ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D"

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE r 46 ISSN X ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ MEODY PURC DLA ZAGADNIEŃ EORII SPRĘŻYSOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH D Egeisz Zieik a Krzysztof Szerszeń b Zakład Metod Nmeryczych Wydział Matematyki i Iformatyki Uiwersytet w Białymstok a b Streszczeie Celem iiesze pracy est zbadaie wpływ liczby oraz sposob rozmieszeia pktów kolokaci a dokładość i stabilość rozwiązań zyskiwaych za pomocą parametryczych kładów rówań całkowych (PURC). Aalizę przeprowadzao dla brzegowych zagadień D modelowaych rówaiami Naviera-Lamégo z obszarami wielościeymi. Nmerycze rozwiązywaie PURC sprowadza się do rozwiązywaia kładów rówań algebraiczych które są zapisywae w pktach kolokaci. Liczba tych pktów oraz ich rozmieszczeie ma istoty wpływ a dokładość i stabilość rozwiązań. ANALYSIS OF HE INFLUENCE OF ARRANGEMEN AND NUMBER OF COLLOCAION POINS ON HE ACCURACY OF HE PIES MEHOD FOR LINEAR ELASICIY PROBLEMS IN D POLYHEDRAL DOMAINS Smmary he prpose of this paper is to stdy the iflece of mber ad arragemet of collocatio poits o the accracy ad stability obtaied by parametric itegral eqatio method (PIES). his aalysis has bee performed for D bodary vale problems modeled by Navier-Lamé eqatios i polyhedral domais. Nmerical soltio of the PIES comes dow to solvig algebraic eqatios writte at collocatio poits. he mber of these poits ad their arragemet have a sigificat impact o the accracy ad stability of the soltios.. WSĘP Poprawa dokładości rozwiązań meryczych w klasyczych metodach elemetowych (MES MEB) realizowaa est poprzez zwiększeie liczby wprowadzoych elemetów lb też zastosowaie elemetów wyższego rzęd. W obydw przypadkach prowadzi to do koieczości deklarowaia dże liczby węzłów a podstawie których bdowaa est siatka elemetowa przyętego schemat dyskretyzaci brzeg lb obszar. akie podeście wydae się szczególie ieefektywe w odiesiei do zagadień przestrzeych w których ieedokrotie dża liczba elemetów może być zbęda z pkt widzeia dokładości odwzorowaia modelowaego obszar []. 7

2 ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA Rozpatrywae w pracy alteratywe podeście dotyczące meryczego rozwiązywaia zagadień brzegowych realizowae est a podstawie parametryczych kładów rówań całkowych (PURC). Metoda PURC charakteryze się rozdzieleiem aproksymaci brzeg od aproksymaci fkci brzegowych [5]. W wyik tego możliwym okazało się wyelimiowaie w PURC koieczości dyskretyzaci brzeg i obszar w procesie meryczego rozwiązywaia zagadieia brzegowego. Kształt brzeg został w tym przypadk względioy w sposób aalityczy bezpośredio w fkcach podcałkowych PURC i matematyczie zdefiioway za pomocą dowolych fkci parametryczych. Z kolei rozwiązaia a brzeg zostały zdefiiowae z wykorzystaiem szeregów aproksymących. akie zdefiiowaie rozwiązań a brzeg i samego kształt obszar powode że poprawa dokładości rozwiązań est procesem iezależym od poprawy dokładości modelowaia obszar. Poprawa dokładości rozwiązań meryczych w PURC sprowadza się do zwiększeia liczby wyrazów w szeregach aproksymących. Liczba wyrazów w szeregach z kolei est związaa z liczbą deklarowaych w dziedziach poszczególych płatów powierzchi tzw. pktów kolokaci. Obecość pktów kolokaci wyika z zastosowae metody psedospektrale (kolokaci) do meryczego rozwiązaia PURC. Nmerycze rozwiązywaie PURC sprowadza się do rozwiązywaia kładów rówań algebraiczych które są zapisywae w pktach kolokaci. Poadto z przeprowadzoych badań okaze się że a dokładość rozwiązań ma też wpływ sposób ich rozmieszczeia w dziedziie płatów powierzchi. Dlatego też w pracy przebadao trzy wariaty ich rozmieszczeia w cel wyciągięcia wiosków dla akiego wariat rozmieszczeia i dla akie ich liczby otrzymywae rozwiązaia charakteryzą się awiększą dokładością. Dotychczasowe badaia aalizące wpływ liczby i rozmieszczeia pktów kolokaci w metodzie psedospektrale zastosowae do meryczego rozwiązywaia PURC realizowae były główie w zagadieiach płaskich [56]. Celem iiesze pracy est przeprowadzeie szczegółowe aalizy ich rozmieszczeia dla zagadień D matematyczie modelowaych rówaiami Naviera-Lamégo. Prezetowae testy przeprowadzoo dla zagadień brzegowych z obszarami wielościeymi.. APROKSYMACJA ROZWIĄZAŃ NA BRZEGU W PURC Cechą charakterystyczą MEB est podział brzeg a elemety i rówoczese aproksymowaie kształt brzeg i fkci brzegowych a tych elemetach []. Przy założei izoparametryczości elemetów brzegowych modelowaie fkci brzegowych w MEB a tych elemetach odbywa się w idetyczy sposób ak same geometrii brzeg i sprowadza się do zalezieia wartości tych fkci wyłączie w węzłach poszczególych elemetów brzegowych. Mówi się w tym przypadk o dyskretyzaci brzeg i fkci brzegowych tożsamiaych z zadawaymi warkami brzegowymi i poszkiwaymi rozwiązaiami a brzeg. Wartości fkci brzegowych w pozostałych pktach a brzeg moża wyzaczyć za pośredictwem z góry zdefiiowaych fkci kształt a poszczególych elemetach brzegowych. Przyęcie właśie takie formy aproksymowaia fkci v w 0.5 l w ) Ul w v p = v w 8 brzegowych powode że w cel zyskaia poprawy dokładości rozwiązań a brzeg ależy zagęścić liczbę węzłów co est ściśle związae z fizyczą deklaracą tych węzłów. Nieedokrotie liczba wprowadzoych w takim przypadk elemetów est admiarowa w stosk do wymagae w cel dokładego i edozaczego zamodelowaia brzeg. Istotą korzyścią płyącą z zastosowaia PURC est wspomiae ż rozdzieleie sposob deklaraci kształt brzeg od sposob aproksymaci fkci brzegowych w cel zyskaia rozwiązaia a brzeg. Dae to możliwość iezależe poprawy dokładości modelowaia kształt brzeg bez igereci w aproksymacę rozwiązań a brzeg i odwrotie. Formła PURC w przypadk problemów brzegowych D opisaych rówaiami Naviera-Lamégo przedstawiaa est w astępące postaci [7] { P ( v w v } J dvdw = l () przy czym ν l < ν < ν l w l < w < wl ν < ν < ν w < w < w l =... oraz J est akobiaem atomiast p są to parametrycze fkce brzegowe a poszczególych płatach powierzchi modelących brzeg. Jeda z tych fkci będzie zadaa w postaci warków brzegowych atomiast drga będzie poszkiwaa w wyik rozwiązaia (). Jawa postać fkci podcałkowych U l w v P l w v est przedstawioa w pracy [7]. Ogólie fkce te są zależe od rozwiązywaego rówaia różiczkowego

3 Egeisz Zieik Krzysztof Szerszeń dla rówaia Laplace'a są oe przedstawioe w pracy [8] atomiast dla rówaia Helmholtza w [9]. Fkce te w swoim formalizmie matematyczym względiaą kształt brzeg zdefiioway za pomocą dwwymiarowych fkci parametryczych. W odiesiei do aalizowaych w iiesze pracy zagadień D modelowaie brzeg opiera się a rys.. wykorzystai prostokątych płatów powierzchi Coosa. Za pomocą odpowiediego połączeia tych płatów moża bardzo łatwo zdefiiować kształt obszar bezpośredio w PURC. Przykład wykreowaego sześcioma płatami Coosa brzeg sześcia bezpośredio w PURC przedstawioo a Rys.. Modelowaie kształt brzeg płatami powierzchi Coosa schematycze rozmieszczaie pktów kolokaci w lokalych płaszczyzach odwzorowaia v w dla składowych płatów powierzchi Coosa realizaca aproksymaci fkci brzegowych wielomiaami Czebyszewa Bezpośredie względieie w formle PURC aproksymowae za pomocą szeregów z fkcami kształt brzeg wprowadza dżą swobodę w bazowymi Czebyszewa pierwszego rodza określei aproksymaci fkci brzegowych ( r ) ( v) (. Szeregi aproksymące dla ob oraz p w formle (). W trakcie fkci są przedstawioe w podoby sposób merycze realizaci PURC fkce brzegowe a każdym z modelących brzeg płatów powierzchi są N M ( r) = ( v) ( () p= 0 r= 0 gdzie N M ( r) p = p ( v) ( () p= 0 r= 0 p - są zadaymi lb poszkiwaymi współczyikami N M - są liczbami wyrazów szereg zdefiiowaego w dziedziie płata (obszarze). Po podstawiei tych szeregów () do formły PURC () dla rówaia Naviera-Lamégo otrzymamy astępące wyrażeie N M v w v w ( pr ) 0.5l ( ν w ) = p U l ( ν w ν P = p= 0 r= 0 v w v w ( v) ( r) Do meryczego rozwiązywaia (4) zastosowao metodę psedospektralą []. Zapisąc formłę (4) w pktach kolokaci otrzyme się kład rówań liiowych względem iewiadomych współczyików ( pr ) ( pr ) p z (). Poszkiwae są w tym ( J 9 dvdw. l ( ν w ν przypadk ie wartości rozwiązań w węzłach ak w MEB lecz wyłączie wartości współczyików ( pr ) ( pr ) p w szeregach które ie maą fizycze iterpretaci. (4)

4 ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA Pkty kolokaci w PURC ak przestawioo to a rys. ie są deklarowae bezpośredio a brzeg ale w lokale prostokąte dziedziie v w oddzielie dla każdego z płatów modelących brzeg. Jak zaprezetowao a rys. dla każdego ze składowych płatów powierzchi obok rozmieszczeia pktów kolokaci astępe także aproksymaca fkci brzegowych za pomocą fkci bazowych będących wielomiaami Czebyszewa.. ANALIZA SABILNOŚCI ROZWIĄZAŃ NUMERYCZNYCH Przedstawioy w poprzedim pkcie algorytm meryczego rozwiązywaia PURC poddao aalizie dotyczące dokładości zyskiwaych rozwiązań. Z wagi a fakt że fkce brzegowe zostały przybliżae w postaci szeregów () i () iewątpliwie czyikiem wpływaącym a dokładość rozwiązań w PURC będzie liczba iewiadomych współczyików w szeregach zapisywaa ako = ( N + )( M + ). Liczba ta est zgoda z liczbą pktów kolokaci. Zapisaie PURC w każdym z pktów kolokaci ostateczie sprowadza PURC do kład rówań algebraiczych. W wyik rozwiązaia tego kład otrzymywae są iewiadome współczyiki w edym z szeregów aproksymących. W pracy aalizowao wpływ liczby pktów kolokaci oraz róże wariaty ich rozmieszczeia w dziedziie płata powierzchi. Rozpatrywao rozmieszczeie rówomiere rozmieszczeie ze skraymi pktami miescowioymi bliże krańców obszar (dziedziy płata) oraz w trzecim wariacie w miescach odpowiadaących pierwiastkom wielomiaów Czebyszewa. a) b) c) rzy rozpatrywae wariaty rozmieszczeia pktów kolokaci wygeerowae odpowiedio dla = 9 oraz = 6 pktów kolokaci w dziedziie v w dla prostokątych płatów powierzchi Coosa modelących brzeg przedstawioo a rys.. Zaletą PURC est to że omawiae sterowaie liczbą oraz rozmieszczeiem pktów kolokaci odbywa się bez akiekolwiek igereci w zamodeloway parametryczymi płatami powierzchi kształt brzeg rozpatrywaego obszar. Odrębym problemem było także opracowaie efektywego i dokładego sposob obliczaia poawiaących się w matematycze formle PURC całek powierzchiowych. Całki te dla zagadień D zostały zdefiiowae w dziedziach odpowiadaących parametryczym płatom powierzchi modelącym brzeg. Występą tam całki reglare i osobliwe abardzie iwersalym sposobem ich obliczaia są kwadratry merycze. Problematykę dotyczącą wpływ liczby współczyików wagowych w kwadratrze meryczego całkowaia a dokładość rozwiązań zyskiwaych za pomocą PURC przedstawioo ż wcześie w [0]. Aalizę dokładości rozwiązań w zależości od wariat rozmieszczeia pktów kolokaci i ich liczby przeprowadzoo dla dwóch przedstawioych a rys. ab obszarów wielościeych z brzegiem zamodelowaym odpowiedio 4 oraz płatami Coosa zdefiiowaymi w obszarach prostokątych. a) b) wariat wariat wariat Rys.. Wariaty rozmieszczeia odpowiedio 9 oraz 6 pktów kolokaci: a) rówomiere b) z pktami skraymi bliże krawędzi c) w miescach pierwiastków wielomiaów Czebyszewa Rys.. Rozpatrywae obszary zamodelowae odpowiedio: a) 4 oraz b) płatami Coosa Zamodelowae w te sposób obszary traktowao ako obszary w zagadieiach brzegowych matematyczie modelowaych rówaiami Naviera- 0

5 Egeisz Zieik Krzysztof Szerszeń Lamégo. Warki brzegowe zostały zadae a podstawie zaych rozwiązań aalityczych w przestrzei R dla rówań Naviera-Lamégo. Rozpatrywao w ob przypadkach przemieszczeiowe warki brzegowe wyzaczoe dla dwóch zaych aalityczych rozwiązań tych rówań (przemieszczeń) [4] =.5(x + x + ) 0 x = 0.5( x + x x) = 0.5( x + x x) (5) + + oraz = x x x = x xx = x xx. (6) Po względiei współrzędych odpowiadaących krawędziom rozpatrywaych obszarów (rys. ) do (5) i (6) otrzymywae są warki brzegowe a krawędziach brzeg. Na podstawie (5) i (6) moża też w podoby sposób wyzaczyć warki brzegowe Nemaa (siły powierzchiowe). Maąc tak otrzymae warki a brzeg rozpatrywaych obszarów za pomocą PURC moża otrzymać rozwiązaia w obszarze. Rozwiązaia w obszarze moża porówać ze zaymi rozwiązaiami aalityczymi reprezetowaymi przez gradiety wyzaczoe odpowiedio dla fkci (5) oraz (6). O dokładości rozwiązań meryczych decyde liczba pktów kolokaci oraz wariat ich rozmieszczeia (rys.). Dla rozpatrywaych obszarów i rozwiązań przeprowadzoo testy merycze których wyiki zestawioo w tabelach. W tabelach i zestawioo błędy rozwiązań w PURC dla ={ } pktów kolokaci dla każdego z modelących brzeg płatów Coosa rozmieszczoych w ich dziedziach oraz wszystkich trzech wariatów ich rozmieszczeia. Liczba przyętych pktów kolokaci przekłada się bezpośredio a liczbę rozwiązywaych rówań algebraiczych zestawioych w kolmie drgie tych tabel. Porówywao miary błędów a podstawie ormy L otrzymae dla rozpatrywaych trzech wariatów ich rozmieszczeia oraz róże liczby pktów kolokaci. Obliczeia zrealizowao przy przyęci 04 współczyików wagowych w kwadratrach Gassa- Legedre'a dla całek osobliwych oraz reglarych a każdym ze składowych płatów powierzchi brzeg. ab.. Miara błęd rozwiązań w PURC a podstawie ormy L w zależości od liczby oraz rozmieszczeia pktów kolokaci dla kształt obszar z Rys. a Liczba rówań Składowe rozwiązań Sposoby rozmieszczeia pktów kolokaci Fkca (5) Fkca (6) Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat e e e e e e e-8.784e e e e-6.96e e e e

6 ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA ab.. Miara błęd rozwiązań w PURC a podstawie ormy L w zależości od liczby oraz rozmieszczeia pktów kolokaci dla geometrii kształt obszar z rys. b Liczba rówań Składowe rozwiązań Sposoby rozmieszczeia pktów kolokaci Fkca (5) Fkca (6) Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat 7.976e e e e e e e e e WNIOSKI Dokładość zyskiwaych rozwiązywaych za pomocą metody PURC zależy od dokładości zamodelowaia obszar oraz od zastosowaego algorytm do ego meryczego rozwiązywaia. Rozpatrywao obszary takie które moża było potraktować że zostały oe zamodelowae w sposób bardzo dokłady. Przy takim założei a błąd otrzymaych rozwiązań ma wpływ tylko zastosoway algorytm do meryczego rozwiązywaia PURC. estowao metodę kolokaci poieważ est to metoda dość efektywa w rozwiązywai klasyczych rówań całkowych. Niemie edak było wiadomo [6] że o stabilości rozwiązań decyde sposób rozmieszczeia pktów kolokaci oraz ich liczba. Dlatego też w pracy przebadao trzy wariaty ich rozmieszczeia dotyczące róże ich liczby a poszczególych dziedziach płatów. Ogólie moża stwierdzić że we wszystkich przypadkach poza iektórymi wyątkami zyskao bardzo małe błędy wyliczae a podstawie ormy L. Na podstawie przeprowadzoych badań zamieszczoych w tabelach trdo est wyciągąć edozacze wioski. Zaważaly est wzrost błędów dla większe liczby pktów kolokaci w trzecim wariacie ich rozmieszczeia. Dlatego też w celbardzie edozaczego wyciągięcia wiosków ależałoby przeprowadzić więce testów a iych przykładach. Niemie edak w cel pewieia się o wiarygodości zyskaych wyików dotyczących zagadień iemaących rozwiązań aalityczych sesowe est poowe rozwiązaie zagadieia dla iego wariat rozmieszczeia pktów kolokaci. W przypadk brak stabilości merycze rozwiązań moża też sterować liczbą pktów kolokaci ale ma to bezpośredi wpływ a liczbę rozwiązywaych rówań algebraiczych. Istoty est fakt że sterowaie liczbą oraz rozmieszczeiem pktów kolokaci odbywa się bez akiekolwiek igereci w zamodeloway parametryczymi płatami powierzchi brzeg rozpatrywaego obszar. Praca fiasowaa ze środków a akę w latach 00-0 ako proekt badawczy.

7 Egeisz Zieik Krzysztof Szerszeń Literatra. Becker A.A.: he bodary elemet method i egieerig: a complete corse. Cambridge: McGraw-Hill Book Comp Gottlieb D. Orszag S.A.: Nmerical aalysis of spectral methods: theory ad pplicatios. SIAM Philadelphia Mkheree Y.X. Mkheree S. Shi X. Nagaraa A.: he bodary cotor method for three-dimesioal liear elasticity with a ew qadratic bodary elemet. Egieerig Aalysis with Bodary Elemets p Zhag J. Yao Z.: he reglar hybrid bodary ode method for three-dimesioal liear elasticity. Egieerig Aalysis with Bodary Elemets p Zieik E.: A ew itegral idetity for potetial polygoal domai problems described by parametric liear fctios. Egieerig Aalysis with Bodary Elemets 00 Vol. 6/0 p Zieik E. Szerszeń K. Bołtć A.: Nmerycze rozwiązywaie metodą kolokaci Czebyszewa parametryczego kład rówań całkowych (PURC) zastosowaego dla rówaia Laplace a z warkami brzegowymi Dirichleta a wielokątych obszarach. Archiwm Iformatyki eoretycze i Stosowae 004 t. 6 z. s Zieik E. Szerszeń K. Bołtć A.: PURC w rozwiązywai trówymiarowych zagadień brzegowych modelowaych rówaiami Naviera-Lamégo w obszarach wielokątych. Modelowaie Iżyierskie 0 r 4 s Zieik E. Szerszeń K.: Liiowe płaty powierzchiowe Coosa w modelowai wielokątych obszarów w trówymiarowych zagadieiach brzegowych defiiowaych rówaiem Laplace a. Archiwm Iformatyki eoretycze i Stosowae 005 7() s Zieik E. Szerszeń K.: riaglar Bézier patches i modellig smooth bodary srface i exterior Helmholtz problems solved by PIES. Archives of Acostics p Zieik E. Szerszeń K.: Nmerycze obliczaie całek powierzchiowych dla zagadień przestrzeych w PURC. Modelowaie Iżyierskie 00 r 9 s Proszę cytować te artykł ako: Zieik E. Szerszeń K.: Aaliza wpływ rozmieszczeia i liczby pktów kolokaci a dokładość metody PURC dla zagadień teorii sprężystości w obszarach wielościeych D. Modelowaie Iżyierskie 0 r 46 t. 5 s. 7.

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA prof. r hab. iż. Ryszar Kosala r.kosala@po.opole.pl mgr iż. Barbara Baruś b.barus@po.opole.pl Politechika Opolska Wyział

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 255-26, Gliwice 26 ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA RYSZARD KORYCKI DARIUSZ WITCZAK Katedra Mechaiki

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ

METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ Józef PASKA, Mariusz KŁOS, Karol PAWLAK Politechika Warszawska METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ Magazyowaie eergii w ostatich latach cieszy się coraz większym zaiteresowaiem,

Bardziej szczegółowo

d d dt dt d c k B t (2) prądy w oczkach obwodu elektrycznego pole temperatury (4) c oraz dynamikę układu

d d dt dt d c k B t (2) prądy w oczkach obwodu elektrycznego pole temperatury (4) c oraz dynamikę układu Wojciech SZELĄG, Marci ANTCZAK, Mariusz BARAŃSKI, Piotr SZELĄG, Piotr SUJKA Politechika Pozańska, Istytut Elektrotechiki i Elektroiki Przemysłowej Numerycza metoda aalizy zjawisk sprzężoych w siliku o

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1

WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1 Agieszka Staimir Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1 Wprowadzeie W badaiach społeczo-ekoomiczych bardzo często występują zmiee

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10/11. Holografia syntetyczna - płytki strefowe.

Ćwiczenie 10/11. Holografia syntetyczna - płytki strefowe. Ćwiczeie 10/11 Holografia sytetycza - płytki strefowe. Wprowadzeie teoretycze W klasyczej holografii optyczej, gdzie hologram powstaje w wyiku rejestracji pola iterferecyjego, rekostruuje się jedyie takie

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki 52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Wpływ religijności na ukształtowanie postawy wobec eutanazji The impact of religiosity on the formation of attitudes toward euthanasia

Wpływ religijności na ukształtowanie postawy wobec eutanazji The impact of religiosity on the formation of attitudes toward euthanasia Ewelia Majka, Katarzya Kociuba-Adamczuk, Mariola Bałos Wpływ religijości a ukształtowaie postawy wobec eutaazji The impact of religiosity o the formatio of attitudes toward euthaasia Ewelia Majka 1, Katarzya

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin, Wykład XI Elemety optycze II pryzmat kąt ajmiejszego odchyleia powierzchia serycza tworzeie obrazów rówaie soczewka rodzaje rówaia szliierzy i Gaussa kostrukcja obrazów moc optycza korekcja wad wzroku

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

OCENA WARIANTÓW DECYZYJNYCH O ROZKŁADACH CIĄGŁYCH NA GRUNCIE TEORII PERSPEKTYWY

OCENA WARIANTÓW DECYZYJNYCH O ROZKŁADACH CIĄGŁYCH NA GRUNCIE TEORII PERSPEKTYWY Reata Dudzińska-Baryła Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Iformatyki i Komuikacji Katedra Badań Operacyjych reata.dudziska-baryla@ue.katowice.pl OCENA WARIANTÓW DECYZYJNYCH O ROZKŁADACH CIĄGŁYCH

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm Regulami Kokursu I. POSTANOWIENIA OGÓLNE. 1. Regulami określa zasady KONKURSU p. Wygrywaj agrody z KAN-therm (dalej: Kokurs). 2. Orgaizatorem Kokursu jest KAN Sp. z o.o. z siedzibą w Białymstoku- Kleosiie,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

Przybliżone zapytania do baz danych z akceleracją obliczeń rozkładów prawdopodobieństwa

Przybliżone zapytania do baz danych z akceleracją obliczeń rozkładów prawdopodobieństwa XVI Kofereca PLOUG Kościelisko Paździerik 00 Przybliżoe zapytaia do baz daych z akceleracą obliczeń rozkładów prawdopodobieństwa Witold Adrzeewski Politechika Pozańska Witold.Adrzeewski@cs.put.poza.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej

Bardziej szczegółowo

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4.. Wrowadzeie W sysemach zależych od zdarzeń wyzwalaie określoego zachowaia się układu jes iicjowae rzez dyskree zdarzeia. Modelowaie akich syuacji ma a celu symulacyją aalizę

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI Grupa: 1. 2. 3. 4. 5. LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI Data: Ocea: ĆWICZENIE 3 BADANIE WYŁĄCZNIKÓW RÓŻNICOWOPRĄDOWYCH 3.1. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest:

Bardziej szczegółowo

Ł Ś ź ź ź ć ć ć Ń ć ź ź ć ć Ń Ń ź Ą ź ć ć Ę ć Ń ź ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć Ę ć ć ć ć ć ć Ą ć ć ć ć Ń ć ć ć ć Ę Ą ć ć ć ć ć Ń ć ć ć Ę ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ż ć Ź ć ć Ź ć ć Ż ć Ą ć Ą ć Ź Ę Ę ĘĘĘ ć ć ć ć ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków Ku chwale ierówości Sebastia Lisiewski 25 lutego 200 XXVII Ogólopolski Sejmik Matematyków VIII Liceum Ogólokształcące im. Marii Skłodowskiej- Curie w Katowicach ul. 3-go Maja 42 40-097 Katowice Opiekuowie

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

OCHRONA WIBROAKUSTYCZNA ZAŁOGI MOTOROWYCH JACHTÓW MORSKICH Z SILNIKIEM STACJONARNYM

OCHRONA WIBROAKUSTYCZNA ZAŁOGI MOTOROWYCH JACHTÓW MORSKICH Z SILNIKIEM STACJONARNYM 1-2008 PROBLEMY EKSPLOATACJI 161 Jausz GARDULSKI Politechika Śląska, Katowice OCHRONA WIBROAKUSTYCZNA ZAŁOGI MOTOROWYCH JACHTÓW MORSKICH Z SILNIKIEM STACJONARNYM Słowa kluczowe Morskie jachty motorowe,

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI

KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI Ryszard Budziński, Marta Fukacz, Jarosław Becker, Uiwersytet Szczeciński, Wydział Nauk Ekoomiczych i Zarządzaia, Istytut Iformatyki w

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowych Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

AUDYT SYSTEMU GRZEWCZEGO

AUDYT SYSTEMU GRZEWCZEGO Wytycze do audytu wykoao w ramach projektu Doskoaleie poziomu edukacji w samorządach terytorialych w zakresie zrówoważoego gospodarowaia eergią i ochroy klimatu Ziemi dzięki wsparciu udzieloemu przez Isladię,

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012 Wprowadzenie do MES Krzysztof Banaś 24 października 202 MES (Metoda Elementów Skończonych 2 ) jest jednym z podstawowych narzędzi komputerowego wspomagania badań naukowych i analiz inżynierskich, o bardzo

Bardziej szczegółowo

METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA

METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA Zakład Modelowaia i Grafiki Komputerowej, Istytut Iformatyki, Uiwersytet Śląski e-mail: {kotarski, kgdawiec,

Bardziej szczegółowo

OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1

OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1 Acta Sci. Pol., Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009, 19-30 OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1 Marek Trojaowicz Uiwersytet Przyrodiczy we

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE SILNIKÓW O DUśEJ SPRAWNOŚCI DO NAPĘDÓW WENTYLATORÓW MŁYNOWYCH

ZASTOSOWANIE SILNIKÓW O DUśEJ SPRAWNOŚCI DO NAPĘDÓW WENTYLATORÓW MŁYNOWYCH Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/2010 135 Grzegorz Badowski, Jerzy Hickiewicz, Krystya Macek-Kamińska, Marci Kamiński Politechika Opolska, Opole Piotr Pluta, PGE Elektrowia Opole SA, Brzezie

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb!

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb! Projekt wsp,ł.iasoway ze 4rodk,w Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał pomociczy dla auczycieli kształcących w zawodzieb "#$%&'( ")*+,"+(' -'#.,('#. przygotoway w ramach projektu

Bardziej szczegółowo

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800

Bardziej szczegółowo

Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 74/2006 69

Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 74/2006 69 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 74/6 69 Piotr Zietek Politechika Śląska, Gliwice PRĄDY ŁOŻYSKOWE I PRĄD UZIOMU W UKŁADACH NAPĘDOWYCH ZASILANYCH Z FALOWNIKÓW PWM BEARING CURRENTS AND LEAKAGE CURRENT

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 9 SILNIK TRÓJFAZOWY ZWARTY

Ć wiczenie 9 SILNIK TRÓJFAZOWY ZWARTY 145 Ć wiczeie 9 SILNIK TRÓJFAZOWY ZWARTY 1. Wiadomości ogóle 1.1. Ogóla budowa Siliki asychroicze trójfazowe, dzięki swoim zaletom ruchowym, prostocie kostrukcji, łatwej obsłudze są powszechie stosowae

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

Na podstawie art. 55a ustawy z dnia 7 lipca 1994 r. Prawo budowlane (Dz. U. z 2013 r. poz. 1409) zarządza się, co następuje:

Na podstawie art. 55a ustawy z dnia 7 lipca 1994 r. Prawo budowlane (Dz. U. z 2013 r. poz. 1409) zarządza się, co następuje: Projekt z dia 16.12.2013 r. Rozporządzeie Miistra Ifrastruktury i Rozwoju 1) z dia.. 2013 r. w sprawie metodologii obliczaia charakterystyki eergetyczej budyku i lokalu mieszkalego lub części budyku staowiącej

Bardziej szczegółowo

Wytwarzanie energii odnawialnej

Wytwarzanie energii odnawialnej Adrzej Nocuñ Waldemar Ostrowski Adrzej Rabszty Miros³aw bik Eugeiusz Miklas B³a ej yp Wytwarzaie eergii odawialej poprzez współspalaie biomasy z paliwami podstawowymi w PKE SA W celu osi¹giêcia zawartego

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Warszawa, dnia 9 listopada 2012 r. Poz. 1229 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia 18 października 2012 r.

Warszawa, dnia 9 listopada 2012 r. Poz. 1229 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia 18 października 2012 r. DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dia 9 listopada 2012 r. Poz. 1229 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia 18 paździerika 2012 r. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązków uzyskaia

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod

Bardziej szczegółowo

OCENA EFEKTYWNOŚCI SYSTEMU POMOCY DORAŹNEJ I RATOWNICTWA MEDYCZNEGO W POLSCE Z WYKORZYSTANIEM DEA

OCENA EFEKTYWNOŚCI SYSTEMU POMOCY DORAŹNEJ I RATOWNICTWA MEDYCZNEGO W POLSCE Z WYKORZYSTANIEM DEA METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XV/3, 2014, str. 159 168 OCENA EFEKTYWNOŚCI SYSTEMU POMOCY DORAŹNEJ I RATOWNICTWA MEDYCZNEGO W POLSCE Z WYKORZYSTANIEM DEA Justya Kuawska Wydział Zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM. Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo