Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania.
|
|
- Jolanta Michalik
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modelowane komputerowe fraktalnych basenów przycągana. Rafał Henryk Kartaszyńsk Unwersytet Mar Cure-Skłodowskej Pl. M. Cure-Skłodowskej 1, Lubln, Polska Streszczene. W artykule tym zajmujemy sę prostym dośwadczenem fzycznym, którego zlustrowane wynk przedstawają fraktalne baseny przycągana, a grance mędzy nm mają strukturę fraktalną. We wstępe omówono zagadnene dzwnych atraktorów basenów przycągana. Następne omawamy samo dośwadczene. W kolejnym paragrafe przedstawamy mplementację programu służącego do modelowana naszego dośwadczena. Abstract. In ths paper we present smple physcal experment and ts results showng fractal basns of attracton, whch boundares show fractal structure. In ntroducton we explan what strange attractors and fractal basns of attracton are. Next we descrbe our experment and program used for ts modelng. Fnally program mplementaton s concerned and project results presented. 1.Wstęp. Dzwne atraktory. Zajmujemy sę dynamcznym układam welowymarowym. Jest to przypadek bardzo rzeczywsty, poneważ realne stany rzadko dają sę opsać pojedynczym zmennym. Musmy sę też ogranczyć do układów dyssypatywnych, tj. takch, w których występuje tarce, a ogólnej utrata energ. Za przykład może posłużyć, będący przedmotem głębszej analzy, ruch wahadła w pewnym ośrodku np. powetrzu. Trac ono energe na skutek różnego rodzaju tarć. Przecweństwem układów dyssypatywnych są układy zachowawcze, w których ne występują straty energ. Matematycy fzycy skłonn byl uważać, że zachowane układów dyssypatywnych, w dłuższym okrese czasu, Rys.1.1. Atraktor Russela daje sę opsać prostym wzorcam ruchu, na przykład przez stnene punktu spoczynku. Dzwne atraktory, w przecweństwe, są wzorcam charakteryzującym zachowana złożonych układów dyssypatywnych, a dokładnej ch stanów ustalonych. Przejawają one wszelke oznak chaosu. Dzwne atraktory są pomostem łączącym chaos fraktale. Jeżel patrzymy na ne jako na struktury geometryczne, wdzmy fraktale, jeżel chcemy je analzować jako układy dynamczne, to mamy do czynena z chaosem. W rzeczywstośc ne ma jeszcze konkretnej defncj matematycznej dzwnego atraktora. Ponżej przedstawamy próbę zdefnowana podstawowych własnośc dzwnego atraktora [1].
2 Nech T(x, y) będze przekształcenem płaszczyzny o współrzędnych x, y. Ogranczony podzbór płaszczyzny A jest chaotycznym dzwnym atraktorem przekształcena T, jeżel stneje zbór R, mający następujące własnośc: Atraktor. R jest otoczenem A, tzn. dla każdego punktu (x, y) A stneje mały dysk o środku w (x, y), który jest zawarty w R. R jest obszarem pułapką, tzn. każda orbta zaczynająca sę w R pozostaje na zawsze w R. Ponadto, orbta staje sę blska A pozostaje tak blsko, jak tylko chcemy. A jest atraktorem. Czuła zależność. Orbty wychodzące z punktów należących do R wskazują czułą zależność od warunków początkowych. A jest atraktorem chaotycznym. Fraktal. Atraktor ma strukturę fraktalną jest dzwnym atraktorem. Meszane. A ne może zostać podzelony na dwa mnejsze atraktory (atraktor ne mus być zborem spójnym). Istneją punkty początkowe z obszaru R, których orbty podchodzą dowolne blsko dowolnego punktu atraktora A. Fraktalne baseny przycągana. Zbadajmy teraz sytuację, gdy mamy wele atraktorów. Wówczas orbta danego punktu początkowego pownna zbegać do któregoś z atraktorów. Logczne jest węc, że muszą stneć brzeg odpowednch basenów przycągana, które często mają strukturę fraktalną. Z numerycznego fzycznego punktu wdzena punkt początkowy można wyznaczyć jedyne z pewną dokładnoścą r. W tym mejscu pojawa sę defncja punktu nepewnego. Jest to punkt, w którego otoczenu o promenu r stneje punkt, którego trajektora zbega do nnego atraktora, nż badanego punktu (rys.1..). Obszar ten ma szerokość r, jest węc proporcjonalny do r. Jeżel r r r Rys.1.. Granca pomędzy dwoma basenam frakatalnym. Po prawej punkt nepewny. zmnejszymy promeń nepewnośc dwukrotne (poprawając dokładność) to obszar punktów nepewnych zmnejsza sę dwukrotne. W naszym przypadku mamy jednak do czynena z brzegem o charakterze fraktalnym, węc zależność będze bardzej złożona. Wyprowadzene jej ne będzemy jednak przytaczać, wspomnmy jedyne, że jest to zwązek potęgowy, wyprowadzany w oparcu o wymar pudełkowy brzegu. Kłopotów z przewdzenem stanu końcowego układu ne ma jedyne w przypadku, gdy dany punkt początkowy oraz jego otoczene, tj. punkty w odległośc ne wększej nż r od nego, zbegają do tego samego atraktora. Gdy tak ne jest stneją punkty z tego obszaru zbegające do różnych stanów, to ne możemy jednoznaczne przewdzeć, do którego atraktora zbega trajektora danego punktu początkowego. Wdzmy, że przewdywane zachowana układów nelnowych, z węcej nż jednym atraktorem, jest utrudnone, a wymar fraktalny zyskuje nterpretację dynamczną.. Wahadło matematyczne w polu magnetycznym. Rozważamy wahadło matematyczne, które może wykonywać ruchy we wszystkch kerunkach. Pod wahadłem, w pewnej odległośc od położena równowag, umeścmy magnesy o takej sle przycągana, by wahadło znajdujące sę dostateczne blsko magnesu zostało przez nego przycągnęte. Można wywnoskować, że ruch takego wahadła ne będze ruchem harmoncznym, lecz ruchem bardzo złożonym, można powedzeć chaotycznym. Z powodu występujących sł oporu, wahadło po pewnym czase zatrzyma sę przy którymś z magnesów lub w położenu
3 równowag. Można spróbować przewdzeć, czy wahadło zatrzyma sę w położenu równowag, czy przy magnese. A jeśl przy magnese, to przy którym. Oczywśce już z samej analzy problemu wynka, że położene końcowe wahadła będze zależało od welu parametrów początkowych np.: położena początkowego wahadła, położena sły magnesów czy od oporów ośrodka, w którym porusza sę wahadło. Trudno byłoby ustalć eksperymentalne położene końcowe wahadła w zależnośc od tych wszystkch parametrów. Dlatego spróbujemy wykonać symulację komputerową naszego eksperymentu. Należy, zatem zacząć od wyprowadzena równana ruchu wahadła. W celu uproszczena rachunków wprowadzmy pewne założena, a manowce: wahadło matematyczne zaweszone jest na neważkej nerozcąglwej ntce o długośc jednostkowej, wahadło traktujemy jako punkt materalny o jednostkowej mase, wahadło może wahać sę we wszystkch kerunkach w zakrese kąta π / < α < π /, po powerzchn sfery o promenu jednostkowym, ruch wahadła rozpatrujemy w układze współrzędnych XYZ, a punkt zaczepena znajduje sę w punkce o współrzędnych (0, 0, 1) (rys..1), na płaszczyźne XY umeszczone są magnesy w werzchołkach welokąta foremnego wpsanego w okrąg o promenu R środku w początku układu współrzędnych, sła oddzaływana każdego magnesu z wahadłem jest odwrotne proporcjonalna do kwadratu odległośc (druge prawo Coulomba),. sła oporu ruchu wahadła jest proporcjonalna do prędkośc (sła ρ ρ Stokesa F = 6πηrV ), Rys..1 Schemat dośwadczena Równane ruchu. Po tych założenach możemy przystąpć do wyprowadzana równana ruchu wahadła. Zgodne z naszym założenam wahadło porusza sę po sferze spełnającej równane: x + y + ( z 1) = 1 (.1) Z warunku kąta wychylena wahadła z położena równowag wynka, że składowa z- owa zmena sę w zakrese 0,1), węc: ( x ) z = y (.) gdze: 1 ( + y ) = cosα = η ( + y ) = sn α x (.3) x (.4) Ze względu na tak jednoznaczne powązane zmennych z, x y (wzór.) wystarczy, jeżel napszemy równana ruchu dla os X Y. Rozpatrzmy teraz ruch wahadła w polu Rys.. Rozkład sły grawtacj grawtacyjnym. Wypadkową słą, powodującą ruch wahadła po krzywej kołowej, jest składowa sły cężkośc, leżąca na stycznej do trajektor wahadła (rys..).
4 Korzystając z drugej zasady dynamk oraz rachunku wektorowego, możemy napsać równana ruchu wahadła w polu grawtacyjnym (wzór): x + gx 1 ( x + y ) = x + gxη = 0 (.5) y + gy 1 ( x + y ) = y + gyη = 0 gdze: g przyspeszene zemske. Jest to układ równań różnczkowych zwyczajnych drugego rzędu. W tym wypadku wahadło wykonuje ruch harmonczny w jednej płaszczyźne. Rozpatrzmy teraz słę oddzaływana wahadła z -tym magnesem (rys..3.). Nech położene -tego magnesu będze określone warunkem: π x = R cos ( 1) n (.6) π y = R sn ( ) 1 n gdze: n lość magnesów = 1,, 3,..., n R = promeń okręgu opsanego na welokące. Jak wynka z naszych założeń, sła oddzaływana - tego magnesu z wahadłem wynos: M F = (.7) d Rys..3. Wpływ przycągana magnesów gdze: M współczynnk proporcjonalnośc, zależny od rodzaju magnesu d odległość -tego magnesu od wahadła, która wynos: d ( ) ( x x) + ( y y) ( x y ) = (.8) + Borąc pod uwagę to, że sła składowa, wywołująca ruch wahadła, jest rzutem prostopadłym sły magnetycznej na płaszczyznę styczną od sfery (rys..3) oraz wykorzystując rachunek wektorowy, otrzymamy: F x M = d 3 [ x x( xx + yy + 1 ( x + y ))] [ y y( xx yy 1 ( x y ))] (.9) M Fy = 3 d Równane ruchu wahadła przyjme postać: n M x [ x x( xx + yy + η) ] + gxη = 0 3 = 1 d (.10) n M y [ ( + + η) ] + η = y y xx yy gy 0 3 = 1 d Otrzymany układ równań różnczkowych zwyczajnych drugego stopna mógłby posłużyć nam do badana trajektor ruchu wahadła w polu magnetycznym magnesów. Zauważymy jednak, że wahadło nasze jest przyspeszane (rys..4.) ngdy ne zatrzyma sę. Dlatego do równana (.10) wprowadzamy czynnk zwązany z słą oporu ośrodka, która jest proporcjonalna do prędkośc wahadła. Po wprowadzenu tego czynnka otrzymamy ostateczną postać równana ruchu wahadła:
5 n M x + Cx 3 = 1 d n M y + Cy 3 = 1 d gdze: C współczynnk proporcjonalnośc zwązany z oporem ośrodka. Rozwązane tego układu równań wymaga podana welu parametrów początkowych jak: określene położena początkowego wahadła, jego prędkośc początkowej, współczynnka oporu ruchu, sły oddzaływana magnesów na wahadło czy przyspeszena zemskego. Take zagadnene z tyloma parametram początkowym możemy na wele sposobów rozwązywać numeryczne. 3. Symulacje komputerowe ruchu wahadła matematycznego w polu magnetycznym. Wadomo, że obraz powstały na ekrane montora jest obrazem płaskm, dlatego należy przyjąć pewne odwzorowane powerzchn sfery, po której [ x x( xx + yy + η) ] [ y y( xx + yy + η) ] + gxη = 0 + gyη = 0 (.11) Rys..4. Trajektora wahadła w polu magnetycznym trzech magnesów bez oporu ruchu. porusza sę wahadło na powerzchnę płaską. Poneważ w naszym modelu zależność mędzy współrzędną z-ową a współrzędnym x y jest jednoznaczna, możemy tworzyć obrazy poprzez rzut prostopadły punktu P(x, y, z) sfery na punkt P (x, y) na płaszczyźne (rys. 3.1). Rys Odwzorowane sfery na płaszczyznę W naszym programe wykorzystamy także nne odwzorowane sfery na płaszczyznę. Jeżel poprowadzmy prostą ze środka sfery przechodzącą przez punkt P(x, y, z), to prosta ta przetne płaszczyznę XY w punkce P (Ux, Uy) (rys. 3.1). Należy zauważyć, że jeżel punkt P zblża sę do równka sfery, punkt P dąży do neskończonośc. Dlatego w naszych rozważanach rozpatrujemy ruch wahadła w zakrese kątów π / < α < π /. Take odwzorowane połowy sfery na płaszczyznę jest jednoznaczne można je przedstawć w postac: x x x U x = = = (3.1) 1 z 1 x + y ( ) η
6 y y y U y = = = (3.) 1 z 1 ( x + y ) η Istneje także jednoznaczne odwzorowane punktów płaszczyzny na punkty sfery: U x x = (3.3) 1 + U + U x x y U y y = (3.4) 1 + U + U y 1 z = 1 (3.5) 1 + U x + U y 4. Implementacja. Program został napsany w Delph jako aplkacja welowątkowa. srodek:= robrazka dv ; przelcznk:=1.0/srodek; Ux:=(wersz-srodek)*przelcznk; Uy:=(srodek-kolumna)*przelcznk; Rys.4.1. Przelczane pksel na współrzędne na płaszczyźne. Gdy znalezone zostały odwzorowana sfery na płaszczyznę, należało równeż przejść ze współrzędnych ekranu (pksele) na współrzędne płaszczyzny rzutu. Do określena, jake współrzędne na płaszczyźne (Ux, Uy) odpowadają pkselow (wersz, kolumna) służy kod rys.4.1. Zmenne używane w programe to parametry początkowe dośwadczena: lczba magnesów, promeń okręg, na którym znajdują sę magnesy, współczynnk namagnesowana magnesów, przyspeszene grawtacyjne, współczynnk oporu ośrodka oraz współrzędne początkowe wahadła. Dzęk takej parametryzacj możemy przeprowadzć nasze dośwadczene np. na dowolnej planece, a wahadło umeścć w dowolnym ośrodku. Ruch wahadła odbywa sę na sferze. Współrzędna sfery przelczane są na współrzędne płaszczyzny, a te z kole na pksele rysunku o zadanym rozmarze. Rozpatrując ruch wahadła, berzemy pod uwagę przesunęce przy stałej czasowej, uwzględnając sły oddzaływana pochodzące od pola grawtacyjnego każdego magnesu z osobna. Na podstawe wyprowadzonych poprzedno równań wyznaczamy kolejne położena wahadła. Program analzuje trajektorę ruchu wahadła od wybranego punktu początkowego do chwl uwęzena wahadła przez magnes lub pole grawtacyjne. Dla każdego magnesu środka cężkośc ustalamy promeń uwęzena wahadła. Jeżel wahadło w ustalonej lczbe kroków pozostane wewnątrz okręgu o tym promenu, elalfa := (DwaP/IleMag); for := 1 to IleMag do begn Alfa := elalfa * ( - 1); X[] := R * cos(alfa); Y[] := R * sn(alfa); end; X[0] := 0; Y[0] := 0; Rys.4.. Oblczane współrzędnych magnesów. uznajemy, że dany magnes, lub punkt równowag jest położenem końcowym wahadła. Gdy chcemy sporządzć obraz basenów przycągana, każdemu punktow na ekrane przyporządkowywany jest kolor zależny od położena końcowego wahadła. Zauważyć należy, że nasycene szarośc nformuje o punktach stacjonarnych. W programe można dowolne wyberać kolor odpowadający wybranemu magnesow, lub punktow równowag.
7 5. Wynk. Efektem wykonana programu są rysunk przedstawające rzut trajektor ruchu wahadła na płaszczyznę. a) b) c) d) e) f) Rys Wdok trajektor wahadła w polu magnesów, dla zmenających sę parametrów początkowych jak: opór ruchu (C), sła oddzaływana magnesów (M), położene początkowe (X,Y) czy lczby magnesów (N): a) N = 3; C = 0,4; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3; b) N = 3; C = 0,8; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3; c) N = 3; C = 0,9; M = 0,001; X = 0,1, Y = 0,3; d) N = 3; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,3; e) N = 5; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1; f) N = 1; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1; Na rysunku 5. możemy zaobserwować zależność położena końcowego wahadła od zmenających sę parametrów początkowych: oporu ruchu, sły oddzaływana magnesów, położena początkowego wahadła oraz lczby magnesów. Jak wdzmy wszystke parametry układu równań (.11) mają wpływ na trajektorę ruchu położene końcowe wahadła. Przejdźmy do głównego eksperymentu, polegającego na stworzenu mapy zależność położena początkowego od położena końcowego wahadła. Wyobraźmy sobe, że puszczamy wahadło z dowolnego punktu sfery sprawdzamy czy wahadło zatrzyma sę przy określonym przez nas magnese. Zbór takch punków nazywamy basenam przycągana. Rys. 5.. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad dwoma magnesam
8 Rys. 5.3 Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad czterema magnesam Rys Powększene fragmentu rysunku obok Rys.5.4. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad trzema magnesam. Rzut prostopadły. Na powyższych rysunkach wdzmy skomplkowany układ przenkających sę basenów przycągana magnesów. Należy zauważyć, że fragment basenu przycągana, który
9 wydaje sę należeć tylko do jednego magnesu, po powększenu (rys. 5.5.) okazuje sę poprzedzelany nnym basenam przycągana tak w neskończoność. Wdzmy, że w stoce mają one bardzo skomplkowaną, fraktalną strukturę, podobną do zboru Cantora. Dalsze rozważana obserwacje. W dalszej częśc pracy zajmę sę basenam przycągana dla układu pole grawtacyjne magnes. Na rysunku 5.6 wdzmy strukturę basenów przycągana magnesu. Zastanówmy sę, czym są baseny przycągana, jake zjawsko w stoce obserwujemy. Jeżel przeanalzujemy układy równań (.10) lub (.11), ruchu wahadła, zauważymy, że wahadło porusza sę w dwóch polach opsanych funkcjam snusodalnym. Załóżmy, że wahadło uwęzone jest w pewnej studn potencjału opsanej wzorem (patrz układ równań (.5) wahadło w polu grawtacyjnym): Rys. 5.6 Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem. V ( x, y, z) A 1 ( x + y ) = Acosα = (5.6) gdze: A współczynnk proporcjonalnośc. Jeżel teraz wprowadzmy pewne zaburzene tej studn potencjału nnym potencjałem, opsanym także funkcją proporcjonalną do cosα (oddzaływane magnes wahadło), to nastąp nterpolacja obu potencjałów oraz zaburzene jednej z funkcj falowej przez drugą. Można na tej podstawe wnoskować, że obrazy basenów przycągana w stoce przedstawają zaburzena jednego potencjału przez nny potencjał. Można by było zapytać, czym jest wahadło w naszym dośwadczenu? Sądzę, że najproścej rzecz ujmując, wahadło można traktować jak sondę badającą zaburzena potencjału. Przeceż wahadło ne wprowadza w nasze pole żadnych zaburzeń jeżel wykonalbyśmy nasze dośwadczene bez magnesów, otrzymalbyśmy bały obraz, bez basenów przycągana. Dopero po wprowadzenu magnesu w poblże wahadła powoduje powstane basenów przycągana. Rozważmy zaburzene potencjału grawtacyjnego przez słaby potencjał magnetyczny. Take zaburzene lustruje rysunek 5.6. Rys.5.6. a) Rys. 5.6 b)
10 Rys c) Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem, przy zmenającym sę współczynnku oporu ruchu wynoszącym odpowedno dla: a) C = 0,9; b) C = 0,6; c) C = 0,3. W cągu tych rysunków obserwujemy zmenający sę kształt położene basenów przycągana względem środka studn zaburzonego potencjału oznaczonego +. Zauważymy, że perwszy basen przycągana, znajdujący sę po prawej strone +, ma dentyczny kształt na wszystkch rysunkach. Jest to główny basen przycągana znajdujący sę w poblżu magnesu. Następne baseny przycągana różną sę wyglądem, ale w każdym z nch możemy doszukać sę podobeństwa do fragmentów znekształconej funkcj snusodalnej. Przy czym m bardzej oddalamy sę od środka, tym wększe są to fragmenty. Należy zwrócć także uwagę na perwszy basen przycągana w kształce łuku, znajdujący sę po lewej strone środka zaburzonego potencjału. Jego kształt zasadnczo ne ulega zmane, ale wraz z malejącym oporem ruchu, przyblża sę on do środka +. I jeżel na rysunku 5.6.a, znajduje sę on w odległośc wększej od środka nż główny basen przycągana, to na rysunku 5.6.c, odległość tego basenu przycągana od środka, jest mnejsza od odległośc głównego basenu. W naszym eksperymence, możemy obserwować zaburzene studn potencjału w maksymalnym zakrese kąta π / < α < π /. Lecz jeżel baseny przycągana są obrazem zaburzena studn potencjalnej, to ne pownny ogranczać sę tylko do tego obszaru. Rys.5.7. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem, obserwowane przy rzuce prostopadłym. Na rysunku powyżej wdzmy, jak basen przycągana znajdujący sę po lewej został przerwany tak, jakby dalsza jego część znajdowała sę powyżej tego kąta. 5. Podsumowane. W artykule tym zaprezentowalśmy proste dośwadczene, którego wynk prowadzą do złożonych wnosków. Badane stanu końcowego układu w zależnośc od warunków początkowych prowadz do cekawych obserwacj. Zlustrowane wynk przedstawają fraktalne baseny przycągana, a grance mędzy nm mają strukturę fraktalną. Dośwadczene wymaga jednak użyca programu komputerowego. Odpowedno zmenając parametry dośwadczena możemy modelować zmenać otrzymane struktury fraktalne. Bblografa. [1] Petgen O., Jűrgens H., Saupe D. Granca chaosu Fraktale, PWN 000 [] Szuster P. Chaos determnstyczny, PWN 1994 [3] Penrose R. Nowy umysł cesarza PWN 1995 [4] Kudrewcz J. Fraktale chaos PWN 1989
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoSiła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił.
1 Sła jest przyczyną przyspeszena. Sła jest wektorem. Sła wypadkowa jest sumą wektorową dzałających sł. Sr Isaac Newton (164-177) Jeśl na cało ne dzała żadna sła lub sły dzałające równoważą sę, to cało
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoEnergia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)
1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej
Bardziej szczegółowoZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],
STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:
Bardziej szczegółowoAnaliza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Bardziej szczegółowo3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO
3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.
Bardziej szczegółowoProces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Bardziej szczegółowo(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy
(MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek
Bardziej szczegółowoWarunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.
Warunek równowag bryły sztywnej: Znkane suy sł przyłożonych suy oentów sł przyłożonych. r Precesja koła rowerowego L J Oznaczena na poprzench wykłaach L L L L g L t M M F L t F Częstość precesj: Ω ϕ t
Bardziej szczegółowoMoment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy)
Moment sły (z ang. torque, nna nazwa moment obrotowy) Sły zmenają ruch translacyjny odpowednkem sły w ruchu obrotowym jest moment sły. Tak jak sła powoduje przyspeszene, tak moment sły powoduje przyspeszene
Bardziej szczegółowoZadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowoV. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA
46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA
. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoINDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej.
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Indukcja - elektromagnetyczna Powstawane prądu elektrycznego w zamknętym, przewodzącym obwodze na skutek zmany strumena ndukcj magnetycznej przez powerzchnę ogranczoną tym obwodem.
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowoIle wynosi suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie?
1 Ile wynos suma mar kątów wewnętrznych w pęcokące? 1 Narysuj pęcokąt foremny 2 Połącz środek okręgu opsanego na tym pęcokące ze wszystkm werzchołkam pęcokąta 3 Oblcz kąty każdego z otrzymanych trójkątów
Bardziej szczegółowoKRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA
KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoSystemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne
ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych
Bardziej szczegółowoWikiWS For Business Sharks
WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace
Bardziej szczegółowoModele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Bardziej szczegółowof(x, y) = arctg x y. f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. x = 1 1 y = y y = 1 1 +
Różnczkowalność pocodne Ćwczene. Znaleźć pocodne cz astkowe funkcj f(x, y) = arctg x y. Rozw azane: Wdać, że funkcj f można napsać jako f(u(x, y)) gdze f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. Korzystaj ac z reg
Bardziej szczegółowoNowe europejskie prawo jazdy w celu większej ochrony, bezpieczeństwa i swobodnego przemieszczania się
KOMISJA EUROPEJSKA NOTATKA Bruksela, 18 styczna 2013 r. Nowe europejske prawo jazdy w celu wększej ochrony, bezpeczeństwa swobodnego przemeszczana sę W dnu 19 styczna 2013 r., w ramach wejśca w życe trzecej
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego
5 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ PRACOWNIA FIZYKI Ćw. 5. Wyznaczane współczynna sprężystośc przy pomocy wahadła sprężynowego Wprowadzene Ruch drgający należy do najbardzej rozpowszechnonych ruchów w przyrodze.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoAERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ
WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII INII NOŚNEJ Prawo Bota-Savarta Pole prędkośc ndukowanej przez lnę (nć) wrową o cyrkulacj może być wyznaczone przy użycu formuły Bota-Savarta
Bardziej szczegółowoModel ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)
Model odstawowe założena modelu: ceny płace mogą ulegać zmanom (w odróżnenu od poprzedno omawanych model) punktem odnesena analzy jest obserwacja pozomu produkcj cen (a ne stopy procentowej jak w modelu
Bardziej szczegółowoPłyny nienewtonowskie i zjawisko tiksotropii
Płyny nenewtonowske zjawsko tksotrop ) Krzywa newtonowska, lnowa proporcjonalność pomędzy szybkoścą ścnana a naprężenem 2) Płyny zagęszczane ścnanem, naprężene wzrasta bardzej nż proporcjonalne do wzrostu
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoProste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie
Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ
WPŁYW SIŁY JONOWEJ ROZTWORU N STŁĄ SZYKOŚI REKJI WSTĘP Rozpatrzmy reakcję przebegającą w roztworze mędzy jonam oraz : k + D (1) Gdy reakcja ta zachodz przez równowagę wstępną, w układze występuje produkt
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowoWspółczynniki aktywności w roztworach elektrolitów. W.a. w roztworach elektrolitów (2) W.a. w roztworach elektrolitów (3) 1 r. Przypomnienie!
Współczynnk aktywnośc w roztworach elektroltów Ag(s) ½ (s) Ag (aq) (aq) Standardowa molowa entalpa takej reakcj jest dana wzorem: H H H r Przypomnene! tw, Ag ( aq) tw, ( aq) Jest ona merzalna ma sens fzyczny.
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 7 16.XI Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
zyka - Mechanka Wykład 7 6.XI.07 Zygunt Szeflńsk Środowskowe Laboratoru Cężkch Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Zasada zachowana pędu Układ zolowany Każde cało oże w dowolny sposób oddzaływać
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Bardziej szczegółowoZmodyfikowana technika programowania dynamicznego
Zmodyfkowana technka programowana dynamcznego Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur 2 Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 27, 50-370 Wrocław Streszczene.
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoXLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Bardziej szczegółowomgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH
Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr
Bardziej szczegółowoWyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona
013 Katedra Fzyk SGGW Ćwczene 368 Nazwsko... Data... Nr na lśce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Ćwczene 368: Godzna.... Wyznaczane długośc fal śwatła metodą perścen Newtona Cechowane podzałk okularu pomarowego
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoStudia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
60-965 Poznań ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, Studa stacjonarne, II stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej wersja z dn. 08.05.017 Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów
Bardziej szczegółowoOligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją
Olgopol dynamczny Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencj loścowej jako gra jednokrotna z pełną doskonalej nformacją (1934) Dwa okresy: t=0, 1 tzn. frma 2 podejmując decyzję zna decyzję frmy 1 Q=q 1 +q
Bardziej szczegółowoAnaliza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne. Za wytworzenie pola magnetycznego odpowiedzialny jest ładunek elektryczny w ruchu
Pole magnetyczne Za wytworzene pola magnetycznego odpowedzalny jest ładunek elektryczny w ruchu Źródła pola magnetycznego Źródła pola magnetycznego I Sła Lorentza - wektor ndukcj magnetycznej Sła elektryczna
Bardziej szczegółowoSYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ
Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji 14 wiosna
promocja_14_wosna strona 1/5 Regulamn promocj 14 wosna 1. Organzatorem promocj 14 wosna, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 lutego 2014 do 30
Bardziej szczegółowoCzęść 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7.1. Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, ale o nepodatnych
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany
Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoFizyka cząstek elementarnych
ykład XI Rozpraszane głęboko neelastyczne partonowy model protonu Jak już było wspomnane współczesna teora kwarkowej budowy hadronów ma dwojake pochodzene statyczne dynamczne. Koncepcja kwarków była z
Bardziej szczegółowoWykład 15 Elektrostatyka
Wykład 5 Elektostatyka Obecne wadome są cztey fundamentalne oddzaływana: slne, elektomagnetyczne, słabe gawtacyjne. Slne słabe oddzaływana odgywają decydującą ole w budowe jąde atomowych cząstek elementanych.
Bardziej szczegółowoPortfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego
Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa
Bardziej szczegółowor i m r Fwyp R CM Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
Dynamka ruchu obrotowego bryły sztywnej Bryła sztywna - zbór punktów materalnych (neskończene welu), których wzajemne położene ne zmena sę po wpływem załających sł F wyp R C O r m R F wyp C Śroek masy
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania
Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoOkreślanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2
T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej
Bardziej szczegółowoWspółczynniki aktywności w roztworach elektrolitów
Współczynnk aktywnośc w roztworach elektroltów Ag(s) + ½ 2 (s) = Ag + (aq) + (aq) Standardowa molowa entalpa takej reakcj jest dana wzorem: H r Przypomnene! = H tw, Ag + + ( aq) Jest ona merzalna ma sens
Bardziej szczegółowoDiagnostyka układów kombinacyjnych
Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoTeoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Bardziej szczegółowoSymetrie i struktury ciała stałego - W. Sikora
Symetre struktury cała stałego - W. Skora ( W wykładach zostały wykorzystane fragmenty materałów opracowanych w ramach praktyk wakacyjnej przez studentk specjalnośc Fzyka Cała Stałego WFIS: Sylwę Chudy,
Bardziej szczegółowoZa: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch
Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym
Bardziej szczegółowoWPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO
Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono
Bardziej szczegółowoModel IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak
Ćwczena z Makroekonom II Model IS-LM- Model IS-LM- jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak gospodarka taka zachowuje sę w krótkm okrese, w efekce dzałań podejmowanych w ramach
Bardziej szczegółowoBadanie współzaleŝności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej. Badanie zaleŝności dwóch cech ilościowych. Analiza regresji prostej
Badane współzaleŝnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Badane zaleŝnośc dwóch cech loścowych. Analza regresj prostej Kody znaków: Ŝółte wyróŝnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Bardziej szczegółowoOGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII
WYKŁAD 8 OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII E E0 sn( ωt kx) ; k π ; ω πν ; λ T ν E (m c 4 p c ) / E +, dla fotonu m 0 p c p hk Rozkład energ w stane równowag: ROZKŁAD BOLTZMANA!!!!! P(E) e E / kt N E N E/
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
Bardziej szczegółowo= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału
5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji upalne lato 2014 2.0
upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa
Bardziej szczegółowo