Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs)

Rozdziaª Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs) Synteza regulatorów dla obiektów SISO Przykªad 2 Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x() () w którym a) A = 6 b) A =, b = ; 5 5 5 2 2 3 2 5 35 5 5 5 5, B = Posªuguj c si formuª Ackermanna, wyznacz wspóªrz dne wektora k linio-wego sprz»enia zwrotnego od stanu u(t) = k T x(t) (2) dla których macierz stanu zamkni tego ukªadu sterowania posiada warto±ci wªasne: a) {λ i } 2 i= = { 2 ± j2}, b) {λ i} 4 i= = { 6, 6, 4, 4} Rozwi zanie Rozwa»my ogólny przypadek modelu (), w którym x(t) R n, A R n n oraz b R n Zamkni ty ukªad sterowania takim obiektem, uzyskany po zastosowaniu omawianego sprz»enia od stanu (2), opisany jest równaniem ẋ(t) = A c x(t), x() (3)

2 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) gdzie A c R n n oznacza macierz stanu tego ukªadu A c = A bk T (4) Formuªa Ackermanna, odniesiona do obiektu o caªkowicie sterowalnej parze macierzy (A, b), pozwala na dowolne uksztaªtowanie wszystkich warto±ci wªasnych macierzy A c Zgodnie z t formuª wektor k R n oblicza si w nast puj cy sposób k = ϕ T A c (A)Mc T e n (5) gdzie M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), ϕ Ac (A) R n n jest warto±ci, jak wielomian charakterystyczny ϕ Ac (λ) macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania przyjmuje dla macierzowego argumentu A, za± e n = T R n jest wektorem jednostkowym Wielomian charakterystyczny ϕ Ac (λ) wyznacza si w oparciu o zbiór {λ i } n i= zadanych warto±ci wªasnych ϕ Ac (λ) = det (λi n A c ) = n i= (λ λ i) Warunkiem stosowalno±ci wzoru (5) jest odwracalno± macierzy M c Ze wzoru tego wynika ponadto,»e dla sterowalnego obiektu o jednym wej±ciu zadanie rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego posiada jednoznaczne rozwi zanie W obu rozpatrywanych przypadkach sterowany obiekt jest obiektem niestabilnym, odpowiednio: spectr A = { 4, 4} oraz spectr A = { 2,,, 2} a) Para (A, b) ma kanoniczn posta sterowaln Jest to zatem para caªkowicie sterowalna, dla której M c = Jak ªatwo sprawdzi : ϕ Ac (λ) = (λ λ )(λ λ 2 ) = 8 + 4λ + λ 2 Zatem, zgodnie ze wzorem (5), otrzymujemy k = = ( 8 24 64 4 24 + 4 6 24 = 4 + 6 2 ) T ( ) T

STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 3 b) W rozwa»anym przypadku zachodzi: ϕ Ac (λ) = 4 i= (λ λ i) = 576+ 48λ + 48λ 2 + 2λ 3 + λ 4 oraz M c = 5 5 3 5 3 35 5 5 Poniewa» rank M c = 4, zatem para (A, b) jest caªkowicie sterowalna Ponadto mamy ϕ Ac (A) = 92 585 84 293 968 64 68 72 348 585 344 57 484 585 84 869 Zauwa»my, i» ze wzoru (5) wynika,»e znajomo± macierzy odwrotnej Mc nie jest niezb dna przy wyznaczaniu wektora sprz»enia zwrotnego k: rozwi zuj c ukªad równa«liniowych Mc T a = e n, otrzymuje si pomocniczy wektor a R n, a nast pnie w ªatwy sposób oblicza si k = ϕ T A c (A)a Tak post puj c, uzyskano a = 4444 4444 3333 7778 T, a w ±lad za tym k = 4364444 454444 583333 677778 T Przykªad 22 Obiekt sterowania opisany jest modelem (), w którym A = 25 2 5 5 5 5 5 5 2 5 5 3 4 3, b = Posªuguj c si metod transformacji pary (A, b) do podobnej postaci kanonicznej sterowalnej, wyznacz wspóªrz dne wektora k sprz»enia zwrotnego (2), zapewniaj cego macierzy stanu ukªadu zamkni tego (3) zadane warto±ci wªasne {λ i } 4 i= = { 5, 5,, } Rozwi zanie Niech (Â, ˆb) oznacza par macierzy o kanonicznej sterowalnej postaci, w której  Rn n jest macierz Frobeniusa, za± ˆb R n jest 2

4 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) wektorem jednostkowym  = a a a 2 a n, ˆb = Wielomian charakterystyczny macierzy  ma posta ϕâ(λ) = det (λi n Â) = n a iλ i, a n = i= Jak ªatwo sprawdzi macierz  c =  ˆbˆk T gdzie ˆk = ˆk ˆk ˆkn T R n oznacza dowolny wektor, jest tak»e macierz Frobeniusa, w której kolejne elementy ostatniego wiersza przyjmuj warto±ci ( a i ˆk i ), i {,, n } Wynika st d,»e w przypadku obiektu dynamicznego opisanego równaniem ˆx(t) = ˆx(t)+ˆbu(t) sterowanie u(t) = ˆk T ˆx(t), oparte o liniowe sprz»enie od stanu ˆx(t) R n, umo»liwia dowolne ksztaªtowanie wielomianu charakterystycznego macierzy stanu odpowiedniego ukªadu zamkni tego ϕâc = det (λi n ( ˆbˆk T )) = n (a i + ˆk i )λ i i= Niech zatem (), gdzie A R n n oraz b R n, b dzie modelem sterowanego obiektu, o którym zakªada si,»e para macierzy (A, b) jest caªkowicie sterowalna Parze tej przyporz dkowa mo»na odpowiedni par podobn (Â, ˆb) = (Tc AT c, Tc b) o kanonicznej sterowalnej postaci, gdzie T c R n n oznacza stosown macierz podobie«stwa Zachodzi przy tym ˆM c = Tc M c, gdzie M c, ˆMc R n n s macierzami sterowalno±ci odpowiednich par: (A, b) oraz (Â, ˆb) Oznaczaj c przez W = ˆM c R n n odwrotno± macierzy sterowalno±ci pary (Â, ˆb), otrzymujemy wzór T c = M c W Jak mo»na pokaza, W jest symetryczn macierz górn antytrójk tn, u- tworzon ze wspóªczynników wielomianu charakterystycznego ϕ A (λ) = det (λi n A) = n i= a iλ i, a n =, macierzy A W = a a n 2 a n a 2 a n a n (6)

STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 5 Zakªadaj c,»e dost pne s wszystkie wspóªrz dne wektora stanu x(t) R n, ªatwo jest wyznaczy taki wektor k R n wspóªczynników sprz»enia zwrotnego (2), któremu odpowiada zadany wielomian charakterystyczny ϕ Ac = n i= α iλ i, α n =, macierzy stanu (4) zamkni tego ukªadu sterowania (3) Bior c pod uwag,»e x(t) = T cˆx(t), otrzymujemy poszukiwany wzór k = Tc T ˆk = Mc T ˆM T c ˆk w którym wspóªrz dne wektora ˆk wyznacza si, porównuj c odpowiednie wspóªczynniki rozwa»anych wielomianów charakterystycznych ˆk = α a α a α n a n T Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem stosowalno±ci opisanej metody jest odwracalno± macierzy T c, co sprowadza si do postulatu odwracalno±ci macierzy sterowalno±ci M c Przechodz c do numerycznych danych przykªadu, kolejno obliczamy: M c = 7 6 2 2 2 5 5 2 4 8 24 ϕ A (λ) = a + a λ + a 2 λ 2 + a 3 λ 3 + λ 4 = 4 + 4λ + 3λ 2 4λ 3 + λ 4 W = ϕ Ac = (λ λ )(λ λ 2 )(λ λ 3 )(λ λ 4 ) = α + α λ + α 2 λ 2 + α 3 λ 3 + λ 4 4 3 4 3 4 4 = 25 + 5λ + 325λ 2 + 3λ 3 + λ 4, T c = 3 9 3 7 5 2 8 5 8 35 4 oraz ˆk = 254 496 322 34 T Mamy rank M c = 4, co oznacza,»e macierz T c jest macierz nieosobliw Zatem, rozwi zuj c ukªad równa«t T c k = ˆk, wyznaczamy wektor poszukiwanych wspóªczynników sprz»enia zwrotnego k = 3457882 2268 36976 8353 T

6 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Przykªad 23 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) (7) y(t) = c T x(t) (8) w których A R n n, b R n oraz c R n Obiekt ten sterowany jest w ukªadzie zamkni tym przedstawionym na rys 2 Zakªadaj c,»e wszystkie zmienne stanu x(t) s dost pne, w ukªadzie tym zastosowano wewn trzn p tl sprz»enia od stanu oraz zewn trzn p tl sprz»enia od wyj±cia obiektu y(t) (sprz»enie poªo»eniowe) z caªkowaniem uchybu e(t) = r(t) y(t), gdzie r(t) jest wielko±ci zadaj c Rys 2 Przykªad 23: schemat strukturalny ukªadu sterowania Nale»y wyznaczy warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = k k n T R n oraz warto± wspóªczynnika k n+ R w gªównym torze sterowania, które zapewni macierzy stanu rozwa»anego ukªadu zamkni tego zadane warto±ci wªasne {λ i } n+ i= Postawiony problem jest zatem zadaniem ±ledzenia z rozmieszczaniem biegunów odpowiedniej transmitancji ukªadu zamkni tego Rozwa» przypadek: A = oraz {λ i } 3 i= 25 75 5 = { 5, 5, 5}, b =, c = Rozwi zanie Niech x(t) = x(t) T x n+ (t) T R n+ b dzie rozszerzonym wektorem stanu ukªadu zamkni tego, gdzie x n+ (t) jest wyj±ciem czªonu caªkuj cego uchyb sterowania (zob rys 2) Na tej podstawie mo»emy zapisa,»e ẋ n+ (t) = e(t) = r(t) cx(t) oraz u(t) = k T x(t) + k n+ x n+ (t) Ukªad zamkni ty jest zatem opisany równaniem ẋ(t) ẋ n+ (t) = Ax(t) + b( k T x(t) + k n+ x n+ (t)) r(t) c T x(t)

STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 7 = A bk T k n+ b c T x(t) x n+ (t) n + r(t) Niech k = k T k n+ T R n+ oznacza stosownie rozszerzony wektor nastawialnych parametrów ukªadu sterowania Mamy zatem A bk T k n+ b c T = A n c T b k T Z powy»szego rozumowania wynika,»e postawiony problem sprowadza si do zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy Ā c = Ā b k T (9) gdzie: Ā = A n c T R (n+) (n+) b, b = R n+ Zadanie to mo»na rozwi za znanymi metodami (por przykªad 2 oraz 22) pod warunkiem,»e para (Ā, b) jest caªkowicie sterowalna Zauwa»my przy tym,»e spectr Ā = spectr A {} Jak ªatwo pokaza, macierz sterowalno±ci Mc R (n+) (n+) pary (Ā, b) przyjmuje posta M c = b Ab A n b c T b c T A n b = b A c T n n M c gdzie M c R n n jest macierz sterowalno±ci pary (A, b), wynikaj cej z modelu sterowanego obiektu Rozwa»any rozszerzony obiekt, opisany równaniami: x(t) = Āc x(t) + n y(t) = c T x r(t) jest zatem caªkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy caªkowicie sterowalna jest para (A, b) oraz speªniony jest dodatkowy warunek rank A b c T = n + Dla numerycznych danych rozpatrywanego przykªadu zachodzi: M c = 5, rank M c = 2

8 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) A b rank c T = rank 25 75 5 = 3 co oznacza,»e postawione zadanie jest wykonalne Wniosek ten potwierdza analiza rz du macierzy sterowalno±ci pary (Ā, b): M c = 3 5 5 Wielomian charakterystyczny macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania wynika z zadanych warto±ci wªasnych tej macierzy: ϕ Āc (λ) = (λ + 5) 3 = 25 + 75λ + 5λ 2 + λ 3 Wektor k obliczamy, stosuj c formuª Ackermanna (por przykªad 2) k = M T c ϕ T Ā (Ā) c = 43 2 25 Operatorowa transmitancja zamkni tego ukªadu sterowania dana jest wzorem (por rys 22) Y (s) R(s) = c T ( si n+ Āc) n który w rozwa»anym przypadku daje Y (s) R(s) = 25 25 + 75s + 5s 2 + s 3 Rys22 Przykªad 23: symulacyjny schemat ukªadu sterowania

STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 9 Przykªad 24 Obiekt opisany równaniami (7) oraz (8), w których A R n n, b R n oraz c R n, sterowany jest w ukªadzie zamkni tym przedstawionym na rys 23 Zakªadaj c,»e wszystkie wspóªrz dne wektora stanu s dost pne, w ukªadzie tym zastosowano p tl sprz»enia zwrotnego od stanu x(t) oraz gaª ¹ równolegª wiod c do wyj±cia obiektu y(t) Rys23 Przykªad 24: schemat strukturalny ukªadu sterowania Wyznacz takie warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = k k n T R n oraz wspóªrz dnych wektora gaª zi równolegªej m = m m n T R n, które zapewni zadan posta operatorowej transmitancji ukªadu zamkni tego G rc (s) C(s)/R(s) Rozwa» nast puj cy model sterowanego obiektu oraz ukªadu zamkni tego: oraz A = 2 6 5 5 2 4 Rozwi zanie Niech C(s) R(s) =, b = + s (4 + s)(5 + s) 2, c = N (s) = c T adj (si n A)b = n i= n is i D (s) = det (si n A) = n 5 5 i= a is i, a n = Zachodzi zatem c T (si n A) b = N (s)/d (s) Z rys 23 wynikaj zale»no±ci: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) u(t) = r(t) k T x(t) y(t) = (c + m) T x(t) X(s) = (si n A) bu(s) U(s) = R(s) k T X(s) Y (s) = (c + m) T X(s)

ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) z których ªatwo jest wyznaczy stosown transmitancj ukªadu zamkni tego G rc (s) = (c + m)t (si n A) b + k T (si n A) b = N (s) + m T adj (si n A)b D (s) + k T adj (si n A)b = N(s) D(s) Na podstawie powy»szego wzoru wnioskujemy,»e wektor k wpªywa tylko na mianownik D(s) tak zapisanej transmitancji, za± wektor m tylko na jej licznik N(s) daj c dowolnego uksztaªtowania wielomianu D(s), musimy zaªo»y caªkowit sterowalno± pary (A, b) Istnieje zatem taka nieosobliwa macierz T c R n n, dla której para podobna (Â, ˆb) = (Tc AT c, Tc b) przyjmuje posta kanoniczn sterowaln (por przykªad 22) Macierz t obliczamy ze wzoru T c = M c W, w którym M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), za± W R n n jest odwrotno±ci macierzy sterowalno±ci ˆMc R n n pary (Â, ˆb) (por wzór (6)) Wielomiany N(s) oraz D(s) mo»na uzale»ni od elementów pary (Â, ˆb): N(s) = N (s) + ˆm T adj (si n Â)ˆb D(s) = D (s) + k T adj (si n Â)ˆb przy czym ˆk = T T c k oraz ˆm = T T c M Kªad c N(s) = n i= η is i D(s) = n i= α is i, α n = gdzie wspóªczynniki {η i } n i= oraz {α i } i= n wynikaj z wymaga«dotycz - cych po»adanego rozmieszczenia biegunów i zer transmitancji G rc (s) oraz jej statycznego wzmocnienia, otrzymujemy przesªank nast puj cych formuª, pozwalaj cych na wyznaczenie poszukiwanych wektorów k oraz m: oraz k = Tc T ˆk, ˆk = α a α a α n a n T m = Tc T ˆm, ˆm = η n η n η n n n T Przechodz c do numerycznych danych tego przykªadu, otrzymujemy: N (s) = n + n s + n 2 s 2 = 2s 2 D (s) = a + a s + a 2 s 2 + s 3 = 3 5s + s 2 + s 3 N(s) = η + η s + η 2 s 2 = + s + s 2 D(s) = α + α s + α 2 s 2 + s 3 = + 65s + 4s 2 + s 3 M c = 7 5, T c =

STEROWANIE OBIEKTAMI SISO Para (A, b) jest caªkowicie sterowalna, rank M c = 3 Na tej podstawie wyznaczamy k = 55 7 42 T m = 55 485 T co jak ªatwo sprawdzi prowadzi do wymaganej transmitancji zamkni tego ukªadu sterowania (c + m) T si 2 (A bk T ) b = + s + 65s + 4s 2 + s 3 Zauwa»my na koniec,»e pary (A, c T ) oraz (A bk T, c + m) w ogólno±ci nie musz by caªkowicie obserwowalne Przykªad 25 Obiekt sterowany o jednym wej±ciu opisany jest modelem (), w którym A R n n oraz b R n Zakªadaj c caªkowit sterowalno± pary (A, b), udowodnij,»e k R n para (A bk T, b), opisuj ca odpowiedni ukªad zamkniety, jest tak»e caªkowicie sterowalna Co mo»na powiedzie o kanonicznej postaci Jordana macierzy stanu A bk T takiego ukªadu? Rozwa» przypadek macierzy o zaªo»onych wielokrotnych warto±ciach wªasnych Rozwi zanie Zaªó»my,»e para (A, b) jest caªkowicie sterowalna, za± para (A bk T, b) nie jest caªkowicie sterowalna Mo»na zatem wskaza tak liczb λ R,»e rank λi n (A bk T ) b < n (por przykªad 7) Na tej podstawie wnioskujemy o istnieniu wektora n v R n, dla którego zachodzi v T λi n (A bk T ) b = (n+) A to oznacza, i» v T (λi n A) = n oraz v T b = W konsekwencji otrzymujemy zaprzeczenie zaªo»enia o caªkowitej sterowalno±ci pary (A, b) Warto±ci wªasne macierzy A bk T mog by dowolnie ksztaªtowane, w szczególno±ci macierz ta mo»e posiada wielokrotne warto±ci wªasne Macierz A bk T musi by macierz prost (cykliczn ), której kanoniczna posta Jordana charakteryzuje si tym,»e ka»dej wielokrotnej warto±ci wªasnej odpowiada tylko jedna klatka Zadanie 2 Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu u(t) opisany jest równaniem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), gdzie x(t) R n oznacza wektor stanu Oblicz warto±ci wªasne spectr A macierzy stanu tego obiektu Nast pnie, zakªadaj c dost pno± wszystkich wspóªrz dnych wektora stanu oraz posªuguj c si dowoln ze znanych metod, wyznacz taki wektor k R n wspóªczynników sprz»enia zwrotnego u(t) = k T x(t), przy którym macierz

2 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) stanu zamkni tego ukªadu sterowania rozwa»anym obiektem posiada zadane warto±ci wªasne: spectr (A bk T ) = {λ i } n i= Rozpatrz nast puj ce przypadki: 3 a) A = 2 2 2 b) A = 5 c) A = 3 d) A = 2 2 e) A = 3 9 f) A = g) A = 2 h) A = i) A = j) A = k) A = l) A =, b =, b =, b =, b =, b =, b =, b = 35 35 3 5 2 8 2 2 9 9 2 3 6 6 6 3 5 5, b =, {λ i } 2 i= = { 6, 6};, {λ i } 2 i= = { 4, 3};, {λ i } 2 i= = {, 5};, {λ i } 2 i= = { 2, 2};, {λ i } 2 i= = { 8, 8}, { 6, 6};, {λ i } 2 i= = { 5 ± j32};, {λ i } 2 i= = { 3, 2};, b =, b =, b = 3 2 2 4 2 2 2 2,, b = {λ i } 4 i= = { 5, 5, 4, 4},,, {λ i } 3 i= = { 2,, 5}; {λ i } 3 i= = { 8, 8, 8}; {λ i } 3 i= = { 5, 5, 4}; {λ i } 3 i= =, { 5, 4, 3}, {, 8, 6};

STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 3 Odpowied¹ We wszystkich rozpatrywanych przypadkach pary (A, b) s caªkowicie sterowalne (w przypadkach h oraz k pary te maj form kanoniczn sterowaln ) Odpowiednie rozwi zania maj posta : a) spectr A = { 3, 2}, k = 23 6 T ; b) spectr A = {, }, k = 625 225 T ; c) spectr A = { 4, 4}, k = 625 225 T ; d) spectr A = {, }, k = 6 5 T ; T 43 6, e) spectr A = { 4, 3}, k = T 29 269 ; f) spectr A = {±j}, k = 9924 T ; g) spectr A = { 2, }, k = 4 4 T ; h) spectr A = {5,, 2}, k = 2 7 T ; i) spectr A = { 4, 2, 4}, k = 2 2 2 T ; j) spectr A = { 3, 2, }, k = 8 T ; T 66 36 8, k) spectr A = {, 2, 3}, k = T 486 77 3 ; l) spectr A = {,, 2, 2}, k = 49 53 54 48 T Zadanie 22 Obiekt dynamiczny opisany równaniami (7) oraz (8) sterowany jest w ukªadzie zamkni tym pokazanym na rys 2, zachodzi przy tym: A R n n, b R n oraz c R n Oszacuj wspóªrz dne wektora k = k T k n+ T R n+ nastawialnych parametrów, które zapewniaj macierzy stanu tego ukªadu zaªo»one warto±ci wªasne {λ i } n+ i= Wyznacz operatorow transmitancj G ry (s) Y (s)/r(s) tak uzyskanego ukªadu sterowania Zadanie obejmuje nast puj ce przypadki: a) A = 5 45 5 35, b = {λ i } 3 i= = { 2, 2, 2}; b) A =, b = 3 4 {λ i } 3 i= = { 4, 4, 4}; 3, c = 2, c =,,

4 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) c) A = 2 3, b = {λ i } 3 i= = { 3, 3, 3}; 2 d) A =, b = 2 {λ i } 3 i= = { 4, 2, 2}; 2 e) A = 2, b = {λ i } 3 i= = { 6, 6, 4, 4}; 5 5 f) A = 5 5, b = 5 5 {λ i } 3 i= = { 4, 4, 3, 2} 2, c =, c = 3,,, c = 2 2, c = Odpowied¹ Rozwi zania, odpowiadaj ce rozwa»anym przypadkom, maj posta :, 2 2 a) spectr A = { 2, 2}, k = 7 9 26667 T Y (s) R(s) = 8 8s 8 + 2s + 6s 2 + s 3 ; b) spectr A = { 3, }, k = 45 8 32 T Y (s) R(s) = 64 64 + 48s + 2s 2 + s 3 ; c) spectr A = {, 2}, k = 475 425 675 T Y (s) R(s) = 27 45s 27 + 27s + 9s 2 + s 3 ; d) spectr A = { 2, }, k = 45 38 53333 T Y (s) R(s) = 6 6s 6 + 2s + 8s 2 + s 3 ; e) spectr A = { 2,, } k = 5 458 58 288 T Y (s) R(s) = 576 26s 864s 2 576 + 48s + 48s 2 + 2s 3 + s 4 ; f) spectr A = { 5,, },

STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 5 k = 5925 84875 98375 48 T Y (s) R(s) = 96 + 288s + 92s 2 96 + 28s + 62s 2 + 3s 3 + s 4 Zadanie 23 Obiekt dynamiczny opisany równaniami (7) oraz (8) sterowany jest w ukªadzie zamkni tym pokazanym na rys 23 Wyznacz wspóªrz dne wektorów k oraz m, które zapewni temu ukªadowi wymagan posta transmitancji operatorowej G cr (s) C(s)/R(s) Obliczenia przeprowad¹ dla nast puj cych przypadków: a) A = 5 2 2 3 5, b = C(s) R(s) = 2( + s) 2 (4 + s)(5 + s)(6 + s) ; 27 26 8 b) A =, b = 27 27 8 c) A = d) A = C(s) R(s) = 26 (6 + s) 3 ; 2 3 3 C(s) R(s) = 4(5 + s) 2 (4 + s) 2 (8 + s) 2 ; 2 3 3, b =, b = C(s) R(s) = 25( + s) 2 (5 + s) 2 ( + s) 2 = 25 (5 + s) 2 Odpowied¹ Rozwi zania dano poni»ej: a) k = 7 525 395, m = 2 7 46 44, c =, c =, c = ;, c =, 9,,,

6 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) b) k = c) k = d) k = 6965 258 35 42875 48 47 8467 52367 432 3967 464667, m =, m =, m = 8956 39568 44 3 2 56667 666667 ; ; 94792 665 49792 92967 W przypadkach b oraz d para (A, c T ) nie jest caªkowicie obserwowalna, ponadto w przypadku d para (A bk T, (c + m) T ) nie jest tak»e caªkowicie obserwowalna 2 Synteza obserwatorów stanu Przykªad 22 Autonomiczny obiekt dynamiczny o wektorze stanu x(t) R n oraz jednym wyj±ciu y(t) R opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t) Obserwator stanu o peªnym rz dzie (por rys 24) dany jest w tym przypadku równaniem ˆx(t) = Aˆx(t) + le y (t) w którym ˆx(t) R n oznacza oszacowanie stanu, e y (t) = y(t) ŷ(t) jest bª dem oceny wyj±cia obiektu ŷ(t) = c T ˆx(t) R, za± l R n jest wektorem wspóªczynników sprz»enia zwrotnego (wzmocnieniem obserwatora) Obowi zuje zatem wzór ˆx(t) = A oˆx(t) + ly(t) () któremu odpowiada równanie ewolucji bª du oszacowania stanu e x (t) = x(t) ˆx(t) R n ė x (t) = A o e x (t), e x () () gdzie A o R n n oznacza macierz stanu obserwatora, dan wzorem A o = A lc T (2) Kªad c a) A =, c = ;

2 OBSERWATORY STANU 7 Rys 24 Przykªad 22: schemat obserwatora stanu autonomicznego obiektu o jednym wyj±ciu b) A = 75 5 25 25 5 225 25 5 25, c = a nast pnie posªuguj c si metod Ackermanna, wyznacz wspóªrz dne wektora l, zapewniaj cego macierzy stanu obserwatora zadane warto±ci wªasne: a) {λ i } 2 i= = {, }, b) {λ i} 4 i= = { 6, 6, 6} Rozwi zanie Metoda Ackermanna, zastosowana do obiektu o caªkowicie obserwowalnej parze macierzy (A, c T ), pozwala na dowolne uksztaªtowanie wszystkich warto±ci wªasnych macierzy stanu obserwatora A o Odpowiednia formuªa gªosi,»e l = ϕ Ao (A)M o e n (3) gdzie M o R n n oznacza macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ), ϕ Ao (A) R n n jest warto±ci przyjmowan przez wielomian charakterystyczny obserwatora dla macierzowego argumentu A, za± e n = T R n jest wektorem jednostkowym Niech {λ i } n i= b dzie zbiorem zadanych warto±ci wªasnych macierzy A o Wielomian charakterystyczny tej macierzy wynika zatem ze wzoru ϕ Ao (λ) = det (λi n A o ) = n i= (λ λ i) Warunkiem stosowalno±ci wzoru (3) jest odwracalno± macierzy M o Zauwa»my,»e rozwi zuj c ukªad równa«liniowych M o a = e n, mo»na wyznaczy pomocniczy wektor a R n, który nast pnie wykorzystuje si zgodnie ze wzorem l = ϕ Ao (A)a Post powanie takie pozwala unikn odwracania macierzy M o

8 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Jak ªatwo sprawdzi, w obu rozpatrywanych przypadkach mamy do czynienia z niestabilnym obiektem: w przypadku a zachodzi spectr A = {, }, za± w przypadku b, odpowiednio, spectr A = {, 5, } a) W tym przypadku mamy M o = Para (A, c T ) jest zatem caªkowicie obserwowalna Poniewa» ϕ Ao (λ) = (λ λ )(λ λ 2 ) = + 2λ + λ 2, przeto, korzystaj c ze wzoru (3), otrzymujemy l = = ( 2 + 2 2 = b) Drugi przypadek dotyczy macierzy M o = + 75 5 25 625 25 625 2 ) oraz ϕ Ao (λ) = 3 i= (λ λ i) = 26+8λ+8λ 2 +λ 3 Poniewa» rank M o = 3, zatem para (A, c T ) jest caªkowicie obserwowalna Ponadto zachodzi ϕ Ao (A) = 456875 58875 38875 26875 4875 256875 26875 58875 86825 Z ukªadu równa«m o a = e n otrzymujemy a = 2 T Wektor wspóªczynników sprz»enia zwrotnego obserwatora ma zatem posta l = 75 5 2325 T Przykªad 222 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t), gdzie: A = 25 5 2 2 9 5 5 5, c = 2 5

2 OBSERWATORY STANU 9 Posªuguj c si metod transformacji przyporz dkowuj cej danej parze (A, c T ) par podobn o postaci kanonicznej obserwowalnej, wyznacz wspóªrz dne wektora l sprz»enia zwrotnego, deniuj cego obserwator stanu o peªnym rz dzie, które zapewni macierzy stanu tego obserwatora zadane warto±ci wªasne { 3, 4, 6} Rozwi zanie Zadanie rozwi zuje si w sposób analogiczny do przedstawionego w przykªadzie 22 W tym celu wykorzystuje si macierz T o R n n dan wzorem T o = (W M o ) (4) b d c macierz relacji podobie«stwa, przyporz dkowuj cego danej caªkowicie obserwowalnej parze (A, c T ) par (Â, ĉt ) = (To AT o, c T T o ) o postaci kanonicznej obserwowalnej, w której  jest transponowan macierz Frobeniusa, za± Rn n ĉ = e n R n jest odpowiednim wektorem jednostkowym  = a a a 2 a n, ĉ = Macierz M o R n n, wyst puj ca we wzorze (4), oznacza macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ), a symetryczna macierz górna antytrójk tna W R n n dana wzorem (6) jest odwrotno±ci macierzy obserwowalno±ci pary ˆM o (Â, ), ĉt W = zale»no± : T o = Mo ˆM o Wektor wzmocnie«obserwatora dany jest formuª R n n Obowi zuje zatem nast puj ca u»yteczna l = T oˆl w której wektor ˆl = α a α n a n T R n jest wektorem resztowym, b d cym wynikiem porównania wielomianów charakterystycznych, odpowiednio, macierzy stanu obserwatora ϕ Ao (λ) = det (λi n A o ) = n i= (λ λ i) = n i= α iλ i oraz macierzy stanu obiektu ϕ A (λ) = det (λi n A) = n i= a iλ i, przy czym {λ i } n i= jest zbiorem zadanych warto±ci wªasnych macierzy stanu obserwatora (2) Tak post puj c, po sprawdzeniu obserwowalno±ci pary (A, c T ), uzyskano: T o = 4 5 3 2 2 2 8 5 oraz l = 5275 225 4925

2 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Przykªad 223 Niech (7) oraz (8), gdzie A R n n, b R n oraz c = T R n, bedzie modelem w przestrzeni stanu pewnego obiektu dynamicznego Jak widzimy, pierwsza wspóªrz dna x (t) R wektora stanu x(t) = x (t) x(t) T T R n tego obiektu jest pomiarowo 'bezpo±rednio' dost pna Podaj równania opisuj ce algorytm obserwatora pozostaªych wspóªrz dnych x(t) R n wektora stanu Wyznacz posta takiego obserwatora o zredukowanym (minimalnym) rz dzie w przypadku, gdy A = 6 6, b =, c = za± wymagane warto±ci wªasne macierzy stanu obserwatora to {λ, λ 2 } = { 2 ± j2 3} Rozwi zanie Kªad c A A A = 2 A 2 A 22 b, b = b gdzie A R, A 2 R (n ), A 2 R n, A 22 R (n ) (n ), b R oraz b R n, otrzymujemy równanie ewolucji wektora x(t) ẋ(t) = A 22 x(t) + (A 2 x (t) + bu(t)) oraz odpowiednie równanie 'obserwacji' tego wektora ẋ (t) A x (t) b u(t) = A 2 x(t) Wynikaj ce st d równanie obserwatora o wzmocnieniu l R n ma posta ˆx(t) = (A 22 la 2 )ˆx(t) + A 2 x (t) + bu(t) + l(ẋ (t) A x (t) b u(t)) gdzie ˆx(t) R n jest oszacowaniem wektora x(t) Jak ªatwo sprawdzi, obowi zuje równo± ˆx(t) lẋ (t) = (A 22 la 2 )(ˆx(t) lx (t)) + ((A 22 la 2 )l + A 2 la )x (t) + (b lb )u(t) Niech zatem z(t) R n b dzie pomocniczym sygnaªem, zdeniowanym jak nast puje z(t) = x(t) lx (t)

2 OBSERWATORY STANU 2 Rówanie opisuj ce ewolucj oszacowania ẑ(t) = ˆx(t) lx (t) R n tego sygnaªu dane jest przeto wzorem ẑ(t) = (A 22 la 2 )ẑ(t) + (5) ((A 22 la 2 )l + A 2 la )y(t) + (b lb )u(t) Bª d e x (t) = x(t) ˆx(t) R n oszacowania wektora x(t) wyra»a si jako e x (t) = e z (t) = z(t) ẑ(t) Z faktu,»e ˆx(t) = (A 22 la 2 )ˆx(t) + A 2 y(t) + bu(t) + la 2 x(t), wynika nast puj ce równanie ė z (t) = A o e z (t), e z () charakteryzuj ce zachowanie si tego bª du, gdzie A o R (n ) (n ) jest macierz zdeniowan wzorem A o = A 22 la 2 (6) Jak zatem widzimy, zadanie syntezy obserwatora o zredukowanym rz dzie jest równowa»ne zadaniu 'stabilizacji macierzy' A o, spectr A o C (por (2)) Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem istnienia rozwi zania tego zadania jest przeto sterowalno± (wykrywalno± ) pary (A 22, A 2 ) Bior c pod uwag,»e ˆx(t) = ẑ(t)+ly(t), otrzymujemy poszukiwany wzór na oszacowanie ˆx(t) R n wektora stanu ˆx(t) = (n ) I n ẑ(t) + l y(t) (7) Schemat strukturalny rozwa»anego obserwatora o minimalnym rz dzie pokazano na rys 25, gdzie F z = A o R (n ) (n ) (n ) G xz = R n (n ) I n g zy = A o l + A 2 la R n g zu = b lb R n g xy = R n l W naszym przypadku mamy: A =, A 2 =, A 2 = 6, A 22 = 6

22 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Rys 25 Przykªad 223: schemat zredukowanego obserwatora stanu obiektu SISO b =, b = Macierz obserwowalno±ci pary (A 22, A 2 ) przyjmuje tu posta macierzy jednostkowej M o = A 2 A 2 A 22 = z czego wynika, i» para ta jest caªkowicie obserwowalna Wektor wzmocnie«obserwatora l R 2 wyznaczamy zgodnie z formuª Ackermanna (3) l = ϕ Ao (A 22 )M o w której wielomian macierzowy ϕ Ao (A 22 ) odpowiada zaªo»onym warto±ciom wªasnym macierzy stanu tego obserwatora St d ϕ Ao (A 22 ) = 6A 22 + 4A 22 + A 2 22 = l = 2 7 5 2 22 7 Stosuj c wzory (5) oraz (7), otrzymujemy poszukiwane równania obserwatora o minimalnym rz dzie ẑ(t) = 2 28 6 ẑ(t) + 3 52 y(t) + u(t)

2 OBSERWATORY STANU 23 ˆx(t) = ẑ(t) + 2 7 y(t) Wyznaczmy dla rozwa»anego obiektu obserwator o peªnym rz dzie, przyjmuj c jako warto±ci wªasne macierzy stanu A o R n n takiego obserwatora (2) liczby 2 ± j2 3 oraz 5 Jak ªatwo zauwa»y, macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ) jest macierz jednostkow I 3 Wektor wzmocnie«obserwatora l R 3 obliczamy tak»e w oparciu o metod Ackermanna, która w tym przypadku daje gdzie l = ϕ Ao (A) ϕ Ao (A) = 8A + 36A + 9A 2 + A 3 = Na tej podstawie otrzymujemy l = 3 7 74 25 3 8 4 7 42 95 co prowadzi do nast puj cego modelu obserwatora o peªnym rz dzie (por wzór () ˆx(t) = 3 7 5 6 ˆx(t) + 3 7 y(t) + u(t) Taki sam wynik uzyskamy, stosuj c 'bezpo±redni ' metod obliczania wspóªrz dnych wektora l = l l 2 l 3 T z równania det(λi 3 (A lc T )) = ϕ Ao (λ) Rozwi zaniem tak uzyskanego ukªadu równa«jest wy»ej podany wektor l l = 3 6l + l 2 = 25 l + 6l 2 + l 3 = 74

24 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Na zako«czenie porównajmy wªasno±ci obu rozwa»anych obserwatorów stanu Niech x() = T oraz ˆx() = T, co czyni e x () = T Ker c T oraz e x () = T, gdzie e x (t) = x(t) ˆx(t) oznacza bª d oszacowania stanu Ewolucj tego bª du opisuj wzory (por rys 26): obserwator o peªnym rz dzie e x (t) = exp obserwator o minimalnym rz dzie e x (t) = 3 7 5 6 ( exp 2 28 6 t e x () ) t e x () Rys 26 Przykªad 223: ilustracja bª dów estymacji stanu Zadanie 22 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t), w których: A = 5 25 5 2 5 5 25 5 3, c = 2

2 OBSERWATORY STANU 25 W oparciu o metod transformacji przyporz dkowuj cej parze (A, c T ) par podobn o postaci kanonicznej obserwowalnej nale»y wyznaczy taki wektor l sprz»enia zwrotnego obserwatora o peªnym rz dzie, który zapewni macierzy stanu tego obserwatora warto±ci wªasne = { 5, 5, 2 ± j2 3} Odpowied¹ Po stwierdzeniu obserwowalno±ci pary (A, c T ), wyznaczono: T o = 48 2963 4259 585 259 85 296 926 444 3889 7778 2556 63 2593 6852 737, l = 3 4 45 7 gdzie T o jest macierz relacji podobie«stwa, przyporz dkowuj cego danej caªkowicie obserwowalnej parze (A, c T ) par o postaci kanonicznej obserwowalnej Zadanie 222 Model obiektu dynamicznego o jednym wyj±ciu y(t) dany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t), gdzie x(t) R n jest wektorem stanu Obserwator stanu o peªnym rz dzie opisany jest równaniem (), w którym l R n oznacza wektor wspóªczynników odpowiedniego sprz»enia zwrotnego Oblicz warto±ci wªasne macierzy A, a nast pnie posªuguj c si dowoln znan metod wyznacz wspóªrz dne takiego wektora l, którym odpowiada macierz stanu obserwatora A o R n n (zob (2)) o zadanych warto±ciach wªasnych: spectr A o = {λ i } n i= Rozwa» nast puj ce przypadki: 2 a) A = 2 b) A = 5 c) A = 3 2 d) A = 3 9 e) A = f) A = 2, c =, c =, c =, c =, c = 4 2 5 5 2 2, c =, {λ i } 2 i= = { 9, };, {λ i } 2 i= = { 5, 5};, {λ i } 2 i= = {, 5};, {λ i } 2 i= =, {λ i } 2 i= =, {λ i } 2 i= = { 3, 4}, { 6, 8}; { 2, 2}, { 2 ± j2}; { 2, 2}, { 2, 8}, { 8, 8};

26 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) g) A = h) A = i) A = j) A = k) A = l) A = 4 6 3 5 2 8 2 2 9 9 2 3 3 2 6 4 6 6, c =, c =,, c =, c =, c = 8 4 3 2 59 5 5 45 4 22 36 82 266 228 67 {λ i } 4 i= = { 5, 4, 3, 2} 2 2, {λ i } 3 i= =,, c = {λ i } 3 i= =, {λ i } 3 i= =, {λ i } 3 i= = {λ i } 3 i= = 2, { 4, 4, }, { 4 ± j2, }; { 8, 8, 8}, { 8 ± j3, 8}; { 3, 3, 3}, { 6, 3, 3}, { 6, 6, 3}, { 6, 6, 6}; { 4, 2, }, { 4, 4, 2}, { 4, 4, 4}, { 5, 5, 5}; { 5, 4, 3}, { 5, 2, 9}; Odpowied¹ We wszystkich rozpatrywanych przypadkach pary (A, c T ) s caªkowicie obserwowalne (w przypadkach g oraz k pary te maj posta kanoniczn obserwowaln ) Odpowiednie rozwi zania dane s poni»ej: a) spectr A = {, 2}, l = 2 46 T ; b) spectr A = {, }, l = 2 3 T ; c) spectr A = {4, 4}, l = 356667 63333 T ; T, d) spectr A = { 4, 3}, l = T 4 ; e) spectr A = {±j}, l = 22 4 T, 3 2 T ;

3 SYNTEZA REGULATORÓW ZE SPRZ ZENIEM OD STANU 27 f) spectr A = { 2, }, l = 75 5 T, 225 45 T, 525 255 T ; g) spectr A = {36 ± j2432, 5278}, l = 6 92 24 T, 2 96 24 T ; h) spectr A = { 4, 2, 4}, l = 26667 22 22 T, 797 25375 22 T ; i) spectr A = { 3, 2, }, l = T, 4 T, 35 6 T, 3275 775 675 T ; j) spectr A = { 4,, 2}, l = T 2, T 3333 36667, T 5, T 2374 723 556 ; k) spectr A = {, 2, 3}, l = 66 36 8 T, 626 42 42 T ; l) spectr A = {,, 2, 2} l = 399485 28747 733333 4484247 T 3 Synteza regulatorów ze sprz zeniem od stanu Przykªad 23 Obiekt opisany równaniami ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) oraz y(t) = Cx(t), gdzie x(t) R n jest wektorem stanu, u(t) R p oznacza sygnaª pobudzaj cy, za± y(t) R q jest wyj±ciem tego obiektu, jest sterowany w ukªadzie zamkni tym pokazanym na rys 27 Ma my tu zatem do czynienia z liniowym (anicznym) sprz»eniem od wyj±cia obiektu za po±rednictwem oszacowania stanu ˆx(t) dostarczanego przez obserwator o peªnym rz dzie Zakªadaj c zerow warto± zmiennej referencyjnej r x (t), wyznacz model w przestrzeni stanu ukªadu zamkni tego dla zmiennych stanu x(t) oraz e x (t) = x(t) ˆx(t) Sformuªuj warunek stabilno±ci tego ukªadu

28 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Rys 27 Przykªad 23: schemat ukªadu sterowania ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu poprzez obserwator o peªnym rz dzie Rozwi zanie Kªad c u(t) = K ˆx(t), otrzymujemy ẋ(t) = Ax(t) BK ˆx(t) Bior c pod uwag,»e ˆx(t) = x(t) e x (t), zapisujemy równanie ẋ(t) = (A BK)x(t) + BKe x (t) Na tej podstawie, uwzgl dniaj c stosowne równanie ró»niczkowe opisuj ce ewolucj bª du oszacowania stanu e x (t) (por wzory () oraz (2)), wyznaczamy nast puj cy model rozwa»anego zamkni tego ukªad sterowania ẋ(t) ė x (t) = A BK BK x(t) n n A LC e x (t) y(t) = C q n x(t) e x (t), x() e x () Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem asymptotycznej stabilno±ci tego ukªadu jest speªnienie inkluzji spectr (A BK) spectr (A LC) C Problem syntezy sterowania rozwi zuje si zatem projektuj c w sposób 'autonomiczny' odpowiedni regulator od stanu oraz odpowiedni obserwator stanu Zauwa»my,»e ukªad zamkni ty mo»na opisa podobnym modelem w przestrzeni stanu ẋ(t) ˆx(t) = A BK LC A BK LC y(t) = C q n x(t) ˆx(t) x(t) ˆx(t), x() ˆx(t)

3 SYNTEZA REGULATORÓW 29 Relacj podobie«stwa mi dzy podanymi modelami opisuje wzór x(t) e x (t) In = n n I n I n x(t) ˆx(t) Zadanie 23 Obiekt SISO opisany modelem w przestrzeni stanu w postaci równa«(7) oraz (8), gdzie A = 26, b =, c = sterowany jest w ukªadzie zamkni tym o schemacie pokazanym na rys 28 Rys 28 Zadanie 23: schemat ukªadu sterowania obiektem SISO ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu poprzez obserwator o peªnym rz dzie Wyznacz wektor wzmocnienia l R 2 obserwatora stanu o peªnym rz dzie zapewniaj cy spectr (A lc T ) = { 8, 8} oraz wektor liniowego sprz»enia stabilizuj cego k R 2, dla którego spectr (A bk T ) = { 8 ± j24} Poka»,»e rozwa»any ukªad zamkni ty mo»na opisa, przyjmuj c odpowiednie modele wej±ciowo-wyj±ciowe jak na rys 29, gdzie G p (s) oznacza operatorow transmitancj sterowanego obiektu, za± G r (s) jest transmitancj równowa»nego regulatora (korektora szeregowego) Okre±l transmitancj tego regulatora

3 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Rys 29 Zadanie 23: schemat ukªadu sterowania z korektorem szeregowym Odpowied¹ Parametry regulatora od stanu oraz obserwatora stanu wynosz, odpowiednio k = 296 36 T, l = 6 846 T Tak du»e wzmocnienie l wynika z» danej szybkiej reakcji obserwatora Jak ªatwo zauwa»y, dla oszacowania stanu ˆx(t) obowi zuje równanie ˆx(t) = (A bk T lc T )ˆx(t) + ly(t) Transmitancja równowa»nego korektora szeregowego ma zatem posta G r (s) = k T (si 2 A + bk T + lc T ) l = 3697 + 7782s 52 + 96s + s 2 W ogólym przypadku ukªadu sterowania ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu za po±rednictwem obserwatora o peªnym rz dzie (rys 27) operatorowy model odpowiedniego korektora szeregowego dany jest wzorem A BK LC L G r (s) = K q p W celu sprawdzenia wykonanych rachunków wyznaczymy jeszcze równanie charakterystyczne ukªadu zamkni tego z rys 28 Jak si okazuje, zgodnie z oczekiwaniem, zachodzi 576 + 3744s + 36s 2 + 96s 3 + s 4 = (9 + 36s + s 2 )(64 + 6s + s 2 ) Zadanie 232 Obiekt SISO o modelu w przestrzeni stanu, wyznaczonym przez równania (7) oraz (8), gdzie A R n n, podlega sterowaniu w ukªadzie zamkni tym w oparciu o oszacowanie stanu dostarczane przez obserwator o minimalnym rz dzie (rys 2, oznaczenia zgodne z przykªadem 223) Wyznacz modele w przestrzeni stanu autonomicznego ukªadu zamkni tego (r x (t) ), przyjmuj c jako zmienne stanu par (x(t), e z (t)) oraz par (x(t), ẑ(t)) Nast pnie rozwi» zadanie 23 przy zaªo»eniu sprz»enia zwrotnego, w którym stosuje si zredukowany obserwator stanu o macierzy z warto±ci wªasn λ = 8

3 SYNTEZA REGULATORÓW 3 Rys 2 Zadanie 232: schemat ukªadu sterowania obiektem SISO ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu poprzez obserwator o o minimalnym rz dzie Odpowied¹ Modele w przestrzeni stanu maj posta oraz ẋ(t) ẑ(t) ẋ(t) ė z (t) przy czym = = A bk T bk T (n ) n F z y(t) = c T n x(t) e z (t) x(t) e z (t) A bk T g xy c T bk T (g zy g zu k T g xy )c T F z g zu k T y(t) = c T n x(t) ẑ(t) k = k k, x(t) ẑ(t) x() e z (), x() ẑ() Relacj podobie«stwa mi dzy tymi modelami charakteryzuje wzór x(t) e z (t) I = n l I n I n n (n ) x(t) ẑ(t) Operatorowy model odpowiedniego korektora szeregowego (rys 29) dany jest wzorem Fz g G r (s) = zu k T g zy g zu (k + k T l) k T k + k T l

32 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Poszukiwany obserwator o minimalnym rz dzie charakteryzuje si wzmocnieniem l = 8, za± stosowny korektor szeregowy ma w tym przypadku posta czªonu forsuj cego faz G r (s) = 3 + 584s 6 + s 4 Synteza regulatorów i obserwatorów dla obiektów MIMO Przykªad 24 Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x() (8) b dzie modelem pewnego obiektu dynamicznego, gdzie A R n n, za± B R n p jest macierz o peªnym kolumnowym rz dzie rank B = p, przy czym < p < n Sterowanie tym obiektem w ukªadzie zamkni tym, przy zaªo»eniu peªnej wiedzy o stanie x(t), jest podporz dkowane liniowemu przepisowi u(t) = Kx(t) (9) Nale»y wyznaczy takie elementy macierzy wzmocnie«k R p n zastosowanego regulatora, aby macierz stanu ukªadu zamkni tego A c R n n, dana wzorem A c = A BK (2) posiadaªa zadane warto±ci wªasne spectr A c = {λ i } n i= Dla uproszczenia zakªada si,»e A c jest macierz diagonalizowaln oraz {λ i } n i= Rozwa» nast puj ce przypadki modeli obiektów (8) o dwóch R (p = 2) torach sterowania: a) A = b) A = 2 2 2 4 4 7 7, B = 2, B =, 2 {λ i } 4 i= = { 5, 2,, } {λ i } 3 i= = { 6, 4, 4};

4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 33 Rozwi zanie Macierz B R n p o peªnym kolumnowym rz dzie przedstawiamy jako (2) B = B B I p (n p) p przy czym kolumny pomocniczej podmacierzy B R n (n p) dobieramy w taki sposób, aby rank B B = n, co oznacza,»e Im B Im B = R n Reprezentacja (2) macierzy B nie jest oczywi±cie jednoznaczna Zapiszmy B B = B B (22) gdzie B R p n oraz B R (n p) n Jak zatem ªatwo zauwa»y, Im B Ker B Z kolei, niech a R n b dzie dowolnym wektorem z przestrzeni Ker B Z równo±ci BB + BB = I n wynika,»e BB a = a Zachodzi przeto Ker B Im B Na tej podstawie wnioskujemy,»e Ker B = Im B Wygodnie jest poªo»y co daje (zob dodatek) Im B = Im B = Ker B T B = B + = (B T B) B T, B = B + = ( B T B) BT (23) Omawiana metoda syntezy regulatora opiera si na zaªo»eniu,»e istnieje taka nieosobliwa macierz podobie«stwa (macierz parametrów) P R n n, dla której P A c P = Λ (24) gdzie Λ = diag {λ i } n i= Rn n jest odpowiedni macierz diagonaln Ze wzorów (2), (2) oraz (24) wyznaczamy poszukiwan macierz wzmocnie«regulatora B (A P ΛP ) (25) oraz ukªad równa«na macierz parametrów B (A P ΛP ) = (n p) n (26) Powy»szy wzór mo»na interpretowa jako pewne ograniczenie naªo»one na t macierz Im (A P ΛP ) Im B Podana inkluzja stanowi zatem konieczny warunek istnienia rozwi zania zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych Oczekujemy ponadto, i» rank (A

34 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) P ΛP ) p Na podstawie wzoru (25) wnioskujemy,»e standardowy wska¹nik uwarunkowania macierzy κ(p ) = P 2 P 2 = σ max (P )/σ min (P ) mo»e sªu»y jako dogodna miara numerycznej wra»liwo±ci rozwa»anej metody syntezy regulatora Wyró»niaj c w macierzy P kolumny p i R n, P = p p n, wzór (26) zapisujemy jako p i Ker B (A λ i I n ), i {,, n} (27) Jak ªatwo zauwa»y, nierówno± dim Ker B (A λ i I n ) > jest zawsze speªniona, i mamy bowiem (zob dodatek) dim Ker B (A λ i I n ) = p + dim (Im B T Ker (A λ i I n ) T ) = dim Ker (A λ i I n ) + dim (Im B Im (A λ i I n )) Gdy λ i spectr A, wtedy Ker (A λ i I n ) T = { n } oraz Im (A λ i I n ) = R n Oznacza to,»e maksymalna dopuszczalna algebraiczna krotno± takiej zadanej warto±ci wªasnej λ i nie mo»e przekracza liczby wej± steruj cych p Dla warto±ci wªasnej λ i spectr A mo»na» da krotno±ci wi kszej od p tylko wtedy, gdy przekrój Im B T Ker (A λ i I n ) T nie jest trywialn przestrzeni zerow Zbiór wektorów parametrów {p i } n i= musi by zbiorem liniowo niezale»nym Nale»y zatem podkre±li,»e wymaganie liniowej niezale»no±ci podzbioru takich wektorów, które odpowiadaj zadanej wielokrotnej warto±ci wªasnej macierzy stanu ukªadu zamkni tego jest warunkiem koniecznym, lecz nie wystarczaj cym, istnienia rozwi zania rozwa»anego zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych W ogólnym przypadku zadanych warto±ci wªasnych {λ i } n i= koniecznym warunkiem istnienia tego rozwi zania jest zachowanie sterowalno±ci pary (A, B) (patrz wzory (2) oraz (24) a tak»e przykªad xxxx) Przypadek a dotyczy obiektu niestabilnego, w którym spectr A = { 2, 2, 2} Przyst puj c do wyznaczania macierzy wzmocnie«k R 2 3 sprz»enia od stanu, zauwa»my przede wszystkim, i» niezb dne jest u»ycie dwóch (p = 2) dost pnych torów sterowania, gdy» pary (A, B(:, )) oraz (A, B(:, 2)) zwi zane z modelami ukªadów zamkni tych, w których do sterowania wykorzystuje si tylko jeden tor nie s caªkowicie sterowalne Jak ªatwo bowiem sprawdzi, odpowiednie macierze sterowalno±ci maj posta : M c = 2 4 2 2 4 8

4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 35 M c = 2 4, M c2 = 2 2 4 8 za± rank M c = 3, rankm c = oraz rankm c2 = 2 Ze wzgl du na prostot macierzy B, ªatwo znajdujemy przykªadow wymagan reprezentacj (2), w której B = T Zgodnie ze wzorem (23) mamy: B = 5 Dla zakªadanych warto±ci wªasnych zachodzi:, B = B (A λ I 3 ) = 8 B (A λ 2 I 3 ) = 6 Przykªadowe liniowo niezale»ne wektory nale» ce do odpowiednich przestrzeni zerowych (por wzór (27)) to: p = 8, p 2 =, p 3 = Warto podkre±li,»e w przypadku podwójnej warto±ci wªasnej λ 2 = λ 3 niezb dne jest wyznaczenie dwóch liniowo niezale»nych wektorów p 2 oraz p 3 z przestrzeni Ker B (A λ 2 I 3 ) Macierz P R 3 3 ma zatem posta P = 8 6 6, κ(p ) = 598 Macierz wzmocnie«regulatora obliczamy ze wzoru (25), otrzymuj c 6 24 5 Sprawd¹my powy»szy wynik, obliczaj c P (A BK)P = 6 4 4

36 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) W przypadku b tak»e mamy do czynienia z obiektem niestabilnym (spectr A = { 7, 7, 4, 4}) oraz potrzeb u»ycia dwóch torów sterowania Przyjmijmy nast puj c (przykªadow ) posta macierzy B R 4 2, wyst puj c we wzorze (2) B = W konsekwencji, zgodnie ze wzorem (22), mamy B = 2, B = Zauwa»my,»e przy takim wyborze macierzy B nie obowi zuje interpretacja podmacierzy B oraz B dana wzorem (23) Na tej podstawie wyznaczamy potrzebne macierze B (A λ i I 4 ): i = : i = 2 : i = 3, 4 : 9 27 8 6 2 5 4 7 3 Przykªadowe bazy przestrzeni Ker B (A λ i I 4 ) maj posta (wybrano reprezentacje caªkowitoliczbowe): i = : span i = 2 : span i = 3, 4 : span,,, 25 52 9 4 8 6 5 42 4

4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 37 Odpowiedni macierz parametrów P okre±la zatem wzór P = 25 4 5 52 8 42 9 6 4 Wska¹nik uwarunkowania tej macierzy κ(p ) = 34 2 W efekcie, korzystaj c ze wzoru (25), otrzymujemy macierz wzmocnie«regulatora 4 3546667 4393333 33333 Taki sam wynik uzyskamy, stosuj c przykªadowe, ªatwe do wyznaczenia i lepiej uwarunkowane ('wyskalowane'), macierze parametrów: P = P = 3579 65 35743 8 5 3 3579 65 35743 35743 8 5 3 3, κ(p ) = 2679 2, κ(p ) = 2785 2 Przykªad 242 Rozwa»aj c standardowy problem rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania liniowym obiektem (8), przyjmujemy warunki podane w przykªadzie 24 W szczególno±ci zakªadamy tu caªkowit sterowalno± pary (A, B) modelu tego obiektu Dla dwóch przypadków (a oraz b) modeli sterowanych obiektów, opisanych w przykªadzie 24, wyznaczymy odpowiednie macierze sprz»enia od stanu, zwracaj c przy tym uwag na numeryczne apekty (wra»liwo± ) syntezy takich regulatorów Rozwi zanie Macierz B R n p o peªnym kolumnowym rz dzie mo»na przedstawi w czynnikowej postaci B = U W (n p) p (28) gdzie U = U U R n n jest macierz ortonormaln o podmacierzach U R n p oraz U R n (n p), za± W R p p jest stosown macierz

38 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) nieosobliw Zachodzi przy tym Im U = Im B, przy czym kolumny podmacierzy U tworz ortonormaln baz przestrzeni Im B Powy»sz reprezentacj macierzy B ªatwo jest uzyska w oparciu o rozkªad svd tej macierzy B = U Σ p (n p) p V T w którym V R p p oznacza czynnik ortonormalny, za± Σ p R p p jest nieosobliw macierz diagonaln Tak post puj c, kªadziemy W = Σ p V T Analogicznie jak to uczyniono w przykªadzie 24 zakªadamy,»e istnieje taka nieosobliwa macierz podobie«stwa (macierz parametrów) P R n n, dla której zachodzi równo± P A c P = Λ, gdzie Λ = diag {λ i } n i= Rn n jest odpowiedni macierz diagonaln Na tej podstawie, uwzgl dniaj c wzór (28) oraz fakt,»e U T U = I n, otrzymujemy ukªad równa«w U T (A P ΛP ) (29) U T (A P ΛP ) = (n p) n (3) Ze wzoru (29) wynika formuªa okre±laj ca wzmocnienie regulatora W szczególno±ci mamy W U T (A P ΛP ) (3) V Σ p U T (A P ΛP ) Konieczny warunek istnienia rozwi zania zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych ma posta inkluzji Im (A P ΛP ) Im B Obowi zuje tak»e oczywista nierówno± rank (A P ΛP ) p Zapisuj c macierz P z wyró»- nionymi kolumnami p i R n, P = p p n, wzorowi (3) nadajemy posta p i Ker U T (A λ i I n ), i {,, n} (32) Nierówno± dim Ker U T (A λ i I n ) > jest speªniona i (por przykªad 24) dim Ker U T (A λ i I n ) = p + dim (Im U Ker (A λ i I n ) T ) = dim Ker (A λ i I n ) + dim (Ker U T Im (A λ i I n ))

4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 39 Dla zadanej warto±ci wªasnej λ i, dla której λ i spectr A, maksymalna dopuszczalna algebraiczna krotno± λ i nie mo»e przekracza p Dla zadanej warto±ci wªasnej λ i spectr A mo»na» da krotno±ci wi kszej od liczby wej± steruj cych tylko wtedy, gdy Im U Ker (A λ i I n ) T { n } Jak pami tamy (zob przykªad 24), wymaganie liniowej niezale»no±ci podzbioru wektorów parametrów odpowiadaj cych wymaganej wielokrotnej warto±ci wªasnej macierzy stanu ukªadu zamkni tego jest warunkiem koniecznym, lecz nie wystarczaj cym, istnienia rozwi zania zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych da si tu bowiem liniowej niezale»no±ci 'caªego' zbioru wektorów parametrów {p i } n i= Efektywny algorytm wyznaczania kolejnego, (i + )-tego, i {,, n }, wektora p i+ (kolumny macierzy P) polega na wyborze takiego elementu bazy przestrzeni Ker U T (A λ i+ I n ), który byªby liniowo niezale»ny od wszystkich ju» ustalonych wektorów {p j } i j= ( ) p i+ Ker U T (A λ i+ I n ) ( p i+ span {p j } i j=) Numerycznie dogodne kryterium wyboru stosownego wektora z bazy rozwa-»anej przestrzeni zerowej wymaga zatem szacowania k ta α i+ = {Im P i, p i+ } mi dzy 'kandyduj cym' wektorem p i+ a przestrzeni Im P i, gdzie P i = p p i, a nast pnie sprowadza si do doª czenia do kolumn macierzy P i tego wektora bazowego, dla którego ów k t ma najwi ksz warto± (jak wiadomo ortogonalno± wektorów implikuje ich liniow niezale»no± ) Warto przy tym skorzysta ze wzoru cos {Im P i, p i+ } = P Im P i p i+ p i+ w którym P Im Pi = P i P i + oznacza operator rzutowania na przestrze«im P i (por dodatek), za± u»yta norma to norma euklidesowa Dla baz ortonormalnych, wyznaczanych przykªadowo w oparciu o rozkªady svd odpowiednich macierzy, zachodzi oczywi±cie cos {Im P i, p i+ } = P Im Pi p i+ Postulat ortogonalizacji (ortonormalizacji) macierzy P numerycznie wskazany Poprawa uwarunkowania tej macierzy, która jest odwracana we wzorze na K Raz jeszcze podkre±lamy, i» nadrz dn zasad wyboru wektorów bazowych z przestrzeni zerowych kolejnych macierzy U T (A λ i+ I n ) jest d»enie do wyznaczenia zbioru liniowo niezale»nych kolumn macierzy P I ta wªa±nie zasada powinna dominowa nad lokalnie (tylko dla danego i) stosowanym postulatem zapewnienia 'mo»liwie ortogonalnej' postaci macierzy P

4 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Zauwa»my wreszcie,»e dodatkowy stopie«swobody w przedstawionym algorytmie syntezy regulatora wyznacza przyj te uporz dkowanie (permutacja) zbioru zadanych warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego W przypadku a ªatwo znajdujemy wymagan posta (28) macierzy B B = U U W 2 = Dla zakªadanych warto±ci wªasnych mamy: U T (A λ I 3 ) = 8 2 U T (A λ 2 I 3 ) = 6 Dla podwójnej warto±ci wªasnej λ 2 = λ 3 niezb dne jest wyznaczenie dwóch liniowo niezale»nych wektorów p 2 oraz p 3 nale» cych do przestrzeni Ker U T (A λ 2 I 2 ) Si gaj c po ortonormalne bazy rozwa»anych przestrzeni zerowych (por wzór (32)), uzyskujemy nast puj c macierz parametrów (zob przykªad 24) P = 24 644 9923 9864, κ(p ) = 492 co pozwala, zgodnie ze wzorem (3), na obliczenie macierzy wzmocnie«regulatora 6 24 5 W przypadku b, rozwa»aj c rozkªad svd macierzy B, B = UΣV T, otrzymujemy: U = U U = Σ = V = Σ p (n p) p 89443 4472 4472 89443 = 22367

4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 4 a w konsekwencji mamy W = 22367 Na tej podstawie wyznaczamy macierze U T (A λ i I 4 ): i = : i = 2 : i = 3, 4 : 84976 27477 4472 8 75542 93949 4472 5 62699 76263 4472 3 Ortonormalne bazy przestrzeni Ker U T (A λ i I 4 ) maj przeto posta : i = : span i = 2 : span i = 3, 4 : span,,, 8443 57578 797 7868 6523 25 74869 6289 2963 Stosown macierz parametrów P okre±la zatem wzór (por przykªad 24) P = 8443 7868 74869 57578 6523 6289 797 25 2963, κ(p ) = 2227 2 Wzmocnienie regulatora obliczone ze wzoru (3) ma warto± 4 3546667 4393333 33333 W obu przypadkach, a oraz b, taki sam wynik daje zastosowanie MAT- LABowego zlecenia place

42 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Zadanie 24 Obiekt dynamiczny o modelu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdzie A R n n oraz B R n p, jest sterowany w ukªadzie zamkni tym Liniowy algorytm sterowania, oparty na peªnej informacji o wektorze stanu x(t) R n obiektu, ma posta reguªy u(t) = Kx(t) Posªuguj c si metodami syntezy opisanymi w przykªadzie 24 oraz 242, wyznacz elementy macierzy K R p n tego algorytmu (wzmocnienie regulatora), dla których macierz stanu odpowiedniego ukªadu zamkni tego posiada zadane warto±ci wªasne {λ i } n i= Zbadaj mo»liwo± wykorzystania metody Ackermanna w celu doboru nastaw stosownych strukturalnie prostszych regulatorów o pojedynczych torach sterowania Porównaj numeryczne uwarunkowanie wszystkich rozwa»anych metod strojenia regulatorów ze sprz»eniem od stanu Sprawd¹, jaki wynik uzyskasz, posªuguj c si MATLABowym zleceniem place Obliczenia wykonaj dla nast puj cych przypadków danych liczbowych: a) A = 9 5 2 5 3 7, B = 2 2 2 {λ i } 3 i= = { 2, 5, }; 2 333 667 98 b) A = 67333 32667 65333 65333 66657 33333 3 c) A = B = 2 2 25, 2 6 2 4 4 27 2 3 47 6 46 4 28 27 6 2 5 8 7 6 2 4 3 {λ i } 5 i= = { 3, 3, 3,, } {λ i} 4 i= = { 3, 3,, };, B = Odpowied¹ W przypadku a mamy spectr A = { 4, 2, 2} Regulatory 'dwukanaªowe': metoda opisana w przykªadzie 24 dla B = T oraz dla upo-

4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 43 rz dkowanej trójki warto±ci wªasnych (λ, λ 2, λ 3 ) P = 799 476 5 765758 56667 82424 6 6 metoda opisana w przykªadzie 242 synteza dla (λ, λ 2, λ 3 ) P = synteza dla (λ 3, λ 2, λ ) P = synteza dla (λ 2, λ 3, λ ) P = synteza dla (λ 2, λ, λ 3 ) P =, κ(p ) = 87 2 ; 3783 3924 8462 539 8384 5328 8638 2397 49756 7924 7763 49756 3976 23 3783 8458 8462 3924 4934 5328 8384 296684 9323 487 2476 3862 49389 325 56 539 957 839 8638 4239 243 6439 8756 29569 6439 22439 325 56 957 539 839 4239 8638 243 6439 8756 29569 6439 22439, κ(p ) = 3 ;, κ(p ) = 398 ;, κ(p ) = 3 ;, κ(p ) = 3 ;

44 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) rozwi zanie proponowane przez zlecenie place 2688 42572 793 97773 57322 29829 Regulator z pojedynczym torem sterowania (M c R 3 3 oznacza tu odpowiedni macierz sterowalno±ci): 948 3569 67574, κ(m c ) = 6529 2 W przypadku b mamy spectr A = {, 98, 2, 2, 2} Regulatory 'dwukanaªowe': metoda opisana w przykªadzie 24 przy B = I 2 2 2 T oraz dla uporz dkowanej czwórki warto±ci wªasnych (λ, λ 2, λ 3, λ 4 ) P = 28 232 45 66 442 6785 355 4422 83939 752862 3437624 28968 73848 84265 826546 598777 metoda opisana w przykªadzie 242 synteza dla (λ, λ 2, λ 3, λ 4 ) P = synteza dla (λ 3, λ 4, λ, λ 2 ) P = 9327 9448 897 8274 932 82 7 92 553 53 2836 563 438 283 κ(p ) = 2993 2, κ(p ) = 3554 2 ; 83939 752862 3437624 28968 73848 84265 826546 598777 9448 9327 82 93 8274 897 53 553 92 7 283 437 563 2836 ;

4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 45 κ(p ) = 2993 2 83939 752862 3437624 28968 73848 84265 826546 598777 rozwi zanie proponowane przez zlecenie place 83939 752862 3437624 28968 73848 84265 826546 598777 Regulatory z pojedynczym torem sterowania (M c R 4 4 oznacza odpowiedni macierz sterowalno±ci): 4756 88 5728 4746 κ(m c ) = 957 6 374 325 8227 359 κ(m c ) = 78 5 9 7 Zwraca uwag zªe uwarunkowanie zada«, w których stosuje si regulator o pojedynczym torze sterowania, strojony zgodnie z metod Ackermanna Niech ε λ = λ λ 2 / λ 2 oznacza wzgl dny bªad rozmieszczenia warto±ci wªasnych {λ i } n i=, gdzie λ = λ λ n T jest wektorem zadanych warto±ci wªasnych, za± λ = λ λn T oznacza wektor 'faktycznie' uzyskanych warto±ci wªasnych macierzy A BK Metoda syntezy regulatora opisana w przykªadzie 24 daje ε λ = 2383 4, podej±cie MATLABowe zapewnia dokªadno± ε λ = 837 4, za± regulatory 'jednokanaªowe, odpowiednio, ε λ = 777 (!) oraz ε λ = 542 3 W przypadku c mamy spectr A = { 2, 25, 26, 26, 27} Regulatory 'trójkanaªowe': metoda opisana w przykªadzie 24 dla B = 2 2 I 2 2 T oraz dla uporz dkowanej pi tki warto±ci wªasnych (λ, λ 2, λ 3, λ 4, λ 5 ) P = 457 44 2658 842 443 7455 2354 968 67696 2792 ;