7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH

Transkrypt

1 WYKŁAD RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH Ogólne równane rucu Rucem zmennym w korytac otwartyc nazywamy tak przepływ, w którym parametry rucu take jak prędkość średna w przekroju v, napełnene, pole przekroju poprzecznego A, szerokość w zwercadle wody B zmenają sę na długośc koryta s. Gdy kształt koryta ceku jest stały, nezmenny na długośc, to parametry rucu w danym przekroju ceku są zależne tylko od napełnena koryta, czyl parametry te można jednoznaczne opsać funkcjam w któryc występuje tylko jedna zmenna nezależna - głębokość koryta, natomast głębokość ta zmena sę na długośc koryta, tzn. jest zmenną zależną od długośc ceku s, czyl v f(), A f(), B f(), natomast f(s). Koryto o takc właścwoścac nazywamy korytem pryzmatycznym. Rys.45. Przekrój podłużny ceku z przepływem ceczy rucem zmennym Zakłada sę, że rozpatruje sę ruc, którego obraz ne zmena sę w czase, a węc w każdym przekroju w czase natężene przepływu jest stałe Q const, czyl jest to ruc ustalony. Na rys. 45. przedstawono przekrój podłużny koryta ceku, którym płyne woda rucem zmennym. Poza welkoścam opsanym wyżej, na rysunku tym zaznaczono straty energ na długośc f, wysokość położena zwercadła wody z spadek dna koryta o. Przyjmując oznaczena J zw.w. - spadek zwercadła wody oraz J e - spadek ln energ, można napsać następujące zależnośc: 49

2 d d ds f d Pa α v f J e ds ; J e z + + ds ρ g g Z powyższyc zależnośc otrzymujemy podstawowe równane rucu zmennego: c v J zw. w. d v v α + ds g (88) c R W rucu jednostajnym spadk dna ceku, zwercadła wody ln energ są sobe równe stałe na długośc określone są zależnoścą o J zw.w. J e v /c R. Poneważ w rucu jednostajnym v const, c obrazem są lne proste równoległe. Z równana (88) wynka, że spadek zwercadła wody w rucu zmennym, w porównanu z rucem jednostajnym, opsany jest dodatkowo przez pocodną wysokośc prędkośc (perwszy człon równ. 88) przy czym w tym przypadku wraz ze zmaną głębokośc na długośc ceku, zmena sę także prędkość średna w przekroju, stąd przebeg ln energ ln zwercadła wody na długośc ceku jest krzywolnowy. Po wylczenu pocodnej oraz wyznaczenu dla welkośc przedstawonyc na rys. 45 zależnośc d v d Q α Q B d α d s g α ds A g 3 g A d s podstawenu tyc zwązków do równana (88) otrzymujemy to równane w postac: J zw. w o d d s Q o d A c R (89) d s α Q B 3 g A Jest to ogólne równane rucu wolnozmennego dla koryt pryzmatycznyc Badane przebegu krzywej zwercadła wody Przy rozwązywanu zagadnena rucu wody w omawanym przypadku koneczna jest znajomość warunków brzegowyc ogólnego przebegu szukanyc krzywyc zwercadła wody. Do analzy przebegu szukanyc krzywyc wykorzystujemy równane (89) sprowadzone do postac: d d s o J F e r Lcznk Manownk gdze: d / ds - spadek zwercadła wody względem dna, o - spadek dna, J e - spadek ln energ, F r - lczba Froude'a F r v g α A B 50

3 Przypadek. Spadek dna ceku mnejszy od spadku krytycznego o < kr STREFA J e F r L M d/ds KRZYWA > H J e < o F r < M kr < < H J e > o F r < M 3 < kr J e > o F r > M3 H - głębokość normalna, napełnene koryta przy rucu jednostajnym; kr, kr - głębokość spadek krytyczny Rys. 46. Układ zwercadła wody przy spadku dna ceku mnejszym od krytycznego o < kr M Krzywa spętrzena (krzywa cofkowa) zwrócona wypukłoścą ku dołow mająca asymptoty: lnę pozomą przy lnę zwercadła wody w rucu jednostajnym przy (głębokość normalna).. Sprawdzene warunku o < kr. Oblczena krzywej: głębokość maleje od H p (wysokość pętrzena) do,0 H (głębokość normalna + %). M Krzywa depresj zwrócona wypukłoścą ku górze mająca asymptoty: lna zwercadła wody w rucu ustalonym przy H lna ponowa.. Sprawdzene warunku o < kr. Oblczena krzywej: głębokość rośne od kr (głębokość krytyczna) do 0,99 H (głębokość normalna - %). M3 Krzywa spętrzena zwrócona wypukłoścą ku dołow zblżająca sę asymptotyczne do prostej ponowej przy kr. Krzywa ta kończy sę odskokem ydraulcznym a rozpoczyna 5

4 sę od pewnego wymuszonego napełnena koryta (np. wypływ spod zasuwy przy wysokośc podnesena a < kr ).. Sprawdzene warunku o < kr. Przyjęce drugej głębokośc sprzężonej równej głębokośc normalnej s H 3. Oblczene odskoku ydraulcznego: s - perwsza głębokość sprzężona, L o - długość odskoku 4. Oblczena krzywej: głębokość rośne od o (głębokość wypływu pod zasuwą) do s Przypadek. Spadek dna ceku wększy od spadku krytycznego o > kr STREFA J e F r L M d/ds KRZYWA > kr J e < o F r < S H < < kr J e < o F r > S 3 < H J e > o F r > S3 Rys. 47. Układ zwercadła wody przy spadku dna wększym od krytycznego o > kr S Krzywa spętrzena zwrócona wypukłoścą ku górze mająca asymptotę pozomą przy a przy kr zblżająca sę asymptotyczne do ln ponowej. Tak układ zwercadła wody występuje powyżej przeszkody w koryce, gdze panuje ruc krytyczny lub nastąpło już przejśce z rucu podkrytycznego w nadkrytyczny. 5

5 . Sprawdzene warunku o > kr. Przyjęce perwszej głębokośc sprzężonej równej głębokośc normalnej s H 3. Oblczene odskoku ydraulcznego: s - druga głębokość sprzężona, L - długość odskoku 4. Oblczena krzywej: głębokość maleje od H p (wysokość pętrzena) do s. S Krzywa depresj zwrócona wypukłoścą ku dołow posadająca asymptoty: lnę ponową lnę zwercadła wody w rucu jednostajnym. Tak układ zwercadła wody panuje przy wypływe spod zamknęca przy wysokośc podnesena a > kr lub zmane spadku koryta na spadek wększy od krytycznego.. Sprawdzene warunku o > kr. Oblczena krzywej: głębokość maleje od kr (głębokość krytyczna) do,0 H (głębokość normalna + %) S3 Krzywa spętrzena zwrócona wypukłoścą ku górze rozpoczynająca sę od wymuszonego napełnena koryta (wypływ spod zasuwy przy wysokośc podnesena a < H < kr ) zblżająca sę asymptotyczne do ln zwercadła wody w rucu jednostajnym.. Sprawdzene warunku o > kr. Oblczena krzywej: głębokość rośne od o (głębokość ponżej zasuwy) do 0,99 H o (głębokość normalna - %) Metody oblczeń Metoda bezpośrednego całkowana (Bacmetewa) Całkowane równana (89) możlwe jest jedyne przy założenu określonyc zwązków mędzy głębokoścą pozostałym welkoścam carakteryzującym przekrój poprzeczny koryta tj. welkoścam A B. Jest to możlwe przy przyjścu określonego kształtu przekroju poprzecznego np. przekroju prostokątnego, parabolcznego, trapezowego tp. Najbardzej ogólne założene przyjął Bacmetew, który stwerdz że dla koryt pryzmatycznyc o dowolnym kształce przekroju poprzecznego w przyblżenu spełnone są zależnośc: K K x, oraz α B c R j g A const (90) tzn. dla dowolnyc dwóc przekrojów stosunek modułów przekroju K A c R (rów. 70) w kwadrace równy jest stosunkow głębokośc w tyc przekrojac podnesonyc do stałej potęg x. Wykładnk potęgowy x carakteryzuje kształt przekroju poprzecznego danego koryta. Wykładnk ten wyznacza sę na podstawe welkośc K oblczonyc dla przekrojów napełnonyc do głębokośc równyc brzegowym wartoścom. Podobne dla tyc samyc głębokośc można oblczy wartośc j do dalszyc oblczeń przyjmować wartość średną j śr 0,5 (j + j ). Przy wyżej 53

6 opsanyc założenac oraz przy przyjęcu do oblczeń głębokośc względnej / H η Bacmetew otrzymał następującą postać równana: o H η ( s s ) ( η η ) ( jśr ) x Wartość całk w równanu (9) zależy od wartośc wykładnka potęgowego. Dla określonyc wartośc wykładnka x wartośc funkcj ϕ ( η) η η oblczenac wykorzystujemy równane (9) w następującej postac: H dn (9) dn podane są w postac tablc. W praktycznyc x η ( η η ) ( j )[ ϕ( η ) ϕ ( η )] śr Równane to ważne jest dla spadku dna o > 0. (9) Procedura oblczeń metodą Bacmetewa. Oblczene głębokośc normalnej H. Oblczena głębokośc krytycznej kr spadku krytycznego kr 3. Ustalene granc zmennośc napełnena koryta typu krzywej 4. Oblczene wykładnka potęgowego 5.Oblczene współczynnka j log K x log log K log 6. Oblczene współrzędnyc krzywej dla przyjętyc wartośc. Dla krzywej M można przyjąć ( H + H ) śr p ; H ; K Aśr R ; K n 3 śr Q o a dla oblczena j sr można przyjąć wprost parametry koryta przy napełnenu sr. W oblczenac H p krzywej M przyjmuje sę najczęścej η j H oraz η. Wartośc funkcj ϕ (η ) ϕ (η ) H odczytujemy z tablc a odległośc l mędzy przekrojam o przyjętyc głębokoścac H p oblczamy ze wzoru (9). Metoda Czarnomskego Punktem wyjśca w tej metodze jest równane Bernoullego napsane dla dwóc przekrojów odległyc od sebe o s, natomast podstawowym założenem metody jest przyjęce 54

7 jednostkowyc strat energ na tej długośc ceku jako średnej wartośc ze spadków energ oblczonyc dla tyc przekrojów, czyl J e v c R ; J + J J śr ; f J śr s Wykorzystując powyższe zależnośc oraz przyjmując oznaczena jak na rys. 48, równane Bernoullego przyberze postać: s o + E + s J śr (93) Rys. 48. Scemat do oblczeń metodą Czarnomskego Z równana (93) możemy wyznaczyć neznaną odległość s mędzy dwoma przekrojam, dla któryc w jednym jest znana głębokość a w drugm głębokość założona. W tyc oblczenac korzystamy z następującej postac równana: s E E J o śr Metoda Czarnomskego jest szczególne wygodna do oblczeń komputerowyc. Procedura oblczeń. Oblczene głębokośc normalnej H. Oblczena głębokośc krytycznej kr spadku krytycznego kr 3. Ustalene granc zmennośc napełnena koryta typu krzywej 4. Oblczene współrzędnyc krzywej dla wyjścowej znanej wartośc kolejnyc zakładanyc głębokośc. W przypadku koryta trapezowego 55

8 B b + m, A ( b + m ), χ b + + m, R A χ c n R 6 ; v Q A Dla kolejnyc przekrojów oblczamy: E α v + ; g J c v R Odległość s mędzy rozpatrywanym przekrojam wylczamy z równana (94). Przykład W kanale o spadku dna,5 napełnenu H,335 m, zmenono gwałtowne spadek na dzesęcokrotne wększy 5. Szerokość dna kanału b m, nacylene skarp m oraz współczynnk szorstkośc n 0,05. Oblczyć: a) natężene przepływu Q w kanale, b) napełnene koryta w rucu jednostajnym na odcnku o spadku, c) odległośc, w górę dół od mejsca zmany spadku, w jakej napełnene kanału jest praktyczne równe głębokośc normalnej. Rozwązane: Oblczamy natężene przepływu Q przy napełnenu H Oblczamy głębokość krytyczną kr α Q g,0 6 9,8 3,67 m 3 56

9 Drogą kolejnyc przyblżeń przyjęto kr 0,9 m, dla której Oblczamy spadek krytyczny kr Poneważ spadek dna,5 jest mnejszy od spadku krytycznego kr 8,4, napełnene koryta na tym odcnku będze zmenało sę od głębokośc normalnej do głębokośc krytycznej kr, czyl kr < < H 57

10 Na odcnku o spadku 5 dla założonej wartośc H 0,799 m oblczamy Poneważ spadek dna po zmane wynos 5 jest wększy od spadku krytycznego kr 8,4, napełnene koryta na tym odcnku będze zmenało sę od głębokośc krytycznej do głębokośc normalnej, H < < kr. 58

11 59