PORÓWNANIE METOD OKREŚLANIA FUNKCJI CELU PRZY DOBORZE ROZSIEWACZY NAWOZÓW MINERALNYCH

Transkrypt

1 Inżynera Rolncza (90)/007 PORÓWNANIE METOD OKREŚLANIA FUNKCJI CELU PRZY DOBORZE ROZSIEWACZY NAWOZÓW MINERALNYCH Zofa Hanusz Katedra Zastosowań Matematyk, Akadema Rolncza w Lublne Magdalena Ćwklńska Katedra Zastosowań Matematyk, Akadema Rolncza w Lublne Zbgnew Sarkowsk Katedra Maszyn Urządzeń Rolnczych, Akadema Rolncza w Lublne Streszczene. W pracy porównano różne metody badana jakośc dopasowana krzywej regresyjnej. Uzyskane wynk mogą być wykorzystywane przy podejmowanu decyzj odnośne sposobu poszukwana postac funkcj celu przy doborze maszyn do realzacj rolnczych procesów produkcyjnych. Zameszczony przykład dotyczy doboru urządzeń do nawożena mneralnego w gospodarstwe prowadzącym produkcję zbóż. Słowa kluczowe: rozsewacze, nawozy mneralne, kryterum wyboru funkcj, dobór parametrów Wstęp W welu zagadnenach rolnczych stotnym problemem badawczym jest poszukwane funkcj opsującej uzyskane wynk eksperymentalne. W pracach Sarkowskego [00] oraz Hanusz n. [005] przedstawona została ogólna metodyka postępowana, mającą na celu uzyskane postac analtycznej funkcj, najlepej opsującej wartośc zaobserwowane w trakce badań. Pojawa sę jednak pytane, co to znaczy najlepej opsującej stan zaobserwowany? Wadomym jest, że do wyznaczena neznanych parametrów poszukwanej funkcj, stosuje sę metodę najmnejszych kwadratów, która mnmalzuje sumę kwadratów odchyleń wartośc zaobserwowanych od wartośc oszacowanych równanem regresj. Wartość szacowaną zmennej objaśnanej, opsywanej równanem regresj dla zadanej wartośc, uzyskuje sę rzutując punkt dośwadczalny ( x, y ) na wykres funkcj, ortogonalne do os OX. Metoda najmnejszych kwadratów jest powszechne stosowana w regresj lnowej, do wyznaczena funkcj lnowej, funkcj welomanowych, regresj welokrotnej oraz takch funkcj, w których przez odpowedne przekształcena zmennych objaśnających uzyskuje sę funkcję lnową. Korzystając z paketów statystycznych (np. SAS, Statstca, Excel) możemy uzyskać najlepej pasujące funkcje do danych eksperymentalnych wraz ze współczynnkam determnacj, określającym stopeń dopasowana uzyskanej funkcj. W praktyce, np. przy powtarzanych pomarach dla tych samych wartośc zmennej nezależnej X opsującej zmenną zależną Y, mnmalzowana jest suma kwadratów różnc 6

2 Zofa Hanusz, Magdalena Ćwklńska, Zbgnew Sarkowsk wartośc średnch y dla różnych x od średnej globalnej y, gdze =,, L, I oraz I jest lczbą różnych wartośc zmennej objaśnającej. Wynka to z faktu, ż rzuty punktów o tej samej odcętej dają tą samą wartość szacowaną. Można, zatem powedzeć, że poszczególne wartośc zmennej objaśnającej są zanedbywane w metodze najmnejszych kwadratów. Ponadto w zagadnenach, w których poszukwana funkcja ne należy do klasy funkcj lnowych, problem wyznaczana parametrów staje sę bardzej skomplkowany. Metoda najmnejszych kwadratów prowadz bowem do uzyskana takch układów równań, które ne dają sę na ogół rozwązać explcte [Drapper n. 998; Seber n. 989]. W pracy proponujemy metodę dopasowywana funkcj opartej na ortogonalnych rzutach punktów eksperymentalnych na styczne do szukanej funkcj regresj. Cel pracy Poszukwane welowymarowych zależnośc analtycznych opsujących wynk badań opera sę często na postępowanu weloetapowym. W perwszym etape, dla pewnego podzboru danych, poszukuje sę postac funkcyjnej opsującej zależność zmennej objaśnanej od zmennych objaśnających. W kolejnych etapach parametry w uzyskanej zależnośc funkcyjnej podlegają uzmennanu. W takm postępowanu ne zawsze jest możlwe bezpośredne zastosowane metody najmnejszych kwadratów do oszacowana parametrów równana. A zatem, w takch sytuacjach, ne można także w sposób bezpośredn określć współczynnka determnacj. W celu rozwązana problemu podjęto próbę opracowana nowego sposobu określana jakośc dopasowana krzywej do punktów eksperymentalnych. Jako kryterum dopasowana krzywej do punktów pomarowych przyjęto sumę kwadratów odległośc punktów dośwadczalnych od punktów będących rzutam na wykres funkcj. Metoda zostane zlustrowana przykładem, w którym oszacowana zostane welokryteralna funkcja celu przy doborze rozsewaczy nawozów mneralnych. Metody porównana jakośc dopasowana krzywej regresyjnej Drapper Smth w fundamentalnej ksążce "Appled Regresson Analyss" pokazują, że teora regresyjna, której celem jest dopasowane funkcj do punktów eksperymentalnych, wykorzystuje rzut prostopadły do os OX punktów na wykres funkcj. Szacowane neznanych parametrów w funkcj regresj oparte jest na metodze najmnejszych kwadratów, x y =,, L,n dopasowuje sę funkcję regre- w której do punktów emprycznych P (, ) ( ) n n sj w tak sposób, aby d = [ y f ( x )] = = osągała mnmum. Wyznaczene parametrów mnmalzujących funkcję kwadratowych odchyleń wartośc dośwadczalnych od szacowanych równanem regresj jest dość proste, jeśl poszukwanym funkcjam są funkcje lnowe. Łatwo zauważyć, że odległość punktu P ( x, y ) od jego rzutu ortogonalnego Pˆ ( x, yˆ ) na wykres funkcj jest wększa nż odległość rzutu tego punktu na styczną do wykresu funkcj (rys. ). W zwązku z powyższym, w pracy proponujemy metodę dopasowana funkcj wykorzystującej rzut prostopadły punktów dośwadczalnych na styczne do wykresu funkcj. Zasadne jest pytane czy take podejśce w ogóle 64

3 Porównane metod określana funkcj... ma sens czy może ono zostać zaakceptowane przez dośwadczalnków. Należy zauważyć, że z punktu wdzena doboru funkcj zależnośc pownnśmy kerować sę ne tylko łatwoścą rozwązana problemu, ale też adekwatnoścą modelu do danych dośwadczalnych. W zagadnenach naukowych, w których do opsu zjawsk stosuje sę funkcje nelnowe, np. funkcje wymerne czy funkcje wykładncze, do szacowana neznanych parametrów pownno zastosować sę metodę taką, która pozwol najlepej oszacować prognozowaną wartość. Dla funkcj nelnowej na ogół ne jesteśmy w stane podać explcte wzorów na neznane parametry do oszacowana parametrów musmy wykorzystać metody numeryczne. Jak już wspomnano, podobny problem pojawa sę także w metodze uzmennana stałych przy welokryteralnym doborze funkcj celu lub gdy postać funkcj jest złożona bądź podana w postac uwkłanej. Wówczas zastosowane metody rzutu prostopadłego do os OX może dać gorsze rezultaty nż metoda zaproponowana w pracy. W dobe szybkch komputerów proponowana metoda może być z powodzenem stosowana do poszukwana bardzej skomplkowanych funkcj regresj. 900 Jednostkowe koszty eksploatacj agregatu [zł/h] Rys.. Fg P ~ ( x~, ) ~ y P ( x y ) Pˆ = ( x, ŷ ) Wykorzystane w okrese użytkowana [h] Mara dopasowana jako suma kwadratów rzutów na styczne do funkcj Fttng measure as a sum of square of the throw to the tangent lne to the functon styczna do funkcj Szacowane parametrów dla funkcj nelnowych Do szacowana parametrów w funkcj celu proponujemy metodę, która polega na mnmalzacj sumy kwadratów odległośc punktów dośwadczalnych od ch rzutów na wykres funkcj wzdłuż prostej prostopadłej do najblższej stycznej, czyl sumy kwadratów 65

4 Zofa Hanusz, Magdalena Ćwklńska, Zbgnew Sarkowsk długośc odcnków P P ~, gdze = oznacza punkt dośwadczany, natomast P (,, L,n). Należy przy tym zauważyć, że x może oznaczać jedną zmenną objaśnającą lub wektor składający sę z klku zmennych objaśnających. Jak wdać z rys., odcnk P P ~ są ne dłuższe nż odcnk PP ˆ. Poneważ odcnk P P ~ dotyczą rzutów prostopadłych punktów dośwadczalnych na styczną, P ~ jego rzut na styczną do wykresu funkcj y = f ( x) zatem są one trudnejsze do wyznaczena nż rzuty prostopadłe do os OX. Można jednocześne zauważyć, że jeśl punkty leżą odpowedno blsko szukanej krzywej wówczas proponowana w pracy metoda będze dawała podobne wynk do uzyskanych w metodze najmnejszych kwadratów, gdyż odcnk P P ~ P =,, L,n będą sobe w przyblżenu równe, bądź dentyczne dla punktów leżących na szukanej krzywej. Powszechne stosowany rzut prostopadły do os OX gorzej wyjaśna badane zjawsko od proponowanego rzutu na styczną. Ponadto można zauważyć, że rzut na styczną daje lepszą nterpretację jakośc dopasowana równana, gdyż oprócz postac funkcj regresj uzyskujemy także postać jej pochodnej. Metoda może być zatem wykorzystana do określana postac równań różnczkowych opsujących badany proces. Zagadnene to ne będze jednak przedmotem rozważań w nnejszej pracy. P ˆ ( ) Program do wyznaczana postac funkcj celu Do realzacj celu pracy opracowano program komputerowy do oblczana odległośc P x, y, gdze y oznacza wartość zmennej objaśnanej, natomast x jest punktu ( ) ( k ) wymarowym wektorem zmennych objaśnających, od powerzchn regresyjnej y = f ( x) dopasowanej do tych punktów. Danym w programe są: lczba punktów eksperymentalnych n, punkty dośwadczalne: P (, y ) y = f ( x) łączących punkty P (, y ) y = x, =,, L, n oraz postać funkcj. Odległośc punktów oblcza sę numeryczne, jako najkrótsze długośc odcnków x z wykresem funkcj f ( x). Procedurę wyznaczana rzutów punktów na powerzchnę opsaną funkcją y = f ( x) można przedstawć za pomocą następujących etapów.. Ustalamy zakresy zman zmennych nezależnych x j ( j =,, L,k) w postac przedzałów [ a j, b j ], gdze a j = x j, mn Δx j, b j = x j, max + Δx j oraz wartośc x j, mn, x j,max oznaczają odpowedno najmnejszą albo najwększą zaobserwowaną wartość dla zmennej nezależnych x j, natomast Δ x j jest pewną neujemną lczbą, o którą można przekroczyć zaobserwowany zakres zmennośc dla zmennej x j. Obszarem poszukwań rzutów punktów na powerzchnę jest loczyn kartezjańsk przedzałów w postac Df = [ a, b ] [ a, b ] L [ a k, bk ]. Dobór welkośc Δ x wynka z faktu, że nektóre współrzędne rzutów na płaszczyzny styczne do powerzchn mogą leżeć poza obszarem x, x ] [ x, x ] L [ x k, x ]. [,mn,max,mn,max,mn k, max 66

5 Porównane metod określana funkcj.... Dla każdego punktu dośwadczalnego P ( x, z ) (,, L,n) punktu ( x f ( )), gdze x Df = poszukujemy takego P 0 0, x0 0, dla którego odcnek łączący te punkty ma najkrótszą długość. W zwązku z tym, oblcza sę numeryczne odległośc dla punktów P ( x + h, f ( x + h) ), gdze x + h Df oraz h = [ h, h, L, hk ] jest przyjętym wektorem wartośc krokowych h j. Przyjęte wartośc kroku są jednocześne dokładnoścą z jaką zostane wyznaczony rzut na powerzchnę. Metodę wyznaczana rzutów można optymalzować, np. poprzez wprowadzene zmennego kroku h, j =,, L, k; t =,, L,T T jest lczbą zman. Wartośc perwszego kroku pownny być wększe od następnych, aby z grubsza oszacować rzut. W następnych teracjach należy zmnejszać krok, aby bardzej dokładne wyznaczyć poszukwany rzut na powerzchnę. Jeszcze nny sposób wyznaczana rzutów daje możlwość określena kerunku poszukwana mnmalnej odległośc a następne należy poszukwać rzutu ze zmennym krokem w wyznaczonym kerunku. Powyższe postępowane jest proste do oprogramowana, a jedynym ogranczenem jest czas oblczeń, wynkający główne z przyjętego kroku h z jakm zmenają sę wartośc zmennych nezależnych x + h. Ponadto, powyższa metoda może być wykorzystana do numerycznego wyznaczana wartośc pochodnej funkcj w punktach P 0 ( x 0, f ( x0 )), =,, L,n. Wartośc pochodnej zostaną określone dla nnych wartośc zmennych zależnych nż te, które zostały określono w badanach. Z punktu wdzena przebegu całej pochodnej ne ma to jednak stotnego znaczena. Postępując analogczne w stosunku do krzywej będącej pochodną funkcj można wyznaczyć krzywą regresj opsująca pochodną tak dalej, aż do uzyskana pochodnej wymaganego rzędu o le jest ona różna od zera. Ocena metod dopasowywana funkcj celu Porównane metody doboru funkcj zależnośc w oparcu o rzuty punktów dośwadczalnych na styczne z wynkam dla metody najmnejszych kwadratów zostane przedstawone na przykładze welokryteralnej funkcj celu przy doborze rozsewaczy nawozów mneralnych. Rozważmy funkcję uzyskaną poprzez uzmennane stałych postac [Hanusz n. 006]: z = f ( x, x ) = ( 0,09x 0,08x + 0,x ) x +,4x,85x + 7x ( 0,00055x 0,0078x + 0,0078x ) x + 0,00084x 0,005x + 0,0045x Dla funkcj opsanej równanem () stneje problem określena współczynnka determnacj, gdyż poszczególne człony równana określane były w odrębnych krokach postępowana. Za ocenę dopasowana funkcj przyjęto błąd średnokwadratowy dopasowana S, równy perwastkow średnego kwadratu odchyleń wartośc obserwowanych od war- e jt () 67

6 Zofa Hanusz, Magdalena Ćwklńska, Zbgnew Sarkowsk tośc regresyjnych. Dla funkcj określonej wzorem () błąd średnokwadratowy wynos,. Zastosowane rzutu prostopadłego punktów dośwadczalnych na styczne do funkcj opsanej równanem () dało wynk, które zameszczono w tabel. W tym przypadku wartośc drugej zmennej objaśnającej x rzutów były take same, co wynkało z faktu, że poszczególne człony funkcj () określane były dla takch samych wartośc x. Z wynków zameszczonych w tabel wynka, że najwększe błędy dopasowana dotyczą wydajnośc agregatu wynoszącej 6,9 ha h dochodzą do zł h dla rocznego wykorzystana równego 00 h. Przecętna odległość wszystkch punktów dośwadczalnych od krzywej opsanej równanem () wynos 6,45. Tabela. Odległośc wartośc kosztów eksploatacj agregatów do nawożena mneralnego od powerzchn opsanej funkcją () dla wybranych danych eksperymentalnych Table. The dstance of operatng costs values of unts for mneral fertlzaton from the surface descrbed by functon () for the chosen expermental data. x x ( x x ) z, x 0 z ( x0, x ) z ( x, x ) - z ( x0, x ) 0,000,00 0,54 0,600 8,0 0,68 60,000,00 78,004 60,800 77,7,98 90,000,00 60,6 90,500 60,40, ,000,00 57,4 00,400 57,009, ,000,00 4,478 00,00 4,470, ,000,00 6,59 00,000 6,59, ,000,00, ,000,649 0, ,000,00,08 500,000,08 0,977 M M M M M M M 5 700,000 6,90 9,4 70,000 9,94 0, ,000 6,90 88, ,700 88,97 9, ,000 6,90 85, ,600 85,680 9, ,000 6,90 8, ,400 8,050 8, ,000 6,90 78,4 50,00 78,0 8,5 Porównane obydwu metod dla funkcj opsanej równanem () pokazuje, że metoda rzutowana na styczną daje dokładnejszą ocenę dopasowana krzywej a średna odległość punktów pomarowych (kosztów eksploatacj agregatów do nawożena mneralnego) od dopasowanej krzywej wynos 6,45 zł h wobec, zł h dla rzutowana prostopadłego do os OX. Przeprowadzono także analzę porównawczą dla funkcj wyznaczonej bezpośredno z metody najmnejszych kwadratów. Dla tych samych danych eksperymentalnych funkcja przyjmuje następującą postać: 8,54xx 09,8xx + 04,7xx + 59,5 y = z ( x, x ) = () 6,6x 4,8 68

7 Porównane metod określana funkcj... Dla funkcj określonej równanem () jest możlwe określene współczynnka determnacj R, który wynos 0,96, natomast błąd średnokwadratowy dopasowana jest równy S e = 5,09. W celu lustracj uzyskanych rezultatów, w tabel zameszczono wynk oblczeń rzutów punktów na styczną dla wybranych danych eksperymentalnych. Z wynków podanych w tej tabel wynka, że najwększe błędy dopasowana dotyczą wydajnośc agregatu równej 6,9 zł h dochodzą do 6 zł h dla rocznego wykorzystana równego 400 h. Średna odległość wszystkch punktów od krzywej () wynos,08. Tabela. Odległośc wartośc kosztów eksploatacj agregatów do nawożena mneralnego od powerzchn opsanej funkcją () dla wybranych danych eksperymentalnych Table. The dstance of operatng costs values of unts for mneral fertlzaton from the surface descrbed by functon () for the chosen expermental data. x z ( x ) x x x, x ( x x ) z ( x x ), 0 0, - z ( x x ) z 0,0,0 0,54 0,6,8 8,0 0,68 60,0,0 78,004 60,8,6 77,7,98 90,0,0 60,6 90,5,0 60,40, ,0,0 57,4 00,4, 57,009, ,0,0 4,478 00,,7 4,470, ,0,0 6,59 00,0,9 6,59, ,0,0, ,0 4,,649 0,998 M M M M M M M M ,0 6,9 8,78 400,7 6, 6,75 5, ,0 6,9 06, ,7 6, 09,8 4, ,0 6,9 98, ,8 6, 00,980, ,0 6,9 9,4 699,9 6, 95,78, ,0 6,9 88, ,9 6, 90,86, ,0 6,9 85, ,0 6, 87,459, ,0 6,9 8, ,0 6 84,76, ,0 6,9 78,4 50,0 6, 79,90,86, Porównane obydwóch metod dla funkcj opsanej równanem () wykazało także, że metoda rzutowana na styczną daje dokładnejszą ocenę dopasowana krzywej a przecętna odległość punktów pomarowych (kosztów eksploatacj agregatów do nawożena mneralnego) od dobranej krzywej wynosła,08 zł h wobec 5,09 zł h dla rzutowana ortogonalne do os odcętych. W konsekwencj porównana obydwu metod oceny jakośc dopasowana krzywych wskazano, że metoda rzutowana na styczną do szukanej krzywej daje dokładnejszą ocenę oraz ułatwa nterpretację fzyczną uzyskanych zależnośc. Ponadto metoda rzutowana na styczną umożlwa numeryczne określane wartośc pochodnej funkcj dowolnego rzędu o le one stneją. 69

8 Zofa Hanusz, Magdalena Ćwklńska, Zbgnew Sarkowsk Podsumowane W pracy przedstawono metodę oceny jakośc dopasowana funkcj zależnośc na podstawe rzutowana punktów pomarowych na styczną do krzywej. Metodę porównano z metodą najmnejszych kwadratów wykorzystującą rzutowane punktów pomarowych na funkcję regresj ortogonalne do os OX. Porównując obydwe metody w ocene jakośc dopasowana krzywych regresj wykazano, że metoda rzutowana na styczną do szukanej krzywej daje dokładnejszą ocenę oraz ułatwa nterpretację fzyczną uzyskanych zależnośc. Ponadto metoda rzutowana na styczną umożlwa numeryczne określane wartośc pochodnej funkcj dowolnego rzędu o le one stneją. Dokładny ops zastosowana metody do wyznaczana wartośc pochodnej będze przedmotem nnej pracy. Bblografa Drapper N.R., Smth H Appled Regresson Analyss. New York. Wley. rd ed. ISBN Hanusz Z., Sarkowsk Z Określane funkcj celu przy doborze maszyn rolnczych. Inżynera Rolncza. Nr 4 (74), s Hanusz Z., Ćwklńska M., Sarkowsk Z Określane welokryteralnej funkcj celu przy doborze rozsewaczy nawozów mneralnych. Inżynera Rolncza. Nr (86), s Seber G.A.F., Wld C.J Nonlnear Regresson. New York. Wley. ISBN Sarkowsk Z. 00. Propozycje uogólnana funkcj jednej zmennej na funkcje welowymarowe. Inżynera Rolncza. Nr 9 (9), s THE COMPARISON OF METHODS OF DETERMINING THE OBJECTIVE FUNCTION WHILE SELECTING MINERAL FERTILIZER SPREADERS Summary. Dfferent methods of examnatons of the qualty of regresson curve fttng were compared n the paper. The obtaned results can be used whle makng decson on the way of searchng the objectve functon form whle selectng the machnes for carryng out agronomcal practces. The gven example deals wth the selecton of devces for mneral fertlzaton n the crop farm. Key words: spreaders, mneral fertlzers, the crteron of functon selecton, the selecton of parameters Adres do korespondencj: Zofa Hanusz; e-mal: zofa.hanusz@ar.lubln.pl Katedra Zastosowań Matematyk Akadema Rolncza w Lublne ul. Akademcka Lubln 70