EKONOMERIA Wkład : Meoda Najmnejszch Kwadraów dr Doroa Cołek Kaedra Ekonomer Wdzał Zarządzana UG hp://wzr.pl/dc doroa.colek@ug.edu.pl
Lnow model ekonomerczn:... zmenna endogenczna, 0 k k u zmenne objaśnające, u składnk losow, neznane paramer srukuralne. Jeseśm zaneresowan znalezenem warośc paramerów srukuralnch, ab wedzeć jaka jes relacja medz zmennm. - mówą jak wgląda a zależność w całej populacj. Możem określć jak wgląda a zależność w danej próbe - ocen paramerów dla danej prób.
Oszacować (esmować) model oznacza znaleźć ocen paramerów srukuralnch na podsawe konkrenej prób. Meod szacowana paramerów srukuralnch: - Meoda Momenów, - Meoda Najmnejszch Kwadraów, - Meoda Najwększej Wargodnośc, - wele nnch werdzene Gaussa-Markowa: W klascznm modelu regresj lnowej najlepszm neobcążonm esmaorem lnowm paramerów jes esmaor uzskan Meodą Najmnejszch Kwadraów (MNK). 3
Własnośc esmaorów Neobcążoność jes neobcążonm esmaorem β, jeżel E( )= β, co znacz, gd warość oczekwana w rozkładze z prób jes równa β. Oznacza o, że gdbśm oblczal warość dla każdej z prób, kórm dsponujem powarzal en proces neskończene wele raz, o średna z uzskanch ocen błab równa β. Efekwność esmaor jes efekwn, jeżel warośc wlczone dla różnch prób ne różną sę mędz sobą znaczne zn. jeżel warancja esmaorów jes mała. Esmaor z najmnejszą warancją najbardzej efekwn. 4
Własnośc esmaorów Zgodność (własność dużch prób) zwększane lczebnośc prób umożlwa uzskwane esmaora o warośc coraz blższej szacowanego parameru, z prawdopodobeńswem blskm jednośc: Można wkazać, że: Meoda Najmnejszch Kwadraów jes esmaorem - neobcążonm, - zgodnm, lmp n - najbardzej efekwnm w klase esmaorów neobcążonch. BLUE Bes Lnear Unbased Esmaor 5
Założena MNK Założena numerczne warunk sosowalnośc: ) N > (k+), czl lczba obserwacj mus bć wększa nż lczba szacowanch paramerów. ) r(x)=(k+), czl rząd macerz X mus bć równ lczbe szacowanch paramerów. Drug warunek oznacza brak współlnowośc zmennch objaśnającch, zn. że zmenne objaśnające są lnowo nezależne, *(czl ne worzą ze sobą akej kombnacj lnowej, kóra w wnku daje wekor zerow). 6
Przkład współlnowośc zmennch: X-lczba pracownków w przedsęborswe, X-lczba pracownków na sanowskach kerownczch, X3-lczba pracownków na sanowskach nekerownczch. X=X+X3, czl X-X-X3=0 X 30 56 47 0 60 4 8 6 3 0 6 48 4 7 50 Rząd macerz X=3 < k+=4 Ne da sę zasosować MNK! 7
Założena MNK Założena sochasczne (doczą składnka losowego): E 0 u ) dla wszskch - warość oczekwana składnka losowego jes równa zero. u ) dla wszskch warancja jes jednakowa dla wszskch obserwacj - homoscedasczność. u u 3) j są nezależne dla - składnk losowe dla różnch obserwacj ne zależą od sebe, ne są skorelowane; brak auokorelacj składnków losowch. u 4) są nezależne dla wszskch zmenne objaśnające ne zależą od składnka losowego, zn. zmenne objaśnające są nelosowe. u ~ N 0, 5) - składnk losow dla każdej obserwacj ma rozkład normaln. j 8
Sasczne własnośc MNK Neobcążoność MNK jes neobcążon wed, gd spełnone jes założene (4) zmenne objaśnające są neskorelowane z zakłócenam losowm u (czl nezależne od składnka losowego). Zmenne objaśnające muszą bć nelosowe: egzogenczne zmenne objaśnające Wówczas, zakładając, że mam reprezenawną próbę, nasze wnk esmacj są blske waroścom z populacj. Efekwność MNK jes efekwn wówczas, gd spełnone są założena () (3). Jeżel wsępuje heeroscedasczność lub/ auokorelacja zakłóceń losowch błęd szacunku paramerów srukuralnch są newargodne (mogą bć przeszacowane albo nedoszacowane). Oznacza o eż newargodne wnk esów sonośc. 9
Sferczne zakłócena u (d) Jeżel składnk losowe są nezależne mają ake same rozkład prawdopodobeńswa dla wszskch obserwacj nazwane są zakłócenam sfercznm (ndependen dencall dsrbued (d)). Czl: - sała warancja zakłóceń (homoscedasczność), - brak auokorelacj zakłóceń, - rozkład normaln zakłóceń dla wszskch obserwacj. 0
Założena MNK Jeżel ne są spełnone założena numerczne ne jeseśm w sane zasosować maemacznch formuł na MNK. Jeżel ne są spełnone sochasczne założena ), ), 3), 4) esmaor MNK, przesaje bć BLUE, daje obcążone ocen paramerów srukuralnch. Założene 5) ne ma znaczena dla własnośc MNK. Jego spełnene jes koneczne, ab można bło zasosować es sasczne pozwalające sprawdzć wszske powższe założena. Wększość esów sascznch bazuje na złożenu, że analzowana zmenna losowa ma rozkład normaln.
Model z jedną zmenną objaśnającą: 0 u o równane opsuje, zachowane rzeczwsch warośc zmennej endogencznch.
Rzeczws rozkład punków 3
Model z jedną zmenną objaśnającą: 0 u o równane opsuje, zachowane rzeczwsch warośc zmennej endogencznch. MNK o meoda, kóra do punków dopasowuje aką prosą, kóra przechodz najblżej wszskch punków równocześne. Równane prosej: o równane opsuje, eoreczne warośc zmennej endogencznch, (warośc, kóre leżą na dopasowanej prosej). 4
Model z jedną zmenną objaśnającą: 0 u o równane opsuje, zachowane rzeczwsch warośc zmennej endogencznch. MNK o meoda, kóra do punków dopasowuje aką prosą, kóra przechodz najblżej wszskch punków równocześne. Równane prosej: 0 o równane opsuje, eoreczne warośc zmennej endogencznch, (warośc, kóre leżą na dopasowanej prosej). 5
0 ŷ 6
0 ŷ û 7
Odległość rzeczwsego punku od prosej nazwana jes odchlenem, albo reszą: u Resza ne jes składnkem losowm, jes o oszacowan składnk losow (błąd) w modelu. Na szeregu resz sprawdzane będą założena sochasczne. 8
Idea MNK MNK dopasowuje prosą do punków, w ak sposób, ab odległośc od wszskch punków bł jednocześne jak najmnejsze. Każda odległość podnoszona jes do kwadrau, poneważ mają różne znak. MNK mnmalzuje sumę kwadraów odchleń (resz): N N mn N mn u 0 9
D. Cołek EKONOMERIA wkład Esmaor MNK Macerzowa posać modelu: Oznacza o, że: u Suma kwadraów odchleń o: u u Po wmnożenu orzmujem: Przrównując pochodną po X X X X mn X X X X X X mn 0 u do zera orzmujem: X X X 0
Esmaor MNK Po dokonanu mnmalzacj sum kwadraów resz orzmujem nasępującą macerzową formułę pozwalającą wznaczć ocen paramerów srukuralnch modelu lnowego MNK: X X X - wekor ocen paramerów srukuralnch wekor obserwacj na zmennej endogencznej, X macerz obserwacj na zmennch objaśnającch.
Własnośc numerczne oszacowana MNK N N Suma warośc eorecznch zmennej endogencznej, równa jes sume warośc emprcznch zmennej endogencznej. N 0 Suma resz jes równa zero. u X ' u 0 Iloczn wekora resz wekor obserwacj na każdej zmennej objaśnającej jes równ zero. ' u 0 Iloczn wekora warośc eorecznch zmennej endogencznej wekora resz jes równ zero.
Warośc eoreczne w modelu ze zmenną objaśnaną w posac ln() Wlczam warośc eoreczne z regresj ln() względem,, k. Dla każdej obserwacj wznaczam Szacujem regresję względem jednej zmennej objaśnającej bez wrazu wolnego. m m Paramer prz jes równ α : ep loĝ Dla danch warośc,, k, wlczam Warośc eoreczne ŷ wlczam z powższego równana. ln m ep ln ln 3
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) Frma Alka-Selher naslła osano kampanę promocjną swoch środków farmaceucznch. Oprócz reklam radowch elewzjnch zorganzowała pokaz produków w sklepach. W cągu 0 godn frma śledzła swoje wdak na reklamę radową elewzjną ( ) oraz wdak na pokaz w sklepach ( ). Przpuszcza sę, że obe zmenne mają wpłw na zmenność warośc godnowej sprzedaż produków frm () w badanm okrese. 4
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) Frma Alka-Selher naslła osano kampanę promocjną swoch środków farmaceucznch. Oprócz reklam radowch elewzjnch zorganzowała pokaz produków w sklepach. W cągu 0 godn frma śledzła swoje wdak na reklamę radową elewzjną ( ) oraz wdak na pokaz w sklepach ( ). Przpuszcza sę, że obe zmenne mają wpłw na zmenność warośc godnowej sprzedaż produków frm () w badanm okrese. 0 u 5
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) ablca zawera wnk obserwacj: Warość sprzedaż (s. $) Wdak na reklam (s. $) Wdak na pokaz (s. $) 7 5 76 8 78 5 6 70 0 5 68 3 80 6 9 8 4 65 8 4 6 8 3 90 8 0 6
7 D. Cołek EKONOMERIA wkład Zaps macerzow modelu ekonomercznego lczba obserwacj, k lczba zmennch objaśnającch, k+ lczba paramerów srukuralnch. 3 ) ( 3 3 k k k k k X 3 u u u u u ) ( 0 k k
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) 7 76 78 70 68 80 8 65 6 90 X 5 0 6 4 8 8 8 5 8 6 5 3 9 4 3 0 8
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X 9
X D. Cołek EKONOMERIA wkład Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) 5 X X X 8 5 6 0 5 3 6 9 4 8 4 8 3 X 8 0 5 8 5 6 0 5 3 6 9 4 8 4 8 3 8 0 0 3 65 3 65 869 65 869 509 X X 30
3 D. Cołek EKONOMERIA wkład Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X 509 869 65 869 65 3 65 3 0
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X 3
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X X X,67 0,53 0,048 0,53 0,0 0,07 0,048 0,07 0,06 33
34 D. Cołek EKONOMERIA wkład Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X 0,06 0,07 0,048 0,07 0,0 0,53 0,048 0,53,67 X X 5040 938 743 X
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X 47,6,60,5 35
36 D. Cołek EKONOMERIA wkład Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X,5,60 47,6 0
37 D. Cołek EKONOMERIA wkład Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X,5,60 47,6 0 u 0
38 D. Cołek EKONOMERIA wkład Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X,5,60 47,6 0 u 0 5,,60 47,6
39 D. Cołek EKONOMERIA wkład Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) X X X,5,60 47,6 0 u 0 5,,60 47,6 u,5,60,6 47
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) 47,6,60,5 u Inerpreacja: Wraz woln oszacowan zosał na pozome 47,6 s. $. Jeżel wdak na reklamę radową elewzjną wzrosną o s. $, a pozosałe cznnk ne ulegną zmane, o warość sprzedaż produków frm A-S wzrośne średno o,6 s. $. Jeżel wdak na pokaz w sklepach wzrosną o s. $, a pozosałe cznnk ne ulegną zmane, o warość sprzedaż produków frm A-S wzrośne średno o,5 s. $. 40
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) Oszacowan model: 47,6,60, 5 47,6,60,5 u Resz wlczam jako: u Warośc eoreczne zmennej endogencznej: 47,6,60,5 5 7,0... 4
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) ŷ 7,0 73,94 78,04 68,90 68,0 83,09 83,34 64,55 63,40 87,44 û 0,0,06 0,04,0 0,0 3,09,34 0,45,40,56 4
Własnośc numerczne oszacowana MNK Suma warośc eorecznch warośc sprzedaż frm A-S jes równa sume warośc emprcznch warośc sprzedaż. 0 743 Suma resz jes równa zero. 0 0 743 Iloczn wekora resz obserwacj na zmennch objaśnającch jes równ zero. u X ' u 0 0 Iloczn wekora warośc eorecznch zmennej endogencznej wekora resz jes równ zero. ' u 0 43
44 D. Cołek EKONOMERIA wkład Macerz warancj kowarancj błędów esmacj paramerów srukuralnch Na głównej przekąnej macerz znajdują sę warancje błędów, poza główną przekąną kowarancje. Macerz jes macerzą smerczną. k k k k k,,,,,, 0 0 0 0 0
Macerz warancj kowarancj błędów esmacj paramerów srukuralnch Macerz a przjmuje nasępującą posać: gdze u u X oznacza warancję składnków losowch. Neznaną warancję zasępujem warancją resz modelu: u Orzmam wówczas próbkową macerz. N Perwask z elemenów na głównej przekąnej są błędam szacunku paramerów srukuralnch. N u k X 45
Błęd szacunku paramerów srukuralnch Oszacowan model regresj welorakej można zapsać:... 0 k 0 k k Inerpreacja: Szacując paramer mlm sę średno n plus, n mnus. lub uwzględnam błąd szacunku w nerpreacj parameru srukuralnego. 46
Esmacja przedzałowa Orzmujem dla : P P P / / ( ) ( ) ( ) / / ( ) ( ) / / Jes o przedzał ufnośc dla parameru srukuralnego. Z prawdopodobeńswem równm współcznnkow ufnośc, powższ przedzał zawera neznan paramer srukuraln 47
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) Esmacja przedzałowa: P Dla parameru : ( ) ( ) 0,05 0,95 0 47,6,365 Dla parameru :,470 4,3 0 0 47,6 53,00,365,470,60,365 0,83 0,93,60,7,365 0,83 48
Przkład (Aczel, A.D., Saska w zarządzanu, PWN, Warszawa 000) Dla parameru :,5,365 0,308 0,4,5,88,365 0,308 49
Na co należ zwrócć szczególną uwagę (podsumowane): Co o znacz oszacować model? Jake modele można szacować MNK? Jak MNK dopasowuje prosą do rzeczwsch punków? Co oznacza, że MNK jes BLUE? Ked ne można zasosować MNK (warunk sosowalnośc)? Jake założena mus spełnać rozkład składnka losowego, ab MNK bła wargodna? Ked esmaor MNK jes obcążon? Co o jes warość eoreczne zmennej objaśnanej? Co o są resz (odchlena) w modelu oszacowanm MNK? Jak sę wznacza nerpreuje przedzał ufnośc dla paramerów srukuralnch? 50