Zadanie 1 Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eksportowym. Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie B 3 dukatom. W procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu: stal i drewno. Ich zużycie w kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie zawiera tabela: Halabarda A Halabarda B Zapas [t] Stal 1 2 20 Drewno 2 1 18 Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego surowca na każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek rudy, aby uzyskać odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży obu rodzajów halabard do ościennych księstw. 3. Czy konieczna będzie produkcja obu typów halabard? 4. O ile przekroczone zostanie zużycie rudy? 5. Jak zmieni się zysk maksymalny jeżeli zapas stali wzrośnie o 5 kg? Zadanie 2 (Jędrzejczak, Kukuła) Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymujemy 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl. 3. Czy koszt minimalny przekroczy 10 tys. zł? 4. Czy limit produkcji odpadów zostanie wykorzystany w całości? 5. Jakie ilości ropy obu gatunków trzeba będzie kupić jeżeli cena jednostki przerobowej ropy R1 wzrośnie dwukrotnie? Zadanie 3 Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje wózki dwóch rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje wyroby na poziomie odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne są pręty stalowe. Na jeden duży wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5 tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50 dag na mały, a zapas wynosi 200 kg. Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy tyle, co małych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych cenach. 3. Czy należy wyprodukować wyłącznie duże wózki? 4. Jaka ilość prętów stalowych pozostanie niewykorzystana? 1 z 7
5. Czy zwiększenie zapasu prętów o 1 tonę podniesie przychód maks. o 160 zł? Zadanie 4 Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawodników. Do wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finansowe, w jakie został wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu. Cena jednego opakowania Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wyboru jest zawartość trzech składników: S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki podaje tabela: Składnik Vitarevival Komandirskaja S1 2 2 S2 1 2 S3 3 6 Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2 oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący łączne koszty zakupu. 3. Czy składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej, wymaganej ilości? 4. Czy składnik S2 zostanie dostarczony w maksymalnej, wymaganej ilości? 5. Czy przy cenie Vitarevival wynoszącej 2,5 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie? Zadanie 5 Warsztat rękodzielniczy przygotowuje na najbliższy kiermasz gliniane dzbany dwóch rodzajów: A i B. Zysk ze sztuki A wynosi 60 a z 1 sztuki B 50 zł. Do wyrobu produktów używana jest glina, której zapas wynosi 150 kg. Następnie dzbany malowane są farbą, której warsztat posiada 30 litrów. Jednostkowe zużycie obu wymienionych surowców zawiera poniższa tabela: Produkt Glina [kg/szt.] Farba [l/szt.] Dzban A 1,5 0,2 Dzban B 2 0,3 Należy się spodziewać, że dzbanów typu A sprzedanych zostanie co najmniej 20 sztuk. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży dzbanów (zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). 3. Czy limit produkcji dzbanów A zostanie przekroczony? 4. Czy zapas gliny zostanie wykorzystany w całości? 5. Czy wzrost zapasu farby do 50 litrów spowoduje zmianę ceny dualnej? Zadanie 6 Kierownictwo firmy rozważa rozpoczęcie produkcji dwóch rodzajów (A i B) części do pralek. Przychód ze sprzedaży liczony jest jako suma kosztów i marży w przeliczeniu na 1 sztukę produktu i nie powinien być niższy niż 24 tys. zł. Części wytwarzane będą na maszynach, których limit nieprzerwanej pracy wynosi 10 godzin. Struktura zamówień ze strony odbiorców oznacza, że części A należy wyprodukować co najmniej 50 sztuk, zaś części B co najwyżej 120 sztuk. W poniższej tabeli znajdują się wartości kosztów, marży oraz czasu wytwarzania w przeliczeniu na 1 sztukę danego wyrobu: Rodzaj części Koszt [zł/szt.] Marża [zł/szt.] Czas wytw. [min.] A 80 20 3 B 90 30 2 2 z 7
Zbudować i rozwiązać liniowy model decyzyjny zapewniający maksymalny przychód z produkcji. 3. Czy limit przychodu całkowitego zostanie przekroczony? 4. Czy pozostanie rezerwa niewykorzystanego czasu pracy maszyn? 5. Czy należy produkować część A jeżeli koszt jej wytworzenia wzrośnie do 100 zł? Zadanie 7 Złotnik otrzymał zamówienie na produkcję biżuterii. Ma zamiar podzielić je na trzy rodzaje produktów: kolie, brosze i kolczyki. Do produkcji zużywać będzie złoto, srebro i platynę. Limity (zamówienie jest na wczoraj i nie ma czasu na uzupełnienie zapasów surowców) oraz wykorzystanie tychże surowców na jedną sztukę wyrobu prezentuje tabela: Zużycie jednostkowe [g] Kolia Brosza Kolczyki Limity [g] Złoto 0,3 0,2 0,3 15 Srebro 0,2 0,1 0,2 20 Platyna 0,2 0 0,4 30 Jednostkowy zysk dla kolii wynosi 45 zł, dla broszy 35 zł, a dla kolczyków 50 zł. Złotnika interesuje osiągnięcie jak najwyższego zysku z całego zamówienia. 3. Czy zapas srebra zostanie wykorzystany w całości? 4. Czy należy wyprodukować wszystkie rodzaje biżuterii? 5. O ile wzrośnie zysk maksymalny jeżeli zapas srebra zwiększymy o 10 g? Zadanie 8 Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych gatunków tego krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250 zł, 2-go gatunku 210 zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekroczyć 8000 zł. Herbata musi przejść obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się określoną zawartością garbników. Czas obróbki i zawartość garbników w zależności od gatunku podaje tabela: Herbata 1 Herbata 2 Herbata 3 Czas w komorze [min] 30 60 60 Zawartość garbnika [mg/100g] 15 14 20 Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w mieszance znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający minimum kosztów. 3. Czy należy kupić wszystkie gatunki herbaty? 4. Czy faktycznie poniesione koszty zakupu będą niższe od zakładanych o 2750 zł? 5. Czy przy cenie herbaty 1 wynoszącej 300 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie? 3 z 7
Zadanie 9 Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C (zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako suma kosztów produkcji pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji kluczowe znaczenie mają 2 surowce U1 i U2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe wartości kosztów, marży, czasu pracy i zużycia surowców podaje tabela: Produkt Koszt (zł) Marża (zł) U1 (kg) U2 (l) Czas (min) A 11 3 8 5 5 B 8 2 2 5 10 C 15 2 5 5 6 Zapas surowca U1 wynosi 3,4 t zaś U2: 20 hl. Dostępny limit czasu dla maszyn wynosi 50 godzin nieprzerwanej pracy. 3. Czy wykorzystane zostanie 2000 kg surowca U1? 4. Czy dostępny czas pracy będzie wykorzystany w całości? 5. Czy przy wzroście zapasu U2 o 10 hl, optymalny zysk wzrośnie o 1000 zł? Zadanie 10 Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m 2, druga 550 m 2 a trzecia 530 m 2. Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m 2 terenu. Negocjacje prowadzono oddzielnie z poszczególnymi właścicielami. Zaoferowano ceny za 1 m 2 wynoszące dla odpowiednich działek: 200, 180, 170 zł, przy czym możliwe jest wykupienie po tej cenie tylko części danej działki. Opracować plan wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu był jak najmniejszy. 3. Czy konieczny jest zakup wszystkich działek? 4. Czy zostanie wykupione 480 m 2 działki 2? 5. Czy przy cenie równej 250 zł/m 2 trzeciej działki, inwestor wykupi tę działkę w całości? Zadanie 11 Zakład mechaniczny MECHANIK otrzymał zamówienia na wykonanie kół zębatych, drążków sterowniczych, kół zamachowych. Zakład ten składa się z trzech oddziałów: frezarni, tokarni, montowni. Czas (w godzinach) potrzebny tym działom na wykonanie poszczególnych wyrobów zawiera tabela: Koła zębate Drążki sterownicze Koła zamachowe Frezarnia 1 5 4 Tokarnia 2 2 3 Montownia 1 1 2 Maksymalny czas pracy dla oddziałów to: 200 godzin dla frezarni i tokarni i 300 godzin dla montowni. Wiedząc, że jednostkowy zysk na kołach zębatych wynosi 10 zł, na drążkach 20zł, a na kołach zamachowych 18 zł należy wyznaczyć taki plan produkcji, aby zysk osiągany przez warsztat był maksymalny. 3. Czy czas pracy montowni zostanie wykorzystany w całości? 4 z 7
4. Czy któraś z części nie powinna być produkowana? 5. Jak zwiększenie czasu pracy frezarni o 100 godzin wpłynie na zysk maksymalny? Zadanie 12 Otwarto nową fabrykę zajmującą się montażem telewizorów. Podstawowy asortyment produkcji stanowią telewizory 32 i 36 oraz 42 calowe. Jednostkowy zysk ze sprzedaży oraz czas pracy specjalistycznej linii montażowej (mającej kluczowe znaczenie dla produkcji) podaje tabela: Telewizor 32 cale Telewizor 36 cali Telewizor 42 cale Czas pracy [min] 30 60 45 Zysk z 1 szt. [zł] 250 400 500 Limit pracy linii montażowej to 8000 godzin. Zarząd oczekuje, że zysk ze sprzedaży w analizowanym okresie nie spadnie poniżej 100 000 zł. Z analiz rynku wynika, że udział telewizorów 32 calowych powinien wynieść przynajmniej 20% ogólnej wielkości produkcji, lecz tego modelu należy wytworzyć nie więcej niż 1000 sztuk. Z uwagi na wcześniejsze zamówienia należy wyprodukować co najmniej 500 szt. odbiorników 36 calowych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że sprzedana zostanie cała produkcja). 3. Czy należy produkować wszystkie typy telewizorów? 4. Czy udział produkcji odbiorników 32 cal. wyniesie 20%? 5. Czy przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 500 zł struktura produkcji ulegnie zmianie? Zadanie 13 Poniżej znajduje się model decyzyjny dla pewnego zadania optymalizacyjnego: X A liczba zamontowanych elementów typu A [szt.] X B liczba zamontowanych elementów typu B [szt.] f(x) = 5X A + 6X B min (czas montażu [sek.]) 5X A + 6X B 28800 (czas montażu [sek.]) X A 1000 (wielkość produkcji A [szt.]) X A 2X B 0 (proporcja A do B [szt.]) 0,1X A + 0,15X B 100 (zużycie wody [l]) X A 0, X B 0 1. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu). 2. Czy należy montować obie części? 3. Czy woda zostanie zużyta w maksymalnej dopuszczalnej ilości? 4. Ile wyniesie minimalny czas montażu? 5 z 7
Rozwiązania zadań Zadanie 1 X A + 3X B max Stal: X A + 2X B 20000 Drewno: 2X A + X B 18000 Ruda: 2X A + 2X B 10000 A Zadanie 2 Zadanie 3 X A 0, X B 0 = 0, Xopt B = 10000, f max = 30000 7R 1 + 14R 2 min Benzyna: 16R 1 + 48R 2 48000 Olej: 20R 1 + 10R 2 20000 Odpady: 24R 1 + 14R 2 76000 R 1 0, R 2 0 R opt 1 = 600, R opt 2 = 800, f min = 15400 150W D + 100W M max Pręty: 10W D + 8W M 2500 Tworzywo: W D + 0,5W M 200 Proporcja: W D 2W M 0 W opt D Zadanie 4 Zadanie 5 W D 0, W M 0 opt = 160, WM = 80, f max = 32000 2V + 3K min S1: 2V + 2K 10 S2: V + 2K 14 S3: 3V + 6K 18 V 0, K 0 V opt = 5, K opt = 0, f min = 10 60A + 50B max Glina: 1,5A + 2B 150 Farba: 0,2A + 0,3B 30 Min A: A 20 A 0, B 0 A opt = 100, B opt = 0, f max = 6000 Zadanie 6 Zadanie 7 100A + 120B max Przychód: 100A + 120B 24000 Czas: 3A + 2B 600 Min A: A 80 Max B: B 120 A 0, B 0 A opt = 120, B opt = 120, f max = 26400 45X 1 + 35X 2 + 50X 3 max Złoto: 0,3X 1 + 0,2X 2 + 0,3X 3 15 Srebro: 0,2X 1 + 0,1X 2 + 0,2X 3 20 Platyna: 0,2X 1 + 0,4X 3 30 1 = 0, 2 = 75, 3 = 0, f max = 2625 Zadanie 8 250X 1 + 210X 2 + 300X 3 min Koszt: 250X 1 + 210X 2 + 300X 3 8000 Czas: 0,5X 1 + X 2 + X 3 200 Garbnik: 15X 1 + 14X 2 + 20X 3 350 1 = 0, 2 = 0, 3 = 17,5, f min = 5250 Zadanie 9 14X A + 10X B + 17X C max U1: 8X A + 2X B + 5X C 3400 U2: 5X A + 5X B + 5X C 2000 Czas: 5X A + 10X B + 6X C 3000 A Zadanie 10 X A 0, X B 0, X C 0 = 0, Xopt B = 0, Xopt C = 400, f max = 6800 200X 1 + 180X 2 + 170X 3 min Pow.: X 1 + X 2 + X 3 1000 Dz1: X 1 510 Dz2: X 2 550 Dz3: X 3 530 1 = 0, 2 = 470, 3 = 530, f min = 174700 6 z 7
Zadanie 11 10X 1 + 20X 2 + 18X 3 max Frezarnia: X 1 + 5X 2 + 4X 3 200 Tokarnia: 2X 1 + 2X 2 + 3X 3 200 Montownia: X 1 + X 2 + 2X 3 300 1 = 75, 2 = 25, 3 = 0, f max = 1250 Zadanie 12 250T 32 + 400T 36 + 500T 42 max Zysk: 250T 32 + 400T 36 + 500T 42 100000 Czas: 0,5T 32 + T 36 + 0,75T 42 8000 Udział T 32 : 0,8T 32 0,2T 36 0,2T 42 0 Limit T 32 : T 32 1000 Limit T 36 : T 36 500 T opt 32 = 1000, T opt 36 Zadanie 13 A T 32 0, T 36 0, T 42 0 = 500, T opt 42 = 3500, f max = 2200000 = 1000, Xopt B = 0, f min = 5000 7 z 7