Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład IX

Transkrypt

1 Modelowane przepływu ceczy przez ośrodk porowate Wykład IX Metody rozwązywana metodam analtycznym równań hydrodynamk wód podzemnych płaskch zagadneń fltracj. 9.1 Funkcja potencjału zespolonego. Rozważana przedstawone w tym podrozdzale oparte są na wynkach prac badawczych [Połubarnovej-Koczny 1977] oraz teor funkcj analtycznych omówonej w monograf [Trajdosa- Wróbla 1965] oraz pracach [Rembezy ] [Castany ego 1967] [Flcakova 196] [Weczystego 198]. Wprowadźmy do naszych rozważań dowolną funkcję analtyczną Ω Ω( z). Każdą funkcję analtyczną można przedstawć w postac kombnacj lnowej dwóch funkcj zmennych rzeczywstych x y Ψ x y w postac: Φ ( ) ( ) ( x + Φ( x + Ψ( x Ω Ω. (9.1) Wykażemy teraz że funkcje Φ Ψ spełnają równana wprowadzone w rozdzale IV. Na wstępe rozważmy własnośc funkcj analtycznej Ω. W tym celu przypomnjmy że zmenną zespoloną z wyrażamy wzorem: z x y + (9.) gdze 1. Perwsze druge pochodne zmennej zespolonej po 1 z z. y są równe: Różnczkę zupełną funkcj z oblczamy ze wzoru: stąd: z dx + dy dz dz + dy. Oblczmy następne perwsze pochodne funkcj Ω po x. Dostanemy: skąd dostajemy że a następne z czego wynka że. Powyższe zależnośc pozwalają zapsać:

2 . (9.3) Wedząc że: Φ Ψ + Φ Ψ + (9.4) (9.5) oraz wstawając zwązk (7.158) (7.159) do równana (7.157) dostajemy: Φ Ψ Φ Ψ +. Równane powyższe jest spełnone gdy część rzeczywsta urojona jest równa zero. Otrzymujemy stąd zwązk: Φ Ψ x Φ Ψ y. (9.6) Zwązk (9.6) są zwązkam Cauchy Remanna [Trajdos-Wróbel 1965]. Jak wemy z geometr analtycznej funkcje Φ ( x const Ψ( x const są wzajemne ortogonalne spełnają warunek prostopadłośc krzywych płaskch: Φ Ψ Φ Ψ + Oblczmy następne druge pochodne funkcj Ω po x : (9.7) Ω Ω Ω Ω. Sumując stronam powyższe zwązk dostajemy: Poneważ Ω. (9.8) dostanemy: x x+ x y y+ y Ω Φ Ψ Ω Φ Ψ (9.9) Ω Φ + Ψ. (9.1)

3 Borąc pod uwagę zwązek (9.1) równane (9.8) otrzymujemy następujące dwa równana: Φ Ψ. (9.11) Możemy węc stwerdzć że funkcje Φ Ψ spełnają równana (9.11) zwązk (9.6). Są węc zgodne z rozważanam przedstawonym w podrozdzale IV. odpowedno: funkcją prądu Ψ funkcją potencjału prędkośc Φ. Funkcję Ω będzemy nazywal dalej funkcją potencjału zespolonego wyrazmy ją przy pomocy funkcj Φ Ψ w postac: Ω Φ + Ψ. (9.1) Spróbujemy następne wyznaczyć prędkość fltracj w dowolnym punkce obszaru fltracj przy pomocy funkcj potencjału zespolonego. Ze wzorów (9.6) wemy że: v x Φ Ψ ; v y Φ Ψ. (9.13) Oblczymy pochodną funkcj Ω po zmennej zespolonej z: ( z) dω dz ( z) Ω'. (9.14) Różnczka zupełna funkcj Ω wyraża sę wzorem: d ( z) dx + dy Ω. Wyrażając funkcję Ω w postac (9.1) uwzględnając (9.13) dostajemy: d Φ Ψ Ψ Φ ( z) + dx + dy Ω. Korzystając następne ze zwązków (9.13) możemy zapsać: stąd d ( z) ( v v )( dx d Ω x y + ( z) v v w Ω'. (9.15) x y

4 Rys. 4 Schemat do wzualzacj zespolonej prędkośc fltracj. Funkcję w( z ) będzemy nazywal prędkoścą zespoloną fltracj. Znając funkcję w można określć funkcję w sprzężoną z funkcją w (rys.7.3) : Długość wektora fltracj v r można wyrazć wzorem: w v x + v y. (9.16) r v w w. (9.17) v v Znając funkcję potencjału zespolonego można określć funkcję prędkośc zespolonej fltracj a co za x y tym dze określć składowe wektora fltracj. 9. Sposób rozwązywana płaskch zagadneń przepływu. Sposób rozwązywana płaskch zagadneń teor fltracj przy wykorzystanu funkcj analtycznej przedstawono w welu monografach podręcznkach akademckch. Perwsze prace wraz z lcznym przykładam zostały wykonane przez Połubarnovą-Kocznę w latach 4-tych XX weku [Połubarnova- Koczna 1977]. Wele późnejszych autorów publkacj (np. [Castany 1967] korzystało z metodyk rozwązywana płaskch zagadneń teor fltracj opracowanej przez tę uczoną. W nnejszej pracy omówmy metodykę postępowana pozwalającą na znalezene rozwązań w postac zamknętej dla najbardzej stotnych zadań z zakresu budownctwa wodnego. Przedstawmy ponadto przykłady lczbowe dla nektórych zagadneń brzegowych aby zorentować czytelnka o przydatnośc przedstawonego sposobu uzyskwana rozwązań praktycznych problemów nżynerskch. Określmy na brzegach obszaru fltracj warunk brzegowe. Następne poszukujmy takej funkcj analtycznej która spełna warunk brzegowe zadana. Jeżel stneje trudność w określenu bezpośredno funkcj potencjału zespolonego możemy poszukwać funkcj prędkośc zespolonej spełnającej warunk brzegowe zadana a następne określć poprzez całkowane funkcję potencjału zespolonego. Następne należy rozdzelć funkcję Ω na część rzeczywstą urojoną uzyskując tą drogą funkcje Φ Ψ. Pozwala to na wyznaczene ln Φ const Ψ const tworzących w obszarze fltracj satkę hydrodynamczną przepływu. Korzystając z własnośc funkcj prądu Ψ możemy określć wydatek pomędzy dowolne wybranym z obszaru fltracj ln prądu. Sposób rozwązana zobrazujemy na przykładach konkretnych zagadneń brzegowych. Przedstawona metoda jest łatwym sposobem wykorzystana odwzorowań konforemnych. Dla blższego wyjaśnena czym są rozwązana oparte na odwzorowanach konforemnych weźmy pod rozwagę funkcję analtyczną: Z f ( z) (9.18) którą można wyrazć `przy pomocy dwóch funkcj X Y wzorem:

5 która jest funkcją zmennej zespolonej z x y równana Cauchy Remanna czyl jeżel: Z X + Y (9.19) X Y X Y oraz x +. Jeżel funkcja f ( ) z jest cągła spełna wówczas funkcja f ( z ) jest holomorfczna w całej płaszczyźne zmennej zespolonej z. Jeżel dodatkowo założymy że funkcje X Y mają cągłe perwsze druge pochodne cząstkowe to można wykazać że są to funkcje harmonczne czyl że: X oraz Y. W pracy [Trajdosa Wróbla 1965] przedstawono dowody dwóch twerdzeń: Twerdzene I Jeżel w funkcj harmoncznej u( X Y ) wprowadzmy nowe zmenne xy względem których zmenne są harmoncznym sprzężonym to funkcja ( ) ( ) ( ) u X x y Y x y u X Y będze harmonczna względem nowych zmennych. Twerdzene II Jeśl X ( x y ) ( ) ( X Y ) jakoban ( x Y x y są funkcjam harmoncznym sprzężonym w pewnym obszarze ch funkcjam harmoncznym sprzężonym. Załóżmy że funkcja Z f ( z) jest różny od zera to w tym obszarze funkcje odwrotne ( ) jakoban odwzorowana jest różny od zera: x X Y ( ) y X Y są jest holomorfczna posada perwszą pochodną różną od zera. Jeżel J X X Y Y (9.) z tego wynka że J f ( z) X Y + ' zgodne z przyjętym założenem. W takm przypadku obrazem ln jest lna a obrazem obszaru obszar. Nech przez ustalony punkt z przechodz zadana gładka lna C. Wówczas przez obraz Z tego punktu przechodz gładk obraz

6 C ' tej ln. Wyberzmy na ln C punkt z blsk z. Obrazem punktu z będze oczywśce punkt Z na krzywej C ' blsk Z. Poprowadźmy przez z z seczną ln C oraz przez punkt Z Z (nebędącą na ogół obrazem secznej ln C ) seczną ln ' C [rys. 41]. Rys. 41 Odwzorowane funkcj holomorfcznej (wg. [Trajdosa Wróbla 1967]). Wemy z przyjętego założena że f ( z ) Z Z ' lm z z z z. (9.1) Oblczając argument pochodnej dostajemy: Z Z Arg f '( z ) Arg lm z z z z lm Arg Z Z lm Arg z z Θ θ + kπ ( ) ( ) z z z z (9.) gdze k jest dowolną lczbą całkowtą. Z tego wynka że każda krzywa wychodząca z punktu z doznaje obrotu przy odwzorowanu za pomocą funkcj holomorfcznej o kąt równy Arg f '( z ) udowodnono twerdzene o kące względnym pomędzy dwoma lnam o treśc:. W pracy Twerdzene III Kąt względny pomędzy dwoma lnam w danym punkce ne ulega zmane przy odwzorowanu za pomocą funkcj holomorfcznej o pochodnej w tym punkce różnej od zera. ' Rozpatrzmy dwe krzywe C 1 C na płaszczyźne z oraz odpowadające m obrazy 1 przedstawone na rys. 4 Zgodne z oznaczenam na rys. 4 uwzględnając poprzedne rozważana wzór (9.) możemy zapsać: ω Θ1 θ1 Θ θ. (9.3) Powyższa równość zachodz z dokładnoścą do welokrotnośc kąta π. Odwzorowane zachowujące względne kąty nazywamy odwzorowanem konforemnym. Każda funkcja holomorfczna o pochodnej różnej od zera określa przekształcene konforemne. Jeżel w przekształcenu konforemnym kąty ne ulegają zmane a długośc zmenają sę proporcjonalne do modułu pochodnej to pola zmenają sę proporcjonalne do kwadratu modułu pochodnej co wynka bezpośredno z defncj jakobanu(9.) przekształcena konforemnego. C ' C

7 Rys. 4 Idea odwzorowań konforemnych (wg. [Trajdosa Wróbla 1967]). Dwa podstawowe zagadnena teor odwzorowań konforemnych to: znalezene obrazu danego zboru (ln obszaru) przy zadanym odwzorowanu konforemnym znalezene odwzorowana konforemnego które danemu obszarow przypsuje określony obraz będący równeż obszarem. Druge z zagadneń jest bardzej skomplkowane ne zawsze potrafmy je rozwązać. O jego rozwązalnośc śwadczy jednakże twerdzene Remanna będące jednym z podstawowych twerdzeń teor odwzorowań konforemnych. Twerdzene Remanna. Każde dwa jednospójne obszary których brzeg składają sę węcej nż z jednego punktu można na sebe odwzorować konforemne. Twerdzene Remanna jak to pokazał [Trajdos Wróbel 1967] zawera jednakże jedno stotne założene o jednospójnośc obu obszarów wynkające z tego że odwzorowane konforemne jest rodzajem odwzorowana topologcznego przy którym zachowuje sę rodzaj spójnośc obszaru. Jeśl każdej wartośc zmennej zespolonej z przyporządkujemy jedną wartość funkcj Ω : Ω Φ( x + Ψ( x oraz założymy że stneje taka funkcja f ( z ) posadająca perwszą pochodną po z taką że: ( z) Ω f (9.4) to możemy stwerdzćże Ω jest funkcją zmennej zespolonej z co można zapsać w postac wzoru (9.4). Można węc stwerdzć że funkcja ta przyporządkowuje punktom płaszczyzny z x + y punkty płaszczyzny Ω Φ + Ψ (rys. 7.33). Możemy węc wysnuć wnosek że funkcja f ( z ) odwzorowuje płaszczyznę zmennej z na płaszczyznę zmennej Ω jest funkcją holomorfczną. Przyjmjmy dla przykładu: Φ x y oraz Ψ xy. (9.5) Podobne jak w przypadku płaszczyzny zmennej zespolonej z na płaszczyźne Ω proste Φ C Ψ C 1 przecnają sę pod kątem prostym. Wynka stąd bezpośredno że odwzorowane f(z) zachowuje kąty. A właśne take odwzorowane które zachowuje kąty co pokazalśmy powyżej nazywamy odwzorowanem konforemnym. a

8 b a b Rys. 43 Satka hydrodynamczna przepływu na płaszczyźne zx+y ( a ) na płaszczyźne Z X + Y ( b ). ) (rys. 43) na płaszczyźne z x + y będzemy nazywać pozomcam odwzorowana konforemnego. W przypadku zagadneń bardzej złożonych płaskego przepływu teor fltracj wód podzemnych mamy do czynena z sytuacją gdy znany jest obszar fltracj oraz wartośc funkcj Φ Ψ na jego brzegu natomast ne znamy funkcj realzującej odwzorowana konforemne wewnątrz obszaru mamy wec do czynena z zagadnenem trudnejszym. Tego typu problem pozwala nam rozwązać teora przekształceń konforemnych oparta na wzorze Chrstoffela Schwarza. Wzór ten pozwala wg. [Połubarnovej-Koczny 1977] określć funkcje realzujące przekształcene konforemne na obszary welokątne jeżel przyjmemy że na płaszczyźne zx+y jest określony welokąt o werzchołkach M (M1M...Mn) (rys. 7.34). Kąty odpowadające poszczególnym werzchołkom tego welokąta oznaczmy / Krzywe Z ( x y C ) oraz Y ( x C α a przez a będzemy oznaczać współrzędne rzeczywste tych werzchołków. Jeżel przez t określmy zmenną całkowana (zmenna zespolona) to wzór Chrstoffela Schwarza realzujący odwzorowane konforemne można przedstawć w postac: t dt z M N n t a 1 t a t a + α α α n ( 1) π ( ) π...( ) π. (9.6) Rys. 44 Schemat do wzoru Chrstoffela Schwarza.

9 Kąty α odpowadające określonym punktom A we wzorze (9.6) odczytujemy z welokąta na rys. a 44. Welkośc stałych odpowadające częśc rzeczywstej zmennej t są stałym rzeczywstym. Wartość tych stałych po uwzględnenu stałej całkowana N odpowadają długośc boków welokąta o werzchołkach A. Stałe M N są stałym wyrażonym przez lczby zespolone. Stosując wzór (9.6) należy meć na uwadze zgodne z pracą [Rembezy 1998] klka jego właścwośc: 1. człon we wzorze Chrstoffela Schwarza który zawera stałą a jest w nm pomjany. trzy stałe a mogą meć wartość dowolną. Wynka to z twerdzena Remanna o jednoznacznośc odwzorowań konforemnych. Zazwyczaj przyjmuje sę wartość tych stałych równą 1. Praktyczne wykorzystane wzoru Chrstoffela - Schwarza znaleźć można w pracach [Połubarnovej- Koczny 1977] [Aravna nnych 1953] [Castany ego 1967] [Rembezy 1998] welu nnych. Bardzo stotnym elementem budowana rozwązań brzegowych jest stosowane metody superpozycj rozwązań zagadneń prostszych przy analzowanu zagadneń bardzej n skomplkowanych. Generalne można stwerdzć że jeżel Ω1 Ω K Ω są potencjałam zespolonym określającym przepływy proste to potencjał Ω będący sumą tych potencjałów przepływów prostych jest zgodne z pracą [Rembezy 1998] potencjałem odpowadającym przepływow złożonemu w postac: c c c c n n Ω Ω + Ω + Ω + K Ω (9.7) c c c c n przy czym 1 3 K są stałym k