liniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym.

Transkrypt

1 =DGDQLHSROHJDMFHQDSRV]XNLZDQLXPDNV\PDOQHMOXEPLQLPDOQHMZDUWRFLIXQNFMLZLHOX ]PLHQQ\FKSU]\MHGQRF]HVQ\PVSHáQLHQLXSHZQHMLORFLQDáR*RQ\FKZDUXQNyZ UyZQDOXE QLHUyZQRFLQRVLQD]Z]DGDQLDRSW\PDOL]DF\MQHJROXE]DGDQLDSURJUDPRZDQLD matematycznego. =DGDQLHWRPR*QDVIRUPXáRZDüQDVWSXMFR =QDOH(üHNVWUHPXPIXQNFMLZLHOX]PLHQQ\FKQD]\ZDQHMIXQNFMFHOX ) Z = F(,,... n ) VSHáQLDMFMHGQRF]HQLHRJUDQLF]HQLD UyZQRFL (,,... n ) b f =, =...m, LQLHUyZQRFL j (,,... n ) b j f, j=...k. Zmenne QD]\ZDQHVzmennym decyzyjnym ( lub projektowym). -H*HOLIXQNFMDFHOXLRJUDQLF]HQLDVIXQNFMDPLOLQLRZ\PLWRPyZLP\RSURJUDPRZDQLX lnowym w przecwnym przypadku mówmy o programowanu nelnowym. ZQDQ\FKMHVWZLHOHPHWRGUR]ZL]\ZDQLDW\FK]DJDGQLH6]F]HJyOQH]QDF]HQLHPDMPHWRG\ QXPHU\F]QHSR]ZDODMFHQD]QDOH]LHQLHSRV]XNLZDQHJRHNVWUHPXP]ZLNV]OXEPQLHMV] GRNáDGQRFL 6]XNDQLHHNVWUHPXPIXQNFMLPR*QD]DZV]HSU]HGVWDZLüMDNRSUREOHPPLnmalzacj. RV]XNLZDQLHPDNVLPXPPR*HP\]DVWSLüSRV]XNLZDQLHPPLQLPXPIXQNFMLSRPQR*RQHM przez. 0LQLPDOL]DFMDIXQNFMLSU]\EUDNXRJUDQLF]H :LNV]RüDOJRU\WPyZUR]ZL]XMF\FKSUREOHPPLQLPDOL]DFMLIXQNFMLWRDOJRU\WP\ teracyjne. :\PDJDMRQHRNUHOHQLDSXQNWXVWDUWRZHJR o DQDVWSQLHZNROHMQ\FKNURNDFK LWHUDF\MQ\FKWZRU]\VLFLJUR]ZL]D k WDNLFK*HSXQNW k+ MHVWOHSV]\PSU]\EOL*HQLHP UR]ZL]DQLDRSW\PDOQHJRZSRUyZQDQLX]UR]ZL]DQLHP k ]QDF]DWR*H]DFKRG]L k+ ) F( ) < F( ). DMF]FLHMVWRVRZDQHPHWRG\PLQLPDOL]DFMLSROHJDMQDSU]HV]XNLZDQLXSU]HVWU]HQL ]PLHQQ\FKSURMHNWRZDQLDZ]GáX*SHZQ\FKSURVW\FK]ZDQ\FKNLHUXQNDPLSRV]XNLZD RZHSU]\EOL*HQLHSRV]XNLZDQHJRSXQNWXUR]ZL]DQLDRWU]\P\ZDQHMHVW]JRGQLH] ]DOH*QRFL ( k+ ) = + α s ( ), gdze: wektor sr]qdf]dnlhuxqhnsrv]xnlzd]dαzlhonrünurnxzw\pnlhuxqnx F]\ZLFLHNLHUXQHNsPXVLZ\]QDF]DüNLHUXQHN]PQLHMV]DQLDVLIXQNFMLFHOXZSU]HVWU]HQL projektowana. -H*HOLIXQNFMDFHOXMHVWUy*QLF]NRZDOQDZDUXQHNWHQPR*QD]DSLVDüZSRVWDFL s F( ) < 0,

2 -q k k+.d*g\]lwhudf\mq\fknurnyz]dzlhudgzdhwds\:slhuzv]\p]rvwdmhz\]qdf]rq\nlhuxqhn (k ) (k ) (k ) SRV]XNLZD s w punkce ]DZHWDSLHGUXJLPRNUHODVLZLHONRüNURNXα na ( k+) SRGVWDZLHNWyUHJRZ\]QDF]DVLQRZ\SXQNW :LHONRüNURNXPR*HE\üSU]\MWD DUELWUDOQLHOXEWH*MHVWZ\]QDF]RQDQDGURG]HPLQLPDOL]DFMLIXQNFMLZ]GáX*NLHUXQNX SRV]XNLZD s k ) Φ( α ) = F( + αs F( k+ ) (k ) :SURZDG(P\IXQNFMSDUDPHWUXα ( ) = m nf( α ) SW\PDOQDGáXJRüNURNXWRWDNDGODNWyUHMVSHáQLRQ\MHVWZDUXQHN + αs ) = m nφ( α) α dφ =DWHPZND*G\PNURNXLWHUDF\MQ\PPHWRGDZ\PDJDUR]ZL]DQLDUyZQDQLD = 0. dα àdwzrpr*qdz\nd]dü*hsu]\uyzqdqlhgr]hudsrfkrgqhmixqnfmlφ po parametrze α jest ( k+ ) UyZQRZD*QHUyZQDQLX s F( ) = 0, FRR]QDF]D*HZSXQNFLH k+ wektor wzrostu ( k +) F( ) MHVWSURVWRSDGá\GRNLHUXQNXSRV]XNLZD Oznaczmy gradent funkcj celu przez wektor qrql*hmsu]hgvwdzlrqdmhvwloxvwudfmd ]EOL*DQLDVLGRPLQLPXPIXQNFMLFHOXPHWRGQDMV]\EV]HJRVSDGNX.U]\ZHSU]HGVWDZLDM warstwce funkcj celu. k -q k+ s k RGVWDZRZPHWRGSRV]XNLZDQLDPLQLPXPIXQNFMLEH]RJUDQLF]HMHVWPHWRGD QDMV]\EV]HJRVSDGNXZNWyUHM]DNLHUXQHNSRV]XNLZDSU]\MPXMHVLXMHPQ\ZHNWRU gradentu mnmalzowanej funkcj. s = F( ), -HVWRF]\ZLVWH*HNROHMQHNLHUXQNLSRV]XNLZDZPHWRG]LHQDMZLNV]HJRVSDGNXVGRVLHELH provwrsdgáh*hqhurzdqhzf]dvlhsu]helhjxdojru\wpxnlhuxqnlsrv]xnlzdpdmfkdudnwhu Ä]\J]DNRZDW\ FRVWDQRZLSRGVWDZRZZDGWHMPHWRG\,QQH]QDQHPHWRG\HZWRQD JUDGLHQWXVSU]*RQHJRLWSZUy*Q\VSRVyEOLNZLGRZDá\WZDG]PQLHMV]DMFV]\ENRü zblh*qrfl

3 Mnmalzacja funkcj z ogranczenam :Z\SDGNXZ\VWSRZDQLDRJUDQLF]HZSRVWDFLQLHUyZQRFLLUyZQDNWyUHPDMDVSHáQLDü zmenne projektowe ( zmenne decyzyjne) mamy odczynena z zadanem optymalzacj z ogranczenam. Obszar wsu]hvwu]hql]plhqq\fksurmhnwrz\fkmhvwrjudqlf]rq\su]h]sádv]f]\]q\z Z\SDGNXRJUDQLF]HOLQLRZ\FKOXESRZLHU]FKQLHZZ\SDGNXRJUDQLF]HQLHOLQLRZ\FK :\]QDF]HQLHPLQLPXP]]DJDGQLHQLXZRSW\PDOL]DFML]RJUDQLF]HQLDPLPR*QD SU]HSURZDG]LüQDZLHOHVSRVREyZJUDQLF]P\VLGRRSLVDQLDWU]HFK. Perwszym sposobem jest sprowadzene problemu z ogranczenam do problemu bez RJUDQLF]HSU]H]WUDQVIRUPDFMH]PLHQQ\FKQLH]DOH*Q\FKGHF\]\MQ\FKSURMHNWRZ\FK Metoda ta jest zwykle stosowana tylko do przypadkózjg\]plhqqhqlh]doh*qhv RJUDQLF]RQH]JyU\L]GRáXSU]H]VWDáHZDUWRFLOLF]ERZH U]\NáDGRZRMH*HOLRJUDQLF]HQLHPDSRVWDü l p to po wprowadzenu nowych zmennych _ : = l + ( p l )sn _. otrzymamy zagadnene optymalzacj funkcj celu dla zmennych _ EH]RJUDQLF]H. 'UXJLPVSRVREHPMHVWPRG\ILNDFMDIXQNFMLFHOXSU]H]ZSURZDG]HQLHGRQLHMZ\UD*HQLD UHSUH]HQWXMFHJRNDU]SU]HNURF]HQLHRJUDQLF]HDVWSQLHGRWDN]PLHQLRQHMIXQkcj VWRVXMHP\MHGQ]PHWRGSRV]XNLZDQLDHNVWUHPXPEH]RJUDQLF]H0R*QDZ\ND]Dü*H FLJUR]ZL]D]DJDGQLHQLDEH]RJUDQLF]HGODFLJXÄFRUD]PRFQLHMV]\FK IXQNFMLNDU\ MHVW]ELH*Q\GRUR]ZL]DQLD]DJDGQLHQLDRSW\PDOL]DFML]RJUDQLF]HQLDPL b() b () b () b o () Xo- Obszar rozw]d dopuszczalnych IlustracMD]DVDG\WZRU]HQLDFLJX]HZQWU]Q\FKIXQNFMLNDU\. 7U]HFLPVSRVREHPMHVWPRG\ILNDFMDNLHUXQNXSRV]XNLZDZRWRF]HQLXRJUDQLF]HEG( SU]H]JHQHURZDQLHNLHUXQNXGRSXV]F]DOQHJRDQDVWSQLHSRV]XNLZDZREV]DU]H GRSXV]F]DOQ\PZ]GáX*WHJRNLHUXQNXEG(WH* przez rzutowane kerunku gradentu na SRZLHU]FKQLVW\F]QGRRJUDQLF]H,VWQLHMRF]\ZLFLHLQQHPHWRG\SRV]XNLZDQLDHNVWUHPXPWXQLHZ\PLHQLRQH

4 4 U]\NáDGSURJUDPRZDQLDOLQLRZHJR U]HSURZDG]LP\RSW\PDOL]DFM]\VNXGOD]DNáDGXSURGXNXMFHJRGZDW\S\Sáyt SRGáRJRZ\FK E\GZDW\S\Z\PDJDM]X*\FLDMHGQDNRZHMLORFLGRVWSQ\FKEH]RJUDQLF]HWDNLFK surowców jak woda pasek, cement. 7\S,MHVWEDUZQ\LSRWU]HEQDMHVWSHZQDLORüEDUZQLNDQDMHJRZ\SURGXNRZDQLH =DNáDGSURGXNF\MQ\PDRJUDQLF]RQLORüEDUZQLNDUyZQOGRVWSQLORüF]DVXSUDF\ PDV]\QZ\QRV]FJRG]LQLF]DVXSUDF\OXG]LRNUHORQQDJRG]LQ\ :LDGRPR*HZ\SURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX,NRORURZ\FKZ\PDJD godzn pracy maszyn, godzn pracy ludzkej ltrów barwnka. WypURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX,,Z\PDJDQDWRPLDVW godzn pracy maszyn godzn pracy ludzkej. =\VNQDWRQLHSá\WW\SX,Z\QRVL]áDQDWRQLHSá\WW\SX,,]á,QWHUHVXMHQDV]DSODQRZDQLHSURGXNFMLPDNV\PDOL]XMFH]\VN VNáDGQLNL, ZLHONRFLGRVWSQH maszyny 0 praca ludzka 4 barwnk 0 8 zysk 6IRUPXáXMP\SUREOHPZSRVWDFLPDWHPDW\F]QHM=QDOH(üPDNVLPXPIXQNFMLOLQLRZHM Z = + przy ogranczenach : 0, 0, REV]DUUR]ZL]D dopuszczalnych

5 5 /LQLHSU]HU\ZDQHWRZDUVWZLFHIXQNFML]\VNXRGSRZLHGQLRRSR]LRPLH]\VNXL]á URVWDQDMGDOHMRGOHJáDRGSRF]WNXXNáDGXZVSyáU]GQ\FKSU]HGVWDZLDMFDZDUVWZLFIXQNFML ]\VNX= URVWDWDVW\NDVLW\ONRZMHGQ\PSXQNFLH]REV]DUHPUR]ZL]D GRSXV]F]DOQ\FK-HVWWRSXQNWRZVSyáU]GQ\FK[ L[ ]QDF]DWR*HRWU]\PDOLP\ JUDILF]QHUR]ZL]DQLH]DGDQLDRSW\PDOL]DFML 5R]ZL]DQLH ZLHONRFL ZLHONRFL skádgqlnl, GRVWSQH wykorzystane = =6 maszyny *=4 *6=6 0 0 praca ludzka *=6 *6=8 4 4 barwnk *= zysk *=6 *6= 8.RORUHPF]HUZRQ\PZ\Uy*QLRQRRJUDQLF]HQLDDNW\ZQH :HNWRUSURVWRSDGá\GROLQLLZDUVWZLFMHVWZHNWRUHPQDMV]\EV]HJRZ]URVWXIXQNFMLFHOX Jest on równy gradentow funkcj celu. F = F /, F / ] [,], [ = U]HGVWDZP\SRQRZQLHUR]ZL]DQLHPHWRGWHJR]DGDQLDW\PUD]HPPHWRG PRG\ILNDFMLNLHUXQNXSRV]XNLZDZRWRF]HQLXRJUDQLF]H. $OJRU\WPGRFKRG]HQLDGRUR]ZL]DQLDMHVWQDVWSXMF\

6 6. :\ELHUDP\GRZROQHZDUWRFL]PLHQQ\FKVSHáQLDMF\FKZDUXQNLRJUDQLF]DMF: LQWHUSUHWDFMLJUDILF]QHMR]QDF]DWR*HZ\ELHUDP\SHZLHQVWDUWRZ\SXQNWOH*F\Z REV]DU]HUR]ZL]D dopuszczalnych.. 6]XNDP\QDVWSQLHOHSV]HJRUR]ZL]DQLD/HSV]HUR]ZL]DQLHEG]LHOH*DáRZNLHUXQNX najszybszego wzrostu funkcj celu. Kerunek najszybszego wzrostu funkcj celu wyznacza wektor gradentu. W przypadku lnowej funkcj celu ( wykres jej jevwsádv]f]\]q QDVWSQ\SXQNWZSU]HVWU]HQL]PLHQQ\FKGDMF\QDMZLNV]ZDUWRüIXQNFMLFHOXEG]LH VL]QDMGRZDáPR*OLZLHQDMGDOHMRGVWDUWRZHJRDOHQLHGDOHMQL*SR]ZROQDWR ogranczena...rohmq\sxqnweg]lhsrv]xnlzdq\z]gáx*judqlf\rev]duxur]zl]dgrsxv]f]doq\fkz kerunku wzrostu funkcj celu. SLVPHWRG\UR]ZL]DQLD]DGDQLD U]\MPLMP\SXQNWVWDUWRZ\OH*F\Z]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FK QS$RZVSyáU]Gnych, 0 { 0} = {,0} wektor gradentu funkcj celu wynos: { gradf ( ) } = {,} Szukamy nowego punktu w kerunku najszybszego wzrostu funkcj celu. :VSyáU]GQHQRZHJRSXQNWXZ\QRV] 0 { } = + λ

7 7 gdze: λ oznacza neznany parametr. RZ\SXQNWPXVLOH*HüZ]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKFRR]QDF]D*HVSHáQLRQHPXV] E\üZV]\VWNLHQLHUyZQRFLRJUDQLF]DMFH RGVWDZLDMFNROHMQRZVSyáU]GQHQRZHJRSXQNW\GRQLHUyZQRFLRJUDQLF]DMF\FK RWU]\PDP\Uy*QHZDUWRFLRJUDQLF]DMFHSarametr λ. 0 {, } λ, λ λ 'ODQDMPQLHMV]HMZDUWRFLSDUDPHWUXλQRZ\SXQNWOH*\QDEU]HJX]ELRUXUR]ZL]D GRSXV]F]DOQ\FK-HVWWRSXQNW%RZVSyáU]GQ\FKR]RVWDá\PGZyPRJUDQLF]HQLRP SDUDPHWUXRGSRZLDGDMSXQNW\&L'OH*FHQDSRZLHU]FKQLDFKRJUDQLF]HDNWXDOQLHQLH aktywnych. DVWSQ\PNURNLHPMHVWZ\]QDF]HQLHQRZHJRNLHUXQNXSRV]XNLZDRZ\NLHUXQHN Z\ELHUDP\]HZV]\VWNLFKNLHUXQNyZOH*F\FKQDDNW\ZQ\PRJUDnczenu ( w naszym SU]\NáDG]LHQDSURVWHMRUyZQDQLX[ L]DSHZQLDMF\FKQDMV]\EV]\Z]URVWDMV]\EV]\ Z]URVW]DSHZQLNLHUXQHNNWyUHJRZHNWRUDRQDMZLNV]\PLORF]\QLHVNDODUQ\P]ZHNWRUHP gradentu funkcj celu. 0R*HP\UR]SDWU]\üGZDZHNWRU\OH*FHQD prostej =8 { r } = { 0,} r = 0, { } { } LORF]\Q\VNDODUQHZ\QRV]RGSRZLHGQLR gradf ( ), = = { gradf ( ) } = {,} = { } { } :ádflz\pnlhuxqnlhpmhvwzlfzhnwru{ r } { 0,} 'DOHMZ\]QDF]DP\GáXJRüNURNXRNUHODMF parametr λ podobne jak poprzedno. RZHSRáR*HQLHSXQNWXRNUHODUyZQDQLH 4 0 { } = + λ :VSyáU]GQHSXQNWXSRGVWDZLDP\GRRJUDQLF]HLZ\]QDF]DP\SDUDPHWUλ. Otrzymujemy λ= 0/ dla ogranczena + =4 λ= 4/ dla ogranczena + =0. = 0QLHMV]DZDUWRüSDUDPHWUXGDMHSXQNW&OH*F\Z]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FK :NROHMQ\PNURNXSRV]XNXMHP\NLHUXQNXOH*FHJRQDQRZ\PRJUDQLF]HQLXDNW\ZQ\P + =0. RVWSXMFDQDORJLF]QLHMDNSRSU]HGQLRGRFKRG]LP\GRSXQNWX*.D*G\ZHNWRUMHGQRVWNRZ\Z\VWDZLRQ\ZSXQNFLH*QLHOH*F\QD]HZQWU]]ELRUX UR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKSRPQR*RQ\VNDODUQLH]JUDGLHQWHPIXQNFMLFHOXGDMHZDUWRü XMHPQ]QDF]DWRND*GHSU]HVXQLFLHZREV]DU]HGRSXV]F]DOQ\PZ\ZRáD]PQLHMV]HQLH ZDUWRFLIXQNFMLFHOXXQNW*MHVWZLHFUR]ZL]DQLHP]DGDQLDPDNV\PDOL]DFML] ogranczenam.

8 8 Zadane :\NRU]\VWXMFDSOLNDFM([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML Wyznacz mnmum funkcj celu danej równanem : mn f ( ) = +, przy ogranczenach: g ( ) = + 0, g ( ) = g ( ) = 0, 0. 6SRVyEUR]ZL]DQLD ƒotwórz arkusz Ecel ƒzapsz w odpowednch komórkach: A B C D Z= =B^-B+B^-0.5*B 0 4 g =B+B- 0 5 g =-B 0 6 g =-B 0 7 :NRPyUNDFK%L%ZSLVDQRSXQNW\VWDUWRZH0RJE\üGRZROQHDOHPXV]QDOH*HüGR ]ELRUXUR]ZL]DGRSXVzczalny W komórce B jest zapsana funkcja celu. :NRPyUNDFK%%%]DSLVDQHVOHZHVWURQ\QLHUyZQRFLRJUDQLF]DMF\FK :NRPyUNDFK&&&]DSLVDQHVVWURQ\SUDZH ƒ=phqxdu]g]ldz\elhu]6royhu ƒwyberz zadane mnmum ƒzvnd*nrohmqrx*\zdmc lewego klawsza myszy : ƒnrpyun]ixqnfmfhox ƒkomórk ze zmennym ( pozwól nech program je sam odgadne) ƒgrgdmnrohmqrrjudqlf]hqldzvnd]xmfrgsrzlhgqlhnrpyunl ƒdflqlm5r]zl* ƒ:\elhu]5dsruwz\qlnyzlzflqlm. ƒprzeanalzuj wynk, obejrzyj Raport wynków ƒ:\nrqdmv]nlfzxnádg]lhzvsyáu]gq\fk[[qdu\vxmrjudqlf]hqldlsxqnw UR]ZL]XMFH]DGDQLH

9 9 Zadane :\NRU]\VWXMFDSOLNDFM([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML Wyznacz mnmum funkcj celu danej równanem : mn f ( ) =, przy ogranczenach: g ( ) = + g ( ) = + g ( ) = g ( ) = , 0, Zadane :\NRU]\VWXMFDSOLNDFM([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML Wyznacz mnmum funkcj celu danej równanem : przy ogranczenach: g ( ) = Zadane 4 mn f ( ) = ( ) + ( g ( ) = + :\NRU]\VWXMFSU]\NáDGRZH]DGDQLHSURJUDPRZDQLDOLQLRZHJRRSLVDQHQL*HMRNUHOIXQNFM celu ZDUXQNLRJUDQLF]DMFHDQDVWSQLHUR]ZL*X*\ZDMFDSOLNDFML([FHO]DGDQLDSRGREQH GRSU]\NáDGRZHJRRGDQ\FK]DSLVDQ\FKZWU]HFKtabelach pod rysunkem. ]DGDQLHSU]\NáDGRZH U]HSURZDG]LP\RSW\PDOL]DFM]\VNXGOD]DNáDGXSURGXNXMFHJRGZDW\S\Sá\WSRGáRJowych. E\GZDW\S\Z\PDJDM]X*\FLDMHGQDNRZHMLORFLGRVWSQ\FKEH]RJUDQLF]HWDNLFKVXURZFyZMDNZRGDSLDVHNFHPHQW 7\S,MHVWEDUZQ\LSRWU]HEQDMHVWSHZQDLORüEDUZQLNDQDMHJRZ\SURGXNRZDQLH =DNáDGSURGXNF\MQ\PDRJUDQLF]RQLORüEDUZQLNDUyZQOGRVWSQLORüF]DVXSUDF\PDV]\QZ\QRV]FJRG]LQL F]DVXSUDF\OXG]LRNUHORQQDJRG]LQ\ :LDGRPR*HZ\SURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX,NRORURZ\FKZ\PDJD godzn pracy maszyn, godzn pracy ludzkej ltrów barwnka. WyprodukowanLHWRQ\Sá\WW\SX,,Z\PDJDQDWRPLDVW godzn pracy maszyn godzn pracy ludzkej. 0, 0, =\VNQDWRQLHSá\WW\SX,Z\QRVL]áDQDWRQLHSá\WW\SX,,]á,QWHUHVXMHQDV]DSODQRZDQLHSURGXNFMLPDNV\PDOL]XMFH]\VN ), VNáDGQLNL, ZLHONRFLGRVWSQH maszyny 0 praca ludzka 4 barwnk 0 8 zysk 6IRUPXáXMP\SUREOHPZSRVWDFLPDWHPDW\F]QHM=QDOH (üpdnvlpxpixqnfmlolqlrzhm Z = +

10 0 przy ogranczenach : 0, 0, REV]DUUR]ZL]D dopuszczalnych VNáDGQLNL, ZLHONRFLGRVWSQH maszyny 0 praca ludzka 4 barwnk 0 8 zysk VNáDGQLNL, ZLHONRFLGRVWSQH maszyny 0 praca ludzka 4 barwnk 0 8 zysk VNáDGQLNL, ZLHONRFLGRVWSQH maszyny 0 praca ludzka 4 4 barwnk 0 8 zysk