ANALIZA POLA W STRUKTURZE NIEJEDNORODNEJ METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH

Transkrypt

1 Bartosz WALESKA AALZA POLA W STRKTRZE EJEDORODEJ METODĄ ELEMETÓW BRZEOWYC STRESZCZEE iiejszy artykł opisje metodę elemetów brzegowych w aalizie pola w strktrze iejedorodej. Zaprezetowao algorytm rozwiązywaia tego typ problemów. Jedocześie pokazae zostaą rówieŝ wyiki obliczeń dla wybraej strktry wraz z prezetacją graficzą rozwiązaia. Aaliza kąta projekcji oraz fkcji cel, pozwala a oceę jak daleko symlowaa strktra odbiega od strktry rzeczywistej. Słowa klczowe: metoda elemetów brzegowych, aaliza pola, tomografia impedacyja 1. WSTĘP Problematyka wykorzystaia metody elemetów brzegowych w aalizie pola zostaie przedstawioa a wybraym przykładzie. W pracy pokazao rozwiązaie dotyczące zagadieia iejedorodego. Rozpatrzoo szczególy przypadek obszarów sąsiadjących w dość specyficzym przypadk, kiedy jede z obszarów leŝy wewątrz drgiego. mgr iŝ., Bartosz WALESKA, bartosz.waleska@oet.pl stytt Elektrotechiki PRACE STYTT ELEKTROTECK, zeszyt 238, 28

2 122 B. Waleska Badaie pola podzielić moŝa zasadiczo a dwa zagadieia. Pierwsze obejmje aalizę pola i występje wtedy, gdy poszkjemy iformacji o rozkładzie pola w daym obszarze. W tym przypadk względia się takie iformację jak kształt obszar (obszarów), warki graicze, własości materiałowe, ewetale źródła pola. W tej pracy rozwaŝoy zostaie przykład obejmjący zagadieie aalizy. Drgie związae jest z zagadieiem zadaia odwrotego. Polegają oe a wyzaczei p kształt obiekt przy zaym współczyik materiałowym. JeŜeli jest to zagadieie bezźródłowe, wówczas opisae jest rówaiem Laplace a: 2 (1) JeŜeli występje źródło wewętrze, zagadieie jest opisae rówaiem Poissoa: 2 f (2) W ob przypadkach ozacza fkcję opisjącą zagadieie, f ozacza zaą fkcję. stieją rówieŝ ie rówaia pola, ale w tej pracy ie będą oe porszoe. Wśród warków brzegowych wyróŝić moŝemy warek pierwszego rodzaj (Dirichleta), który występje wówczas, gdy określoa jest wartość fkcji pola a brzeg obszar. JeŜeli podajemy wartość pochodej ormalej (wartość pochodej fkcji pola w kierk ormalym), wówczas określamy warek drgiego rodzaj (emaa). MoŜa wyróŝić jeszcze warek trzeciego rodzaj (akela lb Robia). Rówaie całkowo-brzegowe opisjące wartość pola z względieiem warków brzegowych określa się miaem rówaia MEB (metody elemetów brzegowych). ci i + ds ds+ fdω (3) s S Ω 2. PRZYKŁADOWE ZADAE Baday obiekt opisay jest graficzie przez dwa kwadraty o wymiarach odpowiedio 1 i 6 cm zawarte jede w drgim. Krawędzie kwadratów określają brzegi poszczególych obszarów. Brzeg zewętrzy ozaczymy poprzez S,

3 Aaliza pola w strktrze iejedorodej metodą elemetów brzegowych 123 brzeg wewętrzy ozaczymy poprzez S. a brzeg zewętrzym określimy warki Dirichleta i emaa. a brzeg dolym zaday jest warek Dirichleta o wartości V, a brzeg górym rówieŝ, o wartości 1 V. a lewym i prawym brzeg zaday jest warek emaa o wartości (pochoda ormala jest rówa ). Określimy rówieŝ współczyik materiałowy τ1/4, zapewiając iejedorodość. Pierwszym zadaiem będzie wyzaczeie wartości brzegowych a brzeg wewętrzym ( i ) oraz brakjących wartości brzegowych zewętrzych (czyli jak zamy wartość, a brzeg dolym i górym to wyzaczeie a tym brzeg, a a brzeg lewym i prawym obliczeie wartości ). Rys. 1. Przykładowe zadaie 2.1 Sformłowaie rówań całkowych Rówaia opisjące przedstawioe zadaie są astępjące: c i, i + ds+ ds ds+ s s S S ds (4)

4 124 B. Waleska c i, i + ds ds (5) s S aleŝy wspomieć o warkach ciągłości potecjał który a brzeg S ie moŝe zmieić się skokowo w odróŝiei od pochodej ormalej. Kierek pochodej ormalej obszar a brzeg - jest przeciwie skieroway do pochodej ormalej obszar a tym brzeg stąd w rówai 7 zak mis. Zapiszemy to w postaci: (6) τ (7) Pierwszym etapem rozwiązaia będzie przeprowadzeie podział brzeg a małe elemety (dyskretyzacja brzeg). a im więcej elemetów podzielimy brzeg tym lepiej (tym dokładiejsze otrzymamy wyiki), podczas obliczeń przyjęto, Ŝe w elemecie wartości i są iezmiee. To załoŝeie ie msi być prawdziwe, ale jeŝeli przyjmiemy, Ŝe elemet jest dostateczie mały, to popełiay błąd rówieŝ jest iewielki. Brzeg podzieloo odpowiedio a J i J elemetów. Dla łatwieia przyszłych rówań przyjęto, Ŝe liczba tych elemetów jest taka sama J J c i, i + ds+ ds ds j 1 j ds j s j s S 1 S j j j ci, i + ds ds (9) j 1 s j 1 S j j j (8) Wprowadzoo dodatkowe ozaczeia: Ĥ ij ds (1) S j ij ds (11) s j

5 Aaliza pola w strktrze iejedorodej metodą elemetów brzegowych 125 Jeśli mieści się pkt i w węźle elemet 1, moŝa dokoać pewego proszczeia. Lewą część rówaia moŝemy wówczas rozpisać jako: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + c ( c1 + 11) Wprowadzając owe ozaczeia: c ˆ , ˆ (12) ˆ (13) Ostateczie moŝa rówaia całkowe zapisać w postaci: + + (14) (15) Współczyik c przyjmje wartość: 1 wewatrz obszar c.5 a brzeg obszar poza obszarem (16) Te rówaia atomiast jŝ bardzo łatwo przestawić w zapisie macierzowym, w postaci Ax B, gdzie wektor x staowi iewiadome. τ (17) To jest oczywiście postać ogóla. aleŝy zwrócić wagę, Ŝe w omawiaym przypadk zaprezetoway powyŝej wektor x zawiera ie tylko iewiadome. Z treści zadaia wyika, Ŝe zadeklarowae są dwa warki brzegowe. W odpowiedi sposób aleŝy zmodyfikować zapis macierzowy Dyskretyzacja brzeg Odpowiedie przedstawieie zapis macierzowego poprzedzić aleŝy dyskretyzacją brzeg. Przyjmijmy, Ŝe w aszym przypadk wykorzystamy dyskretyzację 8 elemetową.

6 B. Waleska 126 Rys. 2. Dyskretyzacja brzeg Z treści zadaia wyika, Ŝe zamy,,,,,,, Pozostałe parametry aleŝy obliczyć. Zmieiamy zapis macierzowy by odzwierciedlał asz przypadek τ (18)

7 Aaliza pola w strktrze iejedorodej metodą elemetów brzegowych 127 Zwróćmy jeszcze wagę a rozmiary poszczególych wektorów i macierzy. Zapis Ax B ma rozmiary (24x24) (24x1) (24x1) ma rozmiar (16x1) 1 ma rozmiar (16x8) ma rozmiar (8x8) 2.3. Wyiki obliczeń Wektor rozwiązaia zyskje się w wyik obliczeia: x A 1 B (19) Pozwala to a zyskaie wartości: (2) Rozwiązaie w formie graficzej a rysk 3 przedstawioo zyskae rozwiązaie graficze. Wyraźie widoczy jest rozkład potecjał w obszarze oraz zaprezetoway jest obszar charakteryzjący się iym współczyikiem materiałowym.

8 128 B. Waleska Rys. 3. Rozwiązaie w formie graficzej 2.5. Kąty projekcji awiązaie do tomografii impedacyjej W zasadzie powyŝsze zadaie staowi etap wstępy do rozwiązywaia zagadień tomografii. Zgodie z defiicją tomografia jest to otrzymywaie obraz wętrza obiekt a podstawie pomiarów z zewątrz (a brzeg). Projekcja pola odbywa się po liii, istieją więc dwie elektrody zasilae (prądowe) oraz wiele elektrod pomiarowych (apięciowych). Zasymlowaie takiej projekcji wygląda tak jak przedstawioo a rysk 4.

9 Aaliza pola w strktrze iejedorodej metodą elemetów brzegowych 129 Rys. 4. Kąt projekcji wraz z iformacją o wartościach brzegowych Obiekt baday ma wymiary geometrycze jak w pkcie 2. Współczyik materiałowy wyosi τ1/4, Dyskretyzacja 24 elemetowa a kaŝdy brzeg. Elektroda 13 jest zasilaa (wartość 131), oraz elektroda 1 (wartość 1) pozostałe elektrody są pomiarowymi. a podstawie tych daych rozwiązje się zadaie i wyzacza brakjące wartości. lość kątów projekcji wymagaych dla takiego zadaia wyosi ½ ilości elektrod, czyli w aszym przypadk 12 kątów projekcji. Pozostałe kąty projekcji zostały zaprezetowae a ryskach poiŝej. Rozkład pola w formie graficzej został zaprezetoway a rysk 5. Został o przedstawioy dla pierwszego kąta projekcji.

10 13 B. Waleska Rys. 5. Rozkład pola dla 1 kąta projekcji

11 Aaliza pola w strktrze iejedorodej metodą elemetów brzegowych 131 Rys. 6. Rozkład pola poszczególych kątów projekcji

12 132 B. Waleska Rodzia wykresów w zaleŝości od kąta projekcji została przedstawioa a rysk 6. Wektor pomiarowy tworzą dae z apięć a brzeg zewętrzym z wszystkich dwast kątów projekcji. Jedyie taki wektor dostępy jest jako dae wejściowe (ie wiadomo w jaki sposób powstał, jest o wyikiem pomiarów rzeczywistego obiekt). Celem jest zyskaie iformacji jak wygląda wętrze obiekt. Tak postawioe zadaie jest przypadkiem zadaia odwrotego chcemy pozać kształt brzeg wewętrzego oraz stalić iformację o współczyik materiałowym. Wiadomo jakimi wartościami zasilać elektrody prądowe. Bdjemy zadaie w sposób idetyczy: zakłada się pewie kształt (wymiary) brzeg wewętrzego oraz współczyik materiałowy. Zasila w odpowiedi sposób elektrody pomiarowe i symlje 12 kątów projekcji. Wektor symlacyjy bdje się zbierając wyiki apięć ze wszystkich elektrod. Porówjemy wektor symlacyjy z pomiarowym, sprawdzając jak odległe są załoŝeia od cel. Zmieia się parametry wejściowe (kształt, współczyik materiałowy) i powtarza symlację. Po dokoai poowej ocey wykorzystjąc fkcję cel. f cel T ( ) ( ) (21) pom sym pom sym aleŝy wykoać optymalizację zyskaia fkcji cel, co pozwoli a odtworzeie w symlacji obiekt i zyskaie zbliŝoych (takich samych) wartości jak wartości wejściowe (pomiarowe). Rozwiązaie takie pozwala a zyskaie iformacji o wartościach brzeg wewątrz obiekt oraz iformacji o współczyik materiałowym. LTERATRA 1. Dyer C.: assia adratre, http: //pathfider.scar.toroto.ca/ dyer/csca57/bookp /ode44.html, kwiecień Jabłoński P.: Metoda elemetów brzegowych w aalizie pola elektromagetyczego, Wydawictwo Politechiki Częstochowskiej, Częstochowa, Sikora J.: Bodary Elemet Method for mpedace ad Optical Tomography, Zalewski A., Cegieła R.: Matlab - obliczeia merycze i ich zastosowaie, Wydawictwo akom, Pozań, 23. Rękopis dostarczoo dia r. Opiiował: prof. dr hab. iŝ. Stefa F. FLPOWCZ

13 Aaliza pola w strktrze iejedorodej metodą elemetów brzegowych 133 FELD AALYSS SELECTED EOMETRC STRCTRES S BODARY ELEMET METOD Bartosz WALESKA ABSTRACT Preset docmet shows Bodary Elemet Method aalysis i selected geometric strctres. t cocer ohomogeeos example iclde soltio algorithm. Also iclded is meric calclatios (reslts) for oe strctre with graphic soltio. t brigs short defiitio of agel projectio ad poit fctio. Poit fctio defie how close is meric calclatio (soltio) to real strctre.