ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE r 46 ISSN X ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ MEODY PURC DLA ZAGADNIEŃ EORII SPRĘŻYSOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH D Egeisz Zieik a Krzysztof Szerszeń b Zakład Metod Nmeryczych Wydział Matematyki i Iformatyki Uiwersytet w Białymstok a ezieik@ii.wb.ed.pl b kszersze@ii.wb.ed.pl Streszczeie Celem iiesze pracy est zbadaie wpływ liczby oraz sposob rozmieszeia pktów kolokaci a dokładość i stabilość rozwiązań zyskiwaych za pomocą parametryczych kładów rówań całkowych (PURC). Aalizę przeprowadzao dla brzegowych zagadień D modelowaych rówaiami Naviera-Lamégo z obszarami wielościeymi. Nmerycze rozwiązywaie PURC sprowadza się do rozwiązywaia kładów rówań algebraiczych które są zapisywae w pktach kolokaci. Liczba tych pktów oraz ich rozmieszczeie ma istoty wpływ a dokładość i stabilość rozwiązań. ANALYSIS OF HE INFLUENCE OF ARRANGEMEN AND NUMBER OF COLLOCAION POINS ON HE ACCURACY OF HE PIES MEHOD FOR LINEAR ELASICIY PROBLEMS IN D POLYHEDRAL DOMAINS Smmary he prpose of this paper is to stdy the iflece of mber ad arragemet of collocatio poits o the accracy ad stability obtaied by parametric itegral eqatio method (PIES). his aalysis has bee performed for D bodary vale problems modeled by Navier-Lamé eqatios i polyhedral domais. Nmerical soltio of the PIES comes dow to solvig algebraic eqatios writte at collocatio poits. he mber of these poits ad their arragemet have a sigificat impact o the accracy ad stability of the soltios.. WSĘP Poprawa dokładości rozwiązań meryczych w klasyczych metodach elemetowych (MES MEB) realizowaa est poprzez zwiększeie liczby wprowadzoych elemetów lb też zastosowaie elemetów wyższego rzęd. W obydw przypadkach prowadzi to do koieczości deklarowaia dże liczby węzłów a podstawie których bdowaa est siatka elemetowa przyętego schemat dyskretyzaci brzeg lb obszar. akie podeście wydae się szczególie ieefektywe w odiesiei do zagadień przestrzeych w których ieedokrotie dża liczba elemetów może być zbęda z pkt widzeia dokładości odwzorowaia modelowaego obszar []. 7

2 ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA Rozpatrywae w pracy alteratywe podeście dotyczące meryczego rozwiązywaia zagadień brzegowych realizowae est a podstawie parametryczych kładów rówań całkowych (PURC). Metoda PURC charakteryze się rozdzieleiem aproksymaci brzeg od aproksymaci fkci brzegowych [5]. W wyik tego możliwym okazało się wyelimiowaie w PURC koieczości dyskretyzaci brzeg i obszar w procesie meryczego rozwiązywaia zagadieia brzegowego. Kształt brzeg został w tym przypadk względioy w sposób aalityczy bezpośredio w fkcach podcałkowych PURC i matematyczie zdefiioway za pomocą dowolych fkci parametryczych. Z kolei rozwiązaia a brzeg zostały zdefiiowae z wykorzystaiem szeregów aproksymących. akie zdefiiowaie rozwiązań a brzeg i samego kształt obszar powode że poprawa dokładości rozwiązań est procesem iezależym od poprawy dokładości modelowaia obszar. Poprawa dokładości rozwiązań meryczych w PURC sprowadza się do zwiększeia liczby wyrazów w szeregach aproksymących. Liczba wyrazów w szeregach z kolei est związaa z liczbą deklarowaych w dziedziach poszczególych płatów powierzchi tzw. pktów kolokaci. Obecość pktów kolokaci wyika z zastosowae metody psedospektrale (kolokaci) do meryczego rozwiązaia PURC. Nmerycze rozwiązywaie PURC sprowadza się do rozwiązywaia kładów rówań algebraiczych które są zapisywae w pktach kolokaci. Poadto z przeprowadzoych badań okaze się że a dokładość rozwiązań ma też wpływ sposób ich rozmieszczeia w dziedziie płatów powierzchi. Dlatego też w pracy przebadao trzy wariaty ich rozmieszczeia w cel wyciągięcia wiosków dla akiego wariat rozmieszczeia i dla akie ich liczby otrzymywae rozwiązaia charakteryzą się awiększą dokładością. Dotychczasowe badaia aalizące wpływ liczby i rozmieszczeia pktów kolokaci w metodzie psedospektrale zastosowae do meryczego rozwiązywaia PURC realizowae były główie w zagadieiach płaskich [56]. Celem iiesze pracy est przeprowadzeie szczegółowe aalizy ich rozmieszczeia dla zagadień D matematyczie modelowaych rówaiami Naviera-Lamégo. Prezetowae testy przeprowadzoo dla zagadień brzegowych z obszarami wielościeymi.. APROKSYMACJA ROZWIĄZAŃ NA BRZEGU W PURC Cechą charakterystyczą MEB est podział brzeg a elemety i rówoczese aproksymowaie kształt brzeg i fkci brzegowych a tych elemetach []. Przy założei izoparametryczości elemetów brzegowych modelowaie fkci brzegowych w MEB a tych elemetach odbywa się w idetyczy sposób ak same geometrii brzeg i sprowadza się do zalezieia wartości tych fkci wyłączie w węzłach poszczególych elemetów brzegowych. Mówi się w tym przypadk o dyskretyzaci brzeg i fkci brzegowych tożsamiaych z zadawaymi warkami brzegowymi i poszkiwaymi rozwiązaiami a brzeg. Wartości fkci brzegowych w pozostałych pktach a brzeg moża wyzaczyć za pośredictwem z góry zdefiiowaych fkci kształt a poszczególych elemetach brzegowych. Przyęcie właśie takie formy aproksymowaia fkci v w 0.5 l w ) Ul w v p = v w 8 brzegowych powode że w cel zyskaia poprawy dokładości rozwiązań a brzeg ależy zagęścić liczbę węzłów co est ściśle związae z fizyczą deklaracą tych węzłów. Nieedokrotie liczba wprowadzoych w takim przypadk elemetów est admiarowa w stosk do wymagae w cel dokładego i edozaczego zamodelowaia brzeg. Istotą korzyścią płyącą z zastosowaia PURC est wspomiae ż rozdzieleie sposob deklaraci kształt brzeg od sposob aproksymaci fkci brzegowych w cel zyskaia rozwiązaia a brzeg. Dae to możliwość iezależe poprawy dokładości modelowaia kształt brzeg bez igereci w aproksymacę rozwiązań a brzeg i odwrotie. Formła PURC w przypadk problemów brzegowych D opisaych rówaiami Naviera-Lamégo przedstawiaa est w astępące postaci [7] { P ( v w v } J dvdw = l () przy czym ν l < ν < ν l w l < w < wl ν < ν < ν w < w < w l =... oraz J est akobiaem atomiast p są to parametrycze fkce brzegowe a poszczególych płatach powierzchi modelących brzeg. Jeda z tych fkci będzie zadaa w postaci warków brzegowych atomiast drga będzie poszkiwaa w wyik rozwiązaia (). Jawa postać fkci podcałkowych U l w v P l w v est przedstawioa w pracy [7]. Ogólie fkce te są zależe od rozwiązywaego rówaia różiczkowego

3 Egeisz Zieik Krzysztof Szerszeń dla rówaia Laplace'a są oe przedstawioe w pracy [8] atomiast dla rówaia Helmholtza w [9]. Fkce te w swoim formalizmie matematyczym względiaą kształt brzeg zdefiioway za pomocą dwwymiarowych fkci parametryczych. W odiesiei do aalizowaych w iiesze pracy zagadień D modelowaie brzeg opiera się a rys.. wykorzystai prostokątych płatów powierzchi Coosa. Za pomocą odpowiediego połączeia tych płatów moża bardzo łatwo zdefiiować kształt obszar bezpośredio w PURC. Przykład wykreowaego sześcioma płatami Coosa brzeg sześcia bezpośredio w PURC przedstawioo a Rys.. Modelowaie kształt brzeg płatami powierzchi Coosa schematycze rozmieszczaie pktów kolokaci w lokalych płaszczyzach odwzorowaia v w dla składowych płatów powierzchi Coosa realizaca aproksymaci fkci brzegowych wielomiaami Czebyszewa Bezpośredie względieie w formle PURC aproksymowae za pomocą szeregów z fkcami kształt brzeg wprowadza dżą swobodę w bazowymi Czebyszewa pierwszego rodza określei aproksymaci fkci brzegowych ( r ) ( v) (. Szeregi aproksymące dla ob oraz p w formle (). W trakcie fkci są przedstawioe w podoby sposób merycze realizaci PURC fkce brzegowe a każdym z modelących brzeg płatów powierzchi są N M ( r) = ( v) ( () p= 0 r= 0 gdzie N M ( r) p = p ( v) ( () p= 0 r= 0 p - są zadaymi lb poszkiwaymi współczyikami N M - są liczbami wyrazów szereg zdefiiowaego w dziedziie płata (obszarze). Po podstawiei tych szeregów () do formły PURC () dla rówaia Naviera-Lamégo otrzymamy astępące wyrażeie N M v w v w ( pr ) 0.5l ( ν w ) = p U l ( ν w ν P = p= 0 r= 0 v w v w ( v) ( r) Do meryczego rozwiązywaia (4) zastosowao metodę psedospektralą []. Zapisąc formłę (4) w pktach kolokaci otrzyme się kład rówań liiowych względem iewiadomych współczyików ( pr ) ( pr ) p z (). Poszkiwae są w tym ( J 9 dvdw. l ( ν w ν przypadk ie wartości rozwiązań w węzłach ak w MEB lecz wyłączie wartości współczyików ( pr ) ( pr ) p w szeregach które ie maą fizycze iterpretaci. (4)

4 ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA Pkty kolokaci w PURC ak przestawioo to a rys. ie są deklarowae bezpośredio a brzeg ale w lokale prostokąte dziedziie v w oddzielie dla każdego z płatów modelących brzeg. Jak zaprezetowao a rys. dla każdego ze składowych płatów powierzchi obok rozmieszczeia pktów kolokaci astępe także aproksymaca fkci brzegowych za pomocą fkci bazowych będących wielomiaami Czebyszewa.. ANALIZA SABILNOŚCI ROZWIĄZAŃ NUMERYCZNYCH Przedstawioy w poprzedim pkcie algorytm meryczego rozwiązywaia PURC poddao aalizie dotyczące dokładości zyskiwaych rozwiązań. Z wagi a fakt że fkce brzegowe zostały przybliżae w postaci szeregów () i () iewątpliwie czyikiem wpływaącym a dokładość rozwiązań w PURC będzie liczba iewiadomych współczyików w szeregach zapisywaa ako = ( N + )( M + ). Liczba ta est zgoda z liczbą pktów kolokaci. Zapisaie PURC w każdym z pktów kolokaci ostateczie sprowadza PURC do kład rówań algebraiczych. W wyik rozwiązaia tego kład otrzymywae są iewiadome współczyiki w edym z szeregów aproksymących. W pracy aalizowao wpływ liczby pktów kolokaci oraz róże wariaty ich rozmieszczeia w dziedziie płata powierzchi. Rozpatrywao rozmieszczeie rówomiere rozmieszczeie ze skraymi pktami miescowioymi bliże krańców obszar (dziedziy płata) oraz w trzecim wariacie w miescach odpowiadaących pierwiastkom wielomiaów Czebyszewa. a) b) c) rzy rozpatrywae wariaty rozmieszczeia pktów kolokaci wygeerowae odpowiedio dla = 9 oraz = 6 pktów kolokaci w dziedziie v w dla prostokątych płatów powierzchi Coosa modelących brzeg przedstawioo a rys.. Zaletą PURC est to że omawiae sterowaie liczbą oraz rozmieszczeiem pktów kolokaci odbywa się bez akiekolwiek igereci w zamodeloway parametryczymi płatami powierzchi kształt brzeg rozpatrywaego obszar. Odrębym problemem było także opracowaie efektywego i dokładego sposob obliczaia poawiaących się w matematycze formle PURC całek powierzchiowych. Całki te dla zagadień D zostały zdefiiowae w dziedziach odpowiadaących parametryczym płatom powierzchi modelącym brzeg. Występą tam całki reglare i osobliwe abardzie iwersalym sposobem ich obliczaia są kwadratry merycze. Problematykę dotyczącą wpływ liczby współczyików wagowych w kwadratrze meryczego całkowaia a dokładość rozwiązań zyskiwaych za pomocą PURC przedstawioo ż wcześie w [0]. Aalizę dokładości rozwiązań w zależości od wariat rozmieszczeia pktów kolokaci i ich liczby przeprowadzoo dla dwóch przedstawioych a rys. ab obszarów wielościeych z brzegiem zamodelowaym odpowiedio 4 oraz płatami Coosa zdefiiowaymi w obszarach prostokątych. a) b) wariat wariat wariat Rys.. Wariaty rozmieszczeia odpowiedio 9 oraz 6 pktów kolokaci: a) rówomiere b) z pktami skraymi bliże krawędzi c) w miescach pierwiastków wielomiaów Czebyszewa Rys.. Rozpatrywae obszary zamodelowae odpowiedio: a) 4 oraz b) płatami Coosa Zamodelowae w te sposób obszary traktowao ako obszary w zagadieiach brzegowych matematyczie modelowaych rówaiami Naviera- 0

5 Egeisz Zieik Krzysztof Szerszeń Lamégo. Warki brzegowe zostały zadae a podstawie zaych rozwiązań aalityczych w przestrzei R dla rówań Naviera-Lamégo. Rozpatrywao w ob przypadkach przemieszczeiowe warki brzegowe wyzaczoe dla dwóch zaych aalityczych rozwiązań tych rówań (przemieszczeń) [4] =.5(x + x + ) 0 x = 0.5( x + x x) = 0.5( x + x x) (5) + + oraz = x x x = x xx = x xx. (6) Po względiei współrzędych odpowiadaących krawędziom rozpatrywaych obszarów (rys. ) do (5) i (6) otrzymywae są warki brzegowe a krawędziach brzeg. Na podstawie (5) i (6) moża też w podoby sposób wyzaczyć warki brzegowe Nemaa (siły powierzchiowe). Maąc tak otrzymae warki a brzeg rozpatrywaych obszarów za pomocą PURC moża otrzymać rozwiązaia w obszarze. Rozwiązaia w obszarze moża porówać ze zaymi rozwiązaiami aalityczymi reprezetowaymi przez gradiety wyzaczoe odpowiedio dla fkci (5) oraz (6). O dokładości rozwiązań meryczych decyde liczba pktów kolokaci oraz wariat ich rozmieszczeia (rys.). Dla rozpatrywaych obszarów i rozwiązań przeprowadzoo testy merycze których wyiki zestawioo w tabelach. W tabelach i zestawioo błędy rozwiązań w PURC dla ={ } pktów kolokaci dla każdego z modelących brzeg płatów Coosa rozmieszczoych w ich dziedziach oraz wszystkich trzech wariatów ich rozmieszczeia. Liczba przyętych pktów kolokaci przekłada się bezpośredio a liczbę rozwiązywaych rówań algebraiczych zestawioych w kolmie drgie tych tabel. Porówywao miary błędów a podstawie ormy L otrzymae dla rozpatrywaych trzech wariatów ich rozmieszczeia oraz róże liczby pktów kolokaci. Obliczeia zrealizowao przy przyęci 04 współczyików wagowych w kwadratrach Gassa- Legedre'a dla całek osobliwych oraz reglarych a każdym ze składowych płatów powierzchi brzeg. ab.. Miara błęd rozwiązań w PURC a podstawie ormy L w zależości od liczby oraz rozmieszczeia pktów kolokaci dla kształt obszar z Rys. a Liczba rówań Składowe rozwiązań Sposoby rozmieszczeia pktów kolokaci Fkca (5) Fkca (6) Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat e e e e e e e-8.784e e e e-6.96e e e e

6 ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA ab.. Miara błęd rozwiązań w PURC a podstawie ormy L w zależości od liczby oraz rozmieszczeia pktów kolokaci dla geometrii kształt obszar z rys. b Liczba rówań Składowe rozwiązań Sposoby rozmieszczeia pktów kolokaci Fkca (5) Fkca (6) Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat Wariat 7.976e e e e e e e e e WNIOSKI Dokładość zyskiwaych rozwiązywaych za pomocą metody PURC zależy od dokładości zamodelowaia obszar oraz od zastosowaego algorytm do ego meryczego rozwiązywaia. Rozpatrywao obszary takie które moża było potraktować że zostały oe zamodelowae w sposób bardzo dokłady. Przy takim założei a błąd otrzymaych rozwiązań ma wpływ tylko zastosoway algorytm do meryczego rozwiązywaia PURC. estowao metodę kolokaci poieważ est to metoda dość efektywa w rozwiązywai klasyczych rówań całkowych. Niemie edak było wiadomo [6] że o stabilości rozwiązań decyde sposób rozmieszczeia pktów kolokaci oraz ich liczba. Dlatego też w pracy przebadao trzy wariaty ich rozmieszczeia dotyczące róże ich liczby a poszczególych dziedziach płatów. Ogólie moża stwierdzić że we wszystkich przypadkach poza iektórymi wyątkami zyskao bardzo małe błędy wyliczae a podstawie ormy L. Na podstawie przeprowadzoych badań zamieszczoych w tabelach trdo est wyciągąć edozacze wioski. Zaważaly est wzrost błędów dla większe liczby pktów kolokaci w trzecim wariacie ich rozmieszczeia. Dlatego też w celbardzie edozaczego wyciągięcia wiosków ależałoby przeprowadzić więce testów a iych przykładach. Niemie edak w cel pewieia się o wiarygodości zyskaych wyików dotyczących zagadień iemaących rozwiązań aalityczych sesowe est poowe rozwiązaie zagadieia dla iego wariat rozmieszczeia pktów kolokaci. W przypadk brak stabilości merycze rozwiązań moża też sterować liczbą pktów kolokaci ale ma to bezpośredi wpływ a liczbę rozwiązywaych rówań algebraiczych. Istoty est fakt że sterowaie liczbą oraz rozmieszczeiem pktów kolokaci odbywa się bez akiekolwiek igereci w zamodeloway parametryczymi płatami powierzchi brzeg rozpatrywaego obszar. Praca fiasowaa ze środków a akę w latach 00-0 ako proekt badawczy.

7 Egeisz Zieik Krzysztof Szerszeń Literatra. Becker A.A.: he bodary elemet method i egieerig: a complete corse. Cambridge: McGraw-Hill Book Comp Gottlieb D. Orszag S.A.: Nmerical aalysis of spectral methods: theory ad pplicatios. SIAM Philadelphia Mkheree Y.X. Mkheree S. Shi X. Nagaraa A.: he bodary cotor method for three-dimesioal liear elasticity with a ew qadratic bodary elemet. Egieerig Aalysis with Bodary Elemets p Zhag J. Yao Z.: he reglar hybrid bodary ode method for three-dimesioal liear elasticity. Egieerig Aalysis with Bodary Elemets p Zieik E.: A ew itegral idetity for potetial polygoal domai problems described by parametric liear fctios. Egieerig Aalysis with Bodary Elemets 00 Vol. 6/0 p Zieik E. Szerszeń K. Bołtć A.: Nmerycze rozwiązywaie metodą kolokaci Czebyszewa parametryczego kład rówań całkowych (PURC) zastosowaego dla rówaia Laplace a z warkami brzegowymi Dirichleta a wielokątych obszarach. Archiwm Iformatyki eoretycze i Stosowae 004 t. 6 z. s Zieik E. Szerszeń K. Bołtć A.: PURC w rozwiązywai trówymiarowych zagadień brzegowych modelowaych rówaiami Naviera-Lamégo w obszarach wielokątych. Modelowaie Iżyierskie 0 r 4 s Zieik E. Szerszeń K.: Liiowe płaty powierzchiowe Coosa w modelowai wielokątych obszarów w trówymiarowych zagadieiach brzegowych defiiowaych rówaiem Laplace a. Archiwm Iformatyki eoretycze i Stosowae 005 7() s Zieik E. Szerszeń K.: riaglar Bézier patches i modellig smooth bodary srface i exterior Helmholtz problems solved by PIES. Archives of Acostics p Zieik E. Szerszeń K.: Nmerycze obliczaie całek powierzchiowych dla zagadień przestrzeych w PURC. Modelowaie Iżyierskie 00 r 9 s Proszę cytować te artykł ako: Zieik E. Szerszeń K.: Aaliza wpływ rozmieszczeia i liczby pktów kolokaci a dokładość metody PURC dla zagadień teorii sprężystości w obszarach wielościeych D. Modelowaie Iżyierskie 0 r 46 t. 5 s. 7.