Modelownie i obliceni technicne Model mtemtycny w potci trnmitncji
Model mtemtycny w potci trnmitncji Zkłdjąc, że leżność międy y i u możn opić linowym równniem różnickowym lub różnicowym, możliwe jet utworenie modelu w potci tw. trnmitncji (funkcji prejści) po toowniu trnformcji T prektłcjącej te równni do potci lgebricnej. u G y G T T ( y( t) ) ( u( t) )
Model mtemtycny w potci trnmitncji Jeżeli nn jet trnmitncj G ukłdu dynmicnego możn jego odpowiedź y n ygnł wejściowy u wyncyć równni lgebricnego: T ( y( t) ) G T ( u( t) ) po toowniu trnformcji T prektłcjącej ygnł u do potci trnformty, ntępnie trnformcji odwrotnej T - do otrymnego wyniku. 3
Model mtemtycny w potci trnmitncji Do ytemów cu ciągłego (opinych równnimi różnickowymi) touje ię trnformcję Lplce. Do ytemów cu dykretnego (opinych równnimi różnicowymi) touje ię trnformcję Lurent (prektłcenie Z). 4
Trnformcj Lplce Trnformcj Lplce jet definiown ntępująco: F ( ) L{ f ( t) } f ( t) jet mienną epoloną. Trnformt F() funkcji f(t) jet funkcją epoloną n płcyźnie miennej epolonej. e t dt Odwrotn trnformcj Lplce jet definiown ntępująco: f c i πj t ( t) L { F( ) } F( ) e d, t > ci 5
Włności trnformcji Lplce Liniowość { f ( t) b f ( t) } L{ f ( t) } b L{ f ( t) } L Trnformt pochodnej funkcji df L dt ( { ( )}) ( L f t f ) Pochodn trnformty F ( ) L{ t f ( t) } 6
7 Włności trnformcji Lplce Cłk trnformty ( ) ( ) F d f L t τ τ Preunięcie w diedinie trnformty ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) t f e F L F t f e L t t ; Trnformt cłki ( ) ( ) d F t t f L σ σ Preunięcie w diedinie cu ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) t t f F e L F e t t f L ;
Trnformty Lplce wybrnych funkcji - delt Dirc Źródło: http://pl.wikipedi.org 8
Prykłd wyncni trnmitncji Różnickow leżność międy ygnłem wejściowym u ukłdu dynmicnego. rędu ygnłem wyjściowym y: ( t) d y( t) dy du y( t) bu( t) b b dt dt dt ( ) Y ( ) Y ( ) b U ( ) b U ( ) b U ( ) Y ( t) d u( t) Po toowniu trnformcji Lplce otje prektłcon do potci: dt Ilor trnformt ygnłów dje trnmitncję ukłdu o potci: G ( ) Y U ( ) b b b ( ) Jet to tw. trnmitncj opertorow. 9
Prykłd - wyncenie trnmitncji mortyownego ndwoi m m Zdnie poleg n nleieniu funkcyjnej leżności pomiędy drgnimi ndwoi x w funkcji wymuonych podc jdy drgń x wynikjących nierówności ndwoi. x Dne: m m ndwoi k tywność prężyny mortytor b tłumienie tłumik x Sił, jką ukłd oddiłuje n podłoże, jet umą ił wynikjących ciężru obiektu, miny wyokości i prędkości tej miny.
Prykłd - wyncenie trnmitncji mortyownego ndwoi Równnie ruchu ukłdu m potć równni różnickowego: m d x dt dx b dt dx dt k [ x x ] Po toowniu trnformcji Lplce otrymuje ię potć: m X ( ) bx ( ) bx ( ) kx ( ) kx ( ) Cyli trnmitncj opertorow będie opin ntępująco: G ( ) X X ( ) b k ( ) m b k
Trnformcj Lurent prektłcenie Z Trnformcj Lurent dykretnego ciągu x(n) jet definiown ntępująco: X ( ) Z( x( n) ) x( n) n jet mienną epoloną. Trnformt X() ciągu x(n) jet funkcją epoloną n płcyźnie miennej epolonej. n Trnformt odwrotn dn jet worem: x πj ( n) Z ( X ( ) ) X ( ) C n d C kontur mknięty otcjący obr bieżności
Njwżnieje włności prektłceni Z Liniowość { f ( nt ) b f ( nt )} F ( ) b F ( ) Z Trnformt funkcji preuniętej o k (c dykretny) Z k ( x( n k) ) Z( x( n) ) Trnformt plotu 3
Prektłcenie Z wybrnych funkcji Impul jednotkowy: Skok jednotkowy: Źródło: http://pl.wikipedi.org 4
5 Prykłd wyncni trnmitncji Zleżność międy ygnłem dykretnym u n wejściu bdnego ukłdu ygnłem wyjściowym y: Po toowniu trnformcji Z otje prektłcon do potci: Ilor trnformt ygnłów dje trnmitncję ukłdu o potci: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n u b n b u n u b n y n y n y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U b U b b U Y Y Y ( ) ( ) ( ) b b b U Y G
Ztoownie prektłceni Z w cyfrowym pretwrniu ygnłów Prektłcenie Z może być pine ntępująco: X ( ) ( ) ( )( ) n jω ( ) n jnω n x n x n re x n r e Dl r równnie powyże, jet równowżne eregowi Fourier. Jeżeli X() jet trnmitncją ukłdu dykretnego, to jej wrtości dl wyncją chrkterytykę cętotliwościową tego ukłdu w diedinie cętotliwości dykretnych. e jω r 6
Ztoownie prektłceni Z w cyfrowym pretwrniu ygnłów W cególności modelowny ukłd może być filtrem cyfrowym. Ktłtownie chrkterytyki cętotliwościowej filtru poleg n odpowiednim uktłtowniu jego trnmitncji. Itnieje ereg metod projektowni chrkterytyki filtrów cyfrowych polegjących n ktłtowniu trnmitncji, np. metod bepośredniego romiecni er i biegunów. 7
8 Prykłd projektowni filtru cyfrowego n podtwie trnmitncji filtru nlogowego Trnmitncj filtru nlogowego: ( ) H T S Ztoownie podtwieni godnego metodą trnformcji biliniowej: dje trnmitncję filtru cyfrowego o tkiej mej chrkterytyce: ( ) T T T T T H S S S S S Gdie T jet okreem próbkowni.