Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
|
|
- Adam Mazurek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że X > 3/4. Porówać otrzymae oszacowaie z wartością dokładą prawdopodobieństwa. Odp. 1. E [X] = 1 xf(x)dx = xdx = Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = Pr(X > 3/4) = f(x)dx = dx = 1 4 3/4 3/4 Zadaie 2. Zmiee losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są iezależe o tym samym rozkładzie, jedostajym a odciku [0, 1]. Oszacować od dołu Pr(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 < 3). Odp. 2. Niech X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4. Wtedy E [X] = E [X 1 ] + E [X 2 ] + E [X 3 ] + E [X 4 ] = = 2 Pr(X < 3) = 1 Pr(X 3) 1 E [X] 3 = = 1 3 Zadaie 3. Zmiee losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są iezależe o tym samym rozkładzie, przy czym E [X i ] = 1, oraz D 2 [X i ] = 1. Oszacować od dołu Pr(2 < X 1 + X 2 + X 3 + X 4 < 6). Odp. 3.
2 Niech X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4. Wtedy E [X] = E [X 1 ] + E [X 2 ] + E [X 3 ] + E [X 4 ] = 4 D 2 [X] = D 2 [X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ] 1 = D 2 [X 1 ] + D 2 [X 2 ] + D 2 [X 3 ] + D 2 [X 4 ] = 4 Pr(2 < X < 6) = Pr( 2 < X 4 < 2) = Pr( X 4 < 2) = 1 Pr( X 4 2) 2 1 D2 [X] 2 2 = 1 1 = 0 W 1 = skorzystaliśmy z iezależości zmieych X i. W 2 skorzystaliśmy z ierówości Czebyszeva. Jak widzimy, ie uzyskaliśmy żadej istotej iformacji (prawdopodobieństwo jest zawsze ieujeme!). Zadaie 4. Niech zmiea losowa X będzie sumą 10 iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 2. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od dołu Pr(X 8), a korzystając z ierówości Czebyszewa oszacować Pr(3 < X < 7). Odp. 4. Niech X = X 1 + X X 10, gdzie X i są iezależe o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 2. Wtedy E [X i ] = 1 λ, D2 [X i ] = 1 λ 2. E [X] = 10 E [X 1 ] = 10 0 xλe λx dx = 10 1 λ = 5 D 2 [X] = D 2 [X 1 ] + D 2 [X 2 ] + + D 2 [X 10 ] = 10D 2 [X 1 ] = 10 4 Pr(X 8) = 1 Pr(X 8) 1 E [X] = Pr(3 < X < 7) = Pr( 2 < X 5 < 2) = Pr( X 5 < 2) = 1 Pr( X 5 2) 1 D2 [X] 4 = = 3 8 Zadaie 5. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest rówe Korzystając z ierówości Czebyszewa oszacować od dołu prawdopodobieństwo tego, że w 800 iezależych próbach ilość sukcesów będzie większa iż 150, a miejsza iż 250. Odp. 5.
3 W ramach schematu Beroulliego: = 800, p = 0.25, Pr(X = k) = ( k) p k (1 p) k, E [X ] = p = 200, D 2 [X ] = p(1 p) = 150. Pr(150 < X < 250) = Pr( 50 < X 200 < 50) = Pr( X 200 < 50) = 1 Pr( X ) 1 D2 [X ] = = Zadaie 6. Niech X będzie zmieą losową o wartości średiej m = E [X] i wariacji σ 2. Oszacować od dołu wyrażeie Pr( X m < σ) dla = 3, 4, 5. Następie założyć, że X ma rozkład ormaly, X N(m, σ) i to samo zadaie wykoać korzystając z tablic rozkładu ormalego. Porówać otrzymae wyiki w pierwszym i drugim przypadku. Odp. 6. Pr( X m < σ) = 1 Pr( X m σ) 1 D2 [X] = dla = σ 2 = 1 1 dla = dla = 5 25 W przypadku, gdy X N(m, σ), rozważamy stadaryzowaą zmieą X = X m N(0, 1). Dlatego σ Pr( X m < σ) = Pr( X < ) = Pr( < X < ) = Φ() Φ( ) gdzie Φ jest dystrybuatą stadardowego rozkładu ormalego. W tablicach rozkładu ormalego zajdujemy: Φ(3) = , Φ(4) = , Φ(5) = , Φ( 3) = , Φ( 4) = , Φ( 5) = Stąd dla = 3 Pr( X m < σ) = dla = dla = 5 Zadaia, w których moża stosować przybliżeie Poissoa ( )p k (1 p) k λ λk e k k!,
4 gdzie λ = p, stosowaego, gdy jest duże, p jest małe, λ średie, p. gdy p 0.1, 0.1 λ 10 oraz 100. Zwróć uwagę, że powyższe porówaie dotyczy odpowiedich wartości prawdopodobieństw w rozkładach Beroulliego i Poissoa. Zadaie 7. Podręczik wydao w akładzie 5000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręczik został źle oprawioy jest rówe Zaleźć prawdopodobieństwo tego, że w akładzie pojawią się co ajmiej dwie źle oprawioe książki. Odp. 7. W ramach schematu Beroulliego: X zmiea losowa podaje liczbe sukcesów, źle oprawioych podręczików w akładzie egzemplarzy. Dae rozkładu X : Pr(X = k) = ( k) p k (1 p) k, E [X ] = p, D 2 [X] = p(1 p), = 5000, p = Przybliżeie Poissoa: ( Pr(X = k) = )p k (1 p) k λ λk e k k!, λ = p Pr(X 2) = 1 (Pr(X = 0) + Pr(X = 1)) 1 e 5 (5 + 1) λ = 5 Zadaie 8. Obliczyć w przybliżeiu prawdopodobieństwo, że partia 200 elemetów zawiera co ajmiej 1 elemet wadliwy, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wytworzeia wadliwego elemetu wyosi p = Odp. 8. Pr(X 1) = 1 Pr(X = 0) 1 e 2, λ = p = 2 Zadaie 9. Prawdopodobieństwo wygraia agrody a loterii wyosi Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 200 grających: a) żade ie wygra, b) wygra co ajmiej jede, c) wygra co ajwyżej dwóch. Odp. 9.
5 Postępujemy według schematu Beroulliego, stosujemy aproksymację Poissoa Pr(X = 0) e 0.2, λ = = 0.2 Pr(X 1) = 1 Pr(X = 0) 1 e 0.2 Pr(X 2) e 0.2 ( /2) Zadaie 10. Rzucamy dwoma kostkami do gry. Sukcesem jest wyrzuceie pary szóstek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 100 rzutach liczba sukcesów będzie dodatia, ale ie przekroczy 2. Odp. 10. Schemat Beoulliego, dae: = 100, X k wyik w k-tym rzucie, rozkład p = Pr(X k = 1) = 1/36 (sukces), q = Pr(X k = 0) = 1 p = 35/36 (porażka). Niech Z = X 1 + X X liczba sukcesów w -rzutach. Będziemy stosować aproksymację Poissoa z λ = p = 100/36. ( ) 100 Pr(0 < Z 2) = Pr(Z = 1) + Pr(Z = 2) = p(1 p) ( ) 100 p 2 (1 p) 98 e λ (λ λ2 ) = Zadaie 11. Partię wyprodukowaych elemetów, wśród których wymieszaych było 100 wadliwych, zapakowao po 500 sztuk, do 100 pojemików. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymay przez klieta pojemik, zawierał co ajmiej dwa elemety wadliwe. Odp. 11. Schemat Beroulliego: = 500, sukces-elemet wadliwy, prawdopodobieństwo wylosowaia pojedyczego elemetu wadliwego: p = 100/50000 = Zmiea losowa Z podaje liczbę elemetów wadliwych w partii elemetów, jej rozkład jest astępujący Pr(Z = k) = ( k) p k (1 p) k. W obliczeiach stosujemy przybliżeie Poissoa z λ = p = = 2 Pr(Z 2) = 1 (Pr(Z = 0) + Pr(Z = 1)) 1 e 2 (1 + 2).
6 Zadaie 12. Przy trasmisji = 10 4 bitów dodajemy jeszcze jede bit tak, aby liczba wszystkich jedyek była parzysta. Błąd w trasmisji wykryjemy, jeśli liczba odebraych jedyek będzie ieparzysta. Obliczyć prawdopodobieństwo iewykrycia błędu, gdy prawdopodobieństwo przekłamaia pojedyczego bitu wyosi p = Wsk. rozpatrzyć przypadek przekłamaia dokładie dwóch bitów. Co w przypadku przekłamaia większej, parzystej liczby bitów? Odp. 12. Schemat Beroulliego z = 10 4, sukces = przekłamaie jedego bitu, zmiea losowa Z podaje liczbę przekłamaych bitów. Rozkład zmieej Z jest astępujący Pr(Z = k) = ( k) p k (1 p) k. Przykładowe wartości dla k = 0 Pr(Z = k) = ( ) p k (1 p) k = k dla k = e 05 dla k = e 07 dla k = e 10 dla k = 4 Zwróć uwagę a rzędy wielkości i domiującą wartość prawdopodobieństwa przekłamaia dwóch bitów w stosuku do prawdopodobieństwa przekłamaia większej parzystej liczby bitów. Dla porówaia podajemy aproksymacje Poissoa dla k = 0 Pr(Z = k) = ( ) p k (1 p) k = k dla k = e 05 dla k = e 07 dla k = e 10 dla k = 4 Zadaie 13. Prawdopodobieństwo zdaia egzamiu przez studeta pewej iepubliczej szkoły wyższej wyosi Zakładając, że studeci zdają egzamiy iezależie od siebie, obliczyć prawdopodobieństwo, że ze 100 studetów egzamiy zda co ajmiej 97 studetów. Odp. 13. Schemat Beroulliego, = 100, sukces=studet ie zdał egzamiu p = , zmiea losowa Z podaje liczbę studetów, którzy ie zdali egzamiu, rozkład Z, Pr(Z = k) = ( k) p k (1 p) k. Będziemy stosować
7 aproksymację Poissoa z λ = p = 2. Problem w zadaiu opisujemy astępująco Pr(Z 2) = Pr(Z = 0) + Pr(Z = 1) + Pr(Z = 2) e 2 ( /2). Zadaia a zastosowaie Cetralego Twierdzeia Graiczego (twierdzeia Lidberga-Levy ego) Przykład 1. Prawdopodobieństwo uzyskaia wygraej w pewej grze liczbowej wyosi 0.1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających osób wygra więcej iż 60 osób. Rozwiązaie. Niech X i = { 1, gdy wystąpiła wygraa w i-tej grze 0, gdy wystapiła przegraa w i-tej grze i = 1, 2,..., 500, m = E [X i ] = p = 0.1, σ 2 = D 2 [X] i = p(1 p) = 0.09, = 500 oraz iech X = X 1 + X X 500. Szukae prawdopodobieństwo wyosi 60 ( ) 500 Pr(X 60) = 1 Pr(X < 60) = k k. k Trudości w obliczeiu 60 k=0 k=0 ( 500 ) k 0.1 k k moża omiąć korzystając z Cetralego Twierdzeia Graiczego. Miaowicie {ω : X < 60} = {ω : X 1 + X X 500 < 60} = { } X 1 + X X m m ω : < = 500σ 500σ { ω : X 1 + X X m 500σ < } Stosując teraz Cetrale Twierdzeie Graicze, otrzymujemy ( ) 10 Pr(X < 60) Φ Φ(1.5) , gdzie Φ(x) = 1 2π x ormalego N(0, 1). Ostateczie e x2 2 dx jest dystrybuatą stadardowego rozkładu Pr(X 60) = 1 P (X < 60) =
8 Zadaie 14. Prawdopodobieństwo urodzeia chłopca jest rówe Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 1000 oworodków będzie co ajwyżej 480 dziewczyek? Odp. 14. Niech X = 1 ozacza urodzeie dziewczyki (sukces) i iech X = 0 ozacza urodzeie chłopca. Rozkład prawdopodobieństwa X: Pr(X = 1) = p = 0.485, Pr(X = 0) = 0.515, m = E [X] = p = 0.485, σ 2 = D 2 [X] = p(1 p) = Przyjmujemy = 1000 Z = X 1 + X X, X 1, X 2,..., X są iezależe o rozkładzie zmieej X, zastosujemy Cetrale Twierdzeie Graicze ( Z m Pr(Z 480) = Pr x = 480 m ) 480 m σ 1 Φ = , 1 Φ(x ) = ( ) 480 m Zadaie 15. Średio, dwa a dziesięć kupioych jaj ie adaje się a pisakę. a) Ile trzeba kupić jaj, aby z prawdopodobieństwem co ajmiej 0.9 zapewić możliwość zrobieia 50 pisaek? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując obliczoą w pukcie a) liczbę jaj a pisaki, zabrakie ich więcej iż 10? Odp. 15. Przyjmujemy X = 1 - zakupioe jajko jest dobre (sukces), X = 0-zakupioe jajko jest wadliwe (porażka). Rozkład X: Pr(X = 1) = 0.8, Pr(X = 0) = 0.2, m = E [X] = 0.8, σ 2 = D 2 [X] = Zmiee X 1, X 2,..., X ozaczają poszczególe jajka zakupioej w -partii. Zaiteresowai jesteśmy zdarzeiem X 1 + X X 50. Będziemy stosować Cetrale Twierdzeie Graicze. Niech Z = X 1 + X X m = 0.8, = 0.4 ( Z m Pr(Z 50) = Pr Φ(x ) = 0.1 x = x = 0.4 = 1.28 ) 50 m σ 1 Φ(x ) = 0.9
9 Wyzaczamy z rówaia kwadratowego (przyjąć x = ) = 0 x 1 = , x 2 = przyjmujemy: x Wiosek. Trzeba kupic coajmiej = 69 jajek. b) ( Z m Pr(Z < 50 10) = Pr 40 m x = σ = σ 69 ) ( ) 40 m 40 m < σ Φ 4.57 Zadaie 16. Czy moża zastosować twierdzeie Lideberga-Levy ego dla ciągu iezależych zmieych losowych o gęstościach f(x) = 1 π(1 + x 2 )? Odp. 16. Wśród założeń w Cetralym Twierdzeiu Graiczym są astępujące: E [X i ] = m <, D 2 [X i ] <, i = 1, 2, 3,...,. Natomiast zmiea X o gęstości f(x) ie ma skończoej wartości oczekiwaej, co wykazują obliczeia 1 π 1 x 1 + x dx = 2 2 π 0 1 x 1 + x dx = 1 2 π l(1 + x2 ) 0 =. Zadaie 17. Obliczyć w przybliżeiu prawdopodobieństwo, że partia 100 elemetów, z których każdy ma czas pracy T i (i := 1, 2,..., 100) wystarczy a zapewieie pracy urządzeia przez lączie 100 godzi, gdy wiadomo, że E [T i ] = 1 oraz D 2 [T i ] = 1. = 100 Odp. 17.
10 Niech Z = T 1 + T T -łączy czas pracy elemetów, będziemy stosować Cetrale Twierdzeie Graicze. m = E [T i ] = 1, σ 2 = D 2 [T i ] ( ) Z m Pr(Z 100) = 1 Pr(Z < 100) = 1 Pr σ 100 m < σ 1 Φ(x ), x = 100 m = 0 Φ(x ) = Φ(0) = 0.5 Zadaie 18. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X 60 mają rozklad jedostajy a odciku [1, 3]. Niech 60 X = X k. Obliczyć przybliżoą wartość wyrażeia Pr(118 < X < 123). Odp. 18. Dla rozkładu jedostajego mamy: m = E [X i ] = a+b σ 2 = D 2 [X i ] = (b a)2 = 4. Niech = 60. Wtedy m = 120, = 20 ( Pr(118 < X < 123) = Pr < X m 2 = 2, Φ(3/ 20) Φ( 2/ 20) = = ) < σ Zadaie 19. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X 100 są iezależe o jedakowym rozkładzie Poissoa z parametrem λ = 2. Obliczyć przybliżoą wartość wyrażeia ( ) 100 Pr 190 < X k < 220. Odp. 19.
11 Dla rozkładu Poissoa mamy: m = E [X i ] = λ = 2, σ 2 = D 2 [X i ] = λ = 2. Niech = 100, X = 100 X k. Wtedy m = 200, = 10 2 ( Pr(190 < X < 220) = Pr σ < X m ) σ < σ ( ) ( ) Φ σ Φ σ = Φ( 2) Φ( 1/ 2) = = Zadaie 20. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X 100 są iezależe o jedakowym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 4. Dla 100 X = X k obliczyć przybliżoą wartość wyrażeia Pr(X > 30). Odp. 20. Dla rozkładu wykładiczoego mamy: m = E [X i ] = 1/λ = 0.25, σ 2 = D 2 [X i ] = 1/λ 2 = 1/16. Niech = 100, X = 100 X k. Wtedy m = 25, σ 30 m = 10/4 = 2.5, σ = 5/2.5 = 2 ( 30 m Pr(X > 30) = Pr σ < X m ) σ Φ( ) Φ(5/2.5) = = Zadaie 21. Zmiee losowe X k są iezależe i mają te sam rozkład o gęstości { 3 f(x) = (1 4 x2 ) dla x < 1 0 poza tym. Dla Z = 100 ( ) X k oszacować Pr Z <
12 Odp. 21. m = E [X i ] = 1 xf(x)dx = 3 x(1 x 2 )dx = 0, 4 E [ X 2 i ] = σ 2 = E [ X 2 i x 2 f(x)dx = x 2 (1 x 2 )dx = 3 4 ( ) = ] (E [Xi ]) 2 = = 1 5, σ = 1 5 = Niech = 100, X = 100 X k. Wtedy m = 0, = = 4.4, 10 = 1 = σ 3 ( Pr Z < 10 ) ( ) Z m = Pr 15 < 10 Φ(0.58) = σ
Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Grupę n dzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoPrzykłady 8.1 : zbieżności ciągów zmiennych losowych
Rachuek rawopoobieństwa MA8 Wyział Matematyki, Matematyka Stosowaa rzykłay 8. Róże rozaje zbieżości ciągów zmieych losowych. rawa wielkich liczb. Twierzeia graicze. rzykłay 8. : zbieżości ciągów zmieych
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne
Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoZadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoZadania z rachunku prawdopodobieństwa
Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa Każda trójka spośród czterech ukleotydów A,, G i T koduje jede amiokwas w łańcuchu ici DNA. Ile jest możliwych a priori różych amiokwasów? (OdpW 6 ; amiokwasów o różych
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowoZadania z rachunku prawdopodobieństwa I* Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa I* - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoTrochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?
Trochę zadań kombiatoryczych 1. a ile sposobów moża siedmiu stojących a peroie pasażerów umieścić w trzech wagoach? 2. Na szachowicy o wymiarach umieszczamy 8 ierozróżialych wież szachowych tak aby żade
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 3.04.08 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 07/08 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowo