NOWE MOTODY MODELOWANIA SAMOPODOBNEGO RUCHU W SIECIACH W OPARCIU O PROCESY POISSONA Z MARKOWSKĄ MODULACJĄ 1

Transkrypt

1 STUDIA INFORMATICA 005 Voume 6 Number (63) Rober WÓJCICKI Poecha Śąsa, Isyu Iformay NOWE MOTODY MODELOWANIA SAMOPODOBNEGO RUCHU W SIECIACH W OPARCIU O PROCESY POISSONA Z MARKOWSKĄ MODULACJĄ Sreszczee. Aryuł omawa owe meody modeowaa ruchu samopodobego z wyorzysaem procesów Possoa z marowsą moduacją. Przedsawoe zosały meody badaa ocey samopodobeńswa oraz wy dopasowaa wygeerowaego ruchu samopodobego do rzeczywsych daych z zachowaem długoermowych zaeżośc. Słowa uczowe: srumeń Possoa z moduacją procesem Marowa, MMPP, proces Possoa, samopodobeńswo, modeowae, zaeżośc długoermowe. NEW METHOD OF MODELING SELF-SIMILAR DATA TRAFFIC USING MARKOV MODULATED POISSON PROCESS Summary. Ths paper descrbes a ew mehod of modeg sef-smar daa raffc compuer ewors usg Marov Moduaed Posso Process (MMPP). Ths mehod maches boh he auocovarace ad dsrbuo of he source process. Keywords: Marov moduaed Posso process, MMPP, Posso process, sefsmary, modeg, og-rage depedece.. Mode srumea zdarzeń z samopodobą charaerysyą Modeowae srumea zdarzeń saow jede z ajbardzej soych fragmeów aazy sysemu eeformayczego. Decyduje o jego doładośc oraz o echce reazacj daego sysemu. Srumeń a moża zapsać zarówo w posac wzrasającej czby Praca auowa fasowaa ze środów Komeu Badań Nauowych w aach jao proje badawczy r 3 TC 04 6

2 4 R. Wójcc odoowaych zdarzeń, ja w posac cągu odsępów czasowych pomędzy sąsedm zdarzeam. Najsarszym modeem srumea jes proces Possoa. W wyu badań rzeczywsego ruchu w sec zauważoo wysępowae wewęrzej oreacj w srumeach. Mode opary a procese Possoa e uwzgędał ej cechy geerowaego ruchu. Powsawały węc oeje modee, óre doładej odzwercedały rzeczywsy charaer przepływu w sec. Jeda wee z ch cechuje sę auooreacją, óra zaa bardzo szybo (w sposób wyładczy). Są o zw. procesy o róej pamęc. Tymczasem rozwój owych usług secowych sprawł, że mamy do czyea z ruchem, óry charaeryzuje sę zacze sejszą, daeosężą oreacją. Te fa spowodował porzebę weryfacj sejących ocepcj zaowocował powsaem mode srume o długej pamęc. Osae badaa wyazały, że modee wyorzysujące rozład Possoa e są w sae dołade oddać wybuchowośc ruchu TCP/IP [3, 6]. Dopero wyorzysae mode ruchu samopodobego umożwa reasycze oddae ruchu TCP/IP... Samopodobeńswo Samopodobeńswo o zjawso, óre zachowuje własośc saysycze modeu pommo zma sosowaej sa czasu. Najbardzej wdoczą cechą w charaerysyach ruchu secowego wsazująca a wysępowae samopodobeńswa jes wysępowae zagęszczeń oraz rozrzedzeń w odsępach pomędzy zdarzeam oraz bra rozmyca ej cechy pommo zasosowaa u różych sa czasu (p. seudy, muy, godzy) []. Formae powemy, że srumeń zdarzeń { } = =,,...,... jes samopodoby, jeże jego reazacje bez wzgędu a zasosowaą saę czasu =,,... { } = {,...} są do sebe podobe w sese rozładu prawdopodobeńswa { } = { } = d Da srumea zdarzeń z czasem dysreym wyróżamy dwe defcje samopodobeńswa [4] doładego asympoyczego.... Srumeń dołade samopodoby Srumeń zdarzeń jes dołade samopodoby, gdy ( S ) σ Var{ } = s β ˆ ρ ( ) ˆ ρ ( )

3 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu... 5 gdze: (s) jes s-roe sompresowaym a sa czasu srumeem obczamy go: = da = 0,,, 3,... s = s = s ( s ) Ozaczea: Var{} waracja zmeej osowej, σ waracja odsępów czasu pomędzy zdarzeam, ˆ ρ ( ) współczy oreacj (auooreacj) zmeych osowych, β mara szybośc zaaa waracj odsępów przesaowaego w czase srumea zdarzeń.... Srumeń asympoycze samopodoby Srumeń zdarzeń jes asympoycze samopodoby, gdy: β ( S ) σ Var{ } = s ˆ ρ ( ) ˆ ρ ( ) s Asympoycze samopodobeńswo uwdacza sę dopero przy dużym przesaowau srumea. Charaer samopodoby wyzacza rówość waracj srumea zdarzeń oraz rówoważość (ub zbeżość) współczya auooreacj zachodzącą bez wzgędu a zmaę sa czasu, a órej odmerzamy czas pojawaa sę zdarzeń worzących srumee... Mara samopodobeńswa Najczęścej sosowaą marą samopodobeńswa jes warość współczya Hursa H wprowadzoego przez hydrooga H. E. Hursa a podsawe obserwacj fuuacj pozomu Nu. Czym warość H jes bższa, ym zjawso wyraźej wyazuje charaer samopodoby. Zwąze pomędzy paramerem H przedsawoym w defcj β jes asępujący: H = β W ceu wyryca zjawsa samopodobeńswa moża oszacować warość parameru Hursa, mędzy ym poprzez zasosowae: wyresów saysy R/S w fucj sa czasu, wyresów waracj sompresowaego procesu w fucj sa czasu, meody warośc bezwzgędej,

4 6 R. Wójcc meody perodogramowej, esymaora Whe a..3. Esymacja współczya Hursa Do jedych z częścej sosowaych meod esymacj współczya Hursa aeżą: saysy R/S w fucj sa czasu, waracja przesaowaego procesu w fucj sa czasu, meoda warośc bezwzgędej. Powyższe wzuae meody, jaowe prose obczeowo, mają charaer jaoścowy służą do swerdzea samopodobeńswa badaego srumea zdarzeń. Uzysaa za ch pomocą warość współczya Hursa ma warość szacuową pozwaa a dagozę, czy baday srumeń zdarzeń ma charaer samopodoby (H>0.5), czy eż wysępują w m yo zaeżośc róoermowe współczy H jes bs 0.5. Do doładejszego obczea współczya Hursa wraz z obczeem przedzałów ufośc moża zasosować e meody. Do ach meod zacza sę p. meodę esymaora Whe a..3.. Meoda saysy R/S w fucj sa czasu Meoda wyorzysująca saysyę R/S aeży do ławych w mpemeacj, grafczych meod esymacj współczya Hursa jes ajsarszą meodą sosowaą do jego szacowaa. Saysyę R/S da cągu o sończoej długośc zarejesrowaych odsępów czasu pomędzy zdarzeam,,..., defujemy asępująco [4, 8]: Wprowadzamy śred odsęp czasu da zarejesrowaego cągu odsępów pomędzy zdarzeam: ˆ ( ) = = warację ego cągu: S ( ) = [ ˆ( )] = chwę pojawea sę -ego zdarzea T = =, da =,,..., Wymagae jes eż wprowadzee odchył rzeczywsej chw T pojawea sę -ego zdarzea od chw uśredoej ˆ ( ), gdze =,,...,. U = T ˆ ( ), da =,,...,

5 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu... 7 Saysya R/S jes zdefowaa w asępujący sposób: R( ) max(0, U, U,..., U ) m(0, U, U,..., U ) = S( ) S ( ) Da dużych warośc, da weu zjaws wyazujących samopodobeńswo spełoy jes asępujący warue: R( ) H ~ S( ) gdze H jes współczyem Hursa. W prayczych wyresach saysy R/S w fucj sa czasu sporządza sę w podwóje ogarymczym uładze współrzędych wówczas orzymujemy zaeżość: R( ) og ~ H og( ) + cos S( ) a wec ę prosą o współczyu eruowym H..3.. Meoda waracj przesaowaego procesu w fucj sa czasu Meodę waracj przesaowaego procesu w fucj sa czasu możemy zdefować asępująco [4]: Po dwuroym ogarymowau zaeżośc σ Var{ } = s z uwzgędeem H = β orzymujemy β og[ Var{ }] ~ og( σ ) + (H ) og gdze wyres powyższej zaeżośc w podwóje ogarymczym uładze współrzędych jes ą prosą o współczyu eruowym H. Jeże zarejesroway cąg zdarzeń jes samopodoby, o po wprowadzeu do powyższego wzoru waracj czoych z próby uzysamy cąg zoowaych puów (da różych sa czasu s) uładających sę w prosej Meoda zagregowaej waracj (m) Tworzymy zagregoway szereg X, dzeąc szereg badaych obserwacj o długośc N a bo o długośc m uśredając ażdy bo [8]. X m ( m) ) = X m = ( ) m+ (, da =,,..., N/m

6 8 R. Wójcc ( ) da ażdego m z zaresu od do N/ obczaa jes waracja prób X m ( ), [ N / m] ( m) ( m) VarX = ( X X ) ([ N / m] ) = Na wyrese zazaczae są puy og(s m) oraz og(m), óre, da wysarczająco dużej warośc m, uładają sę w ę prosą o ujemym współczyu eruowym rówym H Meoda warośc bezwzgędej (m) Tworzymy zagregoway szereg X, dzeąc szereg badaych obserwacj o długośc N a bo o długośc m uśredając ażdy bo [8]. X m ( m) ) = X m = ( ) m+ ( da =,,..., N/m Rozważając -y mome szeregu (m) X da dużych warośc m asymp- N / m ( m) AM ( m) = X ( ) X N / m = gdze X jes średą szeregów. Zagregoway szereg ( ) oycze dąży do Cm H (m) AM jes asympoycze proporcjoae do ( H ) m. Nao- (m) sząc wyczoe warośc AM a wyres w podwójej sa ogarymczej aprosymując uzysae puy meodą ajmejszych wadraów, orzymujemy prosą o achyeu do os X rówym H..4. Modee samopodobych srume zdarzeń Iseje wee sposobów modeowaa ruchu samopodobego. Do ajważejszych z ch aeżą reazacje wyorzysujące srumee Possoa z moduacją procesem Marowa (MMPP) [7], modee wyorzysujące superpozycję weu źródeł ON-OFF wyorzysujących rozład Pareo [3], a aże ułamowy ruch Browa, ułamowy mode auoregresyjy (FARIMA)..4.. Mode samopodobych srume zdarzeń wyorzysujący MMPP Wyorzysae srume Possoa z moduacją procesem Marowa pozwaa a uworzee easyczych geeraorów, óre moża ławo dososować do zadaych wymagań Procesy Marowa Jedym z ajprosszych mode srume zdarzeń uwzgędających oreację wewęrzą jes proces Marowa [4]. Przyszły sa procesu Marowa X(T + )=j zaeży od beżącego sau X(T )=, aomas e zaeży od saów wcześejszych. Właścwość Marowa oreśa

7 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu... 9 prawdopodobeńswo przejśca do asępego sau da wszysch chw czasu T < T <... < T < T + : Pr{ X ( T + ) = j X ( T ) =, X ( T ) =,..., X ( T ) = } = Pr{ X ( T+ ) = j X ( T ) = } Da jedorodego procesu Marowa przejśce w czase τ ezaeże od chw począowej ze sau do sau j oreśa prawdopodobeńswo waruowe: Pr{ X ( T ) = j X ( T ) = } = Pr{ X ( + τ ) = j X ( ) = } = p ( τ ) + Prawdopodobeńswa e worzą macerz wadraową o rozmarach M M: P ( τ ) = [ ( τ )] p j Prawdopodobeńswo bezwaruowe pobyu procesu Marowa w jedym ze saów π () = [ π ( ), π ( ),..., π dae jes wzorem: ( )] M M π j ( + Δ) = π ( ) pj ( Δ), da j =,,..., M = Prawdopodobeńswa e spełają rówae: dπ ( ) = π ( )Λ d Macerz Λ azywaa jes macerzą esywośc przejść pomędzy saam. Na główej przeąej macerzy esywośc zajdują sę współczy pozwaające oreść esywość wyjśca λ z -ego sau. Pozosałe współczy λ j są współczyam esywośc przejśca od sau do sau j. λ = λ = m Δτ 0 p ( Δτ ), da =,,..., M Δτ pj ( Δτ ) λj = m, da j;, j =,,..., M Δτ 0 Δτ Przysosowując jedorody proces Marowa do opsu srumea zdarzeń da jedorodego procesu Marowa zadaego macerzą esywośc przejść j Λ = λ, M [ j ], j= gdze da j =,,..., M λ j = λ jj, proces Marowa jes cągem soowych zma saów X(T ) =, X(T )=,...,X(T )=, X(T + )=j,..., a czas pobyu procesu Marowa [8, ] w sae X(T )= jes zmeą osową o rozładze wyładczym. λτ a ( τ ) = λe W chw T + zaończea pobyu w sae T = proces Marowa soowo przechodz do sau X(T + ) = j z prawdopodobeńswem rówym:

8 30 R. Wójcc q 0, = j = λ j j λ j, Jedorody proces Marowa może zosać zdeompooway a: łańcuch Marowa z macerzą przejść gdze q 0, = λ j λ j, = j j cąg zmeych osowych czas pobyu w sae. λτ a ( τ ) = λe M Q = [ qj ], j= odpowedzay za zmay saów, o rozładze wyładczym defujących Jedorody proces Marowa może geerować srumeń zdarzeń, gdy przyjmemy, że zdarzee pojawa sę w momece przejśca procesu Marowa do oejego sau. Ta proces może geerować srumeń zdarzeń z osowym odsępam czasu pomędzy zdarzeam o rozładze wyładczym, za óry odpowedzae są paramery łańcucha Marowa.... λ e λτ λ je λ jτ... q j.4... Geeraor MMPP Rys.. Proces Marowa jao srumeń zdarzeń Fg.. Marov process Srumeń Possoa z moduacją procesem Marowa (Marov Moduaed Posso Process, MMPP) jes zbudoway w asępujący sposób: beżący sa procesu Marowa moduuje rozład prawdopodobeńswa odsępów czasu pomędzy sąsedm zdarzeam. Iym słowy, załada sę, że zdarzea worzą srumeń Possoa, órego esywość zaeży od auaego sau procesu Marowa. Jeże moduujący proces Marowa [4] jes w sae X(T )=, gdze =,,..., M, o zdarzea pojawają sę zgode z rozładem wyładczym γ τ α ( τ ) = γ e, da =,,..., M. Ta rozład prawdopodobeńswa obowązuje przez cały czas pobyu procesu w sae X ( T ) =, da =,,..., M.

9 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu... 3 j λ e λτ λ e j λ jτ γ e γ τ γ j γ jτ e Rys.. Budowa srumea Possoa z moduacją procesem Marowa (MMPP) Fg.. Marov moduaed Posso Process (MMPP) Załadamy, że moduujący proces Marowa w srumeu MMPP jes oreśoy przez macerz esywośc przejść pomędzy poszczegóym saam Λ = λ M [ j ], j= aomas weor prawdopodobeńsw saów π = [ π, π,..., π M ] jes rozładem prawdopodobeńswa saów procesu Marowa da sau sacjoarego. Jeże proces Marowa jes w -ym sae, o zdarzea pojawają sę w odsępach czasu γ τ oreśoych rozładem wyładczym α ( τ ) = γ e. Da dwusaowego procesu MMPP, zwaego przełączaym srumeem Possoa SPP, macerz esywośc przejść przyjmuje asępującą posać λ λ Λ = λ λ Proces ON-OFF jes dysreym procesem dwusaowym, óry może być zbudoway za pomocą dwusaowego łańcucha Marowa, da órego macerz przejść wygąda asępująco pon pon Q = poff poff gdze p ON oreśa prawdopodobeńswo pozosaa w sae ON, aomas p OFF oreśa prawdopodobeńswo pozosaa w sae OFF. W sae ON, aywośc, geeroway jes srumeń zdarzeń z esywoścą λ, aomas w sae OFF geerowae zdarzeń jes wsrzymae.

10 3 R. Wójcc -P OFF P ON ON OFF P OFF -P ON Rys. 3. Budowa źródła ON-OFF Fg. 3. ON-OFF source Mupesacja srume ON-OFF pozwaa a sworzee asympoycze samopodobego srumea zdarzeń. ON-OFF jes szczegóym przypadem srumea Possoa z moduacją procesem Marowa (MMPP). MMPP załada, że zdarzea worzą srumeń Possoa, órego esywość zaeży od auaego sau procesu Marowa. Naomas ON-OFF jes dwusaowym procesem MMPP, w órym yo w jedym sae geerowae są zdarzea. Badaa prowadzoe w ych ośrodach wyazały, że złożee u źródeł ON-OFF o odpowedo dobraych paramerach pozwaa a geerację samopodobego ruchu w sec..5. Mode MMPP zachowujący długoermowe zaeżośc ruchu w sec Od czasu odryca samopodobeńswa oraz długoermowych zaeżośc w rasmsj daych w secach ompuerowych powsało wee prac a e ema [3, 6]. Najczęścej aazowae były dae pochodzące z ośroda badawczego w Becore, órych badae róweż powerdzło ae zaeżośc. W race badań zauważoo aże duży wpływ samopodobego charaeru przepływu daych w secach a wydajość rasmsj secowych. Do badań używao e yo rzeczywsych daych, ecz a coraz szerszą saę wyorzysywao symuaory ruchu secowego. Szybo oazało sę, że poprawość wyów badań symuacyjych se zaeży od jaośc źródła daych. Pojawło sę węc szereg prac doyczących worzea źródeł daych ja ajepej oddających rzeczywsy ruch w secach ompuerowych. Jedą z osewecj dooaych odryć sała sę porzeba worzea mode wyorzysujących cechy samopodobeńswa ruchu podczas badań symuacyjych ad rasmsją daych w secach. Na począu uzawao, że podczas badań zachowaa sysemów oejowych charaer geerowaego ruchu powe zachowywać oreację z rzeczywsym źródłem do oreśoego pozomu wyzaczoego za pomocą średch oraz auooreacj, óre są bezpośredo zwązae z masymaym rozmarem buforów oej. Prace w różych ośrodach [4] wyazały, że do doładego badaa zachowaa wydajośc sysemów oejowych e wysarcza saysyczy ops źródeł wyorzysujący warośc

11 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu średe oraz auooreacj. Wyazao, że średe długośc oeje mogą zacząco sę różć da mode wyorzysujących źródła daych o różych paramerach, ecz ach samych waroścach średej oraz auooreacj opsujących saysycze day mode..6. Procedura MMPP geerująca dae z długoermowym zaeżoścam W 003 rou Pauo Savador oraz Ru Vadas [9] zapropoowa procedurę przezaczoą do geerowaa daych z zachowaem długoermowych zaeżośc (Log Rage Depedeces LRD). Procedura a wyorzysuje procesy MMPP dobrze oddaje charaer ruchu w sec wraz z zaeżoścam LRD. Geerowae dae zachowują dużą zgodość z rzeczywsym ruchem w sec w zarese auoowaracj oraz szału rozładu. Ze wzgędu a rudośc zwązae z doborem paramerów pozwaających a jedoczese uzysae zgodośc geerowaych daych w zarese auoowaracj rozładu, zapropooway geeraor jes złożeem dwóch procesów MMPP. Jede z ch (proces L -MMPP), posadający L saów, przezaczoy jes do reguacj warośc auoowaracj. Naomas drug (proces M-MMPP), posadający M saów, do serowaa rozładem geerowaych daych. Proces e dodaowo charaeryzuje sę zerową auoowaracją w ceu umożwea serowaa ą waroścą za pomocą usaweń procesu L -MMPP. Proces wyowy zosał ozaczoy jao M L -MMPP jes złożeem procesów L -MMPP oraz M-MMPP. W [9] wyazao dużą zgodość wygeerowaych daych z rzeczywsym, pochodzącym z Becore. Przeprowadzoo aże badaa weryfujące zachowae geerowaego ruchu w porówau z rzeczywsym. Oazało sę, że e yo wyresy auoowaracj, czy eż rozładu wyazują dużą zgodość. Podczas badań symuacyjych modeu oejowego zasaego daym rzeczywsym oraz z geeraora ośc racoych paeów były bardzo zbżoe da wszysch badaych rozmarów buforów (od do 5000 paeów) oraz różych współczyów wyorzysaa łącza. Powyższe badaa wyazały wysoą przydaość zapropoowaego modeu do geerowaa ruchu w secach..6.. Dopasowae auoowaracj deyfacja sa czasu Bardzo ważym zadaem podczas worzea modeu źródła daych jes dopasowae auoowaracj modeu MMPP do daych rzeczywsych. Tae dopasowae wyoywae jes w u eapach poprzez zagregowae fucj wyładczych o podobym achyeu w ych samych saach czasu. Agorym Pauo Savadora oraz Ru Vadasa wygąda asępująco. Ozaczmy Y (), Y (),...,Y (L) jao -dmmpp, Y (L+) jao M-dMMPP oraz Y jao M L -MMPP. Procedurę dopasowującą paramery geeraora MMPP do rzeczywsych daych możemy podzeć a czery główe częśc:

12 34 R. Wójcc aprosymację auoowaracj daych rzeczywsych poprzez sumę ważoych fucj wyładczych wraz z deyfacją sa czasu, dopasowae szału rozładu M-dMMPP oraz -dmmpp, dopasowae macerzy przejść oraz rozładów Possoa da M-dMMPP, obczee paramerów modeu M L -MMPP. Auoowaracja emprycza Y Aprosymacja fucjam wyładczym a, b Ideyfacja sa czasu α, β Dopasowae szału rozładu M-dMMPP Aprosymacja przez sumę ważoych rozładów Possoa Obczee paramerów M L -dmmpp f L+ () A (L+), P (L+) Rozład empryczy f e () β, π (), d Zbudowae macerzy L-dMMPP A ( ), P ( ) A, P Rys. 4. Dagram przepływu serowaa procedury dopasowującej Fg. 4. Fow dagram of he ferece procedure W perwszym rou aprosymujemy empryczą auoowarację poprzez sumę K fucj wyładczych z dodam rzeczywsym wagam oraz ujemym sałym czasowym. Wyberamy K jao max, gdze max reprezeuje czbę puów auoowaracj rzeczywsych daych. Reazowae jes o za pomocą zmodyfowaego agorymu Proy [5], óry zwraca dwa weory: r r a = [ a,..., a K ] b = [ b,..., b K ], są oe wyorzysywae do aprosymacj fucj C K K r r ( a, b) = ae = b, da =,, 3,... W ym mejscu deyfowae są aże sładowe auoowaracj charaeryzujące róże sae czasu. Defujemy L różych sa czasu, w órych warość auoowaracj

13 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu maeje, a aże b, gdze =,..., K, óre podobe opada w ej samej ogarymczej sa. Załadając, że b b + j K j j, aomas zaps... reprezeuje zaorągee w górę do czby całowej, warość L jes obczaa za pomocą asępującego eracyjego agorymu: Zaczyając od = oraz = obczamy + jao og0 ( bj) og0 ( b ) }} + = m{ K +,f{ j : < j K > j Jeże + >K, o L przyjmuje warość, w przecwym wypadu jes remeowae, a asępe ro sę powarza. Zauważmy, że w szczegóośc og0 ( b ) og0 ( b ) =... og0 ( b ) ecz jeże +, o K = = + + ( ) og0 ( b ) og0 b <. + da j =,,..., L moża zauważyć, że opadae b do b + charaeryzuje e same sae czasu. Możemy węc zagregować sład = + w jede ompoe z wyorzysaem asępujących paramerów: oraz a + = a = + a = b β = α Paramery e mogą zosać użye do wypełea fucj auoowaracj procesu -dmmpp Y (). Wyorzysując zaeżość γ ( ) = Cov( Y, Y ) = π π λ λ ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oraz wcześejsze przeszałcea oazuje sę, że α = d π π oraz β = c gdze d = λ ( ) ( ) ( ) λ ( ) dzę emu fucję auoowaracj Y + Y Y L moża przedsawć jao L = a e β, da =,,... e c

14 36 R. Wójcc. Badaa symuacyje Po zampemeowau źródła daych opsaego przez Pauo Savadora oraz Ru Vadasa [9], do porówaa zgodośc geerowaych daych z daym rzeczywsym zosały użye szeroo zae og pochodzące z Becore. Wyorzysae zosały og o rozmarze moa próbe poc.tl oraz paug.tl. Da porówaa, za pomocą geeraora MMPP wygeerowao dae aże o rozmarze moa próbe. Zarówo da daych pochodzących z geeraora MMPP, ja z Becore zosały sporządzoe wyresy rozładu oraz auoowaracj. Do pomaru dopasowaa powyższych rozładów zasosowao współczy Thea (ag. Iequay Coeffce) zdefoway asępująco: IC = = = y ( y + y ) = y Współczy Thea pozwaa a zweryfowae sopa dopasowaa szeregów czasowych. Jego warość może sę wahać w przedzae od 0 do, gdze zero ozacza deae dopasowae szeregów. Wy esperymeów przedsawoo a wyresach pożej. Rys. 5. Rozład daych z geeraora MMPP oraz z Becore Fg. 5. Dsrbuo of MMPP ad Becore daa

15 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu Rys. 6. Auoowaracja daych pochodzących z geeraora MMPP oraz Becore Fg. 6. Auocovarace of MMPP ad Becore daa Powyższe wyresy wyazują dużą zgodość rozładów daych pochodzących zarówo z geeraora MMPP, ja z ogów zarejesrowaych w Becore. Powerdzeem ej zgodośc jes obczoa warość współczya Thea. Tabea Współczy Thea da daych pochodzących z geeraora MMPP oraz Becore Dae z Becore Współczy Thea da rozładu auoowaracj poc 0,0640 0,0747 W ceu wyazaa właścwośc samopodobeńswa wysępującego w daych pochodzących z geeraora MMPP zosał oszacoway współczy Hursa. Do jego szacowaa wybrao meodę zagregowaej waracj. Na podsawe orzymaego wyresu, meodą ajmejszych wadraów, dopasowao prosą o współczyu eruowym rówym 0,5. Na jej podsawe obczoo współczy Hursa, órego warość wyos 0,8768, co wyazuje samopodoby charaer geerowaych daych.

16 38 R. Wójcc Rys. 7. Warość współczya Hursa da daych pochodzących z geeraora MMPP Fg. 7. Hurs coeffce of MMPP daa LITERATURA. Czachórs T., Domańsa J., Socha A.: Samopodoby charaer aężea ruchu w secach ompuerowych. Suda Iformaca Vo., No. (43), Gwce 00.. Czachórs T.: Modee oejowe w ocee efeywośc sec sysemów ompuerowych. Pracowa Kompuerowa Jaca Samersego, Gwce Wger W., Lead W. E., Taq M. S., Wso D.: O he sef-smar aure of Ehere raffc (exeded verso). IEEE/ACM Trasacos o Neworg, February Papr Z.: Ruch eeomuacyjy przecążea sec paeowych. WKŁ, Warszawa Grzech A.: Serowae ruchem w secach eeformayczych. Ofcya Wydawcza Poech Wrocławsej, Wrocław Paxso V., Foyd S.: Wde area raffc: he faure of Posso modeg. IEEE/ACM Trasacos o Neworg, Fsher W., Meer-Heser K: The Marov-moduaed Posso process (MMPP) cooboo. Performace Evauao 8, Taqqu M. S.: Sasca mehods for og-rage depedece. Deparme of Mahemacs, Boso Uversy, hp://mah.bu.edu/peope/murad/mehods/dex.hm.

17 Nowe meody modeowaa samopodobego ruchu Savador P., Vadas R., Pacheco A.: Muscae Fg Procedure Usg Marov Moduaed Posso Process. Teecommucao Sysems 3:,, Czachórs T.: Aaycze modee oejowe w ocee efeywośc pracy sysemów sec ompuerowych. 3 Kogres Iformay Posej, Pozań, Car E.: Iroduco o Sochasc Processes. Prece-Ha, Egewood Cffs, New Jersey, USA, Larso H. J., Shuber B. O.: Probabsc Modes Egeerg Sceces Vo. I. New Yor Larso H. J., Shuber B. O.: Probabsc Modes Egeerg Sceces Vo. II. New Yor Haje B., He L.: O varaos o queue respose for pus wh he same mea, ad auocorreao fuco. IEEE/ACM Trasacos o Neworg 6(5), Osbore M., Smyh G: A modfed Proy agorhm for fg sums of expoea fucos. SIAM Joura of Scefc Compug 6, 995. Receze: Dr ż. Por Peca Wpłyęło do Redacj 5 sycza 005 r. Absrac Ths paper descrbes a ew mehod of modeg sef-smar daa raffc compuer ewors usg Marov-Moduaed Posso Process (MMPP). The ew mehod, o he bass of parameer fg procedure, maches boh he auocovarace ad dsrbuo of he source process. Ths paper aso descrbes sef smary ad a few popuar mehod of esmag he Hurs coeffce. Traffc maageme s a ey probem desgg hgh speed ewors. The goa of raffc maageme s o coro ewor cogeso, effcey uze ewor resources ad dever quay of servces o users. Traffc modes are a ey eeme ewor raffc egeerg, sce hey eabe research ad deveopme of compuer ewors. Adres Rober WÓJCICKI: Poecha Śąsa, Isyu Iformay, u. Aademca 6, 44-0 Gwce, Posa, rober.wojcc@pos.p.