Metody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1
|
|
|
- Alojzy Komorowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody oblczenowe wykład nr metody rozwązywana równań nelnowych zadane optymalzacj
2 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana nelnowego Równane nelnowe jednej zmennej o ogólnej postac: ( rozwązane analtyczne : znalezene takej wartośc dla której (
3 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana nelnowego Równane nelnowe jednej zmennej o ogólnej postac: ( rozwązane analtyczne : znalezene takej wartośc dla której ( rozwązane przyblŝone : skomplkowana postać unkcj ( unemoŝlwa znalezene rozwązana analtycznego (dokładnego etapy: lokalzacja perwastków odosobnonych (określene tzw. przedzałów zolacj w których znajdują sę pojedyncze perwastk znajdywane z zadaną dokładnoścą perwastków metodam przyblŝonym (teracyjnym przedzał zolacj - -.5
4 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe Metody przyblŝone rozwązań metody teracyjne: startują z przyblŝena początkowego ( polegają na konstrukcj neskończonego cągu rozwązań przyblŝonych, zbeŝnych do szukanego rozwązana, ( ( (... przerywane w momence osągnęca Ŝądanej dokładnośc ( ( < ε
5 Nr: 5 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe Dana jest unkcja (, oraz przedzał [a,b] ,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 -4,5 unkcja ( / - ne cągłość unkcj w
6 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe Dana jest unkcja (, oraz przedzał [a,b] ,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 -4,5 unkcja ( / - ne cągłość unkcj w Funkcja ( jest cągła na przedzale [a,b] spełna warunek (a (b< posada w przedzale [a,b] tylko jeden perwastek równana (
7 Nr: 7 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe metody rozwązań Metoda bsekcj (perwsza teracja ( b ( ( a a ( a b + b
8 Nr: 8 Metoda bsekcj Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr ty krok teracj ( b ( a a b b ( a b ( a + b
9 Nr: 9 w -tym kroku metody: znajdujemy środek przedzału a + b Metoda bsekcj jeśl ( < ε znaleźlśmy perwastek w przecwnym raze (gdy ( ε wyznaczamy nowy przedzał do podzału ; Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr (a + b/ whle abs(( > eps end (a*( < else end b a (a + b/ [ a, b ] [ a, ] gdy ( a ( [, b ] gdy ( a ( powtarzamy procedurę podzału < >
10 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda bsekcj Własnośc metody prosta dea metody metoda jest zawsze zbeŝna kontynuując podzały odpowedno długo otrzymamy ZAWSZE wynk z Ŝądaną dokładnoścą szybkość metody ne zaleŝy od postac unkcj
11 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda bsekcj Własnośc metody prosta dea metody metoda jest zawsze zbeŝna kontynuując podzały odpowedno długo otrzymamy ZAWSZE wynk z Ŝądaną dokładnoścą szybkość metody ne zaleŝy od postac unkcj wady metoda wolno zbeŝna (jedną cyrę dzesętną zyskuje sę średno w 3,3 krokach stosowana często do przyblŝeń początkowych
12 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: Metoda Newtona-Raphsona (stycznych zakładamy dodatkowo Ŝ dla oszacowana błędu przyjmujemy Ŝ oraz perwsza druga pochodna mają stały znak w [a,b] styczną do wykresu unkcj ( prowadzmy od końca przedzału w którym > ( ( [ ] C a b, ( ( [ ] b a C, ( ( ( ( ' ( ' + + ( ( ' ( ( ( ( ( ( ( ( (
13 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda Newtona-Raphsona (stycznych Przykład braku zbeŝnośc druga pochodna unkcj zmena znak, (cyram,,...,4 oznaczono kolejne przyblŝena perwastka 4 3
14 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda Newtona-Raphsona Własnośc metody metoda jest zbeŝna warunkowo (lokalne ekstrema, punkty przegęca JeŜel w pewnym przedzale [a,b], (a (b mają przecwne znak, jest cągła ne zmena znaku na [a,b], styczne do krzywej y( poprowadzone w punktach o odcętych a b przecnają oś OX wewnątrz przedzału [a,b] to równane ( ma dokładne jeden perwastek w [a,b] metoda Newtona-Raphsona jest zbeŝna do tego perwastka dla dowolnego punktu startowego [a,b] jest stosunkowo szybko zbeŝna (jeśl algorytm jest zbeŝny wymaga tylko jednego punktu startowego koneczność oblczana pochodnej unkcj
15 Nr: 5 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda secznych pochodna unkcj ( jest przyblŝana lorazem róŝncowym w -tym kroku prowadzmy seczną do wykresu unkcj w punktach o odcętych -, a jako kolejne przyblŝene + przyjmujemy jej punkt przecęca z osą OX ne jest wymagane aby w punktach wyznaczających kolejną seczną unkcja mała róŝne znak (warunek obowązuje dla perwszej stycznej + ( ( ( (
16 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda secznych Własnośc metody gdy - - jest tego samego rzędu co oszacowane błędu, następne przyblŝene moŝe ne być poprawne gdy początkowe przyblŝena ne leŝą dostateczne blsko perwastka, metoda moŝe ne być zbeŝna jeśl w trakce oblczeń odległośc mędzy kolejnym przyblŝenam zaczynają wzrastać, naleŝy je przerwać zawęzć przedzał zolacj ( ( ( 4 ( ( 3 4 3
17 Nr: 7 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda secznych Przykład braku zbeŝnośc druga pochodna unkcj zmena znak 4 5 3
18 Nr: 8 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Rząd metod przyblŝonego oblczana perwastków Metoda jest rzędu p (ma wykładnk zbeŝnośc równy p jeŝel stneje stała K taka, Ŝe dla dwu kolejnych przyblŝeń + zachodz nerówność + - α K - α p Metoda bsekcj Netona secznych Rząd,6
19 Nr: 9 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przykład porównane zbeŝnośc metod Szukamy dodatnego perwastka równana 3 ( otrzymujemy '( 3 ''( przedzałem zolacj moŝe być [,] obe pochodne są w tym przedzale dodatne
20 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przykład porównane zbeŝnośc metod cd Metoda bsekcj Metoda secznych Metoda Newtona ( ( ( ( a -4 a -4 b 3 b 3 3-4,5 -,875,574 -,36449,7693, ,75,7,754 -,4784,739,83, 5,888 3,65 -,943 3,7353,9 3,735 -,8 3,835, ,687 -,49 4,7399,576 4,7578,478 5,79 -,4 5,7395 -,95
21 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: Układy równań nelnowych Metoda Newtona dla równana nelnowego jest zmenną rzeczywstą ( ' ( ( ( + + ( n n n n n n ( J ( ( ( ( ( ( ( J + + równane nelnowe układ równań nelnowych ( ( n n n,...,,..., (,..., (,..., (, n n ( (,..., (,..., (, n n dla układu równań nelnowych jest wektorem n-wymarowym (macerz Jacobego
22 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: Układy równań nelnowych rozwązane w ScLabe wykorzystane unkcj solve(punkt_startowy, unkcja ( 4 8 cos cos( y y ( 4 8 cos y y + + +, 4 8,,,, cos( y y Y d c b a X Y d X c bx ax uncton [Y]st(X // w denowanej unkcj przyjmujemy X[ ; ], Y[y ;y ] a[,;-,]; b[,;-,]; c[-,;,]; d[-8;-4]; Y a*x +b*x^ + c*cos(x + d enduncton // lub nny sposób: uncton [Y]st(X Y [X(-cos(X(-8; X(-*X(-X(^-4 ] enduncton // uŝyce unkcj solve( początkowym rozwązanem punkt (, ysolve([;],st; // znalezone rozwązane: y[.95953; ] ysolve([-3;],st; // znalezone rozwązane: y[ ; ]
23 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj Metody wyznaczana optymalnych rozwązań rozwązane optymalne to rozwązane najlepsze ze względu na przyjęte kryterum róŝne krytera prowadzą na ogół do odmennych rozwązań kryterum ścśle zwązane z rozwązywanym zadanem postać zadana: wyznaczene mnmum (maksmum danej unkcj ( (tzw. unkcj celu, gdze [,,..., n ] jest wektorem uwzględnene warunków ogranczających: równana A ( b dla,...,m nerównośc C ( c dla,...,p
24 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj przykład Zadane transportowe Dana jest seć m punktów wytwarzających określony produkt wysyłających go do n punktów odborczych. Określono j lość produktu wysłanego z punktu -tego (,...,m do j-tego (j,...,n a lość produktu wytwarzana przez -ty punkt, b lość zapotrzebowana na produkt przez j-ty punkt, c j koszt transportu jednostk produktu z punktu -tego do P_ a P_ a P_m a m punktu j-tego łączne zapotrzebowane jest równe całośc produkcj, tzn. m NaleŜy znaleźć take wartośc j aby całkowty koszt n a b j j transportu był jak najmnejszy. Szukamy mnmum wyraŝena m n ( j c j j O_ b O_ b O_n b n przy warunkach a j n j,,..., m; bj j, j,,..., m; j,..., n m j,..., n
25 Nr: 5 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda spadku względem współrzędnych Przykład mnmalzujemy unkcję (,y. (,y punkt startowy. ustalamy krok k (,y +k 3. sprawdzamy wartośc unkcj w 4 punktach: (,y +k,(,y -k,( +k,y,( -k,y 4. jeŝel w jednym z punktów wartość unkcj (,y jest mnejsza nŝ w punkce (,y ( jest połoŝony nŝej to przenosmy sę do nego powtarzamy procedurę w kroku 3. ( -k,y (,y ( +k,y 5. jeśl w punkce 4. ne znalezono takego punktu to zmnejszamy krok (np. -krotne powtarzamy punkt 3. (,y -k kerunek poszukwań ne zaleŝy od postac unkcj metoda zawodna w przypadku stnena welu mnmów lokalnych unkcj Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę, przetestować dla (, -4 -( +3
26 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody gradentowe - sposoby poszukwana rozwązań Metody gradentowe - kerunek poszukwań wyznaczany w kaŝdym kolejnym kroku nech unkcja (([,,..., n ] jest wektorem jest klasy C. Gradentem unkcj ( nazywamy wektor: ( ( ( ( ( L M ( n ( gradent określa kerunek najwększego wzrostu unkcj ( n T 3 Xˆ ˆ (X Przykład (oblczene gradentu: Xˆ ˆ ( X (, -( - -( -3 ( [-( -,-( -3] T ((,[,] T
27 Nr: 7 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj - sposoby poszukwana rozwązań Metody gradentowe Procesy teracyjne kolejne przyblŝene k+ k + h k ξ k k poprzedne przyblŝene (wektor n-wymarowy, h k długość kroku (lczba rzeczywsta, ξ k wektor (n-wymarowy, określający kerunek poszukwań. jeśl unkcja (([,,..., n ] ma węcej nŝ jedno mnmum lokalne, otrzymany wynk moŝe zaleŝeć od punktu startowego, wyberając róŝne punkty startowe, porównując kolejne wartośc, moŝemy wybrać najlepsze z otrzymanych rozwązań w sytuacjach gdy stneje wele mnmów lokalnych wykorzystuje sę sposoby dające moŝlwość wyjśca z optmum lokalnego rozszerzene lokalnych poszukwań zatrzymane oblczeń po zadanej lczbe teracj, lub po upływe określonego czasu oblczeń, gdy wartość ( k (lub względna zmana wartośc spadne ponŝej zadanego pozomu, gdy długość gradentu ( k spadne ponŝej zadanego pozomu.
28 Nr: 8 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody gradentowe - Metoda gradentu prostego Algorytm oblczeń :. Oblczane w punkce startowym wartość unkcj ( oraz jej gradentu g g(. Wyznaczene kerunku poszukwań ξ-g 3. WzdłuŜ kerunku ξ wykonujemy krok o długośc h oraz określamy współrzędne nowego punktu : + +h*ξ 4. Oblczene w nowym punkce wartość unkcj ( + oraz gradentu g g( +, jeŝel krok był pomyślny, tzn. ( + < ( to powtarzamy od punktu podstawając g (gradent w mejsce g 5. JeŜel ne osągnęto mnmum, naleŝy wrócć do poprzednego punktu podstawając : + -h*ξ oraz zmnejszamy krok (np. -krotne przechodzmy do punktu 3. Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę, (przyjąć unkcje, g jako znane przetestować dla (, - -( -
29 Nr: 9 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody gradentowe Metoda najszybszego spadku Algorytm oblczeń :. Oblczene w punkce startowym wartośc unkcj ( oraz jej gradentu g g(, przyjmujemy. Wyznaczene kerunku poszukwań ξ-g 3. WzdłuŜ kerunku ξ określamy λ take dla której wartość ( - + ξ λ osąga mnmum. Współrzędne nowego punktu - + ξ λ 4. Oblczene w nowym punkce wartość unkcj ( + oraz gradentu g g( +, jeŝel ne osągnęto mnmum, powrót do punktu. Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę (przyjąć unkcje, g jako znane przetestować dla (, - -( -3 4
30 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda najszybszego spadku - przykład Znajdujemy mnmum unkcj: (, + Punkt startowy: ( (, ( [,] T Gradent: (, [, ] T Szukamy przyblŝena postac: ( ( +h ( (- ( ( welkość h - mejsce w którym unkcja (, na wyznaczonym przez gradent kerunku przyjmuje mnmalną wartość: h mn h (( ( -h ( ( Znajdujemy welkość h - denujemy pomocnczą unkcję H ( (h, znajdujemy jej mnmum H ( (h ( ( -h ( ( ([,] T -h [,] T ([-h,-h] T (-h +(-h (-h 5 4 H ( (h (-h (- -8(-h H ( (h h/ ( [,] T +/ (-[,] T [,]
31 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj przy zadanych ogranczenach Przykład: znaleźć mnmum unkcj (, + Zadane mnmalzacj a ogranczene równoścowe h(, b ogranczene nerównoścowe (aktywne g(, c ogranczene nerównoścowe (neaktywne g(, z warunkem - -
32 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj W abryce wytwarzanych jest m produktów. KaŜdy produkt wytwarzany jest z n surowców. Określono lość wytworzonych jednostek -tego (,...,m produktu, a zysk osągnęty ze sprzedaŝy -tego (,...,m produktu, b j lość dzennej dostawy jednostek j-tego (j,...,n surowca, c j lość jednostek j-tego (j,...,n surowca potrzebna do wytworzena jednostk -tego (,...,m produktu NaleŜy znaleźć take wartośc aby osągnęty zysk dzenny był jak najwększy. Szukamy maksmum wyraŝena przy warunkach m c j m ( b j, a,,..., m; j,..., n
33 Nr: 33 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe przykład lczbowy Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj Nech m, (w abryce wytwarzane są produkty, n (do wytworzena jednego produktu potrzebne są surowce. do wytworzena produktu I potrzeba 8 jednostek surowca A, oraz jednostk surowca B, do wytworzena produktu II potrzeba 5 jednostek surowca A, oraz 5 jednostek surowca B. Zysk ze sprzedaŝy : (szukamy najwększego zysku jednostk produktu I - 9 złotych jednostk produktu II -8 złotych Welkość dzennej dostawy surowca A 4 jednostek surowca B 5 jednostek Zadane (X zbór rozwązań dopuszczalnych, warstwcam unkcj ( są lne proste 9 +8 const. ( 9 A: B :, ma
34 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: : :, ma 8 9 ( B A [, lagr, ] lnpro(p, C, b, c, cs (X p T *X -> mnmum 5 4 * * 8]* 9, [ ( * ( cs X c b X C X X p X X T [, lagr, ]-lnpro([-9;-8],[8,5;,5],[4;5],[;],[;] // [.5;4], 54.5 Programowane lnowe przykład lczbowy Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj unkcja lnpro(
35 Nr: 35 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przykład zastosowana unkcj optm( Znajdź najmnejszą wartość unkcj (punkt startowy: [,,]: (,y,zsn(y+cos(z+sn(y-z na obszarze ogranczonym poprzez nerównośc:, y, z,, y, z // zdenowane unkcj ScLaba która będze optymalzowana: // zmenne (,, 3 zapsane zostają w postac wektora // - zwraca wartość unkcj // g - zwraca gradent unkcj // nd - parametr wymagany w unkcj optm( uncton [,g,nd]st(,nd sn((*(+cos((*(3+sn((-(3 g [;;] g( (*cos((*(-(3*sn((*(3 g( (*cos((*(+cos((-(3 g(3 -(*sn((*(3-cos((-(3 enduncton // uŝyce optm(st, [ b ], start, [ogranczene_dolne,ogranczene_górne] // wart optymalna (mnmalna wartość poszukwanej unkcj, // p punkt (wektor 3 współrzędnych w którym wartość zostaje oblczona [wart,p]optm(st,'b',[;;],[;;],[;;]
36 Nr: 36 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe - Zadane załadunku (plecakowe Spośród n ładunków waŝących odpowedno a, a,..., a n o wartoścach c,...,c n naleŝy załadować na samochód o dopuszczalnych ładownośc b take, aby łączna ch wartość była jak najwększa. oznaczamy zmenne (,...,n : : gdy -ty ładunek jest załadowany : w przecwnym przypadku zadane przyjmuje postać: ( n a n b {,}, c ma,..., n
37 Nr: 37 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe - Zadane komwojaŝera KomwojaŜer startując z masta nr ma odwedzć (n- mast wrócć do punktu startu. NaleŜy ustalć, w jakej kolejnośc ma on odwedzć te masta, aby przebyta droga była jak najkrótsza. odległość masta od masta j c j nech j jeśl komwojaŝer przejeŝdŝa z masta do masta j, j w przecwnym przypadku Zadane ormułujemy: ( ( ( (3 j n j n n j c {,}, z z n j j, j j j, + n mn j j,..., n,..., n,..., n; j,..., n n,, j,..., n ( j. komwojaŝer do kaŝdego masta tylko raz,. wyjeŝdŝa z kaŝdego masta tylko raz, 3. droga komwojaŝera składa sę z jednego cyklu
38 Nr: 38 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr MS Ecel rozwązywane równań nelnowych narzędze: Szukaj wynku. wps początkowej wartośc do komórk C37. wps ormuły która ma przyjąć określoną wartość do komórk C38 3. wps do okna Szukaj wynku określonej wartośc którą ma przyjąć ormuła wpsana do komórk C38
39 Nr: 39 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy (budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu (, 3, na j-tą budowę (j,, koszt ( czas ma{( j +,; j,,3 + / 6,( / 6} mn
40 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy (budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu (, 3, na j-tą budowę (j,, koszt ( czas ma{( j +,; j,,3 + / 6,( / 6} mn
41 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy (budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu (, 3, na j-tą budowę (j,, koszt ( czas ma{( j +,; j,,3 + / 6,( / 6} mn
42 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy (budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu (, 3, na j-tą budowę (j,, koszt ( czas ma{( j +,; j,,3 + / 6,( / 6} mn
43 Nr: 43 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy (budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu (, 3, na j-tą budowę (j,, koszt ( czas ma{( j +,; j,,3 + / 6,( / 6} mn
44 Nr: 44 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe, zadane optymalzacj unkcje ScLaba solve( unkcja rozwązująca układ równań nelnowych lnpro( narzędze rozwązywana zadań programowana lnowego optm( unkcja rozwązująca nelnowe zadana optymalzacj
45 Nr: 45 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Podsumowane Metody rozwązywana równań nelnowych. Zadane optymalzacj Rozwązywane równań nelnowych Postać równana nelnowego Iteracyjne metody rozwązań dee poszczególnych metod, sposób wyznaczana kolejnych przyblŝeń, własnośc Metoda bsekcj Metoda Newtona-Raphsona (stycznych Metoda secznych jej modykacje Porównane metod rozwązana pojęce rzędu metody Układy równań nelnowych sposoby rozwązana Metody optymalzacj postać zadana sposoby poszukwana rozwązań Metoda spadku względem współrzędnych Metody gradentowe własnośc, sposoby wyznaczana kerunków poszukwań Metoda gradentu prostego Metoda najszybszego spadku
46 Nr: 46 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Podsumowane cd. Metody rozwązywana równań nelnowych. Zadane optymalzacj Zadane programowana lnowego sposób rozwązywana metodą smple Przykłady standardowych zadań programowana lnowego Zadane transportowe Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj Zadane załadunku Zadane komwojaŝera MoŜlwośc rozwązana zadań optymalzacj przy uŝycu arkusza kalkulacyjnego MS Ecel programu ScLab
Metody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1
Nr: Metody oblczenowe wykład nr metody rozwązywana równań nelnowych zadane optymalzacj Nr: Postać równana nelnowego Równane nelnowe jednej zmennej o ogólnej postac: rozwązane analtyczne : znalezene takej
Metody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1
Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody oblczenowe wykład nr metody rozwązywana równań nelnowych zadane optymalzacj Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana
Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Metody Numeryczne 2017/2018
Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y.
Nieliniowe zadanie optymalizacji bez ograniczeń numeryczne metody iteracyjne optymalizacji
Nelnowe zadane optymalzacj bez ogranczeń numeryczne metody teracyjne optymalzacj mn R n f ( ) = f Algorytmy poszuwana mnmum loalnego zadana programowana nelnowego: Bez ogranczeń Z ogranczenam Algorytmy
liniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym.
=DGDQLHSROHJDMFHQDSRV]XNLZDQLXPDNV\PDOQHMOXEPLQLPDOQHMZDUWRFLIXQNFMLZLHOX ]PLHQQ\FKSU]\MHGQRF]HVQ\PVSHáQLHQLXSHZQHMLORFLQDáR*RQ\FKZDUXQNyZ UyZQDOXE QLHUyZQRFLQRVLQD]Z]DGDQLDRSW\PDOL]DF\MQHJROXE]DGDQLDSURJUDPRZDQLD
BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji
Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Minimalizacja globalna. Algorytmy genetyczne i ewolucyjne.
Mnmalzacja globalna Algorytmy genetyczne ewolucyjne. Lnearyzacja nelnowego operatora g prowadz do przyblżonych metod rozwązywana zagadnena odwrotnego. Wynk takej nwersj jest slne uzależnony od wyboru modelu
Laboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Minimalizacja globalna, algorytmy genetyczne i zastosowanie w geotechnice
Mnmalzacja globalna, algorytmy genetyczne zastosowane w geotechnce Metoda sejsmczna Metoda geoelektryczna Podstawowy podzał ZAGADNIENIE PROSTE (ang. forward problem) model + parametry modelu dane (ośrodek,
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
SZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
dy dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4
Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (
Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5
Iteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Algorytm wstecznej propagacji błędu
Wprowadzene do Sec Neuronowych Algorytm wstecznej propagacj błędu Maja Czoków, Jarosław Persa --6 Powtórzene. Perceptron sgmodalny Funkcja sgmodalna: σ(x) = + exp( c (x p)) Parametr c odpowada za nachylene
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także
Definicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
WikiWS For Business Sharks
WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace
Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale
Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [ ] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale spełna je także unkcja [ ] Q. Dokłaając warunek cąłośc unkcj [ ]
Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Proces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
KONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla
Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA Potr Konderla maj 2007 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk
5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Matematyka obliczeniowa, II rok Matematyki (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyki, (2013/2014)
Matematyka oblczenowa, II rok Matematyk (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyk, (2013/2014) 1. Rozwązywane równań nelnowych 2. Arytmetyka zmennopozycyjna 3. Błędy w oblczenach. Uwarunkowane
Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Oprócz transmtancj operatorowej, do opsu członów układów automatyk stosuje sę tzw. transmtancję wdmową. Transmtancję wdmową G(j wyznaczyć moŝna dzęk podstawenu do wzoru
Metody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2
T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Diagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 73 Electrcal Engneerng 213 Jan PURCZYŃSKI* APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA W pracy wykorzystano metodę aproksymacj średnokwadratowej welomanowej, przy
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2007/08 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x, b R N, A R N N (1) ma jednoznaczne
Optymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Dla dzielnej X (dividend) i dzielnika D 0 (divisor) liczby Q oraz R takie, Ŝe
zelene ekwencyjne zelene la dzelnej X (dvdend) dzelnka (dvor) lczby Q oraz R take, Ŝe X=Q R, R < nazywa ę lorazem Q (uotent) reztą R (remander) z dzelena X rzez. Równane dzelena moŝe meć rozwązana ełnające
Sztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311
Sztuczne sec neuronowe Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyk, p. 311 Wykład 6 PLAN: - Repetto (brevs) - Sec neuronowe z radalnym funkcjam bazowym Repetto W aspekce archtektury: zajmowalśmy
Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane
Wykład 5 12/15/2013. Problemy algebry liniowej w Matlabie
Wykład 5. Problemy algebry lnowej w Matlabe. Analza sygnałów a) w dzedzne częstotlwośc b) w dzedzne czasu c) częstotlwoścowo-czasowa d) nagrywane analza dźwęku e) Sgnal Processng Toolbox Problemy algebry
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
Kolokwium poprawkowe z Optymalizacji II (Ściśle tajne przed godz. 16 : stycznia 2016.)
Kolokwum z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz 4 : 00 8 grudna 05) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz
Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Metody numeryczne, III rok Informatyki, 2013/2014
Metody numeryczne, III rok Informatyk, 2013/2014 1. Rozwązywane równań nelnowych 2. Arytmetyka zmennopozycyjna 3. Błędy w oblczenach. Uwarunkowane zadana. Numeryczna poprawność stablność algorytmu 4. Rozwązywane
Natalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Statystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Różniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k
Różnczkowalność, pochodne, ekstremum funkcj Ćwczene 1 Polczyć pochodn a kerunkow a funkcj: 1 1 1 x 1 x 2 x k ϕ(x 1,, x k ) x 2 1 x 2 2 x 2 k x k 1 1 x k 1 2 x k 1 w dowolnym punkce p [x 1, x 2,, x k T
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II
1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania
Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w
Prawdziwa ortofotomapa
Prawdzwa ortofotomapa klasyczna a prawdzwa ortofotomapa mnmalzacja przesunęć obektów wystających martwych pól na klasycznej ortofotomape wpływ rodzaju modelu na wynk ortorektyfkacj budynków stratege opracowana
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład IX
Modelowane przepływu ceczy przez ośrodk porowate Wykład IX Metody rozwązywana metodam analtycznym równań hydrodynamk wód podzemnych płaskch zagadneń fltracj. 9.1 Funkcja potencjału zespolonego. Rozważana
Wykład Turbina parowa kondensacyjna
Wykład 9 Maszyny ceplne turbna parowa Entropa Równane Claususa-Clapeyrona granca równowag az Dośwadczena W. Domnk Wydzał Fzyk UW ermodynamka 08/09 /5 urbna parowa kondensacyjna W. Domnk Wydzał Fzyk UW
7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera
Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne
ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych
mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH
Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr
V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA
46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
mę, nazwsko, nr ndeksu: Ekonometra egzamn 1//19 1. Egzamn trwa 9 mnut.. Rozwązywane zadań należy rozpocząć po ogłoszenu początku egzamnu a skończyć wraz z ogłoszenem końca egzamnu. Złamane tej zasady skutkuje
Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a
Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona
013 Katedra Fzyk SGGW Ćwczene 368 Nazwsko... Data... Nr na lśce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Ćwczene 368: Godzna.... Wyznaczane długośc fal śwatła metodą perścen Newtona Cechowane podzałk okularu pomarowego
Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)
1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej
Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
rzeczywiste zawart. składn. maksymalne wymagane zawart. w 1 jednostce mieszanki składn. w 1 jednostce mieszanki
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 4. Zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank Model matematyczny dentyczny
Diagnostyka układów kombinacyjnych
Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane
8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
WYBRANE ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W STEROWANIU PROCESAMI ODLEWNICZYMI
47/17 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2005, Rocznk 5, Nr 17 Archves of Foundry Year 2005, Volume 5, Book 17 PAN - Katowce PL ISSN 1642-5308 WYBRANE ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W STEROWANIU PROCESAMI ODLEWNICZYMI
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)