CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW

Transkrypt

1 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 1 CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA ECHANIZÓW Dynamka jest dzałem mechank zajmującej sę badanem ruchu członów, mechanzmów maszyn wywołanego dzałanem układu sł. W odróżnenu od knematyk, której celem jest jedyne obserwacja ruchu z geometrycznego punktu wdzena, dynamka ustala zwązk przyczynowo skutkowe pomędzy układem sł przyłożonych do mechanzmów, stanowącym przyczyny ruchu, a realzowanym przez te mechanzmy ruchem czyl skutkam dzałana sł. Perwsze zadane dynamk Dla zadanych knematycznych równań ruchu mechanzmu, gdy znane są przemeszczena, prędkośc przyspeszena członów, należy wyznaczyć układ sł przyłożonych do członów mechanzmu, które ten ruch wywołują. Druge zadane dynamk Gdy znany jest układ sł przyłożonych do członów mechanzmu warunk początkowe ruchu czyl prędkość położene początkowe mechanzmu, należy wyznaczyć knematyczne równana ruchu czyl przyspeszena, prędkośc przemeszczena członów. Problematyka zawarta w perwszym zadanu dynamk jest przedmotem tzw. Analzy Knetostatycznej echanzmów. Natomast zagadnena zawarte w drugm zadanu dynamk będą rozpatrywane w zakrese równań ruchu maszyny ch całkowana. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 2 Rodzaje charakterystyka sł przyłożonych do członów mechanzmu Słą uogólnoną nazywamy słę skuponą powodującą przemeszczene lnowe bryły lub parę sł powodującą przemeszczene kątowe bryły. Przemeszczena lnowe lub kątowe nazywamy równeż przemeszczenam uogólnonym. Podzał sł według klku wybranych kryterów: 1) Ze względu na mejsce przyłożena sł dzałających na mechanzm dzelmy je na sły wewnętrzne zewnętrzne. Przez sły wewnętrzne rozumemy wyłączne sły reakcj występujące w parach knematycznych mechanzmu. Wszystke pozostałe sły nazywamy zewnętrznym. Sły wewnętrzne reakcj mają tylko składowe normalne do powerzchn styku członów, gdy tarce pomjamy, lub składowe normalne styczne w przypadku, gdy tarce uwzględnamy. Sły zewnętrzne są przyłożone w dowolnych punktach członów, poza obszarem bezpośrednego styku w parze knematycznej. 2) Ze względu na moc sły uogólnonej, sły możemy podzelć na sły czynne czyl napędzające, których moc jest dodatna ( N 0) oraz sły berne czyl sły oporu, których moc jest ujemna ( N 0).

2 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 3 Sły czynne są z reguły słam zewnętrznym są to najczęścej sły rozwjane przez slnk napędowe np. spalnowe, elektryczne, pneumatyczne hydraulczne watrowe, wodne nne. Sły berne są to zewnętrzne sły oporów użytecznych nazywane słam oporów technologcznych lub sły oporów szkodlwych np. zewnętrzny opór ruchu samochodu lub wewnętrzny opór tarca w parze knematycznej. Przykładam użytecznych zewnętrznych oporów technologcznych są np. opory skrawana w obrabarkach, opory kruszena w kruszarkach, sły oporów sprężana w pompach, sprężarkach tp. 3) Ze względu na przyczynę powstawana sły dzałające na mechanzmy można podzelć na: - sły cężkośc, czyl sły pola grawtacyjnego ( G mg ) zgodne z prawem grawtacj zależne od położena, w przypadku małych przemeszczeń przyjmujemy je jako stałe poneważ przyspeszene zemske przyjmujemy g const, - sły tarca suchego, których wartość jest w przyblżenu stała a zwrot zależny od prędkośc względnej członów zgodne z prawem Coulomba, - sły tarca wskotycznego proporcjonalne do prędkośc (perwszej pochodnej przemeszczena), - sły bezwładnośc proporcjonalne do przyspeszena (drugej pochodnej przemeszczena), - sły zależne równocześne od szeregu parametrów np. czasu, przemeszczena prędkośc, przyspeszena tp. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 4 Rys. 1b - sły cężkośc G 1,G2, G3 przyłożone do poszczególnych członów mechanzmu. Rys. 1d wszystke sły zewnętrzne przyłożone do mechanzmu w tym równeż moment równoważący r1, przyłożony do członu napędzającego. Rys. 1a - Sła oporów użytecznych 3 P. Jest to sła berna oporów sprężana. Rys. 1c sły bezwładnośc członów B1, B2, B3, oraz moment od sł bezwładnośc - B2, przyłożony do członu 2. Rys. 1. Sły zewnętrzne przyłożone do członów mechanzmu korbowo-suwakowego

3 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 5 Sły wewnętrzne czyl reakcje w parach knematycznych oznaczono symbolam, które można ogólne zapsać jako R kl. Indeks dolny symbolu sły wskazuje numery członów, które na sebe oddzaływają. Przykładowo symbol R 12, oznacza reakcję z jaką człon 1 dzała na człon 2, a symbol R 01, oznacza reakcje podstawy na człon 1. Rys. 2. Sły wewnętrzne w parach knematycznych mechanzmu korbowo- suwakowego Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 6 Zasada d Alemberta dla członów mechanzmów w ruchu płaskm Równana dynamczne ruchu płaskego tego członu o mase bezwładnośc względem środka masy J mają postać: s s m oraz o masowym momence P R m a (1) J (2) Równane (1) jest dynamcznym równanem Newtona postępowego ruchu unoszena członu natomast równane (2) jest dynamcznym równanem Newtona obrotowego ruchu względnego członu wokół jego środka masy. P - wektor główny sł zewnętrznych przyłożonych do członu, R - wektor główny sł reakcj w parach knematycznych członu, as - przyspeszene środka masy członu, - moment główny sł zewnętrznych dzałających na człon, P - moment główny sł reakcj w parach knematycznych członu, R - przyspeszene kątowe członu. Po przenesenu wyrazów równań (1) (2) na lewą stronę otrzymamy: P R m a 0 (3) J 0 (4) Oznaczymy: B m as (5) S oraz (6) P P B JS R R s S

4 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 7 Ostateczne równana (1) (2) przyjmą postać : P R B 0 (7) 0 (8) P R B Słę B nazywamy słą bezwładnośc, natomast moment B, momentem od sł bezwładnośc lub parą sł bezwładnośc. Słę moment sł bezwładnośc nazywamy równeż słam d Alemberta. Są to sły, w sense uogólnonym, o wartośc równej odpowednm loczynom mas przyspeszeń, w sense uogólnonym, o zwrotach przecwnych do zwrotów tych przyspeszeń. Zasada d Alemberta. W czase ruchu dowolnego członu mechanzmu sły zewnętrzne dzałające na ten człon równoważą sę z odpowednm słam reakcj w parach knematycznych oraz słam bezwładnośc. Równana (7) (8) przedstawają zasadę d Alemberta: perwsze dla ruchu postępowego a druge dla ruchu obrotowego. Zgodne z zasadą d Alemberta zagadnena dynamk zapsane równanam (1) (2) zostały sprowadzone do zagadneń statyk czyl równowag statycznej układu sł, zapsanych równanam (7) (8). Na podstawe równań (7) (8) przeprowadza sę analzę knetostatyczną mechanzmu. Jeżel sły bezwładnośc są małe pomjamy je w rozważanach wówczas równana te przyjmują postać: P R 0 (9) 0 (10) Na podstawe równań (9) (10) przeprowadza sę analzę statyczną poruszającego sę mechanzmu. P R Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 8 Analza knetostatyczna mechanzmów bez uwzględnena tarca Cel założena analzy knetostatycznej Celem analzy sł przyłożonych do członów poruszających sę mechanzmów jest wyznaczene reakcj w parach knematycznych oraz uogólnonej sły równoważącej (sły P r lub momentu r ) przyłożonej do członu napędzającego przy zadanym prawe ruchu mechanzmu układze sł zewnętrznych. W mechanzmach maszynach wolnobeżnych, gdze sły bezwładnośc są małe w porównanu z pozostałym słam zewnętrznym często w oblczenach przyblżonych są one pomjane wówczas analza słowa nos nazwę analzy statycznej. W mechanzmach maszynach szybkobeżnych sły bezwładnośc są duże ne mogą zostać pomnęte. Analza słowa mechanzmów z uwzględnenem sł bezwładnośc nos nazwę analzy knetostatycznej.

5 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 9 Co należy zrobć, w celu przyłożena uogólnonych sł bezwładnośc do członów mechanzmu? 1) Określć (oblczyć lub przyjąć w przypadku syntezy mechanzmu) masy momenty bezwładnośc członów mechanzmu. 2) Wyznaczyć środk mas członów. 3) Wyznaczyć przyspeszena środków mas członów przyspeszena kątowe członów. 4) Oblczyć wartośc sł bezwładnośc momentów od sł bezwładnośc dla poszczególnych członów ze wzorów: B m a 0 S P R 5) Przyłożyć sły bezwładnośc w środkach mas członów na kerunku przyspeszena, ze zwrotem przecwnym do zwrotu przyspeszena. 6) Przyłożyć momenty od sł bezwładnośc do członów ze zwrotem przecwnym do zwrotu przyspeszena kątowego. W trakce analzy knetostatycznej, uogólnone sły bezwładnośc należy traktować tak samo jak nne sły przyłożone do członów mechanzmu: sły cężkośc, sły oporów technologcznych np. sły skrawana, sprężana, tłoczena tp. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Zasady wyznaczana sł bezwładnośc w ruchu postępowym, obrotowym płaskm Najprostszym mechanzmem, którego człony wykonują wszystke możlwe ruchy na płaszczyźne jest mechanzm korbowo-suwakowy. 1 const W celu wyznaczena sł momentów sł bezwładnośc koneczne jest wyznaczene przyspeszeń lnowych środków mas członów oraz przyspeszeń kątowych członów Rys. 3. echanzm korbowo-suwakowy oraz przyspeszena jego członów

6 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Sły bezwładnośc przyłożone do członu w ruchu obrotowym Przypadek ogólny przedstawony na Rys. 4 dotyczy sytuacj, gdy człon 1 wykonuje ruch obrotowy zmenny: 1 const, 1 0 środek masy członu ne leży na os obrotu - AS 1 0. Znana 2 jest masa członu m 1 oraz jego moment bezwładnośc względem środka masy JS1 m1 S1, gdze S1 - promeń bezwładnośc. B n t n t 1 m1 as1 m 1(aS1 as1 ) B1 B1 (11) B1 J S1 1 (12) Rys. 4 Sły bezwładnośc przyłożone do członu w ruchu obrotowym Przypadk szczególne obcążena członu słam bezwładnośc: a) człon wykonuje ruch jednostajny 1 const, 0 środek masy ne leży na os obrotu n b) AS 1 0 ; wtedy B1 m1 as1 B1, oraz B1 0, c) człon wykonuje ruch jednostajny 1 const, 1 0 środek masy leży na os obrotu AS 1 0 ; wtedy B 1 0, oraz B1 0, d) człon wykonuje ruch zmenny 1 const, 1 0 środek masy leży na os obrotu ; wtedy B 1 0, oraz B1 JS Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Sły bezwładnośc przyłożone do członu w ruchu płaskm Człon 2 wykonuje ruch płask, znana jest masa członu m2 oraz jego moment bezwładnośc względem środka masy J m, gdze S2 - promeń 2 bezwładnośc. S2 2 S2 B m 2 2aS2 (13) B2 J S2 2 (14) Rys. 5. Sły bezwładnośc przyłożone do członu w ruchu płaskm Sły bezwładnośc przyłożone do członu w ruchu postępowym Człon 3 wykonuje ruch postępowy zmenny po prostolnowej prowadncy a S3 0, znana jest masa członu 3. Sły bezwładnośc wynoszą: B m B3 JS3 3 3aS3 0 0 (15) (16) Rys. 6. Sła bezwładnośc przyłożona do członu w ruchu postępowym prostolnowym W przypadku szczególnym, kedy człon porusza sę ruchem postępowym jednostajnym po prostolnowej prowadncy tzn. a S 0, wtedy 0 B.

7 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ W celu oblczena wartośc lczbowych sł bezwładnośc momentów od sł bezwładnośc należy dokładne określć masę członu, położene środka masy oraz wartość masowego momentu bezwładnośc oblczonego względem os przechodzącej przez środek masy Rys. 7. Przykład wyznaczana masy, położena środka masy momentu bezwładnośc członu w programe typu CAD. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Zasady uwalnana od węzów członów mechanzmów płaskch Uwalnane członów od węzów polega na ch odrzucenu zastąpenu słam oddzaływana sąsednch członów, które nazywamy słam reakcj. Sły reakcj są słam wewnętrznym, które zgodne z trzecm prawem Newtona, nazywanym zasadą akcj reakcj, równoważą sę nawzajem. Wprowadzmy następującą umowę: R kl, kl - jest to sła uogólnona z jaką człon k dzała na człon l, R lk, lk - jest to sła uogólnona z jaką człon l dzała na człon k. R kl kl R lk lk 0 0 (17) R kl kl R lk lk (18)

8 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Para knematyczna klasy 5 - obrotowa - przegub walcowy Jeżel pomnemy tarce to kerunek reakcj przechodz przez oś przegubu jest do nej prostopadły. Neznane są: kerunek reakcj oraz jej wartość (dwe newadome). a) b) c) a) dwa człony k l połączone przegubowo pomędzy którym dzała sła reakcj R, kl R lk b) dwa rozłączone człony oraz sposób x x przyłożena sł reakcj R R, Rys. 8. Uwalnane od węzów członów w parze knematycznej obrotowej R y kl R y lk stosowany w analtycznej metodze knetostatyk, c) dwa rozłączone człony oraz sposób n n przyłożena sł reakcj, R R, R t kl R t lk stosowany w grafoanaltycznej metodze knetostatyk, składowe reakcj są n odpowedno równoległe ( R kl ) oraz prostopadłe ( R kl ) do członu k lub t l. kl kl lk lk Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Para knematyczna klasy 5 - postępowa (suwak prowadnca) ożlwe są trzy waranty uwalnana od węzów pary postępowej. Warant A Znany jest punkt przyłożena sły reakcj w środku suwaka oraz jej kerunek, który w przypadku pomnęca tarca jest prostopadły do prowadncy. Neznane są wartość sły oraz wartość momentu pary sł, który musmy przyłożyć aby układ był w równowadze (dwe newadome). a) b) c) Rys. 9. Uwalnane od węzów członów w parze postępowej wg warantu A: a) para knematyczna, suwak k prowadnca l, w której przyłożona są sły reakcj Rkl Rlk, oraz momenty pary sł kl lk. b, c) dwa rozłączone człony z przyłożonym słam reakcj. k P to dowolna sła zewnętrzna przyłożona do członu k.

9 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Warant B Zakłada sę, że suwak k styka sę z prowadncą l jedyne na swoch krawędzach w punktach N. Znane są kerunk reakcj, które są prostopadłe do prowadncy (w przypadku gdy tarce ne występuje). Neznane są wartośc dwóch sł reakcj (dwe newadome). Proponowany sposób oswobadzana od węzów jest wygodny przy rozwązywanu zadań z uwzględnenem tarca oczywśce po odchylenu reakcj o kąt tarca. a) b) c) Rys. 10. Uwalnane od węzów członów w parze postępowej wg warantu B a) para knematyczna, suwak k prowadnca l, w której przyłożone są sły reakcj oraz R N kl N lk R kl lk R, R w punktach N, b, c) dwa rozłączone człony z przyłożonym słam reakcj. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Warant C W warance tym, który stosowany jest najrzadzej przyjmuje sę, że znamy kerunek reakcj, który jest prostopadły do prowadncy (w przypadku gdy tarce pomnęto). Neznane są: wartość sły oraz jej punkt przyłożena (dwe newadome). a) b) c) Rys. 11. Uwalnane od węzów członów w parze postępowej wg warantu C a) para knematyczna, suwak k prowadnca l, w której przyłożone są sły reakcj, w punkce B, b,c) dwa rozłączone człony z przyłożonym słam reakcj. R kl R lk

10 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Waranty A, B, C uwalnana od węzów pary postępowej są równoważne można przejść od jednego warantu do drugego. W tym celu wystarczy porównać równana momentów napsane dla skrajnych punktów suwaka leżących na os prowadncy jak to pokazano na Rys. 12. a) b) c) Rys. 12. Równoważność warantów uwalnana od węzów pary postępowej Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Warant D (przypadek szczególny pary knematycznej suwak-prowadnca) Znany jest punkt przyłożena reakcj w środku przegubu jej kerunek prostopadły do prowadncy (w przypadku gdy tarce ne występuje). Neznana jest wartość reakcj (jedna newadoma). a) b) c) Rys. 13. Uwalnane od węzów członów w parze postępowej wg warantu D a) para knematyczna, suwak k prowadnca l, w której przyłożone są sły reakcj, b, c) dwa rozłączone człony oraz przyłożone sły reakcj. R kl R lk

11 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Para knematyczna kl. 4 (wyższa) W tym przypadku znany jest punkt przyłożena reakcj oraz jej kerunek. Punktem przyłożena reakcj jest punkt styku, kerunek reakcj leży na prostej n-n normalnej do obydwu krzywzn przechodzącej przez ch środk. Tak kerunek reakcj dotyczy przypadku analzy z pomnęcem tarca. Neznana jest natomast wartość sły reakcj (jedna newadoma). a) b) c) Rys. 14. Uwalnane od węzów członów w parze wyższej kl. 4 a) para knematyczna dwe krzywk k l, w której przyłożone są normalne sły reakcj Rkl Rlk, b, c) rozłączone krzywk oraz przyłożone sły reakcj. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Warunek statycznej wyznaczalnośc mechanzmu płaskego Jak wynka z analzy reakcj, w każdej parze klasy 5-tej przy wyznaczanu reakcj wystąpą dwe newadome, natomast w każdej parze klasy czwartej wystąp jedna newadoma. Jeżel zatem w mechanzme mamy p 5 par knematycznych klasy 5 oraz p 4 par knematycznych klasy 4, to lczba newadomych reakcj wynos 2p 5 p4. Przekształcmy wzór na ruchlwość mechanzmu płaskego zapszemy go w postac: 3n p 2p5 4 w (19) Równane (19) można nterpretować następująco: - 3n - lczba równań równowag mechanzmu płaskego o n członach ruchomych, poneważ dla każdego członu możemy napsać 3 warunk równowag, - 4 2p5 p - lczba newadomych dotyczących reakcj węzów, - w - lczba szukanych sł równoważących P r lub momentów równoważących r przyłożonych do członów napędzających, gdyż lczba członów napędzających jest równa ruchlwośc mechanzmu w Jeżel w mechanzme zastąpmy pary knematyczne kl. 4 param kl. 5, to równane (19) przyjme postać: 3n 2p5 w (20)

12 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Odłączamy od mechanzmu w członów napędzających a pozostałą część łańcucha knematycznego podzelmy na grupy strukturalne. Ruchlwość grupy jak wadomo wynos w 3n 2p5 0 Stąd otrzymujemy dla grupy równane: 3n 2p 5 (21) Równane (19) przestawa warunek statycznej wyznaczalnośc mechanzmu płaskego zawerającego pary kl. 4 kl.5. Równane (20) przedstawa warunek statycznej wyznaczalnośc mechanzmu płaskego zawerającego wyłączne pary knematyczne kl.5, natomast równane (21) jest warunkem statycznej wyznaczalnośc grupy strukturalnej. Jak z tego wynka, że statyczne wyznaczalny jest cały mechanzm albo grupa strukturalna. Pojedynczy człon wyodrębnony z mechanzmu ne jest statyczne wyznaczalny. Jeżel równana (19), (20) (21) są spełnone to oznacza, że układ równań, z których wyznaczamy newadome sły reakcj jest układem oznaczonym. Wtedy lczba newadomych jest równa lczbe warunków równowag. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Analtyczna metoda wyznaczana reakcj dynamcznych w parach knematycznych Wyznaczane sł reakcj w parach knematycznych mechanzmów płaskch metodą analtyczną zawera następujące etapy: - określene ruchlwośc analza strukturalna mechanzmu, - sprawdzene warunku statycznej wyznaczalnośc mechanzmu, - analza knematyczna mechanzmu, określene przyspeszeń lnowych środków mas oraz przyspeszeń kątowych członów, - oblczene sł cężkośc, - oblczene sł bezwładnośc oraz momentów od sł bezwładnośc, - określene pozostałych sł zewnętrznych, momentów sł zewnętrznych, - oswobodzene od węzów każdego członu, - zapsane algebracznych równań równowag dla każdego członu w postac: n 1 P n n ( j )x 0, P( j )y 0, ( j ) (22) gdze j numer ruchomego członu mechanzmu. - rozwązane układu równań algebracznych wyznaczene reakcj w parach knematycznych oraz sł (momentów) równoważących.

13 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Przykład 1 Należy wyznaczyć reakcje w parach knematycznych mechanzmu czworoboku oraz moment równoważący przyłożony do członu napędzającego 1 dla zadanego układu sł zewnętrznych Rys. 15. Przeprowadzć analzę statyczną z pomnęcem sł cężkośc bezwładnośc. Rys. 15. Czworobok przegubowy z zadanym układem sł zewnętrznych Rozwązane Sprawdzamy warunek statycznej wyznaczalnośc mechanzmu 3n 2p5 w (P1.1) 33 = = 9. Warunek jest spełnony. Zadane może zostać rozwązane analtyczne. Wymaga napsana dzewęcu warunków równowag. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Uwalnamy od węzów poszczególne człony mechanzmu (Rys. 16) a następne pszemy warunk równowag (P1.1) Rozwązujemy układ dzewęcu równań równowag, x y x y x y x y z których wyznaczamy reakcje: R01 (R01, R01 ), R12 (R12, R12 ), R32 (R32, R32 ), R03 (R03, R03 ) oraz moment równoważący przyłożony do członu 1 - r1. P P P (1)x ( 2 )x ( 3 )x 0, 0, 0, P P P (1)y ( 2 )y ( 3 )y 0, 0, 0, A(1) B( 2 ) C( 3 ) (P1.2) Rys. 16. Uwalnane od węzów członów mechanzmu czworoboku przegubowego. etoda analtyczna.

14 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Rys. 17. Rozwązane zadana w programe ForceEffect dla położena mechanzmu jak na rys.16 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Rys. 18. Rozwązane zadana w programe ForceEffect dla położena mechanzmu jak na rys.16

15 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Grafoanaltyczna metoda wyznaczana uogólnonych sł reakcj uogólnonych sł równoważących Przykład 2. echanzm jarzmowy z jarzmem w ruchu płaskm Przeprowadzć analzę knetostatyczną mechanzmu jarzmowego metodą grafoanaltyczną w położenu zadanym na Rys. 19. Wyznaczyć reakcje dynamczne w parach knematycznych oraz moment równoważący r1 przyłożony do korby 1. Tarce w parach knematycznych należy pomnąć. AB Dane: prawo ruchu członu napędzającego 1 const, długośc AB, BC, BD, AS 1 2, BS 2, masy członów: m 1, m 2, momenty bezwładnośc członów względem środków mas: J S1, J S2, sła użyteczna P. Zakładamy J 0. echanzm porusza sę w płaszczyźne pozomej. 3 m3 S3 a) b) Rys. 19. echanzm jarzmowy: a) schemat knematyczny, b) plan przyspeszeń mechanzmu Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Rozwązane echanzm podobne jak poprzedne składa sę z członu napędzającego 1 oraz grupy strukturalnej (2, 3). Ruchlwość w 1. echanzm spełna warunek statycznej wyznaczalnośc. człon 1: B1 m1 as1, B1 m1 as1, B1 JS1 1 0, B1 0 człon 2: B2 m2as 2, B2 m2as 2, B2 JS22, B2 JS22 człon 3: B 3 0, B 3 0, B3 0, B3 0 Rys. 20. echanzm jarzmowy obcążony słam zewnętrznym bez momentu równoważącego,

16 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Na Rys. 21. przedstawono uwolnoną od węzów grupę strukturalną (2, 3) z przyłożonym słam reakcj: R 03, R, R. Warunek równowag sł dzałających na grupę ma t n postać: n t P 03 2,3 R12 R12 B2 P2 R 0 (P2.1) Wykorzystując warunek równowag momentu wszystkch sł względem punktu C oblczamy wartość t reakcj R 12 : t c 2, 3 0 BC B h P h 0 ; R B2 2 2 (P2.2) P h B2h BC t B2 R12 (P2.3) Rys. 21. Układ sł zewnętrznych reakcj przyłożonych do grupy (2, 3) Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Następne przyjmujemy podzałkę sł kr 1 rozwązujemy grafczne równane wektorowe (P2.4) n wyznaczając reakcje R 12, R03 oraz R 23 R 32 n t P 03 2,3 (R12 ) (R12 ) (B2 ) (P2 ) (R ) 0 (P2.4) 2 R1 (P ) mm a) 2 b) k P N Rys. 22. Analza sł przyłożonych do grupy strukturalnej (2, 3), a) układ sł zewnętrznych reakcj przyłożonych do grupy (2, 3), b) plan sł grupy (2, 3)

17 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Równane równowag sł przyłożonych do członu napędzającego ma postać: R21 B1 R01 R01 0 a jego rozwązane wykreślne po przyjęcu podzałk sł k R2 przedstawa Rys. 11b. n t (P2.5) a) b) Rys. 23. Analza sł przyłożonych do członu napędzającego a) uwalnane od węzów członu napędzającego, b) plan sł członu napędzającego Z równana równowag momentów względem punktu A sł przyłożonych do członu 1 wyznaczamy moment równoważący r1. A 0 stąd r1 R21h3 R r h 3 (P2.6) (P2.7) Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ R 01 r1 R03 R 32 Rys.24. odel mechanzmu jarzmowego w programe ForceEffect analza knetostatyczna dla przyjętego układu sł zewnętrznych w zadanym położenu mechanzmu

18 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Przykład 3. Analza statyczna napędu kopark echanzm napędu łyżk kopark przestawa rysunek 25. Znane są wymary członów mechanzmu cężar łyżk wraz z urobkem G. asy pozostałych członów pomnąć. Należy wyznaczyć reakcje w parach knematycznych oraz sły równoważące potrzebne do napędu kopark. Zadane rozwązać metodą grafczną wykorzystując twerdzene o trzech słach Twerdzene o trzech słach, wygodne jest stosować wtedy gdy rozważany układ mechanczny pozostaje w równowadze po przyłożenu trzech sł nerównoległych. Zadane można rozwązać jeżel znane są kerunk dwóch sł wartość jednej z nch. Wyznaczymy kerunek trzecej sły prowadząc prostą przechodzącą przez jej punkt przyłożena punkt przecęca dwóch znanych kerunków. Następne napszemy równane równowag rozwążemy je wykreślne rysując zamknęty trójkąt sł. W ten sposób znajdzemy wartośc dwóch neznanych sł. Rys. 25. echanzm napędu kopark Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Rozwązane Sprawdzamy ruchlwość mechanzmu n 6, p4 0, p5 8, w 2 echanzm ma dwa stopne swobody czyl wymaga zastosowana dwóch napędów. W analzowanym mechanzme napędy są realzowane przez dwa słownk hydraulczne złożone odpowedno z członów ruchomych 2 3 oraz 4 5. Przeprowadzamy analzę statyczną mechanzmu kopark w dwóch etapach. R 36 W perwszym etape przeprowadzmy analzę sł przyłożonych do łyżk kopark 6. Układ sł przyłożonych do łyżk jest układem środkowym o środku w punkce S 1 pozostaje w równowadze zgodne z równanem G R16 R36 0 IIS1D IIS1B (P3.1) R 16 Równane (P2.1) rozwążemy wykreślne Rys. 26. echanzm napędu kopark

19 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ R 36 ( G ) ( R16 ) ( R36 ) 0 IIS1D IIS1B (P3.2) R 16 Rys. 27. echanzm napędu kopark. Plan sł układu środkowego ośrodku w punkce S 1 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ W drugm etape przeprowadzamy analzę sł przyłożonych do wysęgnka 1. Ten układ sł jest równeż układem środkowym o środku w punkce S 2. Równane równowag sł przyłożonych do członu 1 przy uneruchomonym słownku (2,3) ma postać R 01 R 51 R 61 Rys. 26 (powtórzony) Ponadto zachodzą zwązk Dodając stronam równana (P3.4) otrzymamy R 0 lub R (P3.5) R63 12 Na podstawe (P3.2) mamy G R51 R01 0 (P3.3) IIS 2 E IIS 2 A R R R R R R 21 G 0 61 R 36 0 (P3.4) (P3.6)

20 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ R 36 G ( R51 ) ( R01 ) 0 IIS 2 E IIS 2 A (P3.3) R 01 R 51 R 16 Równane (P.3.3) rozwązujemy wykreślne na rysunku 28. Sły równoważące wymagane na tłokach słownków hydraulcznych wynoszą odpowedno P r1 R ; 51 P r 2 R 36 (P3.7) a) b) Rys. 28. Analza statyczna mechanzmu kopark: a) schemat knematyczny kopark: b) wspólny plan sł członu 6 członu 1 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Słownk 2,3 R 01 R04 R 51 R 01 R04 R 51 Sła równoważąca w słownku 4,5 Słownk 4,5 Rys. 29a. odel analza statyczna kopark w programe w programe ForceEffect

21 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Sła równoważąca w słownku 2,3 R 36 R 21 R 61 Rys. 29b. odel analza statyczna kopark w programe w programe ForceEffect Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Środek układu sł 1N Środek układu sł Rys. 30. odel analza statyczna kleszczy w programe w programe Workng odel (wdoczne dwa środkowe układy sł)

22 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Rys. 31. odel wyznaczene sły równoważącej kleszczy (cęgno 7) w programe w programe SA Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ ETODA CULANA etoda Culmana umożlwa rozwązane grafczne zagadnena równowag czterech sł o znanych kerunkach leżących w jednej płaszczyźne, ne tworzących układu środkowego an równoległego, z których tylko jedna sła jest znana co do wartośc a trzy są neznane. Warunkem wystarczającym równowag takego układu sł jest, aby wypadkowa dwóch dowolne wybranych sł była w równowadze z wypadkową dwóch pozostałych sł nerównoległych. Obe wypadkowe leżą na prostej Culmana łączącej punkty przecęca perwszej drugej dwójk sł nerównoległych.

23 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Przykład 4 Wyznaczyć grafczne metodą Culmana wartośc sł P 2, P 3, P 4, które pozostają w równowadze ze znaną słą P 1. Dane: Wartość, kerunek zwrot sły P 1, kerunk sł P 2, P 3, P 4 Rys. 32. Dowolny układ czterech sł pozostających w równowadze Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Rozwązane 1. znajdujemy odcnek prostej Culmana N łączący punkt przecęca prostej dzałana znanej sły P 1 oraz kerunku neznanej sły P 2 (punkt ) oraz punkt przecęca prostych dzałana neznanych sł P 3 P 4 (punkt N), Rys. 33, 2. znajdujemy wykreślne słę P 2 oraz wypadkową W 1, 2 take, że spełnone jest równane: P1 P2 W1, 2, a W 1, 2 leży na prostej Culmana, 3. znajdzemy wypadkową W 3, 4 korzystając z równana W1,2 W3, 4 0, 4. rozkładamy wypadkową W 3, 4 na kerunk sł P 3 P 4 5. zgodne z równanem: W3,4 P3 P4. 6. Znajdujemy wykreślne wartośc sł P 3 P 4. Wyznaczone sły spełnają równane: P P2 P3 P4 1 0 (P4.1) Rys. 33. Rozwązane zagadnena równowag płaskego dowolnego układu czterech sł metodą Culmana z wykorzystanem pomocnczej sły wypadkowej

24 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Na Rys. 34 przedstawono rozwązane tego samego zadana przyjmując, że w punktach N mamy dwa środkowe układy sł pozostające w równowadze: P1 P2 CN 0 (P4.2) CN P3 P4 0 (P4.3) Sły leżące na prostej Culmana pozostają w równowadze C N C N 0 Rys. 34. Rozwązane zagadnena równowag płaskego dowolnego układu czterech sł metodą Culmana z wykorzystanem dwóch środkowych układów sł. Rozwązując wykreślne równane (P4.2) otrzymamy wartośc C N P 2 a następne rozwązując równane (P4.3) otrzymamy wartośc P 3 P 4. Wyznaczone sły spełnają warunek równowag : P P2 P3 P4 1 0 (P4.4) Należy zwrócć uwagę, że w obydwu rozważanych rozwązanach wartośc sł leżących na prostej Culmana są dentyczne lecz różną sę zwrotem tzn. CN W 1, 2, CN W 3, 4. Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Przykład 5. echanzm krzywkowy. Analza statyczna metodą Culmana. Przeprowadzć analzę statyczną mechanzmu krzywkowego metodą Culmana. Dane: sła P 2, wymary geometryczne mechanzmu. Tarce w parach należy pomnąć. Wyznaczyć reakcje w punktach C, B F oraz moment równoważący r1. Wyznaczamy prostą Culmana c, która przechodz przez punkty przecęca F znanej sły P 2 reakcj R 02 (punkt ) C oraz reakcj R 12 R 02 (punkt N), rys. 34 a) b) Rys. 35. Analza słowa mechanzmu krzywkowego: a) mechanzm krzywkowy z popychaczem ostrzowym, b) uwalnane od węzów członów mechanzmu krzywkowego, wyznaczane prostej Culmana

25 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Rozwązane W etape perwszym znamy słę P 2 wyznaczamy sły F R 02, C N zgodne z równanem: F P2 R02 CN 0 (P5.1) W etape drugm znamy słę C N wyznaczamy sły C R 12, R 02 zgodne z równanem: C N R 12 R C 02 0 (P5.2) a) b) Rys. 36. Analza słowa mechanzmu krzywkowego a) uwalnane od węzów członów mechanzmu krzywkowego, b) plany sł popychacza mechanzmu krzywkowego Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Po dodanu stronam równań (P5.1) (P2.2) otrzymamy równane równowag sł dzałających na popychacz 2 w postac: F C P R R R 0 (P5.3) Rys. 37. Plan sł popychacza zgodne z równanem (P5.3) Równane równowag sł przyłożonych do krzywk 1 ma postać: R R (P5.4) stąd: R 01 R 21 0 oment równoważący przyłożony do krzywk wyznaczamy z warunku równowag momentu względem punktu A: A(1 ) 0 ; r1 R21h1 0 ostateczne : r1 R21h1 (P5.5)

26 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ F R 02 Interpretacja prostej Culmana w ForceEffect R 12 C R 02 R 01 r1 R01 R 12 Rys. 38. odel mechanzmu krzywkowego (schematu zastępczego) analza statyczna w programe ForceEffect Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ n 1 ETODA OCY CHWILOWYCH Zasada mocy chwlowych. Jeżel mechanzm złożony z członów sztywnych połączonych ze sobą węzam dwustronnym jest w równowadze dynamcznej pod dzałanem sł zewnętrznych: czynnych, bernych, cężkośc bezwładnośc, to suma mocy chwlowych tych sł jest równa zeru co zapsujemy: n 1 N chw lub 0 (23) ( P v B v ) 0 ( 24) P B Zasada mocy chwlowych wyrażona równanem (10) stanow podstawę metody oblczenowej nazywanej dalej metodą mocy chwlowych, pozwalającej wyznaczyć uogólnoną słę równoważącą dzałającą na mechanzm bez konecznośc wyznaczana reakcj w parach knematycznych.

27 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Przykład 6. etoda mocy chwlowych w zastosowanu do mechanzmu jarzmowego Wyznaczyć metodą mocy chwlowych moment równoważący r1 dla mechanzmu jarzmowego dla danych jak w Przykładze 2. Rozwązane Aby zapsać równane mocy chwlowych dla mechanzmu, obcążamy go wszystkm oblczonym słam zewnętrznym a do członu napędzającego przykładamy dodatkowo moment równoważący r1. W celu oblczena mocy wszystkch uogólnonych sł koneczne jest zaznaczene prędkośc lnowych wszystkch punktów przyłożena sł oraz prędkośc kątowych wszystkch członów mechanzmu zgodne z planem prędkośc dla tego mechanzmu. Rys. 38b. a) b) Rys. 39. Schemat oblczenowy mechanzmu jarzmowego metodą mocy chwlowych: mechanzm jarzmowy obcążony słam zewnętrznym momentem równoważącym, b) plan prędkośc punktów przyłożena sły Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Równane mocy chwlowych (24) ma dla powyższego mechanzmu postać: r1 B 1 1 v S1 B 2 v S2 B2 P 2 2 v D 0 (P6.1) Po rozpsanu w (P6.1) loczynów skalarnych mamy: r11 cos ( r1, 1 ) B1 vs1 cos1 B2v S2 cos2 B22 cos( B2, 2 ) P2 vd cos3 0 (P6.2) Na podstawe Rys. 39 odczytujemy wartośc kątów: o r1, 1 ) 0 (, o B2, 2 ) 0 (, 1 90, 147, o 2 Ostateczne poszukwany moment równoważący wynos: o r1 B 2 v S2 cos 2 B22 P2 v 1 D cos 3 (P6.3) Rys. 40. Schemat oblczenowy mechanzmu jarzmowego metodą mocy chwlowych

28 Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ Wyznaczony metodą mocy chwlowych moment równoważący r1 wnen być dentyczny z momentem oblczonym nnym metodam. etodę tę można traktować jako sprawdzającą. W równanu mocy chwlowych zakłada sę, że uogólnona sła równoważąca ma zwrot zgodny z uogólnonym przemeszczenem członu napędzającego. W rozpatrywanym przykładze (równane (P9.1)) założono, że moment r1 ma zwrot zgodny z 1 otrzymany wynk oblczeń potwerdz to w ten sposób, że otrzymamy dodatną wartość oblczanego momentu po podstawenu wartośc lczbowych kątów 1, 2, 3. Jeżel w wynku oblczeń uzyskamy ujemną wartość uogólnonej sły równoważącej oznacza to, że zwrot tej sły jest przecwny do zwrotu uogólnonego przemeszczena członu napędzającego. amy wtedy przypadek sły hamującej lub momentu hamującego