Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Transkrypt

1 Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l

2 Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator obliczoy a odstawie róby.. dla wartości oczekiwaej jest to średia arytmetycza. Liczba możliwych estymatorów kokretego arametr rozkład może być dża ale, bierze się od wagę tylko te, które osiadają określoe właściwości cechy. Estymator ma być zgody, ieobciążoy i ajefektywiejszy. Ze względ a formę wyik estymacji wyróżimy Estymacja ktowa gdy szacjemy liczbową wartość określoego arametr rozkład cechy w całej olacji Estymacja rzedziałowa gdy wyzaczamy graice rzedział liczbowego, w których, z określoym rawdoodobieństwem, mieści się rawdziwa wartość szacowaego arametr.

3 Estymator NMW Def. Niech θbędzie liczbąrzeczywistąozaczająca iezay arametr olacji. Nieobciążoym estymatorem ˆ θ arametr θ, azywamy estymatorem,,... ieobciążoym o miimalej wariacji estymatorem NMW, jeśli wśród wszystkich ieobciążoych estymatorów szacowaego arametr, ie istieje estymator, którego wariacja byłaby miejsza dla jakiejś wartości θ. Czyli dla wszystkich możliwych wartości θi wszystkich ieobciążoych estymatorów ~ ~ θ T,,... ~ Var ˆ θ Var θ

4 Błąd średiokwadratowy estymatora Błędem średiokwadratowym estymatora θˆ, azywamy wartość średią kwadrat odległości µ θˆ θ Dla każdego estymatora θˆ jego błąd średiokwadratowy jest smą jego wariacji i kwadrat obciążeia µ ˆ σ + µ ˆ ~ θ θ θ θ θ Błędem stadardowym estymatora θˆ arametr θazywamy dowoly estymator jego odchyleia stadardowego SE ~ S

5 Przykłady estymatorów ktowych Estymatorem zgodym, ieobciążoym i ajefektywiejszym dla wartości oczekiwaej w olacji jest średia arytmetycza i i Mediaa wyzaczoa z róby jest ieobciążoym ale miej efektywym od średiej arytmetyczej estymatorem wartości oczekiwaej

6 Przykłady estymatorów ktowych Niech m ozacza liczbęwyróżioych elemetów w róbie elemetowej. liczbęwyrobów wadliwych, wtedy statystyka będąca częstością w róbie P m jest estymatorem zgodym, ieobciążoym i ajefektywiejszym frakcji P w olacji

7 Przykłady estymatorów ktowych S i i S jest estymatorem zgodym ale obciążoym wariacji w całej olacji. Wskazówka: tego wzor żywamy obliczając wariacjęz całej olacji, atomiast do estymacji a odstawie róbki ależy wyik z róby omożyć rzez wsółczyik /-

8 Obciążoość i ieobciążoość estymatora Odchyleie stadardowe dae wzorem s i i jest estymatorem obciążoym odchyleia stadardowego w całej olacji, a ieobciążoym jest odchyleie obliczoe z wzor s i i

9 Estymator obciążoy wariacji ] [ E E s E i i + + k j k j i i k k j j i i i i E E E E E ] [ s i i i i Estymator wariacji Stąd obliczymy Obliczmy: Zatem: ] [ D E E E s E

10 Estymator asymtotyczie ieobciążoy D D D s b s s ] [ D D s E s E Def: Estymator T jest asymtotyczie ieobciążoy, jeśli 0 lim T b Stąd dla rzyjmje się s jako estymator wariacji

11 Przedziały fości dla klasyczych arametrów statystyczych Estymacja rzedziałowa olega a wyzaczei graic rzedział liczbowego, w którym, z określoym rawdoodobieństwem, rówym -, zawiera się wartość szacowaego arametr

12 Estymacja rzedziałowa P Θ d,..., < Θ < Θ g,..., - Losowy rzedział Θd,Θg azywa się rzedziałem fości arametr Θ Graice rzedział fości są fkcjami zmieych losowych,..., - azywamy oziomem fości lb wsółczyikiem fości Zwykle rzyjmje się - 0,99 lb 0,95 lb 0,90 w zależości od rozatrywaego zagadieia

13 Metodologia kostrowaia rzedziałów fości Pktem wyjścia rzy wyzaczai rzedziałów fości jest zalezieie takiej fkcji ktowego estymatora wielkości as iteresjącej oraz arametrów rozkład olacji, której rozkład ie zależy od żadych iezaych wielkości. Jest to rozkład odiesieia dla daego roblem Szkaąfkcjąjest U Rozkładem odiesieia jest N0, σ µ Zabieg osłgiwaia sięzmieąlosowąo zaym rozkładzie odiesieia jest wsóly dla wszystkich zadańbdowy rzedziałów fości i dla roblem testowaia hiotez

14 Przedział fości dla wartości oczekiwaej gdy zae jest odchyleie stadardowe σ P σ µ < < + σ Poziom fości Φ -/ - / - σ, + µ σ / / - / 0 -/

15 Praktycza realizacja rzedziałów fości dla µ, dla rostych rób losowych o liczościach5, z rozkład N 0, dla oziom fości - 0.9

16 Wyzaczaie miimalej liczości róby σ µ P Błąd średiej róbkowej ie rzekracza, a oziomie -, wartości σ Dłgość rzedział fości jest tym miejsza im licziejsza jest róbka, Jeśli chcemy by błąd średiej ie rzekraczał zadaej z góry wartości d d σ Liczebość róbki msi sełiać rówaie d σ

17 Przedział fości dla wartości oczekiwaej, gdy odchyleie stadardowe jest iezae Szkaąfkcjąjest t m s Rozkładem odiesieia jest rozkład Stdeta z - stoiami swobody, ie zależy od arametr σ ale od arametr S, S jest odchyleiem stadardowym obliczoym z róby.

18 Przedział fości dla wartości oczekiwaej, gdy odchyleie stadardowe jest iezae P Przedziałfości dla wartości oczekiwaej ma wtedy ostać S t, < µ < + t, S gdzie wartośćt,-, jest kwatylemrzęd, z - stoiami swobody Dłgośćrzedział wyosi t,- S/ -

19 Zadaie Dokoao 0 omiarów ciśieia wody a ostatim iętrze blok 5 iętrowego i okazało się, że średie ciśieie wyosiło, odczas gdy wariacja wyiosła 4,4. Zaleźćliczbowe wartości krańców rzedziałów fości dla wartości oczekiwaej rzyjmjąc oziom fości - 0,95-0,90-0,98

20 Kwatyle t -, rzęd -,rozkład Stdeta o stoiach swobody

21 Przedział fości dla wartości oczekiwaej, gdy iezay jest rozkład w olacji W raktyce często ie zay jest rozkład cechy w olacji i brak jest odstaw do rzyjęcia, że jest o ormaly. Wiadomo, że średia arytmetycza wyzaczoa z róby o dowolym rozkładzie jest zmieąlosowąo rozkładzie Nm, σ/, dlatego Niezae σmoża rzybliżyćobliczoym z dżej róby odchyleiem stadardowym S σ µ σ + < < P µ + < < s s P

22 Przedziałfości dla wariacji w olacji ormalej Przedziałjest zbdoway w oarci o statystykę χ s / σ,która ma rozkład χ o - stoiach swobody. W rozkładzie χ określa siędwie wartości, sełiające odowiedio rówości P χ χ, P χ χ,

23

24 Przedziałfości dla wariacji w olacji ormalej Z odaych wzorów wyika, że ; Po rzekształcei których otrzymjemy rzedział fości dla wariacji χ χ χ < <,, P χ σ χ < <,, S P χ σ χ < <,, S S P

25 Zadaie Odchyleie stadardowe σbłęd rzyrząd omiarowego jest iezae. Zakładamy, że rozkład błędów omiarów jest rozkładem ormalym. Przerowadzoo 0 omiarów i otrzymao astęjące wyiki {7; 7,5; 8,5; 8; 6; 7,5; 6,5; 5;5 7,5; 6 } Wyzaczyćliczbowe wartości krańców rzedziałów fości dla Wartości oczekiwaej Dla odchyleia stadardowego Na oziomie fości - 0,95

26 Przedziały fości dla roorcji Oierając sięa częstości skostrjemy rzedziały fości dla roorcji. Jeśli róba losowa iezależych zmieych o rozkładzie ktowym P-P0 jest dostateczie licza, by móc skorzystaćz rzybliżeia rozkładem N0,, statystyki * Wówczas ˆ ˆ ˆ ˆ P ˆ ˆ ˆ

27 Zastosowaie Agecja badająca w 000 rok oiie Polaków a odstawie 000 elemetowej róby stwierdziła, że 57% oiera wejście Polski do Uii. Uzając, ze mamy do czyieia z rozkładem dwktowym skostrjemy rzedziałfości a oziomie 0,95 dla roorcji Polaków oierających wejście Polski do UE Próba o 000 jest dostateczie licza by skorzystać ze rozkład statystyki * Przedział95% fości to [0,54,0,60], atomiast wielkość 0,57-0,57/000 0,0056 moża zaćza błąd stadardowy otrzymaej częstości, w jęci rocetowym wyosi o około,6%

28 Przedział fości dla roorcji + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P Waże jest aby amiętać jakie są miimale wymagaia a liczość róby i roorcję, by móc rozkład odaej w * statystyki rzybliżać rozkładem N0,

29 Zadaie Odchyleie stadardowe σbłęd rzyrząd omiarowego jest iezae. Zakładamy, że rozkład błędów omiarów jest rozkładem ormalym. Przerowadzoo 0 omiarów i otrzymao astęjące wyiki {7; 7,5; 8,5; 8; 6; 7,5; 6,5; 5,5;7,5; 6 } Na oziomie fości - 0,95 wyzaczyćliczbowe wartości krańców rzedziałów fości dla wartości oczekiwaej odchyleia stadardowego