POMIAR RYZYKA PORTFELI INWESTYCYJNYCH ZBUDOWANYCH NA PODSTAWIE CHARAKTERYSTYKI TEORII CHAOSU

Transkrypt

1 W Y A W I C T W O P O L I T E C H I K I Ś L Ą K I E J W G L I W I C A C H ZEZYTY AUKOWE POLITECHIKI ŚLĄKIEJ 08 era: OGAIZACJA I ZAZĄZAIE z. 30 POIA YZYKA POTFELI IWETYCYJYCH ZBUOWAYCH A POTAWIE CHAAKTEYTYKI TEOII CHAOU Katarzyna ZEUG-ŻEBO onka IŚKIEWICZ-AWOCKA Unwersytet Ekonoczny w Katowcach Katowce; katarzyna.zeug-zebro@ue.katowce.pl Unwersytet Ekonoczny w Katowcach Katowce; onka.skewcz@ue.katowce.pl treszczene: Zarządzane ryzyke est bardzo ważny zagadnene zwązany z nwestowane na gełdze. W raach analzy portfelowe która wykorzystywana est ędzy nny do tego celu wykazue sę że uożlwa ona wyelnowane znaczne częśc ryzyka towarzyszącego nstruento fnansowy konstruowane takego portfela nwestycynego który będze sę charakteryzował optyalny dla danego nwestora pozoe ryzyka. Główny cele pracy będze próba zdywersyfkowana ryzyka portfela akc zbudowanego na podstawe ary wywodzące sę z teor chaosu deternstycznego t. wyaru fraktalnego. łowa kluczowe: analza portfelowa ryzyko nwestycyne wyar fraktalny. EAUEET OF THE IVETET POTFOLIO IK COTUCTE O THE CHAACTEITIC OF CHAO THEOY Abstract: sk anageent s a very portant ssue related to nvestng n the stock arket. As part of the portfolo analyss whch s used for ths purpose t s shown that t enables elnaton of a sgnfcant part of rsk accopanyng fnancal nstruents and constructon of such nvestent portfolo that wll be characterzed by the rsk level optal for a nvestor. The an a of the work wll be an attept to dversfy the rsk of the portfolo of shares constructed on the bass of a easure cong fro the theory of deternstc chaos e the fractal denson. Keywords: portfolo analyss nvestent rsk fractal denson.

2 704 K. Zeug-Żebro. śkewcz-awrocka. Wprowadzane Teorę zarządzana portfele nwestycyny etody efektywnego doboru aktywów zapoczątkował w 95 roku arkowtz. Jego dee zostały rozwnęte przez harpe a (963) który wprowadzł.n. odel ednowskaźnkowy upraszczaący klasyczną teorę arkowtza (Tarczyńsk 04). W kolenych latach harpe Lntner (965a 965b) ossn (966) opracowal odel wyceny dóbr kaptałowych CAP. odel ten służył ne tylko wycene paperów ale także ocene efektywnośc zarządzana portfele analze wszelkch poczynań na rynkach fnansowych. Alternatywą dla klasycznych odel oże być konstrukca portfel nwestycynych na podstawe ary wywodzące sę z teor chaosu deternstycznego t. wyaru fraktalnego. Wybór te charakterystyk wynka z e nterpretac t. pozwala ona na ocenę ryzyka paperów wartoścowych. Walory których szereg stóp zwrotu aą wększy wyar fraktalny są bardze zenne a to oznacza że są bardze ryzykowne (Orzeszko 00). Cele artykułu była budowa portfel optyalnych wyznaczonych na podstawe neklasyczne ary ryzyka aką est wyar fraktalny oraz porównane ch z klasyczny odela arkowtza harpa. o oszacowana wyaru posłużyła analza przeskalowanego zakresu. W badanach wykorzystano szereg czasowe utworzone z cen zaknęca spółek notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe wchodzących w skład ndeksu WIG 0. ane obeowały okres od do Oblczena przeprowadzono przy użycu prograów napsanych w ęzyku prograowana elph oraz paketu crosoft Ecel.. Poar ryzyka portfela nwestycynego yzyko est drug obok stopy zwrotu główny kryteru oceny każde nwestyc kaptałowe. Wyróżnć należy trzy klasyczne grupy ar tego ryzyka t. ary zagrożena wrażlwośc oraz naczęśce stosowane ary zennośc. ary zagrożena są oparte na koncepc ryzyka rozuanego negatywne czyl nechcane przez nwestora stopy zwrotu bądź odchylena cen od spodzewanych ch pozoów. ary te dentyfkuą sę z sytuacą zagrożena stratą uwzględnaą nagorsze ożlwe warunk. ary wrażlwośc nforuą o wpływe różnych czynnków ryzyka na ceny paperów wartoścowych. Zate wększa est wrażlwość ceny paperów wartoścowych na zany czynnków ą deternuących ty wększe est ch ryzyko. Znaną powszechne używaną Portfel ndeksu WIG 0 po korekce kwartalne (według stanu na 7..07).

3 Poar ryzyka portfel nwestycynych 705 arą wrażlwośc est współczynnk beta będący edną z ar ryzyka rynkowego (Ostrowska 007). ary zennośc odzwercedlaą zany cen stóp zwrotu paperów wartoścowych na podstawe rozproszena ch rozkładu a w efekce uśrednaą ryzyko. ary te traktuą ryzyko ne tylko ako zagrożene lecz także ako ożlwość osągnęca dodatkowych zysków. Wśród nch należy wyenć ary bezwzględne.n. waranca stopy zwrotu odchylene standardowe stopy zwrotu oraz ary względne t. współczynnk zennośc stóp zwrotu. Wyar fraktalny est równeż edną z ar zennośc. Określa on stopeń poszarpana wykresu szeregu czasowego co pozwala przyąć że wększy wyar szeregu ty wększa ego zenność. W tak raze papery wartoścowe których szereg stóp zwrotu aą wększy wyar są bardze zenne a to oznacza że są bardze ryzykowne... Współczynnk βeta Współczynnk βeta zwany współczynnke agresywnośc akc est arą wrażlwośc dochodu z dane akc na statystyczną zenność całego rynku paperów wartoścowych czyl est arą e wrażlwośc w stosunku do akc przecętnego ryzyka. Poęce akc przecętnego ryzyka est utożsaane z akcą wykazuącą tendence do zan kursu (stopy zwrotu) w górę w dół wraz z ogólną tendencą na rynku gełdowy. Współczynnk βeta nforue o le procent w przyblżenu wzrośne stopa zwrotu dane akc gdy stopa zwrotu ndeksu rynku (portfela rynkowego) wzrośne o %. Współczynnk ten dla dane akc (portfela) oże przyować różne wartośc odzwercedlaące słę kerunek e reakc na zany ndeksu gełdowego. Współczynnk βeta -te akc (β) będący względną arą ryzyka rynkowego ustala sę na podstawe wzoru: n t t () gdze: n t t n lczba okresów z których pochodzą obserwace stóp zwrotu t stopa zwrotu -te akc w t-ty okrese t stopa zwrotu ndeksu rynku w t-ty okrese średna arytetyczna stóp zwrotu -te akc średna arytetyczna stóp zwrotu ndeksu rynku (Ostrowska 007)... Wyar fraktalny Wyar fraktalny bada w ak stopnu analzowany obekt geoetryczny czy też szereg wypełna przestrzeń w które est zanurzony (Orzeszko 00). Jego cechą charakterystyczną

4 706 K. Zeug-Żebro. śkewcz-awrocka est fakt że oże on przyować wartośc necałkowte np. krzywa na płaszczyźne a wyar z przedzału [ ]. Wyar fraktalny (zwany równeż poenoścowy) danego obektu geoetrycznego A ożna oblczyć szacuąc nalną lczbę doknętych hpersześcanów o boku długośc ɛ potrzebnych do ego pokryca. Wyar ten wyznacza sę w oparcu o następuący wzór: A gdze A ln L l () ln L A est nalną lczbą hpersześcanów o boku długośc ɛ. Jedną z procedur pozwalaących na oblczane wyaru fraktalnego () szeregu czasowego est analza przeskalowanego zakresu lub w skróce analza /. etoda ta polega w perwsze kolenośc na szacowanu wartośc wykładnka Hursta H a następne wyznaczenu wyaru fraktalnego zgodne z forułą (Zwolankowska 000): H. (3) Przeprowadzaąc analzę szeregów czasowych np. cen zaknęca akc wykres zależnośc ceny od czasu przekształca sę w wykres podwóne logarytczny przedstawaący zależność logarytu / od logarytu lczby obserwac. Algoryt wyznaczana współczynnka / którego wartość pozwala na wyznaczene wykładnka Hursta przebega w następuących etapach: Krok. zereg... y k zostae przekształcony w cąg = logarytcznych stóp zwrotu: k log k =. (4) k Krok. ech T q T q wówczas stnee T podprzedzałów o długośc q... T. Ponadto nech każdy składnk podprzedzału przez y y q gdze... q. Średna wartość dla -tego podcągu wynos: I I każdy będze oznaczony y q. (5) Krok 3. W koleny kroku analzy każdy podcąg zostae scentrowany poprzez odęce średne arytetyczne: z y y (6) zdefnowane cągu su częścowych z : p z l = q = T. (7) l

5 Poar ryzyka portfel nwestycynych 707 Krok 4. astępne należy oblczyć rozstępy skuulowanych szeregów czasowych według wzoru: p n p a. (8) Krok 5. Koleny etap algorytu to wyznaczane rozstępów przeskalowanych dla każdego skuulowanego szeregu czasowego tzn. każdy rozstęp zostae podzelony przez odchylene standardowe tego szeregu: / (9) q gdze: q z q Krok 6. Ostateczne należy oblczyć: T. ( / ) (/ T). (0) q q tosuąc tę procedurę dla kolenych q (będących koleny dzelnka lczby H spełnaących warunek 0 q ) otrzyue sę cąg wartośc ( / q cq ). Podstawą analzy / est ch potęgowa zależność od q: / cq () H q lub równoważne: ln / q ln c H ln q. () gdze: H est wykładnke Hursta c est stałą Wykładnk Hursta est współczynnke kerunkowy regres lnowe (). 3. Portfele nwestycyne zadana optyalzacyne Jedny ze sposobów zneszena ryzyka nwestyc est dywersyfkaca portfela zaproponowana przez arkowtza (95). Polega ona na zwększanu lczby paperów wartoścowych do oentu osągnęca zerowego udzału waranc poszczególnych akc w ryzyku całkowty portfela (Zadane ). Inną często stosowaną etodą budowy portfela nwestycynego est ednoczynnkowy odel rynku (Zadane ) opracowany przez harpe a (963). Opsue on powązana zan wartośc akc z zachowane całego rynku. W odelu ty założono że stopy zwrotu akc zależą od dzałana czynnka rynku t. gełdy paperów wartoścowych. Zaobserwowano bowe że na wększośc rozwnętych gełd spadkow/wzrostow ch stóp zwrotu

6 708 K. Zeug-Żebro. śkewcz-awrocka erzoneu spadke/wzroste ndeksu gełdowego towarzyszy spadek/wzrost cen wększośc akc. Tabela. Zadana optyalzacyne Zadane Zadane Zadane 3 cov n 0 p... 0 e n p n 0 p Zadane 4 cov n 0 p... 0 Zadane 5 e n 0 p... 0 gdze: p - oczekwana stopa zwrotu portfela akc: p (3) P P (4) P P (5) (6) (7)

7 Poar ryzyka portfel nwestycynych 709 gdze: - oczekwana stopa zwrotu -te akc - udzały -te - te akc w portfelu lczba akc w portfelu cov - kowaranca ędzy -tą a -tą akcą - współczynnk βeta -te akc stopa zwrotu ndeksu rynkowego 0 - wyar fraktalny -te akc - oczekwana stopa zwrotu dla spółek e - waranca składnka losowego -te akc. Propozycą autorów est budowa portfel nwestycynych w oparcu o wyar fraktalny (zadana optyalzacyne 3 4 (Tabela)) (Zeug-Żebro 06). W zadanu 3 wartośc tego wyaru są kryteru podlegaący optyalzac. Jest to zana w stosunku do klasycznych koncepc opartych na stope zwrotu odchylenu standardowy. Buduąc portfel o kryteru () wybera sę układ nalepszy ze względu na pozo ryzyka (erzonego wyare fraktalny) a odchylene standardowe stopa zwrotu są edyne warunka ogranczaący. W zadanu 4 skorygowano wzór na klasyczną warancą portfela (wg arkowtza) o pozo ary ryzyka t. wyar fraktalny. W ty przypadku odel budowy portfela przyue postać zadana 4 (Tabela ). Inną propozycą est odyfkaca odelu harpa (zadane 5). W podeścu ty nalzowane est ryzyko portfela (z zadana ) z dodatkowy uwzględnene wyaru fraktalnego zaast współczynnka βeta (Tabela ). 4. Zastosowane proponowanych odel do budowy portfela paperów wartoścowych Badanu poddano szereg fnansowe utworzone z cen zaknęca spółek notowanych na GPW w Warszawe wchodzących w skład ndeksu WIG0 (Tabela ). odatkowy warunke wyboru spółek była dodatna wartość oczekwane stopy zwrotu. W analze wykorzystano dane obeuące okres od do Przeprowadzone badana epryczne pozwolły wyznaczyć wyar fraktalny wykorzystuąc analzę przeskalowanego zakresu. Otrzyane wartośc przedstawono ane pochodzą z archwu plków prograu Oega dostępnych na strone nternetowe [dostęp: ].

8 70 K. Zeug-Żebro. śkewcz-awrocka w Tabel 3 gdze dodatkowo przedstawono wartośc oczekwane stopy zwrotu oraz odchylena standardowego stóp zwrotu badanych szeregów czasowych (oblczena wykonano dla dzenne stopy zwrotu) 4. Tabela. Wynk szacowana wyaru fraktalnego odchylena standardowego oczekwane stopy zwrotu dla szeregów czasowych wybranych spółek półka () półka () ALIO BAK BZWBK OAGEPL CCC PGE EEGA PGIG JW PKOLE KGH PKOBP LOTO PZU W tabel 3 przedstawono wartośc współczynnków β α oraz waranc składnka losowego -te akc. Tabela 3. Wynk szacowana współczynnków β α oraz waranc składnka losowego -te akc półka β α e półka β α e ALIO BAK BZWBK OAGEPL CCC PGE EEGA PGIG JW PKOLE KGH PKOBP LOTO PZU W następny etape analzy skonstruowano dzesęć portfel nwestycynych na podstawe wcześne zaproponowanych zadań optyalzacynych (Tabela ). W skład portfel oznaczonych nuera 5 weszły spółk będące odpowedno rozwązane zadań optyalzacynych - 5. W portfelach - 5 ueszczono spółk będące rozwązane zadań -5 dla których przyęto dodatkowe założene postac 5. Założene to wskazue szereg wolnozenne (persystentne tzn. nższa wartość wyaru fraktalnego ty zawsko wzacnana trendu est slnesze). o oblczena udzałów poszczególnych spółek w portfelu wykorzystano narzędze olver będące dodatke arkusza kalkulacynego Ecel. W tabelach 4 5 przedstawono udzały poszczególnych spółek oraz wartość oczekwaną ryzyko zbudowanych portfel. Znak - postawono przy spółkach które ne weszły w skład portfela optyalnego. 3 W celu oszacowana wyaru fraktalnego posłużono sę prograa autora napsany w ęzyku prograowana elph 4 W oblczenach wykorzystano dane z okresu

9 Poar ryzyka portfel nwestycynych 7 Tabela 4. topa zwrotu ryzyko udzały akc w wyznaczonych portfelach. Udzały akc półka Portfel Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 5 ALIO BZWBK CCC EEGA JW KGH LOTO LPP BAK OAGEPL PGE PGIG PKOLE PKOBP PZU TAUOPE Oczekwana stopa zwrotu portfela yzyko portfela Tabela 5. topa zwrotu ryzyko udzały akc w wyznaczonych portfelach z warunke () 5 półka Udzały akc Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 CCC EEGA JW KGH LOTO LPP BAK OAGEPL PGE PKOLE PZU Oczekwana stopa zwrotu portfela yzyko portfela Analzuąc dane przedstawone w tabelach 4 5 ożna stwerdzć że nanższy pozoe ryzyka charakteryzuą sę portfele wyznaczone na podstawe ary pochodzące z teor chaosu deternstycznego (portfele 4 4 ).Wynk ten pokazał że odyfkaca funkc celu w odelu 4 zwązana z dołączene do klasyczne ary ryzyka wyaru fraktalnego korzystne wpływa na pozo ryzyka zwązanego z nwestycą w tak portfel. Propozyca zaany w odelu ednoczynnkowy harpa ( współczynnka βeta na wyar fraktalny) ne przynosła oczekwanych rezultatów; śwadczą o ty wynk uzyskane dla

10 7 K. Zeug-Żebro. śkewcz-awrocka portfel 5 5 dla których zaobserwowano brak wzrostu wartośc stopy zwrotu nestety wyższy pozo ryzyka. W koleny kroku badań dla wyznaczonych portfel przeprowadzono syulacę nwestyc. Założono że nwestor 8 grudna 07r. zanwestował zł w akce poszczególnych portfel (przyęto udzały zgodne z wynka uzyskany w tabelach 4 5). Zakładaąc dodatkowo nezenność udzałów akc w portfelach oszacowano początkowe (8..07) oraz końcowe ( ) wartośc oraz porównano e z pasywną strategą nwestowana t. stopą zwrotu WIG0 (Tabela 6). Tabela 6. topa zwrotu dla wyznaczonych portfel optyalnych Wartość portfela [zł] Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel topa zwrotu [%] Porównane z WIG0 [zł] Wartość portfela [zł] Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel topa zwrotu -% -4473% -0003% -98% -4504% Porównane z WIG0 [zł] W analzowany okrese dla prawe wszystkch portfel zaobserwowano stratę. Wyątke był portfel 3 wygenerowany według zadana 3 z dodatkowy założene () 5. Porównuąc portfele z pasywną strategą nwestowana czyl z portfele rynkowy odnotowano straty w wysokośc od 8776 zł (portfel 4 ) do zł (portfel 5 ). Jedyne w przypadku portfela 3 zaobserwowano zysk wysokośc 0666 zł. 5. Podsuowane W pracy zaproponowano koncepcę budowy portfel paperów wartoścowych zodyfkowanych o wyar fraktalny. tanowły one alternatywę dla klasycznych odel arkowtza harpa. W badanu epryczny rozpatrzono trzy waranty nowego podeśca (zadana optyalzacyne 3-5) oraz odele arkowtza ednoczynnkowy odel rynku. Analzą obęto lata (do czerwca). Badana potwerdzły zasadność łączena analzy portfelowe z eleenta wywodzący sę z teor chaosu deternstycznego. Wynk zachęcaą do dalszych badań w ty kerunku.

11 Poar ryzyka portfel nwestycynych 73 Bblografa. Lntner J. (965a). ecurty Process sk and aal Gans fro versfcaton. Journal of Fnance 0.. Lntner J. (965b). The valuaton of rsky assets and the selecton of rsky nvestents n stock and captal budgets. evew of Econocs and tatstcs arkowtz H. (95). Portfolo electon. Journal of Fnance ossn J. (966). Equlbru n a captal asset arket. Econoetrca Orzeszko W. (00). Wyar fraktalny szeregów czasowych a ryzyko nwestowana. Acta Unverstats cola Copernc. Ekonoa XLI. auk Huanstyczno-połeczne z Ostrowska E. (007). ynek kaptałowy: funkconowane etody oceny. Warszawa: Polske Wydawnctwo Ekonoczne. 7. harp W. (963). A plfed odel for Portfolo Analyss. anageent cence Tarczyńsk W. (04). Ocena różnych warantów fundaentalnego portfela paperów wartoścowych. Prace naukowe UE we Wrocławu (37). Wydawnctwo UE we Wrocławu Zeug-Żebro K. (06). Badane wpływu zastosowana wyaru fraktalnego na konstrukcę portfela optyalnego. tuda Ekonoczne nr Zwolankowska. (000). etoda segentowo-waracyna. owa propozyca lczena wyaru fraktalnego. Przegląd tatystyczny. 47 z

12

13