Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Transkrypt

1 mę, nazwsko, nr ndeksu: Ekonometra egzamn 1//19 1. Egzamn trwa 9 mnut.. Rozwązywane zadań należy rozpocząć po ogłoszenu początku egzamnu a skończyć wraz z ogłoszenem końca egzamnu. Złamane tej zasady skutkuje usunęcem z sal uneważnenem pracy. 3. W trakce egzamnu wolno używać jedyne długopsu o nnym kolorze atramentu nż czerwony oraz kalkulatora. 4. Przed przystąpenem do psana egzamnu należy podpsać wszystke kartk pracy (na dole w przewdzanym mejscu). Złożene podpsu pod regulamnem oznacza jego akceptację. Do egzamnu mogą przystąpć osoby, które akceptują regulamn. 5. W raze braku podpsu lub numeru zadana na kartce, kartka ne zostane ocenona. Ne będą też ocenane rozwązana wpsane na kartkach nnych, nż te rozdawane przez prowadzących. 6. Rozwązane każdego zadana należy zapsać na kartce z tymże zadanem, ewentualne na czystych kartkach znajdujących sę na końcu arkusza egzamnacyjnego lub na dodatkowych kartkach uzyskanych od prowadzących egzamn. 7. Na jednej kartce może znajdować sę rozwązane tylko jednego zadana. Ocenane jest rozwązane tylko tego zadana, którego numer wdneje na kartce. 8. Egzamn składa sę z czterech pytań teoretycznych 3 zadań. 9. Posadane przy sobe wszelkch materałów drukowanych (w tym ksążek) oraz nnych np. wykonanych własnoręczne materałów zostane uznane za ścągane. 1. Rozmowy z nnym zdającym będą traktowane dentyczne jak ścągane. 11. Każda zauważona próba ścągana skutkuje usunęcem z egzamnu. 1. Wszystke pytana należy kerować bezpośredno do osób plnujących. 13. Warunkem uzyskana oceny pozytywnej jest zdobyce conajmnej 5 % punktów z częśc teoretycznej egzamnu oraz mn. 4 % punktów z cześc zadanowej. Warszawa, 1//19, podps Powodzena :-)

2 Wartośc krytyczne testu Durbna - Watsona. n d L d U 5 1,5 1,59 1 1,65 1,69 1,76 1,78 Wartośc krytyczne rozkładu χ. lczba stopn swobody α =,95 α =,99 1 3,84 6,64 5,99 9,1 3 7,81 11,35 4 9,49 13,8 5 11,7 15,9 6 1,59 16, ,7 18, ,51,9 9 16,91 1, ,31 3,1 Wartośc krytyczne rozkładu F. lczba stopn swobody α =,95 F(1,) 4,35 F(,) 3,49 F(3,) 3,1 F(,1) 48, F(,) 19,45 F(,3) 8,66 F(1,5) 3,86 F(,5) 3,1 F(3,5),6 F(1, ) 3,84 F(5, ),1

3 Pytane 1. Udowodnj, że w modelu lnowym ze stałą średna wartość zmennej zależnej jest równa średnej z wartośc dopasowanych. Najczęstszym błędem był brak odwołana sę do własnośc modelu. Dodatkowo E(ε) = ne mplkuje, że e =. Pytane. Wyjaśnj różncę mędzy parametram oszacowanam parametrów oraz mędzy odchylenam losowym resztam. Oczekwałem wskazana na ustalone parametry modelu składnk (odchylena) losowe oraz na ch losowe oszacowana. Pytane 3. Wyjaśnj co to jest autokorelacja składnka losowego opsz jake są jej konsekwencje dla własnośc estymatorów MNK Autokorelacja ne powoduje obcążena estymatora wektora parametrów, obcążene estymatora macerzy warancj-kowarancj wektora parametrów Pytane 4. Opsz korzyśc nebezpeczeństwa zwązane z nakładanem ogranczeń na parametry modelu. W tym pytanu ne chodzło o to, że korzyścą jest możlwość weryfkacj teor ekonom, tylko o ops w jak sposób nakładane ogranczeń wpływa na własnośc statystyczne estymatorów. IMIĘ I NAZWISKO /8

4 1 3 Zadane 1 Nech N oznacza zbór lczb neparzystych, oraz P oznacza zbór lczb parzystych. Dany jest następujący model: y t = β 1 + β d + ε dla = 1,..., { 1 dla P d = 1 dla N V ar (ε ) = σ I 1. Oblcz wartośc estymatorów MNK dla parametrów β 1 β przyjmując, że K = 5, =1 y t = 1, P y = 6.. Udowodnj, że estymatory MNK są neobcążone 3. Podaj postać macerzy warancj-kowarancj dla estymatorów parametrów β 1 β, jeśl spełnone są założena KMRL, przyjmując, że σ = 1. Czy składnk losowy jest homoscedastyczny? IMIĘ I NAZWISKO 3/8

5 1 3 4 Zadane W modelu lnowym o postac y = β + ε zakładamy, że są nelosowe dla = 1,..., n, E(ε) =, var(ε) = σ I. 1. Wyprowadź postać estymatora MNK oraz sprawdź czy jest neobcążony (uzasadnj dokonując oblczeń). Oblcz jego wartość jeżel n =1 y = 3, n =1 = 15 n =1 = 5 n =1 y = 13. Pozostajemy przy modelu z pkt (a), ale zakładamy, że E(ε) = θ, var(ε) = σ I, oraz dla = 1,..., n θ są nelosowe. Zakładamy, że ε ma rozkład normalny. Czy przy powyższych założenach estymator MNK dla modelu z pkt 1 będze neobcążony? Zaproponuj sposób estymacj, dzęk któremu można uzyskać neobcążone oszacowane parametru β (uzasadnj dokonując oblczeń). Badacz doszedł do wnosku, że lepej będze oszacować model o forme y = β + β 1 + ε zakładamy, że są nelosowe dla = 1,..., n, E(ε) =, var(ε) = σ I. Z teor jednak wynka, że β = Oblcz wartość estymatora MNK dla parametru β 1 w modelu z ogranczenem β = 4 dla danych z podpunktu (1). Czy suma reszt będze równa zero (skomentuj)? Sprawdź od czego zależy obcążene estymatora. W tym celu oblcz obcążene, gdy ogranczene jest prawdzwe, oraz gdy jest ono fałszywe. 4. Oblcz warancję estymatora β 1 przy założenu o prawdzwośc ogranczena porównaj z warancją estymatora w modelu bez ogranczeń równą nσ n n =1 ( n =1 ) wedząc, że n n =1 ( n =1 ). Skomentuj uzyskany wynk, czy jest on sprzeczny z twerdzenem Gaussa-Markowa? IMIĘ I NAZWISKO 4/8

6 Zadane 3 Na podstawe danych pochodzących z Badana Budżetów Gospodarstw Domowych badacze poszukwal determnantów wysokośc wydatków konsumpcyjnych na osobę w gospodarstwe domowym wk. Po przeprowadzenu analzy podobnych badań dla nnych krajów europejskch w zborze potencjalnych regresorów uwzględnl: dochód gospodarstwa domowego na osobę doch os, wek głowy gospodarstwa domowego jego nterakcje z dochodem, lokalzację gospodarstwa domowego: zmenne -1 dla gospodarstw mejskch gospodarstw z Warszawy (pozom bazowy: weś), źródło utrzymana gospodarstwa: zmenne -1 dla gospodarstw w których głowa pracuje praca, oraz głowa pobera emeryturę emerytura, oraz pozom wykształcena w gospodarstwe: zmenna -1 wskazująca na posadane przez głowę gospodarstwa wykształcena wyższego. Uzyskal następujące wynk: Number of obs = 37,189 R-squared =.756 F(9, 37179) = Adj R-squared =.754 Prob > F =. Root MSE = wk_os Coef. Std. Err. t P> t doch_os,89,6 14,3, plec 3,414 8, 3,8, wek -1,996,38-5,6, c.doch_os#c.wek,, 17,46, masto 13,858 8,9 15,43, warszawa 485,36 17,849 7,19, praca -13,73 11,87-1,,4 emerytura -8, 14,4-1,99,47 wyzsze 43,6 1,34 41,3, _cons 683,757 6,614 5,69, RESET test F(1, 3717) = 1115,56 P =, Breusch-Pagan ch(9) = 1.16e+6 P =, Jarque-Bera ch() > 1.e+16 P =, Mean VIF.8 gdze P oznacza wartość P. Odpowedz na ponższe pytana, uzasadnając swoje odpowedz stosownym oblczenam lub wartoścam statystyk. Przyjmj pozom stotnośc 1%. 1. Ile wynos efekt krańcowy wydatków konsumpcyjnych na osobę względem dochodów na osobę?. Ile wynos oczekwana różnca w wydatkach konsumpcyjnych na osobę mędzy gospodarstwem z Warszawy a gospodarstwem mejskm. 3. Czy formę funkcyjną modelu można uznać za poprawną? 4. Czy spełnone jest założene o (hper)sferycznośc składnka losowego? 5. Jake konsekwencje nese nespełnene założeń KMRL w tym modelu w jak sposób można rozwązać ten problem. IMIĘ I NAZWISKO 5/8

7 Rozwązana zadań Zadane 1 1. Macerz X X ma postać 1 1 X X = } 1.{{.. 1} 1 }. {{ } 1 1 = K K [ Zatem macerz (X X) 1 ma postać (X X) 1 = 1 [ [ 1 4K = 1 Macerz X y przyjmuje postać [ [ X y = yp = yn [ yt yp y N Zatem b = [ 1 [ [ yt yt 1 yp = y yp y N N = [ 1... Standardowy dowód neobcążonośc albo E(b) = E [ (X X) 1 X y = E [ (X X) 1 X (Xβ + ε) = E [ (X X) 1 X Xβ = β [ yt [ yt E(b) = E y P y N = poneważ w macerzy ne ma elementów losowych. y P y N 3. [ 1 [ σ (X X) 1 = σ 1 1 = Składnk losowy na mocy założeń modelu ma stałą warancję, czyl jest homoscedastyczny. Zadane 1. Macerz X składa sę z jednej kolumny n werszy węc estymator MNK: b = [ 1... n 1... n węc estymator jest neobcążony. 1 [ 1... n y 1... y n = y = 3 5 = 1, E(b) = E( y ) E( ) = E(y ) E(β + ε) = = β IMIĘ I NAZWISKO 6/8

8 . W tym przypadku wartość oczekwana zmennej zależnej wynos E(y ) = β + θ. Wobec tego wartość oczekwana estymatora jest równa E(b) = E( y ) E( ) = E(y ) = β + θ = β + θ A zatem estymator będze obcążony. Aby uzyskać neobcążony estymator np. wystarczy zauważyć, że ε = ξ + θ, gdze ξ N (, σ ). Wobec tego model można zapsać jako y = β + θ + ξ Ten model spełna założena modelu KMRL dla modelu ze stałą (θ), węc jego oszacowana będą neobcążone. 3. Mnmalzowana jest suma kwadratów reszt przy ogranczenu b = 4, czyl S R = (y 4 b 1 ). Pochodna względem b 1 jest równa: S b 1 = (y 4 b 1 ) = węc y 4 b 1 = wobec tego b 1 = Suma reszt w tym modelu ne będze równa zero y = = 1. 5 e = y 4 n + 1. = 13 4 n = 31 4 n Pommo tego, ż w modelu jest stała, to zostało na ną narzucone ogranczene, przez co przy szukanu mnmum sumy kwadratów reszt ne znajdujemy optmum, w zwązku z tym suma reszt ne mus być równa zero (naczej: narzucene ogranczena na stałą sprowadza model do modelu bez stałej). Przy prawdzwym ogranczenu wartość oczekwana zmennej objaśnanej jest równa E(b 1 ) = E(y ) 4 = 4 + β 4 = β 1 Przy fałszywym ogranczenu wartość oczekwana zmennej zależnej będze równa E(b 1 ) = E(y ) 4 = β + β 1 4 = β 1 + (β 4) czyl estymator będze obcążony. Obcążene będze proporcjonalne do różncy pomędzy rzeczywstą a zakładaną wartoścą parametru β. 4. Warancja estymatora b 1 jest równa ( y 4 ) ( (4 + β var(b 1 ) = var 1 + ε ) ) ( ε = var ) = var var(b 1 ) = var(ε ) ( ) = σ ( ) Czyl warancja w modelu z ogranczenam jest mnejsza lub równa warancj dla modelu bez ogranczeń. Ne jest to sprzeczne z twerdzenem Gaussa-Markowa, poneważ podczas konstrukcj modelu z ogranczenam wykorzystywane są dodatkowe nformacje pochodzące spoza próby. IMIĘ I NAZWISKO 7/8

9 Zadane Ewk os doch os = β doch os + β c.doch os##c.wek wek =,89 +,wek E(wk os warszawa) E(wk os masto) = β warszawa β masto = 485,36 13,858 = 361,468 Oczekwana różnca w wydatkach konsumpcyjnych na osobę mędzy gospodarstwam z Warszawy a mejskm wynos 361,468 zł. UWAGA: Uznawane były nne odpowedz, jeżel wskazane były przyjęte założena przy tych założenach oblczena były poprawne 3. Co prawda wynk testu RESET (p-value=) wskazuje na nepoprawną formę funkcyjną, lecz borąc pod uwagę, że model został skonstruowany na podstawe teor oraz szacowany jest na podstawe próby o dużej lczbe obserwacj formę funkcyjną należy uznać za poprawną. 4. Wynk testu Breuscha-Pagana (p-value=) wskazuje na heteroscedastyczność składnka losowego, zatem składnk losowy ne jest hpersferyczny 5. Konsekwencją heteroscedastycznośc są neprawdłowe oszacowana błędów standardowych, zatem wynk testów stotnośc t oraz F mogą być znekształcone. Aby temu zaradzć należy wykorzystać odporny na heteroscedastyczność estymator macerzy warancj-kowarancj, np. estymator Whte a. IMIĘ I NAZWISKO 8/8