POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS B sem. /
Obliczenia przeprowadzono w jednostkach: [kn, knm, knm, m, rad]. Obliczenia transformacji, mnożenia, dodawania macierzy oraz rozwiązywanie układów równań przeprowadzono przy pomocy programu SciLab (w opracowaniu załączono ostateczne postacie macierzy).. Dane wyjściowe. Dla układu o schemacie statycznym i obciążeniach przedstawionych na poniższym rysunku należy obliczyć rozkład sił wewnętrznych korzystając z komputerowej metody przemieszczeń (rama statycznie niewyznaczalna). Następnie należy skontrolować poprawność obliczeń wykonując kontrolę statyczną i nematyczną. RYSUNE. Schemat statyczny ramy wraz z obciążeniami i przekrojami prętów. W obliczeniach przyjęto: moduł sprężystości (jak dla stali): E 5 GPa przekrój : A 5, cm cm przekrój : A 57 5, cm cm sztywność podpory sprężystej: EA EA EA 955 k,5 kn / m 8 kn 8,5 5 m 87,5 m kn 5, cm 955 kn cm 8 kn 8,5 57 m 77 m kn 5 5, cm 95 kn cm knm knm
. Globalny układ współrzędnych (GUW). Globalny układ współrzędnych, szukane przemieszczenia węzłów ramy i numerację prętów przedstawiono na poniższym rysunku: RYSUNE. Określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności. Niewiadomymi w tym zagadnieniu są przemieszczenia poziome i pionowe, oraz kąty obrotu wszystch węzłów układu. Liczba niewiadomych przemieszczeń wynosi zatem.. acierze sztywności i wektory obc. przęsłowych poszczególnych prętów... Pręt. Pręt z przegubem z lewej strony w lokalnym układzie współrzędnych,, EA RYSUNE. Pręt w lokalnym układzie współrzędnych.
acierz sztywności elementu w LUW: 57,5 5,5 5,5 5,5 9, 9, 89 89 5,5 9, 9, 89 89 l ąt wiążący a-9,macierz sztywności pręta nr ( ) w GUW: 57,5 5,5 5,5 89 89 5,5 9, 9, 89 89 5,5 9, 9, C C Wektor obciążeń przęsłowych w GUW: 7,5, 5,5,,,5 7,5 5,5,,,5, 5 Pl P P N N N N R R
.. Pręt. Pręt obustronnie utwierdzony w lokalnym układzie współrzędnych,, EA. RYSUNE. Pręt w lokalnym układzie współrzędnych. acierz sztywności elementu w LUW: 9, 8,8 7,8 8,8 8,8 9, 8,8 9, 85 85 7,8 8,8 9, 8,8 8,8 9, 8,8 9, 85 85 l Ponieważ kąt wiążący a macierz sztywności pręta nr ( ) w LUW odpowiada macierzy sztywności w GUW: ] [ ] [ ] [ C C x x x Brak sił przęsłowych, wektor R jest wektorem zerowym o wymiarach x.
.. Pręt. Pręt obustronnie utwierdzony w lokalnym układzie współrzędnych,, EA. RYSUNE 5. Pręt w lokalnym układzie współrzędnych. acierz sztywności elementu w LUW (jak dla pręta w [P..]): 7,5 7,5,5,5,5,5,5 77,5 588,5 7,5 7,5,5,5,5,5,5 588,5,5 77 Ponieważ kąt wiążący a macierz sztywności pręta nr ( ) w LUW odpowiada macierzy sztywności w GUW (jak dla pręta [P..]): Wektor obciążeń przęsłowych w GUW: R R [ ] x N N. abela powiązań (alokacji). N N l,, l 8,, l, l 8, abela. abela powiązań przemieszczeń węzłów w LUW i GUW. 5 5 5 7 8 9 7 8 9
5. acierz sztywności układu po agregacji. abela. acierz sztywności układu po agregacji sumowanie. 5 7 8 9 9,,, -9,, 5,5, 89,, -89,,,,,,, -9,,, 9,+85,+, -5,5+, -85,, 5, -89,,+, 89+9,,+8,8, -9, 8,8 5,5,, -5,5+,,+8,8 57,5+9,, -8,8 7,8 7-85,, 85+7,5,+,,+, -7,5,, 8, -9, -8,8,+, 9,+,5-8,8+,5, -,5,5 9, 8,8 7,8,+, -8,8+,5 9,+77, -,5 588,5-7,5,, 7,5,,, -,5 -,5,,5 -,5,,5 588,5, -,5 77 Uwzględniając dodatkowo sztywność sprężyny,5 w macierzy (8,8): abela. acierz sztywności układu po agregacji -. 5 7 8 9 9,,, -9,, 5,5, 89,, -89,,,,,,, -9,,, 879,, -5,5-85,, 5, -89,, 99, 8,8, -9, 8,8 5,5,, -5,5 8,8,, -8,8 7,8 7-85,, 99,5,, -7,5,, 8, -9, -8,8, 9598, 588,55, -,5,5 9, 8,8 7,8, 588,55 8,, -,5 588,5-7,5,, 7,5,,, -,5 -,5,,5 -,5,,5 588,5, -,5 77
. Wektory sił przywęzłowych po agregacji. orzystając z tabeli powiązań z [P ] i wektorów obciążeń przywęzłowych dla poszczególnych prętów z [P ]: R,5,5,,,, 5,5 +, 5,5, +,, 7,5 +, 7,5, +,,,,,, 8, 8,,,,, 8, 8, 7. Globalny wektor obciążeń. Wektor obciążeń w GUW po agregacji: P Pw R,,5,5,,,,,,, 5,5 5,5,,,, 7,5,5,,,,,,, 8, 8,,,,,,,, 8, 8, Gdzie P w wektor zewnętrznych sił węzłowych w układzie globalnym.
8. Równanie równowagi układu: Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreślenie wierszy oraz kolumn nr,,,,) oraz redukcji kąta obrotu (nr ) przy przegubie otrzymujemy układ równań: P [ x] [ x] [ x] P 879,, 5,5 85,,, 99, 8,8, 9, 8,8 5,5 8,8,, 8,8 7,8 85,, 99,5,,, 9, 8,8, 9598, 588,55, 8,8 7,8, 588,55 8, 5 7 8 9 5,5,,5,, 8, Rozwiązaniem układu równań jest wektor przemieszczeń węzłowych w GUW: 5 7 8 9,,,75585,98 8,9598,897,578859 5,7795,,, Przy czym wartość przemieszczenia jest wartością nieznaną, przyjętą umownie jako, umożliwiająca dalsze obliczenia w programach kalkulacyjnych, jednocześnie nie wpływającą na ich wyni.
9. Wektory przemieszczeń poszczególnych prętów w GUW i LUW. PRĘ : 8,9598,75585,98,, 8,9598,98,75585,, PRĘ : [ ] 5,7795,578859,897 8,9598,98,75585 5,7795,578859,897 8,9598,98,75585 x PRĘ : [ ],,, 5,7795,578859,897,,, 5,7795,578859,897 x. Wektory reakcji węzłowych w LUW. orzystając z równania równowagi elementu: e e e e R R + Otrzymujemy:,79,599,98,,,98 R,,98,559 5,79,98,559 R,58,,559, 9,9,559 R
. Rozkład sił wewnętrznych. Reakcje podporowe układu określono odczytując je z wektorów reakcji węzłowych w LUW dla odpowiednich elementów i erunków przemieszczeń. RYSUNE. Reakcje podporowe. Na ich podstawie (lub korzystając z wektorów reakcji węzłowych) określamy rozkład sił wewnętrznych w układzie. RYSUNE 7. Wykres momentów zginających. RYSUNE 8. Wykres sił tnących.
RYSUNE 9. Wykres sił normalnych.. ontrola obliczeń... ontrola statyczna Suma rzutów sił zewnętrznych działających na konstrukcję oraz sumaryczny moment zginający względem dowolnego punktu muszą być równe. orzystając z [RYS. ]: X : Y : 8,,559 kn,98 8,5, kn A : 8,5, 8,5 5 + 7, 9 +,58,559 5, knm.. ontrola nematyczna. orzystając z zasady pracy wirtualnej, twierdzenia redukcyjnego i twierdzenia ohra obliczamy dowolne (znane) przemieszczenie. Wykażemy, że przemieszczenie poziome punktu A [RYS. ] jest równe. Po obciążeniu wirtualna siłą jednostkową po erunku przemieszczenia poziomego pkt. A otrzymujemy następujące wykresy sił przekrojowych: [m] [ ] RYSUNE. Wykresy sił przekrojowych od wirtualnego obc. jednostkowego.
Równanie pracy wirtualnej: N N R R, δ A dx + dx + EA k orzystając z twierdzenia ohra i podstawiając niezbędne dane otrzymujemy: δ A EA 8,,79 8,,5,5,5,5 +,5 +,5,5 +,5 + 5,79 +, 55 + 5,58 8 [, 9(,559) ], 5 + 5 + 9,57 5,55, 9,57 5,55, 8 δ A + + + + 9, EA 87,5 77 95 [ m] Przeprowadzone kontrole potwierdzają poprawność wykonanych obliczeń.