01-01-10 Fizy fzy sodesowej Wyłd 30 godzi Ćwiczei 30 godzi Lbotoium 30 godzi Mi Gzd, poój 7d Gmch Główy Fizy fzy sodesowej Dlczego jest to jciewsz dziedzi wiedzy? 1
01-01-10 Pogm wyłdu 1.Wstęp. Pzypomieie podstw (3h).. Półpzewodii (5h) 3. Zjwis ottowe (4h). 4.Zjwis tspotu (5h) 5. Ndpzewodictwo (5h). 6. Włściwości dieletycze i optycze (6h). 7. Włściwości mgetycze (h). Zliczeie pzedmiotu Wuiem zliczei pzedmiotu jest zliczeie żdego jego słdi. Końcow oce twozo jest jo śedi wżo: Zliczeie ćwiczeń (30%) Zliczeie lbotoium (30%) Egzmi (40%) UWAGA: Wue pzystąpiei do zeowego temiu egzmiu: zliczeie piewszego olowium ćwiczeich; Ie temiy: wue zliczeie ćwiczeń chuowych;
01-01-10 Nietóe ifomcje, de, ysui dotyczące zjęć i wyłdu są umieszczoe stoie http://www.mif.pg.gd.pl/homepges/mi/ Pzypomieie podstw Czyli wszysto, o czym złdm, że jest chociż tochę ze. 3
01-01-10 Klsyficj mteiłów pod względem stutuy Cił ystlicze: Cząsteczi, tomy lub joy są ozmieszczoe w sposób upoządowy. Pzyłdy: dimet, sól, cuie, metle, pise, mteiły, dzięi tóym dził ompute,... Cił moficze: Cząsteczi, tomy lub joy NIE są ozmieszczoe w sposób upoządowy. Pzyłdy: gum, szło. Stutu mteiłów ystliczych Stutuę ystliczą moż pzedstwić jo powtzjące się w pzestzei, idetycze były geometycze KOMÓRKI ELEMENTARNE (lub PRYMITYWNE) Wystczy, ztem, opisć sztłt i wielość tylo jedej tiej omói oz podć, jie tomy się w iej zjdują i gdzie dołdie są. 4
01-01-10 J zdefiiowć omóę Żeby opisć omóę tzeb podć wetoy,b i c, tóych zbudow jest d omó Iymi słowy tzeb podć pmety omói: długości wędzi omói (, b i c), oz ąty pomiędzy osimi (α, β i γ). Ksztłty możliwych omóe elemetych Wszystie możliwości: 1 3 4 5 6 7 5
01-01-10 Komói elemete egule pymityw Simple Cubic (P) Body-Ceteed Cubic (I) Wewętzie cetow (bcc) Fce-Ceteed Cubic (F) Ścieie cetow (fcc) c c Simple Tetgol (P) Body-Ceteed Tetgol (I) Tetgole: pymityw i wewętzie cetow Komói elemete c c c b b 10º Rombowe Bse-Ceteed Othohombic (C) Fce-Ceteed Othohombic (F) Hexgol (H) hesgol c c b Simple Othohombic (P) b Body-Ceteed Othohombic (I) α α α Rhombohedl (R) omboedycz 6
01-01-10 Komói elemete c β b Simple Moocliic (P) jedosośe β c b Bse-Ceteed Moocliic (C) β c α Ticliic (P) tójsoś γ b Był zbudow wetoch pymitywych: omó pymityw Wetoy twozące sieć Bvis go: wetoy pymitywe Puty twozące sieć Bvis go: węzły sieci 7
01-01-10 Sieć Bvis go Stutu ysztłu Bz Sieć odwot Sieć odwot jest to zbió tich wetoów g że spełio jest zleżość: g T π gdzie T jest dowolym wetoem tslcji jest liczbą cłowitą. Sieć odwot to zbió wetoów flowych dl tóych odpowiedie fle płsie mją oesowość sieci ystliczej 8
01-01-10 Zbió wetoów postci: Sieć odwot * π b c ( b c) c b* π g h l ( h * + b * + lc *) ( b c) b c* π ( b c) gdzie h i l są liczbmi cłowitymi * b* c* są wetomi pymitywymi sieci odwotej Komo pymityw sieci odwotej tzw I stef Billoui Pzepis: Połączyć dy węzeł z sąsiedimi i wyzczyć płszczyzy symetle. Płszczyzy te utwozą omóę pymitywą 9
01-01-10 Komó pymityw Wige-Seitz W tójwymiowej pzestzei jest tochę tudiej: Dgi sieci ystliczej Us Totl umbe of mode N Logitudil Bch Tsvese Bch Podłuże ustycze π π 1 N π G Popzecze ustycze: 10
01-01-10 Dgi sieci ystliczej Związi dyspesyje Si 1. Fooy N spzężoych oscyltoów N iezleżych dgń omlych ω 1 ω ω 3 ω 4. mody omle : fl foo : cząst (qusicząst) dgi omle : weto flowy foo pħ (pęd) 11
01-01-10 Fooy H Eψ P i ψ ω + ω K m Kx ψ Eψ m x - ilość fooów o częstości ω odpowid mplitudzie dgń http://hypephysics.phy-st.gsu.edu/hbse/qutum/hosc7.html Pojemość ciepl ~3N B ~T 3 T/Θ 1
01-01-10 Model Eistei Dgi sieci: 3N iezleżych oscyltoów o tej smej częstotliwości ħω 1 3 3N Model Eistei U Nh ν 1 1 + exp ( / ) ( T ) hν T 1 C V du dt C T 3N wysoiet ( B T>>hν): V ( ) B isie T ( B T<<hν): ( T ) exp ( T ) C V Z młe ciepło włściwe w isich tempetuch 13
01-01-10 Model Debye Związe dyspesyjy j dl ośod ν ciągłego: Gęstość stów (pzy uwzględieiu tzech możliwych polyzcji) 3 3 1 πν G ( ) 3 G ( ν ) π g ( ) 6 3 6π c s c s π dg ( ν ) ν d ν 1 πν Istieje gó gic częstotliwości (λ odległość międzytomow), tzw. częstość Debye ν D, 3 c s ν D g ( ν ) 3 dν 3 ν c π D s 4 0 1 / 3 Model Debye W gicy isich tempetu: C du dt 16 π 5 h 5 4 B 3 3 c s T 3 Wysoie tempetuy: U ν D ν ν U 0 + A dν U 0 + ν 0 3N B T 14
01-01-10 Tempetu Debye 4 1π T C NB 5 ΘD 3 Θ D hc s B 3 4π 1 / 3 Jest związ z częstością Debye 1/ 3 ν D, 3 ν D cs BTD hν D 4π Im wyższ pędość dźwięu i gęstość joów tym wyższ tempetu Debye Fooowe pzewodictwo cieple 1 κl Clv gll 3 1 Clv gτ l 3 Reguł Mtthiesse 1 1 l l l defet 1 + l gice 1 + l fooy Mechizmy ozpszi fooów Rozpszie gicch międzyziowych i gicch póbi N defetch N fooch 15
01-01-10 10 7 Kietic Theoy 1 l l 1 l defect + l l 1 Decesig Boudy Septio 1 3 boudy C l v s l 1 + l l phoo Specific Het, C (J/m -K) 3 10 6 10 5 10 4 10 3 10 C l C 3η B 4.7 10 6 J m 3 K Dimod C T 3 θ D 1860 K 10 1 10 1 10 10 3 Tempetue, T (K) 10 T 4 l l l Icesig Defect Cocettio Icesig Defect Cocettio Phoo Boudy Defect Sctteig 0.01 0.1 1.0 Tempetue, T/θ D T l Boudy d Defect Phoo Sctteig 0.01 0.1 1.0 Tempetue, T/θ D 3 κ 3 16
01-01-10 Eletoy w ciele stłym Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Wui bzegowe, gęstość stów Rozłd Femiego-Dic Kosewecje peiodyczości sieci ystliczej Pzybliżeie eletoów silie związych Psm eegetycze Teoi psmow PASMOWA TEORIA CIAŁA STAŁEGO, teoi tłumcząc włściwości eletoowe cił stłych; opie się złożeiu, że podczs powstwi stutuy ystliczej cił stłego dozwoloe dl eletoów poziomy eegetycze swobodych tomów ozszczepiją się twoząc psm poziomów bliso leżących; 17
01-01-10 Złożei Rdzeie tomowe uwżmy z ieuchome (pzybliżeie dibtycze, B.-O.); Kysztł jest iesończoy i idely; Eletoy ie oddziłują ze sobą (pzybliżeie eletoów iezleżych) i wystczy wyzczyć poziomy eegetycze jedego eletou zmiętego w objętości V, stępie zpełić te poziomy wszystimi eletomi (pzybliżeie jedoeletoowe); Potecjł wytwzy pzez sieć ystliczą: cost 0 (pzybliżeie eletoów swobodych) Jest słby (młe peiodycze zbuzeie pzybliżeie eletoów pwie swobodych); Jest sily (pzybliżeie eletoów silie związych); GAZ ELEKTRONÓW SWOBODNYCH W STANIE PODSTAWOWYM (O K) 18
01-01-10 Pzybliżeie eletoów swobodych Złożei: Eletoy mogą się cłowicie swobodie pouszć wewątz metlu. Dołdiej: N eletoów zjduje się w objętości V (jczęściej pzyjmuje się, że ozwżmy sześci o wędzi L) Złożeie popzedie cłowicie igouje obecość joów. Jedyy objw obecości joów to, że eletoy ie mogą opuścić metlu (studi potecjłu). Pzybliżeie eletoów swobodych Rozwżmy 1 eleto w studi potecjłu o szeoości L (pzypde 1D), wewątz tóej eegi potecjl 0 19
01-01-10 Pzybliżeie eletoów swobodych Eleto może się swobodie pouszć, czyli moż go opisć z pomocą fucji flowej tiej j dl fli płsiej: Ψ(, t) Asi( ωt) W pzypdu jedowymiowym (wzdłuż osi x): Ψ( x, t) Asi( x ωt) Pzybliżeie eletoów swobodych J zpisć mtemtyczie ft, że eleto ie ucieie z metlu? Zpisuje się to z pomocą wuów bzegowych. 0
01-01-10 Wui bzegowe Gdy ozwżmy cząstę w studi potecjłu, zzwyczj pzyjmujemy tie WB, że fucj flow bzegch studi jest ów zeu. E,Ψ Ψ( L) Ψ(0) 0 x Powdzi to do ozwiązń typu fli stojącej. Peiodycze wui bzegowe W ciele stłym eleto też jest w studi potecjłu, le tego typu WB są iewygode: ozwżie zjwis tspotu z pomocą fl stojących jest łopotliwe. Dltego stosuje się tzw. peiodycze wui bzegowe (wui bzegowe Bo-Km): Ψ( x + L, y + L, z+ L) Ψ( x, y, z) 1
01-01-10 Peiodycze wui bzegowe W ciele stłym stosuje się tzw. peiodycze wui bzegowe (wui bzegowe Bo-Km): ),, ( ),, ( z y x L z L y L x Ψ + + + Ψ ; ; ; z y x L z z L y y L x x π π π Peiodycze wui bzegowe W 1D moż je sobie wyobzić: ) ( ) ( x L x Ψ + Ψ
01-01-10 Peiodycze wui bzegowe W 1-wymiowym pzypdu ysztłu o długości L: Ψ( x + L) Ψ( x) Fucj flow m postć fli płsiej, ztem otzymujemy wue: Ψ( x + L) Asi( ( x + L) ωt) Ψ( x) Asi( x ωt) si( L) 1 x π L swtowe wtości weto flowego Peiodycze wui bzegowe W 3-wymiowym pzypdu ysztłu o objętości L 3 : Ψ( x + L, y + L, z+ L) Ψ( x, y, z) Fucj flow m ówież postć fli płsiej, ztem otzymujemy wue: x x π π L y y L z ; ; z π ; L 3
01-01-10 4 Pzyłdowe ozwiązie -i Schödige z peiodyczymi wumi bzegowymi 1D 3D ; ; ; L z z L y y L x x π π π L x x π Ψ E Ψ E Pzyłdowe ozwiązie -i Schödige z peiodyczymi wumi bzegowymi ( ) ) si( ), ( L L x m E t x L L t x π π ω π h Ψ ( ) 3/,, ) )si( )si( si( ), ( z y x L z z L y y L x x z y x m E t z L t y L t x L L t + + Ψ h π π π ω π ω π ω π 1D 3D Jede st mogą obsdzić dw eletoy o m s ±1/
01-01-10 St podstwowy gzu eletoow swobodych (T 0K) Mmy N eletoów. Zjmują oe wszystie sty od jiższego do jwyższego. Eegi Femiego: eegi jwyższego obsdzoego stu; Powiezchi Femiego: powiezchi (w pzestzei ) oddzieljąc sty obsdzoe od pustych; Weto flowy Femiego (pomień uli Femiego); Pzybliżeie eletoów swobodych 3 N ρ F V 3π E() Sty puste Poziom Femiego E F 3 / π π ( ) si( x y π Ψ )si( )si( z x y z) L L L L,, x π x L y π y L z π z L h E ( x + y + z ) m Sty zjęte F 0 Femi Wvevecto x z Kul Femiego o pomieiu F y 5
01-01-10 Powiezchi Femiego w zeczywistych metlch St podstwowy gzu eletoów swobodych (T 0K) Mmy N eletoów. Zjąc N, moż obliczyć E F, F i ie włściwości gzu eletoowego. Ale sty są swtowe, co ozcz, że by obliczyć coolwie leżłoby sumowć po wszystich stch. Aby uiąć sum i zstąpić je cłmi wpowdz się GĘSTOŚĆ STANÓW. 6
01-01-10 Gęstość stów W ysztle 1D o N tomch i długości L: x x π π x L N x π/l x Różic między dwom jbliższymi wetomi flowymi wyosi π/l, co ozcz, że: N jede weto flowy w 1D pzypd odcie π/l; π π x x x L N π π y y y L N π π z z z L N Gęstość stów Alogiczie, w dwu- i tójwymiowych ysztłch o ozmich LxL i LxLxL, jede weto flowy pzypd: w D: wdt (π/l)x(π/l) w 3D: sześci (π/l)x(π/l)x(π/l) 7
01-01-10 Gęstość stów w pzestzei : Gęstość stów Ilość stów pzypdjących jedostową objętość pzestzei wetoów flowych; G ( ) dn d Ω V 4π 3 3 * m G( E ) 4 V E h π 1/ Zleżość gęstości stów od eegii we wszystich tzech pzypdch: 1, i 3 D: Gęstość stów 8
01-01-10 Gęstość stów w zeczywistym metlu Mg V D ( ) m 1/ 3 4π D( E) 4 V E h π Gęstość stów, eegi Femiego,.. Zjąc pojęcie gęstości stów, moż powiązć podstwowe włściwości metli z eegią Femiego, wetoem flowym Femiego, pędością eletoów poziomie Femiego itd.. 3 E F h 3 3 * π N m V 9
01-01-10 Wtości E F h 3 3 * π N m V Pzyłd: oblicz eegię Femiego, tempetuę Femiego, weto flowy Femiego oz pędość eletoów poziomie Femiego w miedzi, wiedząc że: Kżdy tom miedzi dje 1 eleto wlecyjy do psm pzewodictw; Miedź ystlizuje w stutuze fcc, o pmetze omói 3.6147 Å Gęstość miedzi wyosi ρ 8.94 x 10 3 g/m 3, Zestwieie włściwości gzu eletoowego dl ietóych metli: cm -3-1 10 10 8 10 8 10 4 F cm v F cm/s ε F ev T F ε F / Li 4.6 1.1 1.3 4.7 5.5 N.5 0.9 1.1 3.1 3.7 K 1.34 0.73 0.85.1.4 Rb 1.08 0.68 0.79 1.8.1 Cs 0.86 0.63 0.73 1.5 1.8 Cu 8.50 1.35 1.56 7.0 8. Ag 5.76 1.19 1.38 5.5 6.4 Au 5.90 1. 1.39 5.5 6.4 30
01-01-10 GAZ ELEKTRONÓW SWOBODNYCH POWYŻEJ ZERA BEZWZGLĘDNEGO. Fucj ozłdu Femiego-Dic T0K T>0K 1 f ( E ) 0 dl dl E E F E > EF f ( E, T ) 1 E E F T e + 1 31
01-01-10 T>0K Fucj ozłdu Femiego-Dic 1 0 K E F/ B 10000 K FERMI FUNCTION f(e) 0. 8 0. 6 0. 4 0. 3 0 0 K 3 0 0 0 K 1 f ( E E F ) exp[0] + 1 1 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 1 6 0 0 0 E/ B (KELVIN) 1 f( E EF + T) 7% 1 e + 1 1 f ( E EF + 3T ) 5 % 3 e + 1 1 f ( E EF + 5T ) 1% 5 e + 1 Tempetu powoduje zmię obsdzei stów w pzedzile ilu T woół eegii Femiego Eegi Femiego metlu bdzo słbo zleży od tempetuy π T µ E F 1 1 EF Śedi eegi eletou w metlu w pśmie pzewodictw: 3 E el E F 5 Eel 3 5π T E F 1+ 5 1 EF 3
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Potecjł wytwzy pzez sieć ystliczą moż ttowć jo młe peiodycze zbuzeie. Ciło stłe jest studią potecjłu o modulowym die. Kosewecj peiodyczości sieci: twiedzeie Bloch F. Bloch udowodił, że ozwiązie -i Schödige w peiodyczym potecjle musi być postci: i ψ () u () e Fucj o peiodyczości sieci ystliczej Fl płs I postć twiedzei Bloch: i T ψ ( + T) e ψ () u ( x) u + e g g igx 33
01-01-10 Kosewecj peiodyczości sieci: iejedozczość weto flowego eletou Z peiodyczości sieci i twiedzei Bloch wyi iejedozczość weto flowego eletou ψ ) ψ () ( + G Wyi stąd ówież, że eegi eletou jest fucją oesową z oesem ówym wetoom sieci odwotej E ( + G) E ( ) Kosewecj peiodyczości sieci: stefy Billoui Niejedozczość weto flowego eletou ozcz, że wystczy ozwżć I stefę Billoui. Wetoy flowe gicy stefy Billoui spełiją wui: 1 G gic 1 1 G G G 34
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych I potecjł wytwzy pzez joy, i fucj flow eletou mją peiodyczość sieci ystliczej, ztem moż je ozwiąć w szeeg (z pomocą wetoów sieci odwotej, G): U ( x) V g V g g, V V o g e igx 0 ψ () u u ( x) () e u + g i g e igx Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Te wyżei wstwi się do -i Schodige i cłuje po cłej objętości. W pzypdu eletoów o młych wetoch flowych moż zstosowć chue zbuzeń dl stów iezdegeeowych. W ezultcie, otzymuje się iewielą, stł popwę w stosuu do pzybliżei eletoów swobodych. Tz. sieć ystlicz słbo wpływ eletoy o wetoch flowych z dl od gicy stefy Billoui. 35
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Podstwijąc te wyżei do -i Schodige i cłując po cłej objętości mmy: h m ( g ) u+ g + Vg Gu+ G E u+ g + G W pzypdu eletoów o młych wetoch flowych moż zstosowć chue zbuzeń dl stów iezdegeeowych. h m Pzybliżeie eletoów pwie swobodych ( g ) u+ g + Vg Gu+ G E u+ g + G chue zbuzeń dl stów iezdegeeowych: V λv, E u u (0) E + λu (1) (0) + λe + λ u () (1) + λ E (), (0) h E, u m (0) 1 V i e 36
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W ezultcie otzymujemy: (0) (1) Vgu u + g (0) (0) E E + g (1) E 0 () E G VG (0) (0) E E + G Niewiel, stł popw w stosuu do pzybliżei eletoów swobodych. Tz. sieć ystlicz słbo wpływ eletoy o wetoch flowych z dl od gicy stefy Billoui. Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W pzypdu eletoów o wetoch flowych blisich gicy i stefy Billoui ie moż zstosowć chuu zbuzeń. Rozwiązuje się -ie Schodige bioąc w ozwiięciu fucji flowej tylo dw domiujące wyzy (G0 i GG 1 ). To zczy, że z -i Schodige otzymujemy ułd ówń: h u + V u + E ( ) G1 G1 dl g 0: m dl g G h 1 ( + G 1 ) u+ G1 + VG1u Eu+ G1 m u 37
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W ezultcie otzymujemy: h E ( ) ± VG1, m pzy czym sozystlismy z zlezosci spelioej dl wetoow flowych gicy stefy Billoui : ( + G) Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W pzypdu eletoów o wetoch flowych blisich gicy i stefy Billoui ie moż zstosowć chuu zbuzeń. Jedą z (poglądowych) metod jest ozwiązie -ie Schodige bioąc w ozwiięciu fucji flowej tylo dw domiujące wyzy (G0 i GG 1 ). W ezultcie, otzymuje się h E ± m ( ), V G 1 38
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych SŁABY POTENCJAŁ OKRESOWY WPŁYWA NA ENERGIE TYLKO TYCH ELEKTRONÓW, KTÓRYCH WEKTORY FALOWE ZBLIŻONE SĄ DO GRANICY STREFY BRILLOUINA FALA O NIEKTÓRYCH DŁUGOŚCIACH FALI NIE MOŻE ROZCHODZIĆ SIĘ W OŚRODKU PERIODYCZNYM: ULEGA ODBICIOM BRAGGA Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Swobode eletoy ie oddziłują z siecią ż ich weto flowy stje się poówywly z 1/. Wtedy ulegją odbiciu Bgg. Fle pdjąc i odbit itefeują twoząc fle stojące o tej smej eegii ietyczej le óżej eegii cłowitej. http://www.chembio.uoguelph.c/educmt/chm753/popeties/electoic/ely_fee_model.html e ix e ix ( ) : si x e ix + e ix ( ) : cos x 39
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W zleżości od tego gdzie są węzły i stzłi fli stojącej, mmy wyższą i iższą eegię eletou. Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W zleżości od tego gdzie są węzły i stzłi fli stojącej, mmy wyższą i iższą eegię eletou. 40
01-01-10 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Ozcz to, że gicy stefy Billoui powstją psm eegii wzboioych. Nie wszystie eletoy są pwie swobode 41
01-01-10 Pzybliżeie eletoów silie związych W pzypdu cił stłych słdjących się z tomów lub joów o zmiętych powłoch, w pzypdu eletoów dzei tomowych oz ysztłów owlecyjych pzybliżeie eletoów pwie swobodych jest ieodpowiedie. Pzybliżeie eletoów silie związych W tym pzybliżeiu "wyobżmy sobie" j fucje flowe tomów lub joów oddziłują ze sobą gdy zbliżmy je do siebie. Np. tomy wodou: 4
01-01-10 43 Rozwżmy ciło stłe (1 piewiste) o jedym tomie w omóce elemetej. Złdmy, że żdy tom m 1 obitl wlecyjy φ(). Fucję Bloch cłego ysztłu pzyjmujemy jo ombicję liiową wszystich obitli: Pzybliżeie eletoów silie związych ) ( ) ( 1 m m ir R e N m v Ψ φ Wtość oczeiw eegii: ( ) ) ( ) ( 1 m m R R i R H R e N H m φ φ Pzyjmując, że jest duże tylo dl m lub dl jbliższych sąsidów, i pzyjmując stępujące ozczei: Pzybliżeie eletoów silie związych Otzymujemy: ( ) R i e E γ α ) ( ) ( m R H R φ φ pozostlych dl R H R ssidow dl R H R R H R m m 0, ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( φ φ γ φ φ α φ φ Gdzie sumowie pzebieg po jbliższych sąsidch
01-01-10 Pzybliżeie eletoów silie związych Pzyłd: dwuwymiow sieć wdtow (o stłej sieci ): R (0, ), (0, -), (, 0), (-, 0) E α γ i e ( R ) Pzybliżeie eletoów silie związych Pzyłd: dwuwymiow sieć wdtow (o stłej sieci ): R (0, ), (0, -), (, 0), (-, 0) E α γ (cos cos ) x + Eegi eletou zmiei się w zesie od -α 4γ do -α +4γ : PASMO y 44
01-01-10 Pzybliżeie esz: powiezchie izoeegetycze E α γ (cos cos ) x + Gdy x, y 0 (do psm, śode stefy Billoui): Gdy x, y π/ (wiezchołe psm, ożii stefy Billoui): Gdy ozwżmy eletoy w śodu psm, czyli gdy E -α y Pzybliżeie esz: powiezchie izoeegetycze E α γ (cos cos ) x + Gdy x, y 0 (do psm, śode stefy Billoui): E Gdy x, y π/ (wiezchołe psm, ożii stefy Billoui): E 4 x y π π α + γ γ + I die, i wiezchołu psm powiezchie izoeegetycze są sfeycze, związe dyspesyjy jest ti j dl eletoów pwie swobodych. y ( ) α 4γ + γ x + y 45
01-01-10 Pzybliżeie eletoów silie związych E α γ (cos cos ) x + Gdy ozwżmy eletoy w śodu psm, czyli gdy E -α y Rozwiązi są postci: (cos + cos ) 0 x x π y y powiezchie izoeegetycze są liimi postymi. Pzybliżeie eletoów silie związych Ztem, wyi w D: 46
01-01-10 Metody obliczi stutuy psmowej Obliczei stutuy psmowej w zeczywistych ciłch stłych są dość sompliowe. Piewszy o to wybó odpowiediego potecjłu opisującego oddziływi. Wybó potecjłu; Rozwiązie ówi (ówń) z wybym potecjłem; Otzymie smouzgodioych ozwiązń lbo itecyjie, lbo iymi mtemtyczymi metodmi. Metody obliczi stutuy psmowej Metod omóow (jstsz) Metod omóow Wige - Seitz poleg tym, że woół żdego węzł sieci ystliczej buduje się omóę elemetą o sztłcie wielościu, odzwieciedljącego symetię tej sieci (omó Wige - Seitz). Potecjł wewątz tej omói pzybliż się pzez potecjł sfeyczie symetyczy i poszuuje się fucji flowej będącej ozwiąziem ówi Schödige z tim potecjłem. Jo wui bzegowe pzyjmuje się wue Bloch dl fucji i dl jej pochodej w ieuu omlym do ściy omói. Fizy metli, Michł Sobńsi, AGH 47
01-01-10 Metody obliczi stutuy psmowej Metod omóow (c.d.) Tie wui bzegowe są spełioe tylo w sończoej ilości putów, podto otzym fucj flow ie m symetii potecjłu. Wige i Seitz zobili dlsze pzybliżeie zstępując omóę elemetą ulą o pomieiu 0 t dobą, by jej objętość był ów objętości dej omói. Wui bzegowe spowdzją się wtedy do zii pochodej w pucje 0, tj. bzegu sfey, zpewijąc sfeyczą symetię ozwiązi. Fizy metli, Michł Sobńsi, AGH Metody obliczi stutuy psmowej Metod omóow (c.d.) Ulepszeiem metody omóowej jest zstosowie tzw. potecjłu miseczowego (muffi - ti potetil, MT). Jest o sfeyczie symetyczy wewątz pewej uli o pomieiu 0, otczjącej dy put sieciowy, stły zewątz. Z eguły pzyjmuje się tę wtość stłą ówą zeu, pomień 0 ti, by ule ie łdły się. Fizy metli, Michł Sobńsi, AGH 48
01-01-10 Metody obliczi stutuy psmowej - Metod fl płsich: - Z potecjł pzyjmuje się supepozycję potecjłów tomów swobodych, fucj flow jest sumą zomlizowych fl płsich. Metod jest słbo zbież i zostł już zzuco. Metody obliczi stutuy psmowej Metod zotogolizowych fl płsich (OPW) Ulepszo metod PW: wyozystuje się ie tyle fle płsie, co fle płsie otogolizowe względem fucji flowych eletoów dzei. Metod stowzyszoych fl płsich (APW) Fucję flową w obszze międzywęzłowym pzyjmuje się jo ombicję liiową sończoej liczby fl płsich, w obszch dzei tomowych jo fucję bdziej oscylcyją, podobą do fucji tomowych. Fucj jest ciągł pzy pzejściu między obszmi. Wyozystuje się potecjł MT. 49
01-01-10 Metody obliczi stutuy psmowej Metod fucji Gee (Koigi, Koh, Rostoe KKR): Kozyst się z cłowej postci -i Sch. Ψ ( ) i z potecjłu MT G ( ') U( ') Ψ ( ') d' ik ' e GE ( ') 4π ' E Doświdczle metody wyzczi stutuy eletoowej: fotoemisj 50
01-01-10 Doświdczle metody wyzczi stutuy eletoowej: fotoemisj Zsd zchowi eegii E B hν - E i - Φ Zsd zchowi pędu K + G Wielości miezoe E i, θ, φ Wielości pożąde E B, Fotoemisj Obecie stosuje się pomieiowie sychotoowe oz wielo-łową ejestcję, dzięi czemu zczie wzosł ozdzielczość eegetycz i ątow dwiej tez E (mev) 0-40 -10 θ 0. F. Reiet et l., PRB 63 (001) 51
01-01-10 Fotoemisj Silve Coppe F. Bumbege F. Reiet et l., PRB 63, 64, 115415 195411 (001) Kosewecje istiei psm eegetyczych 5
01-01-10 Ms efetyw Ms efetyw eletou w pśmie o dym związu dyspesyjym E(). m * h xy E / x y Dl eletoów swobodych: E 1 mv 1 p m h m m * m Ms efetyw zleży od zywizy psm; Eletoy wiezchołu psm wlecyjego mją ujeme msy efetywe; W ogólości, m * zleży od ieuu: jest tesoem; Ms efetyw 53
01-01-10 Ms efetyw Uzsdić, w tóych psmch (psmo ysowe liią ciągłą czy pzeywą) będzie więsz, w tóych miejsz ms efetyw. Rozwżmy psmo wlecyje cłowicie zpełioe Pojęcie dziuy Cłowity pąd N eletoów w cłowicie wypełioym psmie: N J ( q) v i 0 i 54
01-01-10 Pojęcie dziuy Psmo wlecyje, cłowicie zpełioe. Poze są sty eletoowe j ty z wetoem flowym j i j z pzeciwie sieowym wetoem flowym - j. Gdy usuiemy eleto j ty wówczs uch eletou j ie jest sompesowy. Pojęcie dziuy Ztem, cłowity pąd, gdy buje j tego eletou N J ( q) v i ( q)v j qv j i WYNIK: ŁADUNEK DODATNI PORUSZA SIĘ Z PRĘDKOŚCIĄ v j 55
01-01-10 Pojęcie dziuy Zmist ozwżć dużą liczbę eletoów w iecłowicie wypełioym pśmie wlecyjym (cząste o ujemym łduu i ujemej msie efetywej), ozwżmy młą liczbę dziu (cząste o dodtim łduu i dodtiej msie efetywej). Stutuy psmowe: pzyłdy 56
01-01-10 Metle, półpzewodii, izoltoy Metle mją swobode eletoy i częściowo zpełioe psmo wlecyje (). Półmetle mją jwyższe psmo zpełioe. To psmo łd się stępe, wyższe psmo (b). Np. se, bizmut, tymo, Izoltoy mją zpełioe psmo wlecyje i puste psmo pzewodictw ozdzieloe szeoą pzewą eegetyczą ( >4eV), (c ). Półpzewodii mją stutuę psmową j izoltoy, le węższą pzewę eegetyczą. Metle jedowtościowe: p. sód Sfeycze powiezchie izoeegetycze 57
01-01-10 Metle dwuwtościowe: p. Mg Psmo pzewodictw Nie m pzewy Psmo wlecyje 115 Metle pzejściowe: p. Cu Nłdją się siebie psm eletoów 4s i 3d. Pwie sfeycze powiezchie izoeegetycze. 58
01-01-10 Półmetle Cięższe piewisti olumy V ułdu oesowego: As, Sb i Bi są półmetlmi. Pzez półmetl ozumiemy metl o bdzo młej (w poówiu z typowymi metlmi) gęstości stów powiezchi Femiego. Spośód piewistów ułdu oesowego półmetlem jest podto gfit, jpowszechiejsz odmi węgl. Półmetlicze pzewodictwo wuuje szeeg zstosowń tego mteiłu (opoii węglowe, eletody do bteii glwiczych i pieców łuowych, szczoti do siliów i pądic). Bizmut Cystl dt Fomul sum Bi Cystl system tigol Spce goup R -3 m (o. 166) Uit cell dimesios 4.546() Å c 11.86(6)Å Cell volume 1.30(17) Å 3 Z6 Desity, mesued 9.750 g/cm 3 59
b c 01-01-10 Bizmut: omó elemet Bizmut: stutu psmow Stutu psmow Bi podob jest do półpzewodi o sośej pzewie eegetyczej, dl tóego wiezchołe psm wlecyjego zjduje się 3 mev wyżej od d psm pzewodictw. W osewecji powstją "ieszeie" eletoowe i dziuowe o ocetcji ówej e h 310 17 cm - 3, czyli o. 0,001 eletou tom. 60
01-01-10 Piewisti IV-wtościowe Kofigucj eletoow Si 1s s p 6 3s 3p 61