Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych"

Transkrypt

1 a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek Oleńkiewicz łowa kluczowe: metoda elemetów brzegowych, dyamika, membraa, płyta cieka, płyta gruba Promotor: dr hab. iż. Kazimierz Myślecki, prof. PWr Wrocław, wrzesień

2

3 pis treści. Wybrae symbole i ozaczeia...5. Wstęp Cel i zakres pracy Wprowadzeie Podstawy metody elemetów brzegowych Rozwiązaie podstawowe Rozwiązaie podstawowe -tej potęgi laplasjau Metoda Kupradzego Elemety brzegowe Przegląd metod elemetów brzegowych stosowaych w aalizie dyamiczej Metoda kroków czasowych Metoda alteratywa Aaliza drgań membray formułowaie problemu Rozwiązaie podstawowe rówaia drgań własych membray Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych membray Wyzaczeie częstości drgań własych Wyzaczeie form własych Drgaia wymuszoe bez tłumieia Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia Przykład umeryczy membray Aaliza drgań płyty ciekiej formułowaie problemu Rozwiązaie podstawowe rówaia drgań własych płyty Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych płyty Wyzaczeie częstości drgań własych Wyzaczeie form własych Drgaia wymuszoe bez tłumieia Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia Przykład umeryczy płyty ciekiej Aaliza drgań płyty grubej formułowaie problemu Rozwiązaie podstawowe...7 3

4 7.3. Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych płyty grubej Wyzaczeie częstości drgań własych Wyzaczeie form własych Drgaia wymuszoe bez tłumieia Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia Przykład umeryczy płyty grubej Podsumowaie... 9 pis literatury treszczeie ummary Załącziki A. Trasformacja Fouriera B. Trasformacja Laplace a... C. Metoda małego parametru... D. Dwumia ewtoa... E. Metoda Hörmadera... F. Promień zbieżości rozwiązań podstawowych... 3 G. Architektura kodu programów liczących przykłady umerycze

5 . Wybrae symbole i ozaczeia δ - delta Diraca (dystrybucja), i - jedostka urojoa i =, ω - częstość kołowa ω π f, f [ Hz] E - moduł Youga, G - moduł Kirchhoffa, ν - współczyik Poissoa, h - grubość płyty, T - siła aciągu membray =, m, kg γ - gęstość płyty grubej 3 m, kg m - gęstość powierzchiowa płyty ciekiej (membray) m, H - sztywość postaciowa płyty grubej D - sztywość płyty a zgiaie Eh D = - obszar dźwigara powierzchiowego, 5 H = Gh, 6 3 ( ν ) C - brzeg obszaru dźwigara powierzchiowego, i, j, k, - wskaźiki zakresu {,, 3 }, α, β, - wskaźiki zakresu {, }, =, x ()., α - pochoda cząstkowa (., ) (). - operator Laplace a (). (). α α =, x x α α, 5

6 . Wstęp Jedą z metod umeryczych, pozwalających wszechstroie rozwiązywać zagadieia mechaiki, jest metoda elemetów brzegowych ([,9,]). Pozwala oa, podobie jak ie tego typu metody (p. metoda różic lub elemetów skończoych), budować uiwersale modele umerycze ciał o dowolej geometrii, warukach brzegowych i schematach obciążeń działających a ie. Zaletą metody elemetów brzegowych jest to, że dyskretyzacji a elemety podlega tylko brzeg obszaru, co powoduje zmiejszeie o jede rząd wymiaru rozważaego zagadieia. W te sposób liczba daych, jakie ależy przygotować do obliczeń i przetworzyć jest zaczie miejsza iż w iych metodach. W iiejszej pracy przedstawioe zostaą modele matematycze dźwigarów powierzchiowych (membraa, płyta cieka i płyta gruba Reissera-Midlia). Do dyskretyzacji brzegu dźwigarów powierzchiowych stosowae będą elemety izoparametrycze z fukcjami kształtu w postaci wielomiau iterpolacyjego Lagrage a... Cel i zakres pracy Celem pracy jest wykoaie aalizy dyamiczej membray oraz płyty ciekiej i grubej tz.: wyzaczeie częstotliwości drgań i postaci form własych oraz wyzaczeie drgań wymuszoych przy pomocy metody elemetów brzegowych. Aby moża było sformułować tożsamość całkową omigliay, staowiącą istotę metody ([,9,]), ależy wyzaczyć rozwiązaia podstawowe wyjściowego układu rówań różiczkowych, które są jądrem rówań całkowych. Orygialym elemetem pracy jest podaie sposobu wyzaczaia rozwiązań podstawowych w dyamice. W przypadku zagadień dyamiczych w wyjściowych rówaiach opisujących day dźwigar pojawia się dodatkowy wymiar, jakim jest czas. Do separowaia w owych rówaiach zmieych geometryczych od zmieej czasowej będzie wykorzystywaa metoda rozdzieleia zmieych Fouriera. MEB będzie służyła do całkowaia rówań opisujących day dźwigar powierzchiowy po zmieych geometryczych, atomiast całkowaie po czasie będzie wykoywae w sposób aalityczy. Zakłada się rozwiązaia wyżej wymieioych rówań w postaci iloczyu dwóch fukcji o zmieych iezależych, odpowiedio zmieych geometryczych oraz zmieej czasowej. Przy formułowaiu rozwiązań podstawowych MEB pojawiają się jedyie zmiee geometrycze, atomiast czas jest zastąpioy parametrem, poieważ zmieość względem czasu zakłada się w postaci harmoiczej. Takie podejście stosowae będzie w rozwiązaiach podstawowych pokazaych w iiejszej pracy. 6

7 Istieją też ie sposoby rozwiązywaia zagadień dyamiczych metodą elemetów brzegowych. Zarys tych metod zostaie pokazay w początkowych rozdziałach. 7

8 3. Wprowadzeie 3.. Podstawy metody elemetów brzegowych Podstawową zasadą pozwalającą a wyprowadzeie rówań brzegowych w metodzie elemetów brzegowych jest zasada wzajemości prac Bettiego. Mówi oa, że jeżeli a liiowy ustrój sprężysty działają kolejo dwa dowole układy obciążeń, to praca pierwszego obciążeia a przemieszczeiach wywołaych przez drugie obciążeie jest rówa pracy drugiego obciążeia a przemieszczeiach wywołaych przez pierwsze obciążeie. Dotyczy oa obciążeń uogólioych, którymi mogą być siły i momety oraz odpowiadających im przemieszczeń uogólioych. Zasadę tę odkrył włoski matematyk Erico Betti (87). ajłatwiej wyprowadzić metodę elemetów brzegowych a przykładzie ajprostszego z dźwigarów powierzchiowych, jakim jest membraa. tatykę takiej membray opisuje rówaie Poissoa T w= q (3.) gdzie w jest fukcją ugięcia membray a obszarze. T jest siłą apiającą, atomiast q fukcją obciążeia zewętrzego o tym samym kieruku działaia co ugięcie w. Fukcje q i w są fukcjami dwóch zmieych geometryczych x = (x, x ) wzajemie prostopadłych, ależących do obszaru. Opisywaa powyższym rówaiem membraa posiada brzeg C, gdzie C jest brzegiem o zadaym przemieszczeiu w= w, w C atomiast C brzegiem o zadaej sile poprzeczej V = V, w C. a brzegu C, zakładamy występowaie reakcji poprzeczej V opisywaej zależością w T = V (3.) gdzie pochoda występująca po prawej stroie rówaia jest liczoa w kieruku ormalego wektora jedostkowego prostopadłego do brzegu C. W otacji wskaźikowej powyższe rówaia przyjmą astępującą postać 8

9 Tw, = q αα Tw, = V α α α {, } (3.3) formułujmy brzegowe rówaie całkowe. Wykorzystae zostaie do tego twierdzeie Bettiego. Rozpatrując rówaie membray poddae dwóm obciążeiom q i q *, które spowodują ugięcia membray w i w * moża rówaie (3.) pomożyć obustroie przez fukcję ugięcia w *, a astępie scałkować po obszarze. Rówaie (3.) po przemożeiu ma astępującą postać * * Tw, αα w = q w (3.4) Prawą stroę rówaia moża astępie rozwiąć wykorzystując tożsamość różiczkową (pochoda iloczyu) ( ) Tw w = T w w + Tw w (3.5) * * *, αα, α, α, α, α Tę samą operację moża wykoać poowie a składiku występującym po lewej stroie rówaia (3.5) ( ) ( ) Tw w = T w w + T ww Tww (3.6) * * * *, αα, α, α, α, α, αα Po obustroym scałkowaiu rówaia (3.6) po obszarze otrzymuje się twierdzeie Bettiego w postaci wzoru * * * *, αα d (, α ), α d (, α ), α d, αα d (3.7) T w w = T w w + T ww T ww W rówaiu (3.7) moża zastosować twierdzeie Ostrogradskiego-Gaussa, które dla zagadień dwuwymiarowych ma astępującą postać ( ) = ( )., α d. αdc (3.8) C 9

10 Po wprowadzeiu twierdzeia (3.8) rówaie (3.7) ma postać (3.9) = + * * * * T w, αα w d T w, α w α d C T ww, α α d C T ww, αα d C C Do rówaia (3.9) moża wprowadzić zależość (3.) i (3.) zapisaą zarówo dla fukcji w jak i w *. Ostateczie rówaie (3.9) przyjmie astępującą postać * * * * qwd = VwdC wv dc+ wq d (3.) C C Jeżeli obciążeie q * zostaie zastąpioe obciążeiem skupioym (siłą jedostkową), zaś w * fukcją ugięcia membray poddaej takiemu obciążeiu, wówczas odpowiedie wyrażeia mają postać q * ( xy, ), ( xy) = δ x * w w,, T w = = δ w,,, y ( xy) * V = V V = T C ( ) y (3.) Zaś tożsamość całkowa (3.) przyjmie postać qwd = VwdC wvdc + w δ d (3.) C C Korzystając z własości dystrybucji δ-diraca moża policzyć ostatią całkę w rówaiu (3.), y \ C w( x) δ ( x, y) d = αw( y), α =, y C (3.3) Fukcja δ-diraca jest fukcją dwóch puktów: x będzie azyway puktem bieżącym, zaś y jest to miejsce przyłożeia siły jedostkowej, w którym wartość dystrybucji jest ieskończoa. Po wstawieiu zależości (3.3) do tożsamości (3.) otrzymuje się astępującą tożsamość ogmiliay

11 ( y) ( z) ( z y) ( z) ( z y) ( x) ( x y) αw w V, d C + V w, d C = q w, d z C C C (3.4) gdzie z jest puktem brzegowym. Dokoując przejścia graiczego z puktem y a brzeg C, współczyik α przyjmuje wartości z przedziału <,> i będzie wprost proporcjoaly do kąta rozwarcia aroża w pukcie y. Poieważ przejście z puktem y a C wiąże się z pojawieiem a brzegu puktów osobliwych, całki brzegowe w rówaiu (3.4) muszą być rozumiae, jako wartości główe Cauchy ego. W iiejszej pracy do wyzaczeia wielkości fizyczych a brzegu stosoway będzie wariat Kupradzego, który zakłada umiejscowieie puktów kolokacji a zewętrzym koturze brzegu C. W każdym pukcie z występuje jeda iezaa brzegowa wielkość fizycza. a części brzegu C będzie to reakcja pioowa V, a a C iezae ugięcie w. Rówaie (3.4) rozwiązywae jest zwykle umeryczie. Brzeg dzieloy jest a skończoą liczbę elemetów (im więcej, tym dokładiejsza aproksymacja fukcji wielkości brzegowych). Poszczególy elemet brzegowy zawiera określoą liczbę puktów brzegowych (w przypadku aproksymacji krzywej brzegowej i wielkości brzegowych wielomiaami Lagrage a będzie oa o jede większa od stopia wielomiau). Korzystając z twierdzeń całkowych o jedorodości i addytywości uzyskuje się z rówaia (3.4) układ rówań algebraiczych, w którym wektor iewiadomych tworzą szukae wielkości brzegowe w puktach z. 3.. Rozwiązaie podstawowe Rozwiązaiem podstawowym rówaia różiczkowego azywa się rozwiązaie szczególe, w którym prawa stroa jest dystrybucją δ-diraca ([3,38]). a przykład, w przypadku membray rozwiązaie podstawowe otrzymujemy z rówaia (, ) δ (, ) T w xy = xy (3.5) Rozwiązaie podstawowe membray moża uzyskać używając trasformacji Fouriera (załączik A). Ma oo astępującą postać ([39])

12 r w( xy, ) = l (3.6) πt r gdzie ( ) ( ) r = x y = x y + x y (3.7) zaś r jest dowolą stałą o wymiarze długości. Poieważ rozwiązaia podstawowe są fukcjami ieograiczoymi brzegiem, a laplasja i jego potęgi moża przedstawić w postaci osiowo symetryczej, podobie jak dystrybucję delta Diraca względem puktu y, rówaie różiczkowe cząstkowe (3.5) moża sprowadzić do rówaia osiowo symetryczego. Wtedy rówaie to staje się rówaiem różiczkowym zwyczajym jedej zmieej, którą jest promień r. Po przemożeiu fukcji (3.6) przez -T otrzymuje się rozwiązaie podstawowe rówaia harmoiczego, które jest rówaiem Poissoa dla fukcji Greea ([6,]) d d w ( r) δ ( r), r π r r dr dr r w ( r) = l π r = = (3.8) Chcąc adać rozwiązaiu podstawowemu ses fizyczy ależałoby ajpierw ziterpretować dystrybucję δ-diraca. W przypadku rozwiązaia podstawowego membray jest to fukcja obciążeia poprzeczego zadaa a całym (ieskończoym) obszarze membray w postaci siły skupioej o wartości. Poieważ siła o skończoej wartości obciąża membraę a ieskończeie małej powierzchi, będzie oa wywierać w miejscu przyłożeia ieskończeie duże ciśieie, co spowoduje powstaie ieskończeie dużego ugięcia membray. Z tego właśie powodu, chcąc uikąć całkowaia przez pukt osobliwy, pukt źródłowy rozwiązaia podstawowego umieszcza się poza obszarem całkowaia (wariat Kupradzego). Poieważ rozwiązaie podstawowe ie uwzględia waruków brzegowych, ie jest jedozaczie określoe (dwa rozwiązaia podstawowe mogą się różić o rozwiązaie ogóle rówaia jedorodego).

13 3.3. Rozwiązaie podstawowe -tej potęgi laplasjau. Rówaie -tej potęgi laplasjau moża wyprowadzić używając zależości ( ) w = w = w w = w (3.9) Wzór a rozwiązaie podstawowe -tej potęgi laplasjau zakładamy w postaci ( ) r r w( r) = Cl D π r (3.) astępie moża zadziałać operatorem Laplace a a wzór (3.) [ ] ( ) r r w( r) = 4( ) C l 4( ) D 4( ) C π r (3.) Przyrówując do siebie odpowiedie składiki rozwiązań (3.) (dla w ) i (3.) moża uzyskać wzory rekurecyje a C i D. a podstawie wzoru (3.8) da się zauważyć że C = a D = + ( ) C = 4 C, C C = 4 C, C = 4 +, ( ) ( ) D = 4 D 4 C D D C = 4 D+ C = + D 4 + (3.) 3.4. Metoda Kupradzego Metoda Kupradzego zostaie wyjaśioa a przykładzie membray. Jeżeli pukty kolokacji umiejscowioe zostaą poza obszarem membray to rówaie (3.4) przyjmie astępującą postać 3

14 ( z) ( z y) + ( z) ( z y) = ( x) ( x y) w V, d C V w, d C q w, d C C y C (3.3) Po dyskretyzacji brzegu a elemety ustala się pukty kolokacji a zewętrzym koturze brzegu w sąsiedztwie iezaych wartości węzłowych zajdujących się a brzegu C ([5]). Odległość koturu od brzegu określa parametr ε (rysuek 3.). W przypadku membray występuje tylko jeda iezaa wartość węzłowa, jest to przemieszczeie lub reakcja pioowa, dlatego wystarczy przyjąć jede kotur z jedakową liczbą puktów kolokacji, co puktów węzłowych. Jeżeli rozwiązywae jest zagadieie z większą liczbą iezaych wielkości w węźle p. płyta cieka (dwie iezae wielkości w węźle), lub płyta gruba (trzy iezae wielkości w węźle), moża rozmieścić tyle zewętrzych koturów ile iezaych wielkości fizyczych w węźle. Wzajemą odległość koturów określa rówież parametr ε. pukty węzłowe ε ε C pukty kolokacji kotury zewętrze Rys. 3.. Rozmieszczeie puktów kolokacji 4

15 Podstawowym problemem metody Kupradzego jest właściwy dobór ε. Zbyt mały parametr powoduje zbliżaie się osobliwości, występujących w puktach kolokacji, do brzegu. W wyiku tego procedury umerycze odpowiedziale za całkowaie po brzegu mogą w pobliżu owych osobliwości ie osiągać wystarczającej dokładości. Zbyt duża wartość parametru powoduje, że macierz układu rówań liiowych jest źle uwarukowaa. Za optymalą wartość ε uzyskaą z porówaia zbieżości MEB z rozwiązaiami dokładymi traktuje się około / długości elemetu brzegowego. Wpływ parametru ε a zbieżość rozwiązaia MEB z rozwiązaiem dokładym został uwidoczioy a przykładzie membray stalowej (rysuek 3.) o grubości h = 5 mm i wewętrzej sile aciągu T =.5 5 /m. Membraa jest kwadratowa o długości boku l = 5 m, podparta a wszystkich krawędziach brzegu, obciążoa ciśieiem rówomierie rozłożoym o wartości q = 9 Pa. x l ε q x l Rys. 3.. Membraa stalowa Rozwiązaie aalitycze membray metodą aviera przedstawia się w postaci podwójych szeregów Fouriera 5

16 , = si si 4 i=,3,5, j=,3,5, Tπ ij i j l l ( ) w x x x, l, x, l 6ql ( ) πix π jx + (3.4) Reakcję pioową a jedej z krawędzi membray moża policzyć ze wzoru (3.) 6ql πix V ( x ) = si 3 i=,3,5, j=,3,5, π i( i + j ) l i l 6ql V ( ) = 3 i=,3,5, j=,3,5, π i i ( + j ) (3.5) Zależość przyrostu błędu reakcji pioowej a środku krawędzi membray od wymiaru ε ukazuje rysuek 3.3. a podstawie tego rysuku moża zauważyć, że dla dość dużego zakresu ε (od ok.. do ok..) błąd jest mały. Rys Błąd reakcji pioowej a środku krawędzi membray 3.5. Elemety brzegowe Poieważ opisaie dowolego kształtu liii brzegowej przy pomocy jedej fukcji jest trude a przy bardzo skomplikowaym kształcie brzegu (występowaie aroży) iemal iemożliwe, zdecydowao się dyskretyzować brzeg elemetami brzegowymi. W wyiku takiego podejścia całki po brzegu zajdujące się w tożsamości całkowej metody elemetów brzegowych moża rozbijać a sumy całek po elemetach rozmieszczoych wzdłuż brzegu. 6

17 Jedowymiarowe elemety brzegowe są zwykle opisywae przy pomocy izoparametryczych fukcji kształtu w postaci wielomiau iterpolacyjego Lagrage a iskiego rzędu L i ( ξ ) = ξ ξ j (3.6) j= j iξi ξ j gdzie ξ jest współrzędą lokalą; stopiem wielomiau posiadającego + węzłów. W MEB elemet brzegowy Lagrage a jest zazwyczaj zaday a przedziale <, > lub < -, >. Wzór k ξk =, ξk, k ξk =, ξk, (3.7), k, k ukazuje postać współrzędej lokalej w zależości od zadaego przedziału. - /- k/- (-)/- k - pukty węzłowe elemetu Lagrage a Rys Elemet brzegowy Lagrage a (układ lokaly) ξ x x f f f - x - x x f - - x x x x x Rys Elemet brzegowy Lagrage a (układ globaly) 7

18 Elemet brzegowy stopia ukazują rysuki 3.4 i 3.5, gdzie f jest fukcją brzegową iterpolowaą wielomiaem Lagrage a, zaś x α fukcją aproksymującą brzeg obszaru x f α i i ( ξ ) = x L ( ξ ) i= i i ( ξ ) = f L ( ξ ) i= α (3.8) W przykładach umeryczych zawartych w iiejszej pracy użyto elemetów brzegowych aproksymowaych wielomiaami do drugiego stopia włączie. Fukcje kształtu dla poszczególych stopi wielomiau mają postać: zerowego stopia ( ) L ξ = (3.9) pierwszego stopia L ξ + ξ = = (3.3) ( ξ), L ( ξ) drugiego stopia ξ ξ + L ( ), ( ) ( )( ), ξ = ξ L ξ = ξ + ξ L( ξ) = ξ (3.3) 8

19 4. Przegląd metod elemetów brzegowych stosowaych w aalizie dyamiczej 4.. Metoda kroków czasowych Rówaie αw ( y,t) + M ( z, y,t ) ϕ ( z,t)d C + V ( z, y,t) w ( z,t)dc + R () twt () M ( z,t ) ϕ ( z, y,t)d C V ( z,tw ) ( z, y,t)dc i i z z i= C C R() t w() t = q ( x,t) w ( x, y,t)d i= C z z C i i x, y z C, α =, y C (4.) przedstawia tożsamość całkową omigliay wyprowadzoą dla płyty ciekiej. Literami dużymi ozaczoe zostały siły poprzecze i momety zgiające, zaś małymi przemieszczeia i obroty. kładiki adkreśloe są wielkościami fizyczymi występującymi w rozwiązaiu podstawowym, pozostałe zaś (bez adkreśleia) dotyczą płyty rzeczywistej i są wielkościami szukaymi. a brzegu płyty C wyróżiamy skończoą liczbę puktów brzegowych z, zaś a obszarze płyty wyróżiamy współrzęde powierzchiowe x. Pukty kolokacji zostały ozaczoe przez y i w zależości od przyjętej metody całkowaia, rówaia (4.) zajdują się: a brzegu C wtedy całki brzegowe w rówaiu (4.) są liczoe w sesie wartości główej Cauchy ego, a zewętrzym koturze brzegu C wtedy stosuje się metodę kolokacji Kupradzego. Jedym ze sposobów rozwiązywaia rówaia całkowego (4.) w dziedziie czasu jest metoda kroków czasowych ([]). W ujęciu tym każdy krok czasowy t rozważay jest jako oddziele zadaie, w wyiku czego a końcu każdego kroku ależy obliczyć przemieszczeia i prędkości puktów wewątrz płyty i traktować je jako waruki początkowe dla astępego kroku. Dla uproszczeia rozważań przyjęto, że waruki początkowe i siły objętościowe są zerowe. Czas t [, t k ] jest dzieloy a M kroków czasowych t = t m - t m -, m =,,, M gdzie t m = m t. Wówczas formuła całkowa (4.) odiesioa do chwili t m może być zapisaa w postaci 9

20 tm αw ( y,t ) + M ( z, y,t τ) ϕ ( z, τ)dc t C m m z m- + V ( zy,,t τ) w ( z, τ)d C + R( t τ) w( τ) C C m z i m i i= M ( z, τϕ ) ( z, y,t τ)dc m z V ( z, t) w ( z, y,t τ)d C R( τ) w( t τ) C m z i i m i= m j q ( x, τ) w ( x, y,tm τ)dx d τ = M ( z, y,t j τ) ϕ( z, τ )dc j= t C + V ( zy,,t τ) w ( z, τ)d C + R( t τ) w( τ) C C j z i j i i= M ( z, τϕ ) ( z, y,t τ)dc j z V ( z, t) w ( z, y,t τ)d C R( τ) w( t τ) C j z i i j i= q ( x, τ) w ( x, y,tj τ)dx dτ t j- z (4.) Przyjmuje się, że pola przemieszczeń i sił brzegowych zmieiają się liiowo w każdym przedziale czasu t, otrzymuje się wówczas M m m m m m= w ( z, τ ) = T w ( z) + T w ( z) M m m m m, = T + T m= ϕ ( z τ) ϕ ( z) ϕ ( z) M m m m m i( τ ) = i + i m= w T w T w M m m m m τ = + m= V ( z, ) T V ( z) T V ( z) M m m m m τ = + m= M ( z, ) T M ( z) T M ( z) M m m m m i( τ ) = i + i m= R T R T R M m m m ( x τ ) = ( + m= m q, T q x) T q ( x) (4.3) gdzie fukcje iterpolacyje czasu mają postać

21 m tm τ T = Φm ( τ ) t m tm τ T = Φm ( τ ) t Φ ( τ) = H[ τ ( m ) t] H( τ m t) m (4.4) przy czym w m = w(y, t m ), V m = V (y, t m ),, zaś H jest fukcją Heaviside a. 4.. Metoda alteratywa Wadą przedstawioej powyżej metody jest koieczość rozwiązywaia płyty za pomocą MEB dla każdego kroku czasowego. Wyika to z faktu, że staem wyjściowym dla astępego kroku czasowego jest rozwiązaie wzięte z kroku bieżącego, co czyi wyżej przedstawioą metodę czasochłoą pod względem obliczeń umeryczych. Zaprezetowae poiżej ujęcie alteratywe wykorzystuje rozwiązaie podstawowe statyczej teorii sprężystości. Wymaga tylko jedokrotego obliczeia macierzy współczyików. Tożsamość całkowa w ujęciu tej metody wygląda podobie jak w metodzie kroków czasowych (użyte symbole ozaczają te same wielkości fizycze). Pojawia się jedak dodatkowa całka a końcu wzoru (4.5) zawierająca iezae pole przyspieszeń wewątrz obszaru płyty ([]) αw ( y,t) + M ( z, y) ϕ ( z,t)d C + V ( z, y) w ( z,t)d C + Rw( t) C z z i i C i= M ( z,t ) ϕ ( z, y)d C V ( z,t) w ( z, y)d C R( t) w = C z z i i C i= = q ( x,t) w ( x, y)d m w ( x,t) w ( x, y)d, y z C, α =, y C x x (4.5) gdzie ϕ = w, α α (,, ) V = M + M t t M = M αβ β αβ γ β γ α αβ α β ( ν) M = D w, + νδ w, αβ αβ αβ γγ (4.6)

22 Zakłada się że pole w( x, t) moża wyrazić w postaci sumy iloczyów iezaych fukcji czasu ä(t) = ä i (t) i fukcji bazowych h(x) = h i (x), zatem ( x ) = ( ) ( x) w t a t h (4.7), i i Fukcje bazowe są to p. odległości od puktów węzłowych płyty ( x) x z ( ) ( ) h = = x z + x z (4.8) i i i i Wstawiając zależość (4.7) do rówań (4.5) otrzymujemy układ rówań, w którym jedyymi iewiadomymi są fukcje a(t). Ostateczie moża zapisać układ (4.5) w postaci macierzowej [ A] a() t + [ M] a( t) = q( t) (4.9) astępie moża ograiczyć układ rówań (4.9) do takiego, który pozwala a wyzaczeie drgań własych płyty [ ] ( t) + [ ] ( t) = A a M a (4.) Zakładając fukcje a(t) w postaci harmoiczej moża wyrazić ä(t) = f[a(t)], gdzie f jest fukcją liiową: iωt ( ) = ae iωt () = ω ae () = ω a() t a t a t a t (4.) Ostateczie rówaie (4.) przyjmie astępującą postać ( ω ) ( t ) = A a (4.)

23 Obliczając astępie miejsca zerowe wielomiau powstałego z wyzaczika macierzy A względem ω otrzymujemy częstości kołowe ω j odpowiadające częstotliwościom drgań własych płyty. Wstawiając poowie do macierzy A otrzymae w te sposób wartości ω moża obliczyć wektory włase odpowiadające wartościom ω j i t ( ω j ) j e ω A a = (4.3) 3

24 5. Aaliza drgań membray 5.. formułowaie problemu Drgaia wymuszoe membray opisywae są rówaiem różiczkowym ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) T w t + cw t + mw t = q t (5.) w którym T ozacza siłę aciągu membray, m jej masową gęstość powierzchiową, c parametr tłumieia, jest operatorem Laplace a względem współrzędych przestrzeych (x, x ), a kropka ad literą, różiczkowaie względem czasu t. Reakcję brzegową V przedstawia zależość V T w = (5.) gdzie jest wektorem ormalym do brzegu membray. Rozwiązaie rówaia (5.) ma postać harmoiczej zależości od czasu, czyli * ( x, ) = ( x) si( ω ) * ( x, ) = ω ( x) si( ω ) w t w t w t w t (5.3) Problem drgań własych membray sprowadza się do rozwiązaia jedorodego rówaia różiczkowego jedyie względem współrzędych przestrzeych x = (x, x ) * * ( x) ω ( x) ( ω ) ( x) ω ( x) T w m w si t = T w m w * * = (5.4) W pracy w orygialy sposób wyprowadzoo rozwiązaie podstawowe rówaia (5.4), będące podstawą algorytmu metody elemetów brzegowych (MEB). Rozwiązaie podstawowe ma postać szeregu rozwiązań podstawowych kolejych potęg operatora Laplace a. Jest to formalie algebraiczy szereg potęgowy ze względu a częstość kołową ω. Z tego powodu algorytm MEB ie prowadzi do klasyczej, liiowej postaci zagadieia własego. Wyzaczeie wartości własych polega a zalezieiu pierwiastków wyzaczika 4

25 macierzy układu rówań MEB względem parametru ω. W dalszej części pracy, w celu uproszczeia ozaczeń, amplitudy ugięć w* będą ozaczae jedyie literą w. 5.. Rozwiązaie podstawowe rówaia drgań własych membray Rozwiązaie podstawowe w zagadieia drgań własych membray spełia rówaie (5.4) z prawą stroą w postaci δ-diraca ([3,38]) T w ω mw= δ (5.5) Po wykoaiu przekształceia Fouriera ([]) i rozwiięciu w szereg Maclauria względem ω ([3,3]) obraz rozwiązaia podstawowego moża przedstawić w postaci ( m) ω w = = T m (5.6) ( i+ T ) ρ ω ρ i+ i= i gdzie ρ jest promieiem w przestrzei obrazów trasformaty Fouriera. Obraz rozwiązaia podstawowego w postaci szeregu (5.6) moża odwrócić ([4]), uzyskując astępującą postać rozwiązaia podstawowego i + i ( ω ) i+ i= T (5.7) w= m w We wzorze (5.7) i ma postać (3.) w ozacza rozwiązaie fudametale -tej potęgi operatora Laplace a ( ) r w() r = r Cl D π r C C C+ =, D + = D C =, D = (5.8) W praktyczych obliczeiach zadowalającą zbieżość szeregu (5.7) osiąga się przy uwzględieiu od kilku do kilkudziesięciu wyrazów. 5

26 5.3. Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych membray Rozpatruje się membraę zajmującą obszar ograiczoy krzywą brzegową C. a brzegu membray występują siły brzegowe V oraz przemieszczeia brzegowe w (rysuek 5.). T x C x x 3 V w Rys. 5.. Podstawowe ozaczeia Podstawą sformułowaia algorytmu MEB ([3]) jest tożsamość omigliay, która przy braku obciążeń powierzchiowych przyjmuje postać αw( y ) + V( z, y ) w( z ) dc V( z ) w( z, y ) dc = C, y z C, α =, y C z C z (5.9) W powyższym wyrażeiu wielkości brzegowe ozaczoe adkreśleiem są odpowiedimi operatorami pól brzegowych określoymi a rozwiązaiu podstawowym w ([6,]). Z postaci rówaia (5.7) wyika, że operatory rozwiązań podstawowych są ieliiowymi fukcjami (wielomiaami) względem częstości kołowej ω. Dyskrety układ rówań MEB uzyskuje się, stosując kolokacyje podejście Kupradzego, w którym pukty kolokacji - y we wzorze (5.9) - są położoe a zewętrzym koturze obszaru (zbliżoym w kształcie do koturu brzegowego C) ([5]) i ich liczba jest zgoda z liczbą iewiadomych brzegowych parametrów węzłowych. Układ te ma postać jedorodego algebraiczego układu rówań 6

27 ω ω w A = ( ) A ( ) w V V (5.) a podstawie waruków brzegowych z dwóch wielkości brzegowych jeda jest zawsze zaa. a brzegu zamocowaym ugięcia są zae: w =, a iewiadomymi są reakcje pioowe V. a brzegu swobodym reakcje pioowe V =, a iewiadomymi są ugięcia w. iech X będzie wektorem iezaych wielkości brzegowych, a Y wektorem zaych wielkości brzegowych w w =, = = V V [ X] [ Y] (5.) 5.4. Wyzaczeie częstości drgań własych Układ rówań (5.), iezależie od przyjętych waruków brzegowych, moża zapisać w zwartej postaci [ A][ X ] = (5.) Układ rówań (5.) posiada ietrywiale rozwiązaie pod warukiem zerowaia się wyzaczika macierzy A. Waruek te pozwala a sformułowaie algebraiczego rówaia, które powiy spełiać częstości ω ( ω) det A = ωi, i =,, (5.3) Rówaie (5.3) posiada rówież rozwiązaia, które ie są poprawymi częstościami ω i. W celu wyelimiowaia tych iewłaściwych pierwiastków ależy przeformułować zagadieie włase ([4]). Przyjmijmy, że dla pewej wartości własej wyzacza się wektor własy X. Wektor te moża uormować tak żeby jeda z jego współrzędych x k =. Formalie, a podstawie wzoru (5.), moża zapisać astępującą rówość ([7]) 7

28 x k- [ A][ X] = [ B][ Y] [ A] = [ B] η xk+ (5.4) z zerowym wektorem Y, którego współrzędą y k ozaczmy przez η (oczywiście rówą zero). Macierz B zawiera podmacierze układu (5.) związae z zerowymi parametrami węzłowymi (waruki brzegowe) i ma postać [ B] A ( ω) A ( ω) = w V (5.5) Układ (5.4) moża przekształcić, zamieiając k-te kolumy w macierzach A i B, uzyskując x k- [ ] η = [ ] = [ ] ak- bk ak+ bk - ak bk+ a k (5.6) xk+ Po prostych przekształceiach, z powyższego układu rówań, moża wyzaczyć iewiadomą η, której zaa zerowa wartość staowi waruek do obliczeia poprawych częstości własych ( ) det[ A] [ a b a ] η ω = = ωi, i =,, det k- k k+ (5.7) Jedyymi rozwiązaiami rówaia (5.7) są poprawe wartości częstości ω i ([4]) Wyzaczeie form własych Obliczoe częstości ω i moża wstawić poowie do układu (5.) i wyliczyć iezae parametry X odpowiadające daej formie własej. Takie postępowaie jest rówozacze z wyliczeiem wektorów własych macierzy A (5.), poieważ macierz A staje się osobliwa gdy podstawimy do iej częstości ω i odpowiadające częstotliwościom drgań własych 8

29 membray. Policzoe wielkości brzegowe astępie moża wstawić do rówaia (5.9) i wyliczyć ugięcia wewątrz membray (możik α = ) w puktach, których współrzęde wstawimy w miejsce współrzędych puktów kolokacji y Drgaia wymuszoe bez tłumieia Zakładamy rozwiązaie, zgodie z metodą rozdzieleia zmieych Fouriera, w astępującej postaci ( x, ) ( x) ( ) w t = w T t = s o () = () + () T t T t T t (5.8) gdzie to ilość form własych wziętych do dalszych obliczeń. Część przestrzea przedstawioa jest w postaci szeregu w bazie form własych. W części czasowej moża wyróżić rozwiązaie szczególe i ogóle (5.8) T s i T o. Fukcję obciążeia zewętrzego moża rozwiąć w bazie form własych = = w ( x, ) () ( x), () q t = q t w q t ( x ) ( x) q, t w d ( x) d (5.9) astępie, korzystając z metody Fouriera, moża wyzaczyć z rówaia form własych (5.4) składik zawierający ω i podstawić go do rówaia (5.) pomijając składik tłumieia w( x) mωt() t + mt () t = w( x) q() t (5.) = = Aby uwzględić wpływ sił wymuszających ależy wyzaczyć T s (t). T s (t) wyzaczamy przy pomocy trasformaty Laplace a. Upraszczając rówaie (5.) otrzymujemy s ( ) ω ( ) ( ) m T t + m T t = q t (5.) s Rozwiązaie podstawowe rówaia (5.) spełia rówaie 9

30 m T t + m T t = t (5.) s (, τ ) ω (, τ) δ ( τ) s gdzie τ jest czasem bieżącym. akładając a obie stroy rówaia trasformatę ([]) otrzymujemy sτ s s s s e ms T m T τ + ω = e T = m s + ω (5.3) Po zastosowaiu trasformacji odwrotej mamy ([4]) T s ( t τ ) siω = (5.4) m ω tosując twierdzeie Borela o splocie moża wyzaczyć rozwiązaie rówaia (5.) dla dowolej fukcji q (t) ( t τ) t s siω T () t = q( τ ) dτ m (5.5) ω Waruki początkowe rozwijamy w szereg fukcji własych w ( x, ) = w ( x) φ, w ( x, ) = w ( x) ψ (5.6) = = gdzie ( ) ( ), ψ ( ) d x ( ) ( ) w x, w x d w x, w x d φ = = w w d ( x) (5.7) astępie moża wyzaczyć rozwiązaie ogóle membray przy zadaych warukach początkowych upraszczając rówaie (5.) do rówaia różiczkowego jedorodego drugiego rzędu o stałych współczyikach 3

31 o ( ) ω ( ) o T t + T t = (5.8) Rozwiązaie rówaia (5.8) ma astępującą postać () si ( ω ) cos( ω ) T t = C t + D t (5.9) o tałe całkowaia C i D wyzaczamy z waruków początkowych (5.6) o s s ( x ) ( x) ( ) ( ) ( ) w, = w T + T, T = = (,) ( ) w x = w x D D = φ = (5.3) Aby wyzaczyć stałe C ależy policzyć pierwszą pochodą rówaia (5.9) () cos( ) si ( ) T t = C ω ω t D ω ω t (5.3) o i wyzaczyć stałe o s s ( x ) ( x) ( ) ( ) ( ) w, = w T + T, T = = w ( x,) = w( x) C ω C = ψ = ω (5.3) Poieważ dla rozpatrywaej klasy obciążeń waruki początkowe rozwiązaia szczególego są tożsamościowo rówe zero, (5.3), (5.3), wystarczy, żeby spełiało je rozwiązaie ogóle Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia Zakładamy rozwiązaie w astępującej postaci ( x, ) ( x) ( ) w t = w T t = s o () = () + () T t T t T t (5.33) 3

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna 2-2

Ekonomia matematyczna 2-2 Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x

, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie

Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie Metody umerycze Marek Lefik Wykład 1 Studia doktorackie 01-013 Metody umerycze: wstęp ogóly Czemu służą MN Rozwiązaia symbolicze zagadień brzegowych dla skomplikowaej geometrii ie jest możliwe Rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

NOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w

NOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w NOWA MATURA 005 Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązaia zadań 9 maja 005 ZADANIE ( pkt) Wyzacz dziedzię fukcji f ( x) log ( x x x ) postaci sumy przedziałów liczbowych = + i zapisz ją w x ROZWIĄZANIE

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 255-26, Gliwice 26 ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA RYSZARD KORYCKI DARIUSZ WITCZAK Katedra Mechaiki

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Prawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski

Prawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol Piotr Morawski 207 Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol, Piotr Morawski Jeżeli światło pada a graicę dwóch ośrodków, to ulega zarówo odbiciu a

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych O kilku zastosowaiach grup i pierściei grupowych Czesław BAGIŃSKI, Edmud R. PUCZYŁOWSKI, Białystok Warszawa Nierzadko zdarza się, że rozwiązaie elemetarie brzmiącego zadaia, wymaga iestadardowych pomysłów.

Bardziej szczegółowo