Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania."

Transkrypt

1 Modelowane komputerowe fraktalnych basenów przycągana. Rafał Henryk Kartaszyńsk Unwersytet Mar Cure-Skłodowskej Pl. M. Cure-Skłodowskej 1, Lubln, Polska Streszczene. W artykule tym zajmujemy sę prostym dośwadczenem fzycznym, którego zlustrowane wynk przedstawają fraktalne baseny przycągana, a grance mędzy nm mają strukturę fraktalną. We wstępe omówono zagadnene dzwnych atraktorów basenów przycągana. Następne omawamy samo dośwadczene. W kolejnym paragrafe przedstawamy mplementację programu służącego do modelowana naszego dośwadczena. Abstract. In ths paper we present smple physcal experment and ts results showng fractal basns of attracton, whch boundares show fractal structure. In ntroducton we explan what strange attractors and fractal basns of attracton are. Next we descrbe our experment and program used for ts modelng. Fnally program mplementaton s concerned and project results presented. 1.Wstęp. Dzwne atraktory. Zajmujemy sę dynamcznym układam welowymarowym. Jest to przypadek bardzo rzeczywsty, poneważ realne stany rzadko dają sę opsać pojedynczym zmennym. Musmy sę też ogranczyć do układów dyssypatywnych, tj. takch, w których występuje tarce, a ogólnej utrata energ. Za przykład może posłużyć, będący przedmotem głębszej analzy, ruch wahadła w pewnym ośrodku np. powetrzu. Trac ono energe na skutek różnego rodzaju tarć. Przecweństwem układów dyssypatywnych są układy zachowawcze, w których ne występują straty energ. Matematycy fzycy skłonn byl uważać, że zachowane układów dyssypatywnych, w dłuższym okrese czasu, Rys.1.1. Atraktor Russela daje sę opsać prostym wzorcam ruchu, na przykład przez stnene punktu spoczynku. Dzwne atraktory, w przecweństwe, są wzorcam charakteryzującym zachowana złożonych układów dyssypatywnych, a dokładnej ch stanów ustalonych. Przejawają one wszelke oznak chaosu. Dzwne atraktory są pomostem łączącym chaos fraktale. Jeżel patrzymy na ne jako na struktury geometryczne, wdzmy fraktale, jeżel chcemy je analzować jako układy dynamczne, to mamy do czynena z chaosem. W rzeczywstośc ne ma jeszcze konkretnej defncj matematycznej dzwnego atraktora. Ponżej przedstawamy próbę zdefnowana podstawowych własnośc dzwnego atraktora [1].

2 Nech T(x, y) będze przekształcenem płaszczyzny o współrzędnych x, y. Ogranczony podzbór płaszczyzny A jest chaotycznym dzwnym atraktorem przekształcena T, jeżel stneje zbór R, mający następujące własnośc: Atraktor. R jest otoczenem A, tzn. dla każdego punktu (x, y) A stneje mały dysk o środku w (x, y), który jest zawarty w R. R jest obszarem pułapką, tzn. każda orbta zaczynająca sę w R pozostaje na zawsze w R. Ponadto, orbta staje sę blska A pozostaje tak blsko, jak tylko chcemy. A jest atraktorem. Czuła zależność. Orbty wychodzące z punktów należących do R wskazują czułą zależność od warunków początkowych. A jest atraktorem chaotycznym. Fraktal. Atraktor ma strukturę fraktalną jest dzwnym atraktorem. Meszane. A ne może zostać podzelony na dwa mnejsze atraktory (atraktor ne mus być zborem spójnym). Istneją punkty początkowe z obszaru R, których orbty podchodzą dowolne blsko dowolnego punktu atraktora A. Fraktalne baseny przycągana. Zbadajmy teraz sytuację, gdy mamy wele atraktorów. Wówczas orbta danego punktu początkowego pownna zbegać do któregoś z atraktorów. Logczne jest węc, że muszą stneć brzeg odpowednch basenów przycągana, które często mają strukturę fraktalną. Z numerycznego fzycznego punktu wdzena punkt początkowy można wyznaczyć jedyne z pewną dokładnoścą r. W tym mejscu pojawa sę defncja punktu nepewnego. Jest to punkt, w którego otoczenu o promenu r stneje punkt, którego trajektora zbega do nnego atraktora, nż badanego punktu (rys.1..). Obszar ten ma szerokość r, jest węc proporcjonalny do r. Jeżel r r r Rys.1.. Granca pomędzy dwoma basenam frakatalnym. Po prawej punkt nepewny. zmnejszymy promeń nepewnośc dwukrotne (poprawając dokładność) to obszar punktów nepewnych zmnejsza sę dwukrotne. W naszym przypadku mamy jednak do czynena z brzegem o charakterze fraktalnym, węc zależność będze bardzej złożona. Wyprowadzene jej ne będzemy jednak przytaczać, wspomnmy jedyne, że jest to zwązek potęgowy, wyprowadzany w oparcu o wymar pudełkowy brzegu. Kłopotów z przewdzenem stanu końcowego układu ne ma jedyne w przypadku, gdy dany punkt początkowy oraz jego otoczene, tj. punkty w odległośc ne wększej nż r od nego, zbegają do tego samego atraktora. Gdy tak ne jest stneją punkty z tego obszaru zbegające do różnych stanów, to ne możemy jednoznaczne przewdzeć, do którego atraktora zbega trajektora danego punktu początkowego. Wdzmy, że przewdywane zachowana układów nelnowych, z węcej nż jednym atraktorem, jest utrudnone, a wymar fraktalny zyskuje nterpretację dynamczną.. Wahadło matematyczne w polu magnetycznym. Rozważamy wahadło matematyczne, które może wykonywać ruchy we wszystkch kerunkach. Pod wahadłem, w pewnej odległośc od położena równowag, umeścmy magnesy o takej sle przycągana, by wahadło znajdujące sę dostateczne blsko magnesu zostało przez nego przycągnęte. Można wywnoskować, że ruch takego wahadła ne będze ruchem harmoncznym, lecz ruchem bardzo złożonym, można powedzeć chaotycznym. Z powodu występujących sł oporu, wahadło po pewnym czase zatrzyma sę przy którymś z magnesów lub w położenu

3 równowag. Można spróbować przewdzeć, czy wahadło zatrzyma sę w położenu równowag, czy przy magnese. A jeśl przy magnese, to przy którym. Oczywśce już z samej analzy problemu wynka, że położene końcowe wahadła będze zależało od welu parametrów początkowych np.: położena początkowego wahadła, położena sły magnesów czy od oporów ośrodka, w którym porusza sę wahadło. Trudno byłoby ustalć eksperymentalne położene końcowe wahadła w zależnośc od tych wszystkch parametrów. Dlatego spróbujemy wykonać symulację komputerową naszego eksperymentu. Należy, zatem zacząć od wyprowadzena równana ruchu wahadła. W celu uproszczena rachunków wprowadzmy pewne założena, a manowce: wahadło matematyczne zaweszone jest na neważkej nerozcąglwej ntce o długośc jednostkowej, wahadło traktujemy jako punkt materalny o jednostkowej mase, wahadło może wahać sę we wszystkch kerunkach w zakrese kąta π / < α < π /, po powerzchn sfery o promenu jednostkowym, ruch wahadła rozpatrujemy w układze współrzędnych XYZ, a punkt zaczepena znajduje sę w punkce o współrzędnych (0, 0, 1) (rys..1), na płaszczyźne XY umeszczone są magnesy w werzchołkach welokąta foremnego wpsanego w okrąg o promenu R środku w początku układu współrzędnych, sła oddzaływana każdego magnesu z wahadłem jest odwrotne proporcjonalna do kwadratu odległośc (druge prawo Coulomba),. sła oporu ruchu wahadła jest proporcjonalna do prędkośc (sła ρ ρ Stokesa F = 6πηrV ), Rys..1 Schemat dośwadczena Równane ruchu. Po tych założenach możemy przystąpć do wyprowadzana równana ruchu wahadła. Zgodne z naszym założenam wahadło porusza sę po sferze spełnającej równane: x + y + ( z 1) = 1 (.1) Z warunku kąta wychylena wahadła z położena równowag wynka, że składowa z- owa zmena sę w zakrese 0,1), węc: ( x ) z = y (.) gdze: 1 ( + y ) = cosα = η ( + y ) = sn α x (.3) x (.4) Ze względu na tak jednoznaczne powązane zmennych z, x y (wzór.) wystarczy, jeżel napszemy równana ruchu dla os X Y. Rozpatrzmy teraz ruch wahadła w polu Rys.. Rozkład sły grawtacj grawtacyjnym. Wypadkową słą, powodującą ruch wahadła po krzywej kołowej, jest składowa sły cężkośc, leżąca na stycznej do trajektor wahadła (rys..).

4 Korzystając z drugej zasady dynamk oraz rachunku wektorowego, możemy napsać równana ruchu wahadła w polu grawtacyjnym (wzór): x + gx 1 ( x + y ) = x + gxη = 0 (.5) y + gy 1 ( x + y ) = y + gyη = 0 gdze: g przyspeszene zemske. Jest to układ równań różnczkowych zwyczajnych drugego rzędu. W tym wypadku wahadło wykonuje ruch harmonczny w jednej płaszczyźne. Rozpatrzmy teraz słę oddzaływana wahadła z -tym magnesem (rys..3.). Nech położene -tego magnesu będze określone warunkem: π x = R cos ( 1) n (.6) π y = R sn ( ) 1 n gdze: n lość magnesów = 1,, 3,..., n R = promeń okręgu opsanego na welokące. Jak wynka z naszych założeń, sła oddzaływana - tego magnesu z wahadłem wynos: M F = (.7) d Rys..3. Wpływ przycągana magnesów gdze: M współczynnk proporcjonalnośc, zależny od rodzaju magnesu d odległość -tego magnesu od wahadła, która wynos: d ( ) ( x x) + ( y y) ( x y ) = (.8) + Borąc pod uwagę to, że sła składowa, wywołująca ruch wahadła, jest rzutem prostopadłym sły magnetycznej na płaszczyznę styczną od sfery (rys..3) oraz wykorzystując rachunek wektorowy, otrzymamy: F x M = d 3 [ x x( xx + yy + 1 ( x + y ))] [ y y( xx yy 1 ( x y ))] (.9) M Fy = 3 d Równane ruchu wahadła przyjme postać: n M x [ x x( xx + yy + η) ] + gxη = 0 3 = 1 d (.10) n M y [ ( + + η) ] + η = y y xx yy gy 0 3 = 1 d Otrzymany układ równań różnczkowych zwyczajnych drugego stopna mógłby posłużyć nam do badana trajektor ruchu wahadła w polu magnetycznym magnesów. Zauważymy jednak, że wahadło nasze jest przyspeszane (rys..4.) ngdy ne zatrzyma sę. Dlatego do równana (.10) wprowadzamy czynnk zwązany z słą oporu ośrodka, która jest proporcjonalna do prędkośc wahadła. Po wprowadzenu tego czynnka otrzymamy ostateczną postać równana ruchu wahadła:

5 n M x + Cx 3 = 1 d n M y + Cy 3 = 1 d gdze: C współczynnk proporcjonalnośc zwązany z oporem ośrodka. Rozwązane tego układu równań wymaga podana welu parametrów początkowych jak: określene położena początkowego wahadła, jego prędkośc początkowej, współczynnka oporu ruchu, sły oddzaływana magnesów na wahadło czy przyspeszena zemskego. Take zagadnene z tyloma parametram początkowym możemy na wele sposobów rozwązywać numeryczne. 3. Symulacje komputerowe ruchu wahadła matematycznego w polu magnetycznym. Wadomo, że obraz powstały na ekrane montora jest obrazem płaskm, dlatego należy przyjąć pewne odwzorowane powerzchn sfery, po której [ x x( xx + yy + η) ] [ y y( xx + yy + η) ] + gxη = 0 + gyη = 0 (.11) Rys..4. Trajektora wahadła w polu magnetycznym trzech magnesów bez oporu ruchu. porusza sę wahadło na powerzchnę płaską. Poneważ w naszym modelu zależność mędzy współrzędną z-ową a współrzędnym x y jest jednoznaczna, możemy tworzyć obrazy poprzez rzut prostopadły punktu P(x, y, z) sfery na punkt P (x, y) na płaszczyźne (rys. 3.1). Rys Odwzorowane sfery na płaszczyznę W naszym programe wykorzystamy także nne odwzorowane sfery na płaszczyznę. Jeżel poprowadzmy prostą ze środka sfery przechodzącą przez punkt P(x, y, z), to prosta ta przetne płaszczyznę XY w punkce P (Ux, Uy) (rys. 3.1). Należy zauważyć, że jeżel punkt P zblża sę do równka sfery, punkt P dąży do neskończonośc. Dlatego w naszych rozważanach rozpatrujemy ruch wahadła w zakrese kątów π / < α < π /. Take odwzorowane połowy sfery na płaszczyznę jest jednoznaczne można je przedstawć w postac: x x x U x = = = (3.1) 1 z 1 x + y ( ) η

6 y y y U y = = = (3.) 1 z 1 ( x + y ) η Istneje także jednoznaczne odwzorowane punktów płaszczyzny na punkty sfery: U x x = (3.3) 1 + U + U x x y U y y = (3.4) 1 + U + U y 1 z = 1 (3.5) 1 + U x + U y 4. Implementacja. Program został napsany w Delph jako aplkacja welowątkowa. srodek:= robrazka dv ; przelcznk:=1.0/srodek; Ux:=(wersz-srodek)*przelcznk; Uy:=(srodek-kolumna)*przelcznk; Rys.4.1. Przelczane pksel na współrzędne na płaszczyźne. Gdy znalezone zostały odwzorowana sfery na płaszczyznę, należało równeż przejść ze współrzędnych ekranu (pksele) na współrzędne płaszczyzny rzutu. Do określena, jake współrzędne na płaszczyźne (Ux, Uy) odpowadają pkselow (wersz, kolumna) służy kod rys.4.1. Zmenne używane w programe to parametry początkowe dośwadczena: lczba magnesów, promeń okręg, na którym znajdują sę magnesy, współczynnk namagnesowana magnesów, przyspeszene grawtacyjne, współczynnk oporu ośrodka oraz współrzędne początkowe wahadła. Dzęk takej parametryzacj możemy przeprowadzć nasze dośwadczene np. na dowolnej planece, a wahadło umeścć w dowolnym ośrodku. Ruch wahadła odbywa sę na sferze. Współrzędna sfery przelczane są na współrzędne płaszczyzny, a te z kole na pksele rysunku o zadanym rozmarze. Rozpatrując ruch wahadła, berzemy pod uwagę przesunęce przy stałej czasowej, uwzględnając sły oddzaływana pochodzące od pola grawtacyjnego każdego magnesu z osobna. Na podstawe wyprowadzonych poprzedno równań wyznaczamy kolejne położena wahadła. Program analzuje trajektorę ruchu wahadła od wybranego punktu początkowego do chwl uwęzena wahadła przez magnes lub pole grawtacyjne. Dla każdego magnesu środka cężkośc ustalamy promeń uwęzena wahadła. Jeżel wahadło w ustalonej lczbe kroków pozostane wewnątrz okręgu o tym promenu, elalfa := (DwaP/IleMag); for := 1 to IleMag do begn Alfa := elalfa * ( - 1); X[] := R * cos(alfa); Y[] := R * sn(alfa); end; X[0] := 0; Y[0] := 0; Rys.4.. Oblczane współrzędnych magnesów. uznajemy, że dany magnes, lub punkt równowag jest położenem końcowym wahadła. Gdy chcemy sporządzć obraz basenów przycągana, każdemu punktow na ekrane przyporządkowywany jest kolor zależny od położena końcowego wahadła. Zauważyć należy, że nasycene szarośc nformuje o punktach stacjonarnych. W programe można dowolne wyberać kolor odpowadający wybranemu magnesow, lub punktow równowag.

7 5. Wynk. Efektem wykonana programu są rysunk przedstawające rzut trajektor ruchu wahadła na płaszczyznę. a) b) c) d) e) f) Rys Wdok trajektor wahadła w polu magnesów, dla zmenających sę parametrów początkowych jak: opór ruchu (C), sła oddzaływana magnesów (M), położene początkowe (X,Y) czy lczby magnesów (N): a) N = 3; C = 0,4; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3; b) N = 3; C = 0,8; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3; c) N = 3; C = 0,9; M = 0,001; X = 0,1, Y = 0,3; d) N = 3; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,3; e) N = 5; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1; f) N = 1; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1; Na rysunku 5. możemy zaobserwować zależność położena końcowego wahadła od zmenających sę parametrów początkowych: oporu ruchu, sły oddzaływana magnesów, położena początkowego wahadła oraz lczby magnesów. Jak wdzmy wszystke parametry układu równań (.11) mają wpływ na trajektorę ruchu położene końcowe wahadła. Przejdźmy do głównego eksperymentu, polegającego na stworzenu mapy zależność położena początkowego od położena końcowego wahadła. Wyobraźmy sobe, że puszczamy wahadło z dowolnego punktu sfery sprawdzamy czy wahadło zatrzyma sę przy określonym przez nas magnese. Zbór takch punków nazywamy basenam przycągana. Rys. 5.. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad dwoma magnesam

8 Rys. 5.3 Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad czterema magnesam Rys Powększene fragmentu rysunku obok Rys.5.4. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad trzema magnesam. Rzut prostopadły. Na powyższych rysunkach wdzmy skomplkowany układ przenkających sę basenów przycągana magnesów. Należy zauważyć, że fragment basenu przycągana, który

9 wydaje sę należeć tylko do jednego magnesu, po powększenu (rys. 5.5.) okazuje sę poprzedzelany nnym basenam przycągana tak w neskończoność. Wdzmy, że w stoce mają one bardzo skomplkowaną, fraktalną strukturę, podobną do zboru Cantora. Dalsze rozważana obserwacje. W dalszej częśc pracy zajmę sę basenam przycągana dla układu pole grawtacyjne magnes. Na rysunku 5.6 wdzmy strukturę basenów przycągana magnesu. Zastanówmy sę, czym są baseny przycągana, jake zjawsko w stoce obserwujemy. Jeżel przeanalzujemy układy równań (.10) lub (.11), ruchu wahadła, zauważymy, że wahadło porusza sę w dwóch polach opsanych funkcjam snusodalnym. Załóżmy, że wahadło uwęzone jest w pewnej studn potencjału opsanej wzorem (patrz układ równań (.5) wahadło w polu grawtacyjnym): Rys. 5.6 Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem. V ( x, y, z) A 1 ( x + y ) = Acosα = (5.6) gdze: A współczynnk proporcjonalnośc. Jeżel teraz wprowadzmy pewne zaburzene tej studn potencjału nnym potencjałem, opsanym także funkcją proporcjonalną do cosα (oddzaływane magnes wahadło), to nastąp nterpolacja obu potencjałów oraz zaburzene jednej z funkcj falowej przez drugą. Można na tej podstawe wnoskować, że obrazy basenów przycągana w stoce przedstawają zaburzena jednego potencjału przez nny potencjał. Można by było zapytać, czym jest wahadło w naszym dośwadczenu? Sądzę, że najproścej rzecz ujmując, wahadło można traktować jak sondę badającą zaburzena potencjału. Przeceż wahadło ne wprowadza w nasze pole żadnych zaburzeń jeżel wykonalbyśmy nasze dośwadczene bez magnesów, otrzymalbyśmy bały obraz, bez basenów przycągana. Dopero po wprowadzenu magnesu w poblże wahadła powoduje powstane basenów przycągana. Rozważmy zaburzene potencjału grawtacyjnego przez słaby potencjał magnetyczny. Take zaburzene lustruje rysunek 5.6. Rys.5.6. a) Rys. 5.6 b)

10 Rys c) Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem, przy zmenającym sę współczynnku oporu ruchu wynoszącym odpowedno dla: a) C = 0,9; b) C = 0,6; c) C = 0,3. W cągu tych rysunków obserwujemy zmenający sę kształt położene basenów przycągana względem środka studn zaburzonego potencjału oznaczonego +. Zauważymy, że perwszy basen przycągana, znajdujący sę po prawej strone +, ma dentyczny kształt na wszystkch rysunkach. Jest to główny basen przycągana znajdujący sę w poblżu magnesu. Następne baseny przycągana różną sę wyglądem, ale w każdym z nch możemy doszukać sę podobeństwa do fragmentów znekształconej funkcj snusodalnej. Przy czym m bardzej oddalamy sę od środka, tym wększe są to fragmenty. Należy zwrócć także uwagę na perwszy basen przycągana w kształce łuku, znajdujący sę po lewej strone środka zaburzonego potencjału. Jego kształt zasadnczo ne ulega zmane, ale wraz z malejącym oporem ruchu, przyblża sę on do środka +. I jeżel na rysunku 5.6.a, znajduje sę on w odległośc wększej od środka nż główny basen przycągana, to na rysunku 5.6.c, odległość tego basenu przycągana od środka, jest mnejsza od odległośc głównego basenu. W naszym eksperymence, możemy obserwować zaburzene studn potencjału w maksymalnym zakrese kąta π / < α < π /. Lecz jeżel baseny przycągana są obrazem zaburzena studn potencjalnej, to ne pownny ogranczać sę tylko do tego obszaru. Rys.5.7. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem, obserwowane przy rzuce prostopadłym. Na rysunku powyżej wdzmy, jak basen przycągana znajdujący sę po lewej został przerwany tak, jakby dalsza jego część znajdowała sę powyżej tego kąta. 5. Podsumowane. W artykule tym zaprezentowalśmy proste dośwadczene, którego wynk prowadzą do złożonych wnosków. Badane stanu końcowego układu w zależnośc od warunków początkowych prowadz do cekawych obserwacj. Zlustrowane wynk przedstawają fraktalne baseny przycągana, a grance mędzy nm mają strukturę fraktalną. Dośwadczene wymaga jednak użyca programu komputerowego. Odpowedno zmenając parametry dośwadczena możemy modelować zmenać otrzymane struktury fraktalne. Bblografa. [1] Petgen O., Jűrgens H., Saupe D. Granca chaosu Fraktale, PWN 000 [] Szuster P. Chaos determnstyczny, PWN 1994 [3] Penrose R. Nowy umysł cesarza PWN 1995 [4] Kudrewcz J. Fraktale chaos PWN 1989

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Siła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił.

Siła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił. 1 Sła jest przyczyną przyspeszena. Sła jest wektorem. Sła wypadkowa jest sumą wektorową dzałających sł. Sr Isaac Newton (164-177) Jeśl na cało ne dzała żadna sła lub sły dzałające równoważą sę, to cało

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną) 1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych. Warunek równowag bryły sztywnej: Znkane suy sł przyłożonych suy oentów sł przyłożonych. r Precesja koła rowerowego L J Oznaczena na poprzench wykłaach L L L L g L t M M F L t F Częstość precesj: Ω ϕ t

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny

Bardziej szczegółowo

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej.

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Indukcja - elektromagnetyczna Powstawane prądu elektrycznego w zamknętym, przewodzącym obwodze na skutek zmany strumena ndukcj magnetycznej przez powerzchnę ogranczoną tym obwodem.

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA 46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

Nowe europejskie prawo jazdy w celu większej ochrony, bezpieczeństwa i swobodnego przemieszczania się

Nowe europejskie prawo jazdy w celu większej ochrony, bezpieczeństwa i swobodnego przemieszczania się KOMISJA EUROPEJSKA NOTATKA Bruksela, 18 styczna 2013 r. Nowe europejske prawo jazdy w celu wększej ochrony, bezpeczeństwa swobodnego przemeszczana sę W dnu 19 styczna 2013 r., w ramach wejśca w życe trzecej

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego

Ćw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego 5 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ PRACOWNIA FIZYKI Ćw. 5. Wyznaczane współczynna sprężystośc przy pomocy wahadła sprężynowego Wprowadzene Ruch drgający należy do najbardzej rozpowszechnonych ruchów w przyrodze.

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam

Bardziej szczegółowo

AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ

AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII INII NOŚNEJ Prawo Bota-Savarta Pole prędkośc ndukowanej przez lnę (nć) wrową o cyrkulacj może być wyznaczone przy użycu formuły Bota-Savarta

Bardziej szczegółowo

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli) Model odstawowe założena modelu: ceny płace mogą ulegać zmanom (w odróżnenu od poprzedno omawanych model) punktem odnesena analzy jest obserwacja pozomu produkcj cen (a ne stopy procentowej jak w modelu

Bardziej szczegółowo

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego Zmodyfkowana technka programowana dynamcznego Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur 2 Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 27, 50-370 Wrocław Streszczene.

Bardziej szczegółowo

Współczynniki aktywności w roztworach elektrolitów. W.a. w roztworach elektrolitów (2) W.a. w roztworach elektrolitów (3) 1 r. Przypomnienie!

Współczynniki aktywności w roztworach elektrolitów. W.a. w roztworach elektrolitów (2) W.a. w roztworach elektrolitów (3) 1 r. Przypomnienie! Współczynnk aktywnośc w roztworach elektroltów Ag(s) ½ (s) Ag (aq) (aq) Standardowa molowa entalpa takej reakcj jest dana wzorem: H H H r Przypomnene! tw, Ag ( aq) tw, ( aq) Jest ona merzalna ma sens fzyczny.

Bardziej szczegółowo

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona 013 Katedra Fzyk SGGW Ćwczene 368 Nazwsko... Data... Nr na lśce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Ćwczene 368: Godzna.... Wyznaczane długośc fal śwatła metodą perścen Newtona Cechowane podzałk okularu pomarowego

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na

Bardziej szczegółowo

Oligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją

Oligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją Olgopol dynamczny Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencj loścowej jako gra jednokrotna z pełną doskonalej nformacją (1934) Dwa okresy: t=0, 1 tzn. frma 2 podejmując decyzję zna decyzję frmy 1 Q=q 1 +q

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne. Za wytworzenie pola magnetycznego odpowiedzialny jest ładunek elektryczny w ruchu

Pole magnetyczne. Za wytworzenie pola magnetycznego odpowiedzialny jest ładunek elektryczny w ruchu Pole magnetyczne Za wytworzene pola magnetycznego odpowedzalny jest ładunek elektryczny w ruchu Źródła pola magnetycznego Źródła pola magnetycznego I Sła Lorentza - wektor ndukcj magnetycznej Sła elektryczna

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje

Bardziej szczegółowo

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji 14 wiosna

Regulamin promocji 14 wiosna promocja_14_wosna strona 1/5 Regulamn promocj 14 wosna 1. Organzatorem promocj 14 wosna, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 lutego 2014 do 30

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)

Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac) Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7.1. Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, ale o nepodatnych

Bardziej szczegółowo

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak Ćwczena z Makroekonom II Model IS-LM- Model IS-LM- jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak gospodarka taka zachowuje sę w krótkm okrese, w efekce dzałań podejmowanych w ramach

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

Symetrie i struktury ciała stałego - W. Sikora

Symetrie i struktury ciała stałego - W. Sikora Symetre struktury cała stałego - W. Skora ( W wykładach zostały wykorzystane fragmenty materałów opracowanych w ramach praktyk wakacyjnej przez studentk specjalnośc Fzyka Cała Stałego WFIS: Sylwę Chudy,

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

Wykład 15 Elektrostatyka

Wykład 15 Elektrostatyka Wykład 5 Elektostatyka Obecne wadome są cztey fundamentalne oddzaływana: slne, elektomagnetyczne, słabe gawtacyjne. Slne słabe oddzaływana odgywają decydującą ole w budowe jąde atomowych cząstek elementanych.

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej: dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka układów kombinacyjnych

Diagnostyka układów kombinacyjnych Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt

Bardziej szczegółowo

Część III: Termodynamika układów biologicznych

Część III: Termodynamika układów biologicznych Część III: Termodynamka układów bologcznych MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW Z PODSTAW BIOFIZYKI IIIr. Botechnolog prof. dr hab. nż. Jan Mazersk TERMODYNAMIKA UKŁADÓW BIOLOGICZNYCH Nezwykle cenną metodą

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

Programowanie Równoległe i Rozproszone

Programowanie Równoległe i Rozproszone Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013 Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń. Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0 upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa

Bardziej szczegółowo

Temat 13. Rozszerzalność cieplna i przewodnictwo cieplne ciał stałych.

Temat 13. Rozszerzalność cieplna i przewodnictwo cieplne ciał stałych. Temat 13. Rozszerzalność ceplna przewodnctwo ceplne cał stałych. W temace 8 wykazalśmy przy wykorzystanu warunków brzegowych orna-karmana, że wyraz lnowy w rozwnęcu energ potencjalnej w szereg potęgowy

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja belki wspornikowej

Optymalizacja belki wspornikowej Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji zimowa piętnastka

Regulamin promocji zimowa piętnastka zmowa pętnastka strona 1/5 Regulamn promocj zmowa pętnastka 1. Organzatorem promocj zmowa pętnastka, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 grudna

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY. Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY. Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY Zakład Budowy Eksploatacj Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA Temat ćwczena: PRAKTYCZNA REALIZACJA PRZEMIANY ADIABATYCZNEJ.

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

p Z(G). (G : Z({x i })),

p Z(G). (G : Z({x i })), 3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 88/2010 13 Potr Bogusz Marusz Korkosz Jan Prokop POLITECHNIKA RZESZOWSKA Wydzał Elektrotechnk Informatyk BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM

Bardziej szczegółowo

Ćw. 1. Wyznaczanie wartości średniego statycznego współczynnika tarcia i sprawności mechanizmu śrubowego.

Ćw. 1. Wyznaczanie wartości średniego statycznego współczynnika tarcia i sprawności mechanizmu śrubowego. Laboratorum z Podstaw Konstrukcj Maszyn - 1 - Ćw. 1. Wyznaczane wartośc średnego statycznego współczynnka tarca sprawnośc mechanzmu śrubowego. 1. Podstawowe wadomośc pojęca. Połączene śrubowe jest to połączene

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja Statku

Automatyzacja Statku Poltechnka Gdańska ydzał Oceanotechnk Okrętownctwa St. nż. I stopna, sem. IV, kerunek: TRANSPORT Automatyzacja Statku ZAKŁÓCENIA RUCHU STATKU M. H. Ghaem Marzec 7 Automatyzacja statku. Zakłócena ruchu

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia, Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 2014 część 2 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW

CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 1 CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA ECHANIZÓW Dynamka jest dzałem mechank zajmującej sę

Bardziej szczegółowo

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C Wymiana ciepła Ładunek jest skwantowany ładunek elementarny ładunek pojedynczego elektronu (e). Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej wartości. q=n. e gdzie

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00 Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury

Bardziej szczegółowo

Współczynniki aktywności w roztworach elektrolitów

Współczynniki aktywności w roztworach elektrolitów Współczynnk aktywnośc w roztworach elektroltów Ag(s) ½ 2 (s) = Ag (aq) (aq) Standardowa molowa entalpa takej reakcj jest dana wzorem: H r Przypomnene! = H tw, Ag ( aq) Jest ona merzalna ma sens fzyczny.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne Wprowadzene do Sec Neuronowych Sec rekurencyjne M. Czoków, J. Persa 2010-12-07 1 Powtórzene Konstrukcja autoasocjatora Hopfelda 1.1 Konstrukcja Danych jest m obrazów wzorcowych ξ 1..ξ m, gdze każdy pojedynczy

Bardziej szczegółowo