 1 (n+) 2 (c) ( 1) n n n=1 n (d) n= 5n (e) n= nn n (f) n= n n n. 38. Znaleźć promień bieżności seregu pot egowego i ora badać bieżność tego seregu na bregu ko la bieżności: (a) n=1 e πi n n (b) n=1 n (1 i) n (c) ( 1+i) n n=1 n 2 (d) (1 i) n n=1 (e) n=1 n 1 n (n 2 +n) (f) ( i) n n=1. 2 n 39. Funkcje f() = rowin ać 1 w sereg potegowy o środku w punkcie = 1 2 = Funkcje f() = rowin ać 1 3 w sereg potegowy o środku w punkcie = i. 41. Funkcj e f() = 1 2 rowinać w sereg potegowy o środku w punkcie = i. 1

11 42. Funkcje f() = 1 rowin ać 2i( 2 +1) w sereg potegowy o środku w punkcie = Rowinać nastepuj ace funkcje w sereg potegowy postaci n= c n n : (a) f() = (b) f() = (c) f() = 1+i 1 i (d) f() = (e) f() = 1 (1+)(+2) (f) f() = 1 (1+) 2 (g) f() = 1 (1+) 3 (h) w każdym powyżsych pryk ladów podać w jakich punktach achodi otrymane rowini ecie. 11

12 5. Odworowania konforemne 44. Znaleźć obra obsaru: (a) D = { C : < 1} pry homografii f() = i +i (b) D = { C : i < 2 + i < 2} pry homografii f() = 1 +1 (c) D = { C : Im > Re Im < Re} pry homografii f() = i+i Udowodnić że homografia achowuje dwustosunek punktów w w 1 w w 2 : w 3 w 1 w 3 w 2 = 1 2 : Udowodnić że dla dowolnych trech różnych punktów C i trech różnych wartości w 1 w 2 w 3 C istnieje dok ladnie jedna homografia f taka że f( i ) = w i i = Znaleźć homografie która preksta lca biór D = { C : 2 = 1} na D 1 = { C : Im = } i taka że punktom i 2 i odpowiadaja punkty Znaleźć ogólna postać homografii preksta lcajacej ko lo jednostkowe na siebie. 49. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca ko lo jednostkowe na siebie i takie że: (a) f( 1 4 ) = i Argf ( 1 4 ) = π 2 (b) f( 1 2 ) = i Argf ( 1 2 ) = π Znaleźć ogólna postać homografii preksta lcajacej górna pó lp lascyne na ko lo jednostkowe. 51. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca obsar D = { C : > 1} na obsar D 1 = { C : Im < Re}. 52. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca obsar D = C \ { C : Re Im = } na obsar D 1 = { C : > 1}. 53. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca p lascyne rociet a wd luż prostych ( 1] [1 ) na obsar D 1 = { C : Im > }. 54. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca obsar D = C \ { C : 3 Re 1 Im = } na obsar D 1 = { C : Im > }. 12

13 55. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca obsar D = { C : Im > } \ { C : Re = < Im 1} na obsar D 1 = { : < 1}. 56. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca ko lo D = { C : < 1} na obsar D 1 = { C : < Im < π}. 57. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca ko lo D = { C : < 1} roci ete wd luż promienia na obsar D 1 = { C : < Im < π 2 }. 58. Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca pas D = { C : < Im < π } na pólkole D = { C : Im > < 1} Znaleźć odworowanie konforemne f() które preksta lca wycinek ko lowy D = { C : < Arg < π 3 } na obsar D 1 = { C : < 1}. Wskaówka: Znaleźć preksta lcenie konforemne pó lkola D = { C : Im > < 1} na pólp lascyn e D 1 = { C : Im > }. 13

14 6. Ca lka funkcji miennej espolonej i wory ca lkowe Cauchy ego 6. Narysuj krywa bed ac a wykresem funkcji: (a) γ(t) = 1 + e it t [ π] (b) γ(t) = t + it 2 t [ 1]. 61. Znaleźć parametryacj e: (a) odcinków [ 1 1] [1 1 + i] [1 + i 1 i] (b) kwadratu o wiecho lkach w punktach ±1 ±i (c) pó lokregu awartego w prawej pó lp lascyźnie o średnicy [ Ri Ri] R > leżacej na osi urojonej (d) okr egów C(1 1) := { C : 1 = 1} i C( 1 1) := { C : + 1 = 1} orientowanych odpowiednio godnie i preciwnie do ruchu wskaówek egara (e) elipsy o równaniu 4x 2 + y 2 = Oblicyć ca lki: (a) Γ 2 d gdie Γ = [ R R] Γ R (b) Γ 4 d gdie Γ = [ 1 + i 1 + i] (c) Γ Red gdie Γ(t) = t + it2 t [ 1] (d) 1 d gdie Γ(t) = Γ eit t [ 8π] (e) Γ e d gdie Γ jest suma odcinków [ 1] [1 1 + i] i [1 + i i] (f) sin d gdie Γ dowolna krywa o l acaca Γ punkty 1 = i 2 = π 2 (g) ( 1) cos d gdie Γ dowolna krywa o l acaca Γ punkty 1 = πi i 2 = πi. 63. Oblicyć ca lki wiedac że Γ = C( 1): (a) Γ 4 d (b) Γ (Re)2 d (c) Γ 2 ( 4 1)d (d) sin d Γ (e) Γ 1 ( 1)d Oblicyć ca lki: (a) Γ e i 2 d Γ = C( 1) 14

15 (b) Γ (c) Γ (d) Γ (e) Γ (f) Γ (g) Γ (h) ( Γ sin d Γ = C( 1) e cos d Γ = C(2 + i 2) (1+ 2 ) sin e d d Γ = C(a a) a > sin d ( i) 3 d Γ = {(x y) R 2 : 4x 2 + y2 4 = 1} e ( 1) 3 d gdie: i. Γ = C ( 2) 1 ii. Γ = C ( 1 2) 1 iii. Γ = C ( 2 ) ( e sin ( i) 2 + cos sin + ( π e 4 cos 2 )3 (+ π 2 )6 + ctg π 2 ) d Γ = C ( i 2 ) + 4 ( 1) 3 ) Γ = C ( 1 2 ). 15

16 7. Seregi Taylora 65. Znaleźć seregi Taylora funkcji f() o środku w punkcie : (a) f() = e f() = cos f() = sin = (b) f() = ch f() = sh = (c) f() = Ln(1 + ) = (d) Ile wynosa promienie bieżności otrymanych seregów? Odpowiedź uasadnić. 66. Znaleźć rowini ecie w sereg Taylora o środku w punkcie = ga l ei g lównej funkcji: (a) f() = (1 + ) µ dla < 1 µ R (b) f() = 1 + dla < 1 (c) f() = 1 1+ dla < 1 (d) f() = dla < Wykaać że sereg Taylora ga l ei g lównej funkcji f() o środku w punkcie = wyraża si e podanym niżej worem. Znaleźć promień ko la bieźności D( r): (a) f() = arcsin = + n=1 (b) f() = arccos = π 2 ( + n=1 (c) f() = arctg = 2n+1 n= ( 1)n 2n+1 (2n 1)!! 2n+1 (2n)!! 2n+1 (d) f() = arcctg = π 2n+1 2 n= ( 1)n 2n+1 (e) f() = arcsh = 2n 1!! n= ( 1)n 2n+1 (2n)!! 2n+1 (f) f() = arcth = 2n+1 n= 2n+1 (2n 1)!! ) 2n+1 (2n)!! 2n+1 (g) f() = arccth = 1 n= dla > 1. (2n+1) 2n Znaleźć sereg Taylora funkcji f() = sin 2 w dysku D( r). Ile wynosi r? Odpowiedź uasadnić. Cy g() = sin 2 ( ) jest funkcja ca lkowita? Odpowiedź uasadnić. 69. Znaleźć sereg Taylora funkcji f() = cos 2 o środku w punkcie =. Korystajac niego wykaać że funkcja g() = 3 cos 2 ( ) jest ca lkowita. Wykaać że = jest trykrotnym erem funkcji g(). 7. Znaleźć sereg Taylora funkcji f() = sh o środku w punkcie =. Korystajac niego wykaać że funkcja g() = 1 sh( ) jest ca lkowita. 16

17 71. Znaleźć sereg Taylora funkcji f() = sh 2 o środku w punkcie =. Korystajac niego wykaać że funkcja g() = sh 2 ( ) jest ca lkowita. Cy punkt = jest erem funkcji? Odpowiedź uasadnić. 72. Ga l aź g lówna funkcji f() = Ln ( ) 1+ 1 rowin ać w sereg Taylora funkcji o środku w punkcie =. Korystajac niego wykaać że galaź g lówna funkcji g() = 1Ln ( ) 1+ 1 jest holomorficna w dysku D( 1). 73. Ga l aź g lówna funkcji f() = arcsh rowinać w sereg Taylora funkcji o środku w punkcie =. Korystajac niego wykaać że ga l aź g lówna funkcji g() = 1 arcsh( ) jest holomorficna w dysku D( 1). 74. Ga l aź g lówna funkcji f() = arcth rowinać w sereg Taylora funkcji o środku w punkcie =. Korystajac niego wykaać że ga l aź g lówna funkcji g() = arcth( ) jest holomorficna w dysku D( 1). 17

18 8. Seregi Laurenta klasyfikacja punktów osobliwych 75. Znaleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta funkcji f() = : 1 +2 (a) w dysku D( 1) = { C : < 1} (b) w pierścieniu P ( 1 2) = { C : 1 < < 2} (c) w pierścieniu P ( 2 ) = { C : 2 < < } (d) w pierścieniu P (1 3) = { C : < 1 < 3} (e) w pierścieniu P ( 2 3) = { C : < + 2 < 3 } (f) w pierścienach o środku w punkcie = i. 76. Znaleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta funkcji f() = 1 : 2 +1 (a) w dysku D(1 2) = { C : 1 < 2} (b) w pierścieniu P (1 2 ) = { C : 2 < 1 < } (c) w pierścieniu P (i 2) = { C : < i < 2} (d) w pierścieniu P ( i 2) = { C : < + i < 2} (e) w pierścieniach P (2i 1 3) = { C : 1 < 2i < 3} (f) w pierścieniach P ( 2i 1 3) = { C : 1 < + 2i < 3} Znaleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta funkcji f() = : ( 2 +4)( 2 +16) (a) w pierścieniu P ( 2 4) = { C : 2 < < 4} (b) w pierścieniu P (4i 2) = { C : < 4i < 2}. 78. Znaleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta funkcji f() = 1 : (1 ) (a) w pierścieniu P (1 1) = { C : < 1 < 1} (b) w pierścieniu P ( 1 ) = { C : 1 < < }. 79. Udowodnić że jest erem funkcji holomorficnej f w D wtedy i tylko wtedy gdy w dostatecnie ma lym otoceniu D( ɛ) punktu funkcj e f można apisać w postaci f() = ( ) k φ() gdie φ H(D( ɛ)) ora φ() dla D( ɛ)). 8. Niech f H(P ( ɛ)). Udowodnić że jest biegunem redu m wtedy i tylko wtedy gdy lim ( ) m f() = D gdie D jest sta l a różna od era. 81. Niech f H(P ( r)) r > f ma biegun m-krotny w ora niech g H(D( r)). Udowodnić że ilocyn funkcji fg ma w : 18

19 (a) biegun r edu m jeśli g( ) (b) biegun r edu m n jeśli jest n krotnym erem funkcji g i n < m (c) osobliwościa poorna jeśli jest erem funkcji g co najmniej m-krotnym. 82. Niech f g H(D( ɛ)) ora f( ) = g( ) =. Udowodnić regu l e L Hospitala tn. jeśli granica po prawej stronie istnieje. f() lim g() = lim f () g () 83. Niech f g H(P ( ɛ)) ora f( ) = g( ) =. Udowodnić regu l e L Hospitala tn. jeśli granica po prawej stronie istnieje. 84. Znaleźć era funkcji i określić ich krotność: (a) f() = sin (b) f() = ctg (c) f() = ( 1) 2 cos π (2 1)( 2 +1) 5 sin 3 π. f() lim g() = lim f () g () 85. Znaleźć bieguny funkcji określić ich krotność ora oblicyć residua: (a) f() = 1 (2 )( 2 4) (b) f() = 1 ( 2 +4) 3 (c) f() = e i 4 (d) f() = πctg(π) Określić rodaj osobliwości nastepuj acych funkcji w punktach = i 1 = : (a) ( + 1 ) 1 (b) 2 e 1/ (c) ctg 1 (d) ( sin ) Określić rodaj punktów osobliwych iolowanych w C nastepuj acych funkcji: (a) 1 3 ( 2 +1) 19

20 (b) 1 ei 2 (c) e i ( 2 ++1) 2 (d) ctg(π) 1 (e) sin cos 1 1 (f) 1 e 2 (g) (h) sin 2 sin. (1 e 2πi )( 1) 88. Określić rodaj punktów osobliwych iolowanych w C nastepuj acych funkcji: (a) (b) e 1 (c) tg 2 () (d) ch ( 1 ) (e) 1 (π+) sin 1 π (f) 2 ch cos (g) f() = 1 +4 cos( 1 ) (h) f() = 1 1 sin( 1 ). 89. Znaleźć ceść g lówna seregu Laurenta o środku w punkcie funkcji: (a) f() = 1 2 sin = (b) f() = 1 (e 1) 2 = (c) f() = e 1 4 = (d) f() = ei ( 2 +b 2 ) 3 = ib (e) f() = e 1 e +1 = πi. 9. Znaleźć sereg Laurenta nastepuj acych funkcji w otoceniu nak lutym ich punktów osobliwych oblicyć ich residua ora określić ceści g lówne i regularne otrymanych seregów: (a) f() = 1 4 cos (b) f() = 1 3 sin (c) f() = 4 sin ( 1 ) 2

21 (d) f() = 2 cos ( 1 ) (e) f() = e 1 1 (f) f() = 1 e Znaleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta w pierscieniu P ( r R) ga l ei g lównej nastepuj acych funkcji (jeżeli funkcja jest wielonacna to naleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta w pierscieniu P ( r R) ga l ei g lównej funkcji). Określić rodaj osobliwości funkcji w punkcie. (a) f() = 1 arcsin w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora e woru ca lkowego Cauchy ego oblicyć nastepuj ac a ca lke arcsin d < r < 1. 1 {: =r} (b) f() = 12 arccos w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora e e woru ca lkowego Cauchy ego oblicyć nastepuj ac a ca lke arccos d < r < {: =r} (c) f() = 6 arcth w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora o e woru ca lkowego Cauchy ego oblicyć nastepuj ac a ca lke arcth d < r < 1. 6 {: =r} (d) f() = 11 (1 + 2 ) 1 2 w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora o e woru ca lkowego Cauchy ego oblicyć nastepuj ac a ca lke {: =r} (1 + 2 ) d < r < 1. (e) f() = 11 (1 2 ) 1 2 w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora o e woru ca lkowego Cauchy ego oblicyć nastepuj ac a ca lke 1 < r < 1. {: =r} 11 (1 2 )

22 9. Twierdenie o residuach lemat Jordana 92. Korystajac twierdenia o residuach lub e woru ca lkowego oblicyć ca lki: (a) Γ (b) Γ (c) Γ (d) Γ (e) Γ (f) Γ (g) Γ d Γ : 1 = d Γ : (1 + i) = 2 (1 ) 2 ( 2 +1) d Γ : = 2eit t [ 1] sin sin +1 d Γ : = 1 d Γ : 4 = 1 e i 2 d Γ : = 1 sin d ( i) 3 Γ : x 2 + y2 4 = Znaleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta w pierscieniu P ( r R) nastepuj acych funkcji (w prypadku funkcji wielonacnej naleźć ceść g lówna i regularna seregu Laurenta ga l ei g lównej). Określić rodaj osobliwości funkcji w punkcie. (a) f() = 9 cos w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora twierdenia Cauchy ego o residuach oblicyć nastepuj ac a ca lke 9 cos d < r < 1. {: =r} (b) f() = 12 arcsin w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora twierdenia Cauchy ego o residuach oblicyć nastepuj ac a ca lke 12 arcsin d < r < 1. {: =r} (c) f() = 12 ln ( ) 1+ 1 w pierścieniu P ( 1) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora twierdenia Cauchy ego o residuach oblicyć nastepuj ac a ca lke 12 ln ( 1 + ) d < r < 1. 1 {: =r} (d) f() = 9 cos( 1) w pierścieniu P ( 1 ) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora twierdenia Cauchy ego o residuach oblicyć nastepuj ac a ca lke 9 cos(1/)d 1 < R <. {: =R} 22

23 (e) f() = 1 arcsin ( ) 1 w pierścieniu P ( 1 ) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora twierdenia Cauchy ego o residuach oblicyć nastepuj ac a ca lke 1 arcsin(1/)d 1 < R <. {: =R} (f) f() = 8 arcth ( ) 1 w pierścieniu P ( 1 ) ( = ). Korystajac powyżsych rowinieć ora twierdenia Cauchy ego o residuach oblicyć nastepuj ac a ca lke 8 arcth(1/)d 1 < R <. {: =R} 94. Korystajac metod funkcji espolonych oblicyć ca lki: (a) (b) (c) dx (x 2 +1) 2 (x 2 +4) cos xdx x 2 +x+1 e ax dx 1 < a < 1 chx 95. Korystajac metod funkcji espolonych oblicyć lub udowodnić: (a) 2π (b) 2π (c) 2π (d) 2π (e) 2π (f) 2π (g) 2π dθ 5+4 sin θ dθ (2+cos θ) 2 dθ = 2π 1+8 cos 2 θ 3 dθ = 2π a C a 1 1 2a cos θ+a 2 a 2 1 cos 2 3θdθ 1 2a cos 2θ+a 2 = π 1 a+a2 1 a a < 1 dθ (1+ɛ cos θ) 2 = 2π (1 ɛ 2 ) 3/2 ɛ < 1 sin 2 θdθ = 2π (a a a+b cos θ b 2 b 2 ) < b < a Korystajac metod funkcji espolonych udowodnić: (a) dx = π (a b > a b) (x 2 +a 2 )(x 2 +b 2 ) 2ab(a+b) (b) dx = 4π (x 2 +x+1) (c) dx = x 4 +x 2 π +1 3 (d) cos xdx a 2 +x 2 (e) (f) x 3 sin xdx (x 2 +1) 2 = π 4e = πe a a a > xdx = π x 4 +6x

24 (g) x 2 x+2 5π dx = x 4 +1x (h) (i) (j) (k) x 2 (x 2 +a 2 ) 3 dx = π 16a 3 a > x 6 (x 4 +a 4 ) 2 dx = 3 2π 16a a > x sin x dx = π (x 2 +a 2 ) 2 4a e a a > cos x dx = 7 π. (1+x 2 ) 3 16 e 97. (*) Korystajac metod funkcji espolonych oblicyć ca lki: (a) (b) dx x sin x x 3 ln x dx. 1+x 2 24

25 1. Twierdenie Rouché asada maksimum 98. Korystajac twierdenia Rouché wykaać że funkcja e i ma dok ladnie jedno ero w górnej pó lp lascynie H + = { C : Im > }. 99. Dane sa funkcje: (a) f() = (b) f() = (c) cos(π) 1 n. Ile er w dysku D( 1) maja wymienione wyżej funkcje? 1. Udowodnić że dla każdego λ > 1 równanie + e = λ ma dok ladnie jedno ero w prawej pó lp lascyźnie H + := { C : Re > }. Pokaać że to ero jest licba recywista. 11. Określić licbe pierwiastków wielomianu leżacych wewnatr ko la jednostkowego D( 1) = { C : < 1}: (a) w() = (b) w() = (c) w() = (d) w() = (e) w() = Niech f bedie funkcja ca lkowita. Udowodnić: (a) Jeśli Ref M (gdie M < to f jest funkcja sta l a. (b) Jeśli f() pryjmuje wartości recywiste dla S 1 = { C : = 1} to f jest funkcja sta l a. 13. Niech f bedie funkcja holomorficna w obsare jednospójnym D C ciag l a na domknieciu D i różna od sta lej. Udowodnić że ceść recywista funkcji f (tn. Ref) nie może pryjmować wartości najwieksej w obsare D. 14. Niech bedie funkcja ca lkowita taka że f( + 2π) = f() ora f( + 2πi) = f() dla każdego C. Udowodnić że f jest funkcja sta l a. 15. (*) Korystajac e woru ca lkowego Cauchy ego wykaać że jeśli f H(D(a R)) ora f() f(a) dla D(a R) to f jest funkcja sta l a. 25