REPREZENTACJA SYGNAŁÓW

Podobne dokumenty
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01

7. Szeregi funkcyjne

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

MATHCAD Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

Wykład 8: Całka oznanczona

PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Stabilność

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Stabilność

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Analiza Matematyczna

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k

Matematyka finansowa r.

Zagadnienie Sturma-Liouville a. Definicja : Zagadnieniem Sturma-Liouville a nazywamy równanie różniczkowe postaci

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

Struna nieograniczona

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab

Ciągi i szeregi funkcyjne

n 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

Macierze w MS Excel 2007

Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

WYKŁAD nr 2. to przekształcenie (1.4) zwane jest przekształceniem całkowym Laplace a

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

Temat: Wybrane zagadnienia kinematyki mechanizmów. Ruch punktu: prostoliniowy, krzywoliniowy (np. po okręgu, elipsie, dowolnej krzywej)

Opis własności dynamicznych liniowych układów ciągłych

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna

MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n

Analiza matematyczna ISIM I

Sumowanie i mnożenie sygnałów oraz generacja złożonych sygnałów

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Ciągi i szeregi liczbowe

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Szeregi trygonometryczne Fouriera. sin(

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia 1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami?

= dt. dt gdzie n > m. Większość układów fizycznych jest nieliniowa i musi być opisywana przez nieliniowe równania różniczkowe.

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony

Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Wykład 9. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

log lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie!

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA

Liczby zespolone i wielomiany

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

Transkrypt:

REPREZENTACJA SYGNAŁÓW Spi reści:. Bzy ygłów.. Procedur oroormlizcyj. 3. Wielomiy, fukcje Hr i Wlh, fukcje gięe, rygoomerycze. 4. Sygły dwurgumeowe... -. -...5..5.3

Reprezecj ygłmi elemerymi.5 N = 8 =.9 -.5 -.5.5.75 N.5 N = 6 =.8 Ciąg je reprezecją ygłu. N -.5 -.5.5.5.75 N = 64 =.7 -.5 -.5.5.75

Liiow iezleżość Defiicj. Elemey ą liiowo iezleże, gdy z wruku zerowi ich kombicji liiowej wyikją zerowe wrości wpółczyików, z. N,..., N 3

Wymir przerzei Defiicj. Jeżeli przerzeń S zwier co jwyżej N elemeów liiowo iezleżych, o S zywmy przerzeią N-wymirową jej wymir ozczmy. dim S N N L (, Torz C(,T ą iekończeie wymirowe 4

Bz przerzei ygłów Defiicj 3. Bzą przerzei S zywmy dowoly zbiór : S;,..., N; dims N elemeów liiowo iezleżych. Defiicj 4. Bzę { } N N-wymirowej przerzei uirej S zywmy orogolą, jeżeli kżde dw jej elemey ą do iebie proopdłe, z., dl m m 5

Bz oroorml Defiicj 5. Jeżeli orm kżdego elemeu bzy je jedokow, z. o bzę zywmy uormową. Defiicj 6. Jeżeli elemey bzowe ą zrówo orogole jk i uormowe, o bzę zywmy oroormlą. 6

Reprezecj ygłów w przerzeich kończeie wymirowych N S N N reprezeuje S L (, T N N,, m m dl m=,...,n gdzie, m ( m( d T 7

8 Reprezecj ygłów w przerzeich kończeie wymirowych A b gdzie b N,, N N N N N N A,,,,,, = A b - gdy de A m m N,, Ukłd rówń moż zpić mcierzowo

Procedur oroormlizcyj Grm-Schmid dowole { } N oroormle { } N v,,,,, v v v,, 3 3 3 3 3, 3, 3,, 3,, 3, 3, 3,, 3,, v, m m m 9

Algorym Grm-Schmid. De :,,..., N - dowol bz, N -ilość elemeów bzy.. Obliczyć pierwzy eleme oroormlej bzy i podwić :=. :

C.d lgorymu Grm-Schmid 3. Powiękzyć umer wkźik :=+ i ępie obliczyć kolejy eleme v :, m m m 4. Dokoć ormlizcji elemeu orzymego w poprzedim kroku : v v 5. Jeżeli <N leży przejść do puku 3. Przeciwy przypdek ozcz zkończeie procedury oroormlizcyjej.

Aprokymcj ygłów w przerzeich iekończeie wymirowych S S S N p N p, ( mi, ( N p, (, ( * p dl kżdego S N

Ryuek rzuu orogolego p S N. p p, 3

Twierdzeie o rzucie orogolym Niech S będzie przerzeią uirą, S N będzie N-wymirową podprzerzeią (z. S S rozpięą oroormlej bzie N N. p Dl kżdego iieje jedyy eleme S określoy wzorem p ki, że: dl kżdego p S N pełio je ierówość (, ( p eleme je orogoly do podprzerzei, z., N, dl kżdego S N p. N S N, *, 4

Rówość Prevl orogolość bzy bz uormow L L Rówość Prevl L L l L l gdzie ( d L T l 5

Począek przykłdu W przerzei L (, zleźć jlepzą prokymcję ygłu ( dl dl przy pomocy fukcji: (, (, 3(. Fukcje prokymujące Sygł 4 6

7 Koyucj przykłdu Tkie,, 3 by fukcjoł Q oiągł wrość miimlą. d d ( (, ~ ( 3 3 d d ( (, ~ ( 3 3 d d 3 3 3 ( (, ~ ( Kwdr odległości 3 3 ( (, ~ ( d d Q

8 Zkończeie przykłdu Po obliczeiu cłek, przyrówujemy do zer powyżze pochode i orzymujemy ukłd rówń, 5 9 4 7 3 5 6 3 4 4 3 8 3 4 3 kóry m rozwiązie:,4375.,5,5 3 Ozcz o, że prokymcj zdego ygłu m poć. 6 7 3 4 ( ~

Ilurcj rozwiązi 9

Wielomiy orogole Wielomiy orogole odciku [,] geerowe ą wzorem d (! d,,,... i pełiją wzór rekurecyjy ( ( ( 3( ( ( (.

Przykłd wielomiów orogolych Siedem pierwzych wielomiów orogolych odciku [,] ( ( ( 6 6 3 3 ( 3 4 4 3 ( 7 4 9 5 5 4 3 ( 5 63 56 3 6 6 5 4 3 ( 94 77 35 68 4 4 7

Wykrey fukcji Hr h ( h, ( - - -.5.5.75 -.5.5.75 h ( h, ( - - -.5.5.75 -.5.5.75 h, ( h,3 ( - - -.5.5.75 -.5.5.75 h, ( h,4 ( - - -.5.5.75 -.5.5.75

Fukcje Hr Fukcje oroormle w L (, r=,,,... umer grupy m umer kolejym fukcji w rmch dej grupy m r dl h ( [, ] Hr 9 rok 4

Defiicj fukcji Hr h( hr, m( r r dl dl m m r r m m r r dl pozolych [, ]. r m,, 3,, 3, 4 4, 5, 6, 7 3,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 8, 9,,,, 3, 4, 5 gdzie = r +m- 5

Wykrey fukcji Wlh w ( w 3, ( - -.5.5.75.5.5.75 w ( w 3, ( - -.5.5.75.5.5.75 w, ( w 3,3 ( - -.5.5.75.5.5.75 w, ( w 3,4 ( - -.5.5.75.5.5.75

Fukcje Wlh Tworzą bzę oroormlą w L (, dl w ( w ( w ( dl w ( dl dl dl r =,,... umer grupy m =,... r- kolejość w rmch m-ej grupy 7

8 Iercyj geercj fukcji Wlh dl ( ( dl ( (,,, w w w m k k m k k m dl ( ( dl ( (,,, w w w m k k m k k m

Numercj fukcji Wlh w ( w ( r, m gdzie = r- +m- r m,, 3 3,, 3, 4 4, 5, 6, 7 4,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 8, 9,,,, 3, 4, 5 9

Wykrey fukcji gięych.9.8.7.6.5.4.3.....3.4.5.6.7.8.9 Przykłd jedeu fukcji gięych pierwzego opi 3

Fukcje gięe pierwzego opi j ( j ( gdy gdy j j ( (, gdzie 3 je złożoą ilości fukcji dl odcik [,] 3

Iloczyy klre fukcji gięych pierwzego opi i, j ( ( d i j h / 3 h / 3 h / 6 gdy gdy gdy dl i j i i i, j j lub i j j lub i j pozolych Gdzie h /( o umerch je długością ośików fukcji gięych j,...,. 3

33 Mcierzow prezecj iloczyów klrych 4 4 4 4 6 h A

Szybk geercj elemeów mcierzy odwroej do rójprzekąiowej Mcierz A je rójprzekąiow, le mcierz do iej odwro je mcierzą pełą z elememi o wrościch gdzie i j odw i, j i 3 3 i j i 3 3 j j 34

35 Mcierz odwro do mcierzy iloczyów klrych,8,34,9,3,3,56,69,9,5,3,897,4,65,9,9,3333,893,4,69,34,436,3333,897,56,8 4,64,44,3349,957,478 7,3 4,647,5,357,786 4,647 7,369 4,6649,338,6664,5 4,6649 7,498 4,974,487,357,338 4,974 8,564 9,8,786,6664,487 9,8 34,64 34,64 9,8,487,6664,786,478 9,8 8,564 4,974,338,357,957,487 4,974 7,498 4,6649,5,3349,6664,338 4,6649 7,369 4,647,44,786,357,5 4,647 7,3 4,64,478,957,3349,44 4,64 7,36,8,56,897,3333,436 4,64,34,69,4,8935,333,44,9,9,65,4,897,3349,3,5,9,69,56,957,,3,9,34,8,478 A

Fukcje rygoomerycze Orogol bz w w C(-, L (, T orz bz dl fukcji okreowych ( co( / T b i( / T T T ( d d T d T ( 36

Wpółczyiki zeregu rygoomeryczego T ( co( / T d co ( / T d T T co ( / T d T co( 4 / T T d i( 4 / T 8 T orzymujemy T d T zem podobie b T T (co( / T T (co( / T d ( i( / T d T T 37

Wruki Dirichle Jeżeli fukcj ( pełi wruki:. je bezwzlędie cłkowl, z. T ( d,. w przedzile jedego okreu m kończoą liczbę loklych mkimów i miimów, 3. w przedzile jedego okreu m kończoą liczbę puków ieciągłości pierwzego rodzju, z. kończoe ą grice leworo lim ( i prworo lim (, o m reprezecję w poci zeregu Fourier. ( 38

Wpółrzęde bieguowe Przeuięcie fzowe,5 ig( b,5,5 ig( ig( b rcg( b rcg( b gdy gdy gdy gdy i i i b b b mpliud c b rc g( b wedy c co( b c i( 39

Szereg rygoomeryczy w poci bieguowej ( c co( co( / T c i( i( / T Korzyjąc z ożmości co( co( / T i( i( / T co( / T orzymujemy ( c co / T 4

Fukcje rygoomerycze w poci ekpoelej co( / T gdzie j e j/ T j/ T e i( / T e j T e j T b e j T ( e j Ozczjąc jb orzymujemy ( e / / / j/ T j/ T jb dl dl dl j / T poiewż e co( / T j i( / T o T T j/ T ( e d e j/ T j/ T e j 4

Zleżości między wpółczyikmi dl różych reprezecji rygoomeryczych c b rc g( b ( co( / T b i( / T c co( ( c co / T b c i( ( e j/ T b j 4

Reprezecj ygłów dwuwymirowych czyli L [, X ] [, Y ], X Y ( x, y dydx xy (, ( xy, 43

Wpółczyiki oroormlej reprezecji ygłów dwuwymirowych X Y ( x, y ( x, y dy dx m dl dl m m.,, m m m gdzie, xy (, ( xy, dydx X Y, 44

45 Rozdzielie zmieych reprezecji ygłów dwuwymirowych xy x y m m m (, ( (, m X x x dx m m ( ( dl dl m Y y y dy m m ( (. dl dl X Y m Y m j X i m j i dy y y dx x x dydx y y x x, ( ( ( ( (, ( ( x x y y dydx m m Y X, ( (, (

Przykłd reprezecji obrzu przy pomocy fukcji Wlh y Obrz ( x, y xy Aprokymowć przy pomocy czerech pierwzych fukcji Wlh: x - - 3 4.5.5.75.5.5.75 - -.5.5.75.5.5.75

Wybre obrzy elemere Szeście obrzów elemerych ( x, y ( x (, m m y,,, 3,, 3 3, 3 4,3 Kolor biły ozcz wrość Kolor czry o wrość!

Wybre obrzy elemere Szeście obrzów elemerych ( x, y ( x (, m m y,,,3,4,,,3,4 3, 3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4

Ciąg dlzy przykłdu Aprokymcj obrzu xy x y 4 4 (, ( ( m m, m Wpółczyiki prokymcji x y, (xy dxdy x y,5, (xy dydx (xy dydx,5 4 dl dl Symeri obrzu, z. wpółczyików, z. ( x, y ( y, x m, m,,, 4 powoduje ymerię

C.d. przykłdu,3 3,,4 4,, 8 8,3,,3 3,,3,4 4, 3,3 6 4, 3,3 3,4 4,3 4,4 3 4,3

C.d. przykłdu Obliczoe wpółczyiki możemy zewić w poci ymeryczej mcierzy 3 6 8 6 8 4 8 4 A 7 3 5 3 7 7 7 7 3 9 5 7 9 3 3

Ilurcj przykłdu ( x, y xy 3 3 9 7 5 9 3 7 7 7 7 3 5 3 7 Obrz orygily (z lewej i jego prokymcj (z prwej uworzo przy pomocy fukcji Wlh, iby zeu le w prkyce ylko dziewięciu

Ilurcj przykłdu.5.5 -.5 -.5 - -.5.5..4.6.8..4.6.8 ( x, y xy 3 3 9 7 5 9 3 7 7 7 3 5 3 7 Obrz orygily (z lewej i jego prokymcj (z prwej uworzo przy pomocy fukcji Wlh, iby zeu le w prkyce ylko dziewięciu