ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ
|
|
- Ignacy Lewandowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Adrze Marcak ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ Wykłady dla studetów keruku formatyka Poltechk Pozańske
2 Wykłady są przezaczoe wyłącze do dywdualego użytku przez studetów formatyk Poltechk Pozańske. Ne mogą być oe powelae rozpowszechae a w całośc, a we fragmetach za pomocą urządzeń elektroczych, mechaczych, kopuących, agrywaących ych, w tym róweż e mogą być umeszczae a rozpowszechae w postac cyfrowe zarówo w Iterece, ak w secach lokalych.
3 I. PODSTAWOWE POJĘCIA ANALIZY NUMERYCZNEJ 1.1. Stało- zmeopozycye przedstawee lczby Lczby są reprezetowae w komputerze przez skończoą lczbę cyfr ch rozwęć pozycyych (podstawam są aczęśce 2, 8 lub 16). Wyróżamy dwa sposoby reprezetac lczb:! stałopozycyy,! zmeopozycyy. W reprezetac stałopozycye dowolą lczbę całkowtą l moża przedstawć w postac rozwęca podstawy. Zakładaąc, że podstawą est lczba 2 mamy l = z e 2, e 0 dla l 0, = 0 gdze z ozacza zak lczby (+1 lub!1), a e = 0 lub 1. Jeśl dla reprezetac stałopozycye przezaczoo w komputerze d + 1 btów, to lczbę l będze moża przedstawć tylko wówczas, gdy < d. Przykład 1.1 W 32-btowe mplemetac ęzyka Delph Pascal dla lczb typu Iteger przezaczoo cztery baty, czyl 32 bty. Jeśl ede bt przezaczoo a zak lczby, to awększą lczbą, którą moża przedstawć a pozostałych 31 btach est ( = 30) Nameszą lczbą e est edak (w zapse dzesętym) gdyż lczby ueme są zapsywae w tzw. kodze uzupełeowym. W kodze tym lczby ueme są przedstawae w postac cyfr reprezetuących lczby ake otrzymue sę odemuąc wartośc bezwzględe daych lczb od 2. Dlatego ameszą lczbą typu Iteger est która w komputerze a czterech batach est zapsaa astępuąco: K = , , Aby z zapsu lczb uemych w kodze uzupełeowym otrzymać lczbę w zwykłym zapse, ależy a wszystkch btach poza perwszym zameć cyfry 0 a 1, cyfry 1 a 0, a astępe dodać edykę dwókową. #
4 4 I. Podstawowe poęca aalzy umerycze W zapse stałopozycyym mogą być reprezetowae e tylko lczby całkowte. Na przykład w ęzyku Delph Pascal w postac take są pamętae lczby rzeczywste typu Currecy. Wewętrzy zaps est tak, ak lczb typu Iteger, tyle że a ośmu batach, a e a czterech, ale cztery ame zaczące cyfry są terpretowae ako cyfry po kropce dzesęte. W przedstaweu zmeopozycyym, zwaym zormalzowaym przedstaweem półlogarytmczym, dowolą lczbę 0 przedstawa sę w postac gdze z ozacza zak lczby, c cechę (est to lczba całkowta), a m ozacza matysę, która est lczbą rzeczywstą ależącą do przedzału Lczba zero est a ogół reprezetowae słowem o wszystkch btach rówych 0. Załóżmy, że słowo do zapsu lczby rzeczywste w przedstaweu zmeopozycyym ma długość d + 1 btów. Jeśl t btów przezaczy sę do zapsu matysy, to a zaps cechy w sposób stałopozycyy pozostae d! t btów (ede bt est przezaczoy do zapsu zaku lczby). Przy takm podzale zamast gdze e!1 = 1 oraz e! = 0 lub 1 dla > 1, zapamętywaych est w komputerze tylko t początkowych cyfr dwókowych matysy. Zakładaąc, że matysa została prawdłowo zaokrągloa do t cyfr mamy stąd Reprezetacę zmeopozycyą lczby ozaczamy przez rd(). Z defc Mamy przy tym co moża też zapsać astępuąco: = z2 c m, 1 2, 1. m= e 2, = 1 Lczbę eps = 2!t azywa sę dokładoścą maszyową. t mt = e 2 + e ( t + 1 ) 2 = 1 1 t m m t 2 2. rd( ) = z2 m. rd( ) c t 2 t, t t rd( ) = ( 1+ ε), gdze ε 2. (1.1)
5 1.1. Stało- zmeopozycye przedstawee lczby 5 Lczba cyfr matysy decydue o dokładośc zmeopozycyego przedstawea lczb, a lczba cyfr cechy określa zakres reprezetowaych lczb. Zakładaąc, że cecha est zapsywaa w zwykłym kodze dwókowym (e w kodze uzupełeowym) mamy d t 1 d t 1 [ 2 2 ] c mt 1,, 2 1, a węc w komputerze możemy przedstawć w zapse zmeopozycyym lczbę 0 oraz lczby 0, dla których d t d t 1 <. Rys. 1. Zakres lczb rzeczywstych reprezetowaych w komputerze Zakres lczb w okolcy zera, ale bez zera, które e mogą być reprezetowae w komputerze azywa sę edomarem, a zakresy lczb z przedzałów d ( ] [ + ) t 1 d t 1 2 2, 2 2, azywa sę admarem. Jeśl wyk operac arytmetycze wykoywae w komputerze wpade do edomaru, to a ogół stadardowo przymue sę, że est o rówy zero ewetuale dalsze oblczea są kotyuowae. Gdy wyk tak wpade do admaru, to oblczea są przerywae astępue sygalzaca błędu przekroczea zakresu reprezetowaych lczb. W pewych sytuacach perwszy przypadek może doprowadzć do epoprawych terpretac. Przykładem może być rozwązywae układu rówań lowych, o którego wyzaczku z teoretyczych rozważań może być wadomo, że est róży od 0, a węc którego rozwązae stee. Jeśl edak wyzaczk te będze a tyle mały co do wartośc bezwzględe, że ego wartość (oblczoa a komputerze) wpade do edomaru, to operaąc sę wyłącze a oblczeach komputerowych moża dość do wosku, że rozwązae układu rówań lowych e stee. W wększośc współczesych ęzyków programowaa w reprezetac zmeopozycye lczb rzeczywstych cecha e est zapsywaa a w zwykłym kodze barym, a w kodze uzupełeowym, lecz est euemą lczbą całkowtą, którą terpretue sę odemuąc od e odpowedą wartość wykaącą z lczby btów przezaczoych a cechę. Zyskue sę w te sposób ede bt (e ma btu przezaczoego a zak cechy), co umożlwa terpretowae pewych zapsów ako dodate ueme eskończoośc (If) oraz tzw. e-lczb (NaN). Przykład 1.2 W ęzyku Delph Pascal do zapsu lczb rzeczywstych w type Sgle przezaczoo cztery baty, z czego ede bt a zak lczby, 8 btów (ede bat) a cechę 23 bty a matysę. Wartość
6 6 I. Podstawowe poęca aalzy umerycze cechy zapsae a 8 btach ależy do przedzału [0, 255]. Jeśl ozaczymy przez s zak lczby (s = 0 lub 1), przez c cechę, a przez m matysę, to wartość w lczby zapsae w tak sposób est określoa astępuąco: s ( c 127) ( 1) 2 ( 1. m), gdy 0< c< 255, s 126 ( 1) 2 ( 0. m), gdy c= 0 m 0, w = s ( 1) 0, gdy c= 0 m= 0, s ( 1) If, gdy c = 255 m = 0, NaN, gdy c = 255 m 0. # Ozaczmy przez A zbór lczb maszyowych, t. zbór lczb rzeczywstych, które maą dokładą reprezetacę w komputerze. Wyk operac a lczbach ze zboru A e mus być lczbą maszyową. Zwykle w komputerze zamast matematyczych operac dodawaa (+), odemowaa (!), możea (A) dzelea (/) dla lczb, y 0 A realzowae są operace r, s, u. Operaca r est zdefowaa astępuąco (podobe są zdefowae operace s, u ): y = rd( + y),, y A, skąd po uwzględeu (1.1) mamy y = ( + y)( 1+ ~ ε ), gdze ~ ε eps. (1.2) Zauważmy, że dla operac zmeopozycyych e obowązuą reguły operac arytmetyczych. Na przykład, dla, y 0 A eśl y eps <, 2 to y =. Wartość wyrażea " oblczoą w arytmetyce zmeopozycye przyęto ozaczać przez fl("). Jest oczywste, że dla, y 0 A mamy fl( + y) = rd( + y), ale eśl, y ó A, to fl( + y) rd( + y). Na podstawe (1.1) (1.2) mamy bowem fl( + y) = rd( ) rd( y) = [ rd( ) + rd( y)]( 1+ ~ ε ) y [ ( ) y( )]( ~ ε ) ( y ) 1+ ε2 = 1+ ε = + + ( ~ 1 1 ε2 1 ε 1 1+ ε ), + y gdze ε, ε, ~ ε eps. 1 2 Dla operac zmeopozycyych e zachodzą prawa łączośc rozdzelośc. Może okazać sę, że dla lczb rzeczywstych a, b c mamy fl(( a+ b) + c) fl( a+ ( b+ c)).
7 1.2. Uwarukowae zadaa, umerycza poprawość stablość 7 Ostatą zależość moża uogólć: dwe róże, ale matematycze rówoważe metody oblczaa wartośc pewego wyrażea w rachuku zmeopozycyym mogą dać róże wyk Uwarukowae zadaa, umerycza poprawość stablość Rozważmy zadae polegaące a oblczeu dla daych wyku t. przy czym odwzorowae est cągem odwzorowań (algorytmem): Przykład 1.3 Nech ϕ(,, ) = + +. Rozważmy dwa algorytmy: ) η = 1 + 2, y = η+ 3, 2) η = +, y = + η, czyl dla perwszego algorytmu mamy ( 0) 1 2 (1) ϕ ( 1, 2, 3) =, ϕ ( u1, u2) u1 u R = + R 3 Przy wykoywau oblczeń w rachuku zmeopozycyym zamast y otrzymuemy Dla perwszego algorytmu otrzymuemy Oblczmy błąd względy wyku. Mamy = ( 1, 2, K, ) y = ( y1, y2, K, y m ), y = ϕ( ), ϕ: R D R, ( r) ( r 1) ( 0) ( ) ϕ = ϕ oϕ okoϕ, gdze ϕ : D D, = 01,, K, r, D R, D = D, D R. 0 r + 1 ( 0) (1) ϕ ( 1, 2, 3) =, ϕ ( 1, 2) 1 2, R u u = u + u R 3 a dla drugego algorytmu est m m + 1 y = fl(( + ) + ) lub y = fl( + ( + )) η = fl( 1 + 2) = ( 1 + 2)( 1+ ε1), y = fl( η+ 3) = ( η+ 3) ( 1+ ε2) = [( 1 + 2)( 1+ ε1) + 3]( 1+ ε2) = ( ) 1+ ε1( 1+ ε2) + ε
8 8 I. Podstawowe poęca aalzy umerycze gdze symbol &= ozacza w perwszym przyblżeu. W drugm algorytme dostaemy gdze ε eps ( = 1, 2, 3, 4). Współczyk przy ε azywaą sę współczykam wzmoc- ea określaą wpływ błędów zaokrągleń a błąd wyku. Oczywśce lepszy est te algorytm, dla którego współczyk te są mesze. W przypadku dodawaa w arytmetyce zmeopozycye trzech lczb ozacza to, że aperw ależy dodać dwe mesze lczby. # Powyższy przykład pokazue w ak sposób błędy zaokrągleń wpływaą a błąd wyku. Należy eszcze zbadać wpływ błędów daych weścowych. Załóżmy zatem, że zamast dokładych wartośc mamy wartośc przyblżoe ~. Ozaczmy przez = ~ błąd bezwzględy wartośc y y ε = = ε ε ε ε ε y 1( 1+ 2) + 2 = & , y , ε = & ε ε, y a przez ε = ( 0) błąd względy tych wartośc. Stosuąc algorytm ϕ otrzymuemy zamast wartośc y = ϕ( ) wartość ~ y = ϕ( ~ ). Rozważmy błąd bezwzględy wartośc y ( = 1, 2,..., m.). Korzystaąc ze wzoru Taylora dla fukc welu zmeych mamy y = ~ y y = ( ~ ) ( ) = & ( ~ ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ϕ ) =. = 1 = 1 Stąd ε y = & = 1 ϕ( ) ε. ϕ ( ) (1.3) Defca 1.1. Welkośc charakteryzuące wpływ zaburzeń daych a zaburzea rozwązaa azywamy wskaźkam uwarukowaa zadaa. Jeśl welkośc te są co do wartośc bezwzględe duże, to mówmy, że zadae est źle uwarukowae. Dla algorytmu y = ϕ( ) wskaźkam uwarukowaa są welkośc ϕ( ), = 12,, K, m, = 12,, K,. ϕ ( ) Jest to m lczb. Gdy welkośc m są duże, posługwae sę tak welką lczbą współczy- ków uwarukowaa stae sę ucążlwe. Dlatego często korzysta sę z prostsze defc wskaźka uwarukowaa, który est poedyczą lczbą.
9 1.2. Uwarukowae zadaa, umerycza poprawość stablość 9 Defca 1.2. Wskaźkem uwarukowaa zadaa azywamy lczbę c, dla które ϕ( ~ ) ϕ( ) ~ c,, ϕ( ) 0. ϕ( ) Symbol. ozacza ormę 1. Z wzoru (1.3) mamy ϕ( 1, 2) = 1 2 ε & ε ε, 1 = ϕ( 1, 2) = 1 / 2 ε / = & ε ε, ϕ( 1, 2) = 1 ± 2 ε & 1 ε 2 ε, ± = ± ± ± ± Wyka stąd, że przy możeu dzeleu względe błędy daych słabo przeoszą sę a wyk. Przy dodawau lub odemowau małe błędy względe daych mogą powodować duży błąd względy wyku. Przykład 1.4 Nech Mamy = 1, 0005, ~ = 1, 001, = 1, 0004, ~ = 1, ε 4 4 = 510, ε = 410, 1 2 a węc błędy względe daych są małe. Błąd względy przy dodawau będze edak duży. Mamy bowem 1, = 510 +, & ( 410 ) > ε Jak uż wspomao, zadae umerycze est problemem polegaącym a wyzaczeu wektora wyków y a podstawe wektora daych przy zastosowau pewego algorytmu. Defca 1.3. Mówmy, że zadae est dobrze postawoe, eżel wektor y est edozacze określoy dla przyętego wektora daych. Nech ozacza oblczoy umerycze wektor wyków y. y Defca 1.4. Algorytm oblczaa y azywamy poprawe sformułowaym, gdy lczba e- zbędych dzałań ad wektorem daych est skończoa (choć może zależeć od ). # 1 Zob. defcę ormy w dowolym podręczku z aalzy matematycze lub aalzy fukcoale.
10 10 I. Podstawowe poęca aalzy umerycze Przykład 1.5 Nech będze daa lczba zespoloa z = a + b, gdze ozacza edostkę urooą. Należy oblczyć. Jedym z algorytmów rozwązuących to zadae może być astępuący: 1 2 z b! oblcz t = (tages fazy lczby z), a 2 2 2! oblcz z = a + b (kwadrat modułu lczby z), 2! wyzacz Re t 1 1 2t oraz 2 = Im. 2 2 z 2 = 2 2 z 1+ t z z 1+ t 2 2 Powyższe zadae est dobrze postawoe, eśl a + b 0. Ozacza to, że dzedzą rozwą- zaa zadaa est D = R 2 {( 00, )}. Algorytm est poprawe sformułoway (moża sprawdzć, że est w m 11 ezbędych dzałań), ale e dla każde pary ( ab, ) ( 00, ) moża tym algorytmem zaleźć rozwązae. Podczas wykoywaa oblczeń a komputerze może wystąpć błąd dzelea przez zero błąd admaru. Jest oczywste, że perwszy błąd wystąp, gdy a = 0, ale błąd dzelea przez zero wystąp także wówczas, gdy lczba a będze wprawdze róża od zera, ale tak mała, że w komputerze będze reprezetowaa przez zero ( wpade do edomaru). Poadto, eśl awększa lczba, którą moża reprezetować w komputerze będze rzędu p , to dla lczby b rzędu lczby a rzędu 10!50 wystąp admar (z uwag a dzelee b przez a). Ozacza to, że a komputerze zadae może być rozwązae w dzedze D D, ale ekoecze D = D. Zbór D zależy przy tym od właścwośc komputera, a dokłade od reprezetac w m lczb rzeczywstych. # Defca 1.5. Mówmy, że algorytm ϕ est umerycze stably, eśl dla dowole wybraych daych 0 D stee taka dokładość oblczeń δ 0, że dla dokładośc δ < δ 0 mamy 0 D( δ) oraz lm ϕ(, δ) = ϕ( ), δ gdze ozacza algorytm zależy od rodzau arytmetyk komputera. ϕ ϕ Iym słowy powyższa defca mów, że algorytm est umerycze stably wtedy, gdy zwększaąc dokładość oblczeń moża wyzaczyć (z dowolą dokładoścą) dowole steące rozwązae zadaa. Przykład 1.6 Algorytm z poprzedego przykładu, choć poprawe sformułoway, e est umerycze stably, gdyż dla a = 0 (bez względu a wartość b) e moża m wyzaczyć rozwązaa zadaa 1 przez wzrost dokładośc oblczeń. Iy algorytm wyzaczea może być astępuący: 2 z a b! oblcz Re oraz 2 = z ( a + b ) 1 2ab Im = z ( a + b ) ,
11 1.2. Uwarukowae zadaa, umerycza poprawość stablość 11 który est poprawe sformułoway (występue w m 9 dzałań) est przy tym umerycze stably. Stablość wyka z cągłośc podaych wzorów przy założeu a + b # Dla welu zadań zae są róże metody algorytmy ch rozwązywaa. Spośród różych algorytmów chcelbyśmy zawsze wybrać alepszy. Jedym z kryterów wyboru może być akość otrzymaych rozwązań. Iym ważym czykem może być koszt dae metody merzoy lczbą oblczeń, przy czym eśl porówamy tylko koszt zaych metod, to problemu e rozstrzygemy. Zaomość zastosowae alepsze spośród zaych metod e przeczy steu eszcze lepsze metody. Stosukowo edawo zaczęto poszukwać badać metody optymale. Przymuąc za kryterum lczbę dzałań arytmetyczych potrzebą do rozwązaa zadaa, metodą optymalą będze metoda mmalzuąca tę lczbę. Problemam stea własośc metod optymalych oraz ch kostrukc zamue sę dzał aalzy umerycze zway złożooścą oblczeową. Okazue sę, że wele klasyczych metod e speła postulatu optymalośc tylko dla ewelu prostych zadań zamy metody optymale. Rozważmy poowe zadae oblczea Defca 1.6. Welkość gdze z( ϕ, ) ozacza mmalą lczbę dzałań potrzebą do oblczea ϕ( ), azywamy złożooścą oblczeową zadaa y = ϕ( ). Defca 1.7. Mówmy, że zadae y = ϕ( ) ma stotych daych a zborze D, eśl steą dae = ( 1, 2, K, ) D, dla których zmaa dowole ze składowych ( = 1, 2,..., ) powodue zmaę wyku, t. gdze e y = ϕ( ), ϕ: R D R. = ( 0, K, 010,,, K, 0) z( ϕ, D) = sup z( ϕ, ), T (-ty wektor edostkowy). W przypadku, gdy algorytm oprócz dzałań arytmetyczych obemue też dzałaa logcze ograczamy zbór D tak, aby wyk tych dzałań e zależały od. Udowodoo, że eśl zadae y = ϕ( ) ma stotych daych, to mmala lczba dzałań z( ϕ, D) / 2. Ozacza to, że lczba stotych daych określa oszacowae z dołu złożoośc oblczeowe. Oszacowae to est często realstycze, gdyż dla welu zadań o stotych daych zae są algorytmy, które wymagaą wykoaa C dzałań, gdze C ozacza stałą rzędu edośc. Isteą edak zadaa, dla których atańsze ze zaych algorytmów rozwązuą e kosztem welokrote wększe lczby dzałań ż lczba daych. Dalsze wadomośc a temat zasygalzowaych tu zagadeń moża zaleźć m.. w podręczkach [1] [3], [5] [6]. Na zakończee tego rozdzału przytaczamy zestaw czyków, które ależy brać pod uwagę przy umeryczym rozwązywau dowolego problemu. Możemy e podzelć a cztery grupy spróbować odpowedzeć a każde z podaych pytań. D + αe D ϕ( ) ϕ( + αe ), D = 12,, K, α m
12 12 I. Podstawowe poęca aalzy umerycze! Dae " Jake welkośc są daym rozwązywaego zadaa? " Jake przestrzee daych wyków (ch struktury ormy) alepe odpowadaą sesow fzyczemu rozwązywaego zadaa?! Uwarukowae zadaa " Czy zadae e est zbyt wrażlwe a zaburzea daych? " Czy w dae arytmetyce zadae w ogóle moża rozwązać? " Czy stee zadae rówoważe daemu, ale lepe uwarukowae? Przy odpowedzach egatywych a dwa ostate pytaa ależy stosować arytmetykę o wyższe precyz.! Jakość umerycza stosowaego algorytmu " Czy algorytm est umerycze stably? " Czy algorytm est umerycze poprawy?! Efektywość stosowae metody " Jaka est lub co wemy o złożoośc oblczeowe zadaa? " Jaka est efektywość ych metod rozwązuących day problem? " Czy rozpatrywaa metoda est optymala, a eśl e, czy est to atańsza ze zaych metod? Zadaa 1. Wykazać, że eśl lczba est lczbą maszyową, to dla dowolego aturalego est 1 fl( ) = ( 1+ ε), gdze ε < eps. 2. Różcę kwadratów dwóch lczb moża oblczyć z wzoru a a b b lub ( a+ b)( a b). Realzaca którego wzoru (algorytmu) w arytmetyce zmeopozycye est lepsza dlaczego? 3. Kedy zadae wyzaczea y = ϕ(,, ) = + + est dobrze uwarukowae? Dla akch wartośc daych zadae oblczea y = ϕ( 1, 2) = est źle uwa- rukowae? 5. Wskaźk uwarukowaa oblczea wartośc y = ϕ( ) = e zależy od. Jak o est? α
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoElementy arytmetyki komputerowej
Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoi = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoNiech Φ oznacza funkcję zmiennej x zależną od n + 1 parametrów a 0, a 1, K, a n, tj.
III. INTERPOLACJA 3.. Ogóe zadae terpoac Nech Φ ozacza fucę zmee x zaeżą od + parametrów a 0, a, K, a, t. Defca 3.. Zadae terpoac poega a oreśeu parametrów a ta, żeby da + da- ych par ( x, f ( x ( 0,,...,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Bardziej szczegółowoTyp może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoModelowanie i Analiza Danych Przestrzennych
Modelowae Aalza Daych Przestrzeych Wykład 8 Adrze Leśak Katedra Geoformatyk Iformatyk Stosowae Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe Jaką postać ma warogram daych z tredem? Moża o wylczyć teoretycze prostego
Bardziej szczegółowoMatematyczny opis ryzyka
Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowo11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:
//4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym)
Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL)
Bardziej szczegółowoMh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX. min. min
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORAORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX Probley prograowae celowego lorazowego to probley prograowae ateatyczego elowego, który oża sktecze zlearyzować
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI
Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowoANALIZA INPUT - OUTPUT
Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa
Bardziej szczegółowoModelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej
Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI
ĆWICZENIE 0 OPTYMALIZACJA STUKTUY CZUJKI TEMPEATUY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI Cel ćwczea: zapozae z metodam optymalzac wewętrze struktury mozakowe czuk temperatury stosowae w systemach sygalzac pożaru; wyzaczee
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowoProjekt 3 Analiza masowa
Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoMonika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoModele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoSprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych
Sprawdzee stateczośc skarpy wykopu pod składowsko odpadów koualych Ustalee wartośc współczyka stateczośc wykoae zostae uproszczoą etodą Bshopa, w oparcu o poższą forułę: [ W s( α )] ( φ ) ( φ ) W ta F
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoJ. Wyrwał, Wykłady z mechaniki materiałów METODA SIŁ Wprowadzenie
J. Wyrwał Wykłady z mechak materałów.. ETODA SIŁ... Wprowadzee etoda sł est prostą metodą rozwązywaa (obczaa reakc podporowych oraz wyzaczaa sł przekroowych) statycze ewyzaczaych (zewętrze wewętrze) układów
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowo8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoOKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)
Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoIV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowoPomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI
Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Zaawasowae metod umercze Programowae lowe (problem dual, program low w lczbach całkowtch) Dualość est kluczowm poęcem programowaa lowego. Pozwala a udowodee że otrzmwae rozwązaa są optmale. Zagadee duale
Bardziej szczegółowoMODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoReprezentacja krzywych...
Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
Bardziej szczegółowoFINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.
ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
Bardziej szczegółowoR j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.
c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym
Bardziej szczegółowo[ ] WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO. Wprowadzenie. Katarzyna Budny =, (1)
Katarzya Budy Uwersytet Ekoomczy w Krakowe WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO Wprowadzee Jedą z podstawowych mar spłaszczea czy też kocetrac rozkładu zmee losowe edowymarowe wokół średe est kurtoza
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowo