DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolse Semnarum Nauowe, 4 7 wrześna 2007 w Torunu Kaedra Eonomer Saysy, Unwersye Mołaja Koperna w Torunu Marola Płaowsa Unwersye Mołaja Koperna w Torunu Przegląd model realzujących posula zgodnośc 1. Problemy dynamcznego modelowana Do luczowych zagadneń dynamcznego modelowana należy zalczyć nesacjonarność procesów eonomcznych. W cągu osanch ludzesęcu la można wyróżnć rzy główne podejśca do nesacjonarnośc znajdujące odzwercedlene w różnej deompozycj procesów eonomcznych. (1) Do począu la sedemdzesąych XX weu domnowała radycyjna deompozycja, j. Y = P + S + C + η, gdze: P deermnsyczny sładn rendu, S deermnsyczne wahana sezonowe, C deermnsyczne wahana onunuralne, η sładn sochasyczny modelu, o órym załadano, że jes sacjonarny. Deompozycja a załada, że procesy eonomczne są nesacjonarne w średnej. W onsewencj domnującym podejścem w modelowanu dynamcznym była sraega zawsze brać pozomy (lub odchylena do rendu deermnsycznego), jeżel procesy eonomczne były nesacjonarne. (2) Od połowy la sedemdzesąych XX weu, a doładne od czasu publacj pracy Boxa Jenna, popularyzującej modelowane ARIMA dla procesów znegrowanych, a aże aryułu Grangera Newbolda (1974), zwracającego uwagę na nebezpeczeńswo pozornej zależnośc, gdy procesy są nesacjonarne, a przede wszysm od przełomowego aryułu Nelsona Plossera (1982), doyczącego odróżnena ypu nesacjonarnośc procesów maroeonomcznych, zaczęo preferować alernaywną deompozycję nesacjonarnych procesów, j. Y = μ + γ + ξ + η, gdze: μ rend sochasyczny, γ sezonowość sochasyczna, ξ cylczność sochasyczna, η sacjonarny sładn sochasyczny. Taa deompozycja załada, że procesy są nesacjonarne w warancj, a w onsewencj proces jes sprowadzany do sacjonarnego poprzez oblczane przyrosów rzędu d. W onsewencj sraega zawsze różncować (brać przyrosy), gdy procesy są nesacjonarne, zaczęła od ego czasu zdoby-
12 Marola Płaowsa wać przewagę 1. Jednocześne nesłuszne, ale jaby w sposób auomayczny, zaczęo ojarzyć nesacjonarność procesów eonomcznych ylo z nesacjonarnoścą w warancj 2. (3) Od połowy la dzewęćdzesąych XX weu, po burzlwej debace mędzy zwolennam ezy, że procesy eonomczne są nesacjonarne w średnej (o sacjonarnych odchylenach od rendu deermnsycznego), a zwolennam ezy, że procesy eonomczne są w węszośc nesacjonarne w warancj (o sacjonarnych przyrosach), debace nerozsrzygnęej, zaczęła domnować deompozycja, órą ogólne można zapsać: Y = P + S + C + μ + γ + ξ + η. Ta zaps wsazuje na szeroą lasę procesów nesacjonarnych zarówno w warancj (z rendem sochasycznym), ja w średnej (z rendem deermnsycznym). Oznacza o zaacepowane, że neóre procesy eonomczne mogą być nesacjonarne w warancj (np. ursy waluowe, ndesy gełdowe), a nne nesacjonarne w średnej (np. producja, dochody, sprzedaż). Z debay ej wynają pewne sugese. Perwsza prayczna wsazówa jes nasępująca: wyn esowana pownny być raowane z osrożnoścą. Ne oznacza o bynajmnej rezygnacj z wyboru mędzy procesam nesacjonarnym w średnej w warancj na rzecz pełnej acepacj jednej ze sraeg: zawsze różncować lub zawsze brać pozomy. Tesy e mogą sanowć użyeczne narzędze dagnosyczne przy specyfacj modelu dla celów prognosycznych, gdyż wedy ch zadanem ne byłoby wsazane prawdzwego modelu, a raczej modelu, óry dawałby doładnejsze prognozy. Druga wsazówa, a manowce, że głównym zadanem ne pownen być wybór mędzy podejścem zawsze różncować czy zawsze brać pozomy, lecz budowa modelu dynamcznego w a sposób, aby proces reszowy mał pożądane własnośc. Wsazówa a prowadz w soce do różnych oncepcj modelowana realzujących posula zgodnośc (sformułowany przez Grangera, 1981). Celem aryułu jes syneyczna prezenacja oncepcj modelowana, óre realzują posula zgodnośc w sense Grangera, wsazane na podobeńswa różnce. 1 Sugesa a wynała ze wsazań esów na perwas jednosowe, óre mając nsą moc preferowały hpoezę zerową o nesacjonarnośc w warancj (negracj rzędu perwszego). Należy wyraźne podreślć, że różnca mędzy obydwoma podejścam ( zawsze brać pozomy zawsze różncować ) ne doyczy ylo sposobu elmnacj nesacjonarnośc, lecz jes znaczne głębsza, poneważ odnos sę do odmennej nerpreacj wahań procesów eonomcznych (Płaowsa, 2003). 2 Jes o szczególne wdoczne w polsch podręcznach eonomer.
Przegląd model realzujących posula zgodnośc 13 2. Posula zgodnośc w różnych oncepcjach dynamcznego modelowana Idea (czy posula) zgodnośc, sformułowana przez Grangera (1981), głos, że jeżel proces objaśnany ma pewne domnujące własnośc, ae ja: slna auoregresja, sezonowość, rend w średnej czy rend w warancj, o model eonomeryczny może być uznany za zadowalający, gdy procesy objaśnające mają ae same domnujące własnośc 3. Model spełnający en warune Granger (1992) oreślł modelem zrównoważonym (ang. balanced). Jeżel warune en ne jes spełnony, o własnośc procesu objaśnanego, newyjaśnone przez odpowedne domnujące własnośc procesów objaśnających, pojawą sę w procese reszowym, óry wedy będze mał cechy nepożądane z punu wdzena esymacj wnosowana. W różnych oncepcjach dynamcznego modelowana dea a jes realzowana w różny sposób, przy czym odwołane sę do de zgodnośc ne zawsze odbywa sę explce. Do oncepcj realzujących deę zgodnośc należą: (1) oncepcja modelowana zgodnego według Zelńsego (1984), (2) oncepcja modelowana od ogólnego do szczególnego według Hendry ego (2000), (3) oncepcja onegracj (Engle, Granger, 1987) wraz z modelem orey błędem, (4) oncepcja modelowana VAR (Sms, 1980). Koncepcja modelowana zgodnego według Z. Zelńsego Isoą oncepcj modelowana zgodnego według Z. Zelńsego (1984) jes budowa modelu przyczynowo-suowego z uwzględnenem nformacj o wewnęrznej sruurze badanych procesów 4 (rend, sezonowość, auoregresja) w a sposób, aby proces reszowy mał własnośc bałego szumu. Proces budowy modelu zgodnego rozpoczyna sę od oreślena wewnęrznej sruury procesów, czyl zbudowana model sruury, j.: Y = P + S + η, B( u) η = ε, (1) X y y y y y = P + S + η, A ( ) η = ε, = 1, 2, K,, (2) x x x u x x gdze: oznaczają welomanowe funcje zmennej czasowej, S y P y S x P x sładn sezonowe o sałej lub zmennej ampludze wahań, η x sacjonarne procesy auoregresyjne odpowedno dla procesu Y procesów X, B(u) A (u) są auoregresyjnym operaoram, dla órych wszyse η y 3 Ta rozumany warune zgodnośc można rozszerzyć na warancje warunowe (Fszeder, 2006). 4 Koncepcja modelowana zgodnego ma zasosowane zarówno w odnesenu do procesów nesacjonarnych w średnej, ja w warancj, przy czym nerpreacja paramerów w modelach dla pozomów procesów przyrosów procesów jes odmenna.
14 Marola Płaowsa perwas równań B(u) =0 A (u) =0 leżą poza oręgem jednosowym, a ε ε oznaczają bałe szumy dla odpowednch procesów. y x Nasępne na podsawe zależnośc dla bałoszumowych sładowych, j.: ε y = ρε x + ε (3) =1 oraz nformacj o wewnęrznej sruurze badanych procesów (por. (1), (2)) orzymuje sę sarową specyfację 5 modelu zgodnego o posac: B( u) Y = = 1 A ( u) X ρ + P + S + ε, (4) gdze: A ( u) = A ( u), P = B( u) P A ( u) P, S = B( u) S lub alernaywne: y = 1 q y q x Y = βsy s + = 1 s= 0 αs X, s + P + S + s= 1 x ε. y A ( u) S Należy zauważyć, że proces reszowy w modelu (5) jes a sam ja w modelu (3), co oznacza, że warune zgodnośc wewnęrznych sruur lewej prawej srony równana zosał spełnony. Specyfacja modelu (5) obejmuje ogólne rzy sładn: opóźnena procesu objaśnanego Y s, beżące opóźnone procesy objaśnające X, s oraz sładn rendowo-sezonowy P + S. Każdy z nch pełn nną rolę. Opóźnena procesu objaśnanego należy nerpreować w aegorach elemenów zasępczych. Pojawają sę one, gdy: (a) w modelu pomnęo ważne czynn dla wyjaśnena procesu objaśnanego, (b) zależność procesu Y względem X po częsoścach jes nejednaowa (np. paramer zależnośc dla sładowych o nsch częsoścach jes nny nż dla sładowych o wysoch częsoścach). Drug sładn, beżące opóźnone procesy objaśnające pełną z jednej srony rolę czynnów przyczynowych, z drugej rolę czynnów zasępczych uzgadnających lewą prawą sronę modelu, przy czym rzędu auoregresj jes oreślany w wynu badana wewnęrznej sruury badanych procesów. Włączene do modelu sładna rendowo-sezonowego oznacza, że ze wszysch procesów zosała wyelmnowana nesacjonarność w średnej, czyl paramery β s α s merzą zależnośc na pozome procesów sacjonarnych. Warune zgodnośc jes spełnony, jeżel proces reszowy ma własnośc bałego szumu (bra auoorelacj, homoscedasyczność warancj, normalność rozładu). Koncepcja modelowana od ogólnego do szczególnego według D. Hendry ego W modelowanu od ogólnego do szczególnego analza rozpoczyna sę od sformułowana ogólnej specyfacj modelu (GUM General Unresrced Mo- = 1 x (5) 5 Sarowa specyfacja (5) po oszacowanu posada na ogół nadmarowe, nesone procesy, óre są elmnowane za pomocą odpowednch meod reducj. W wynu sopnowej reducj nesonych czynnów orzymuje sę model zgodny zreduowany do czynnów sonych.
Przegląd model realzujących posula zgodnośc 15 del, Hendry, 2000), óra, po przeprowadzanu esów dagnosycznych na błąd specyfacj 6, jes upraszczana do emprycznego modelu zgodnego, czyl oszczędnego pod względem specyfacj modelu, óry obejmuje model generujący dane (Mzon, 1995; Bonemps, Mzon, 2001). W soce sarowa specyfacja modelu może przyjąć posać (5). Różnca w formułowanu począowej wersj modelu w sosunu do modelowana zgodnego według Zelńsego polega na odmennym podejścu do badana wewnęrznej sruury poszczególnych procesów. W modelowanu od ogólnego do szczególnego najczęścej wprowadza sę rend lnowy, w celu uwzględnena ewenualnej nesacjonarnośc w średnej, a rząd auoregresj usala sę jao pewen masymalny rząd (w zależnośc od lczby dosępnych obserwacj lczby procesów objaśnających) wspólny dla wszysch procesów objaśnających na am pozome, aby proces reszowy mał własnośc bałoszumowe, a ne ja w modelu zgodnym według Zelńsego, w órym sarową specyfację oreśla sę na podsawe oddzelnego badana sruury badanych procesów (rzędy auoregresj dla procesów objaśnających są na ogół nejednaowe, a aże sopeń rendu jes wyższy nż jeden). Kolejna różnca w obu oncepcjach modelowana doyczy sposobu elmnacj nesonych czynnów. W procedurze modelowana zgodnego według Zelńsego preferuje sę eracyjną meodę selecj a poseror, naomas w modelowanu od ogólnego do szczególnego auomayczną procedurę dochodzena od ogólnej, począowej wersj modelu (GUM) do emprycznego, szczególnego modelu zgodnego (emprcal congruen model), zaproponowaną przez Hendry ego Krolzga (1999). Procedura a polega ne ylo na prosej elmnacj nesonych procesów (pojedynczo grupowo) za pomocą esów selecj, ale równeż na poszuwanu welu śceże reducj w celu zabezpeczena algorymu przed auomayzmem prowadzącym do przypadowej elmnacj ważnego procesu, jednocześne pozosawena nnych procesów jao zasępczych czynnów. W przypadu orzymana lu model, spełnających ryerum zgodnośc, wyboru najlepszego doonuje sę na podsawe esów obejmowana (encompassng ess) oraz ryerum selecj Aae a, Schwarza Hannana- Qunna. Cała procedura reducj ogólnego modelu do szczególnego jes możlwa do przeprowadzana przy wyorzysanu modułu PcGes paeu 7 OxMercs. Koncepcja onegracj model orey błędem Idea onegracj sformułowana przez Engle a Grangera (1987) załada, że ombnacja procesów nesacjonarnych w warancj, z órych ażdy jes znegrowany rzędu perwszego, I(1) ne ma rendu w średnej, jes sacjonarna 6 Tesowane: brau auoorelacj procesu reszowego, bezwarunowej warunowej homoscedasycznośc warancj sładna reszowego, normalnośc rozładu sładna reszowego, sablnośc paramerów sruuralnych. 7 www.mberlae.co.u.
16 Marola Płaowsa (czyl znegrowana rzędu zerowego, I(0)) 8. Oznacza o, że sneje - wymarowy weor θ, że ombnacja Z = Y θ X, gdze ( x 1) weor procesów objaśnających, jes sacjonarna. Weor onegracyjny θ elmnuje rend sochasyczny (nesacjonarność w warancj) jednocześne jes o weor merzący zależność mędzy Y a X na pozome procesów sacjonarnych. Zależność dla procesów sonegrowanych może być przesawona w forme modelu orey błędem (Engle, Granger, 1987): gdze p q j = 1 j j = 1 j = 0 j, j 1 =, ΔY = α ΔY + β ΔX + δ ( Y 1θ X 1 ) + η, (6) EC 1 = Y 1 = 1θ X, 1 jes sładnem orey błędem posadającym własność sacjonarnośc, poneważ procesy Y X są sonegrowane. Paramery θ są parameram długooresowej zależnośc (równowag) Y od X czy eż mnożnem Y względem X nformującym o reacj Y na jednosową zmanę X. Naomas paramer δ merzy szybość powrou do równowag, j. reację na różncę mędzy Y od X w poprzednm orese. Model (6) jes w soce modelem realzującym deę zgodnośc. Jes ona jedna realzowana w nny sposób nż w poprzednch oncepcjach modelowana. Model orey błędem jes zbudowany dla procesów-przyrosów, j. dla procesów przeszałconych za pomocą flru różncowego, óry usuwa dość szeroe pasmo nsch częsośc odpowadających sładnom długooresowym ( jednocześne elmnuje nesacjonarność w warancj, ale eż w średnej). Zaem paramery β j są maram zależnośc róooresowej dla sacjonarnych przyrosów procesów. Jedna model ylo dla przyrosów ΔY ΔX, nawe jeżel będze uwzględnał ch auoregresyjną sruurę, ne jes wysarczający dla uzysana zgodnośc modelu. Koneczne jes jeszcze usunęce auoorelacj sładna reszowego, óra pojawa sę na ogół jao efe zasosowana flru różncowego. Usunęce ej auoorelacj jes możlwe poprzez włączene do modelu orey błędem EC -1, óra pełn rolę czynna uzgadnającego sruurę lewej prawej srony modelu. Wprowadzene zaem orey błędem ma na celu ne ylo uzysane nformacj o szybośc powrou sysemu do równowag, ale równeż zapewnene lepszych własnośc procesu reszowego. W rezulace model spełna warune zgodnośc, poneważ sruura lewej prawej srony modelu jes denyczna (w onsewencj usunęca nesacjonarnośc poprzez oblczane przyrosów, uwzględnene ch wewnęrznej sruury, a aże dodana orey błędem, óra jes sacjonarna), paramery merzą zależnośc na pozome procesów sacjonarnych, a sładn losowy ma pożądane własnośc bałoszumowe. Należy jedna pamęać, że pommo ż ombnacja lnowa procesów nesacjonarnych jes sacjonarna, o sneje możlwość wysąpena efeów ja przy pozornej zależnośc dla relacj długooresowej Y od 8 Perwsza wzmana o procesach sonegrowanych pojawła sę już wcześnej w aryule Grangera (1981), w órym równeż zosała zarysowana dea zgodnośc modelu. X
Przegląd model realzujących posula zgodnośc 17 X (sona zależność przy wysoej warośc współczynna deermnacj mocno sorelowanych reszach, R 2 > DW) ze względu właśne na pomnęce elemenów wewnęrznej sruury (opóźneń procesów) 9. Koncepcja modelowana VAR Model weorowej auoregresj VAR (Vecor AuoregRegresson) ma posać: Y = A1Y 1 + A2Y 2 + K + AY + ε, (7) gdze Y weor (n x 1) procesów modelu, A macerze paramerów przy weorze procesów opóźnonych Y -, = 1, 2,...,, ε welowymarowy sacjonarny proces reszowy. Załada sę, że sładn reszowe w poszczególnych równanach ne są zauoorelowane, naomas dopuszcza sę możlwość powązań, mędzy sładnam poszczególnych równań. Poszczególne równana modelu VAR mogą być uzupełnone przez zmenne deermnsyczne, j. sałą, rend deermnsyczny, zero-jedynowe zmenne sezonowe. Wedy w modelu (11) pojaw sę dodaowo człon A 0 D, D weor zmennych deermnsycznych, A 0 macerz paramerów przy zmennych weora D. W en sposób można uwzględnć nesacjonarność w średnej badanych procesów. W przypadu nesacjonarnośc w warancj (rend sochasyczny) model VAR jes zapsywany dla przyrosów procesów. Do modelu (11) można aże dodać pewne procesy egzogenczne. W przypadu onegracj procesów model VAR jes punem wyjśca do budowy modelu orey błędem dla weora procesów Y (VECM, Vecor Error Correcon Model). Model VAR z włączonym sładnem deermnsycznym realzuje warune zgodnośc poprzez dążene do aej specyfacj modelu, óra zapewnłaby bałoszumowe własnośc procesu reszowego. Od modelu zgodnego różn go sposób usalana lczby opóźneń. W modelu zgodnym lczba opóźneń wyna z badana wewnęrznej sruury poszczególnych procesów, a w modelu VAR z arbralnego przyjęca oreślonej masymalnej długośc opóźnena, óra nasępne jes reduowana za pomocą odpowednch esów. Dodaowo welorównanowy model zgodny, óry jes modelem sruuralnym, dopuszcza możlwość wysąpena jednoczesnych powązań mędzy procesam endogencznym, a w modelu VAR aej możlwośc ne ma ze względu na o, że model en jes zreduowaną posacą modelu welorównanowego. 3. Podsumowane Wszyse syneyczne przedsawone oncepcje modelowana zależnośc mędzy procesam nesacjonarnym łączy dea zgodnośc, czyl dążena do budowy modelu eonomerycznego, óry uwzględnałby domnujące własnośc procesów objaśnanych objaśnających. Aracyjność ego odejśca polega na 9 Wyn badań symulacyjnych w odnesenu do pozornej zależnośc mędzy nezależnym zależnym procesam auoregresyjnym przedsawl m. n. Granger, Hung, Jeon (1998), Płaowsa (2003).
18 Marola Płaowsa orzyścach wynających dla esymacj wnosowana saysycznego (m.n. unnęce suów brau różncowana neporzebnego różncowana, nebezpeczeńswa pozornej zależnośc). Ne bez znaczena jes przydaność w prognozowanu, poneważ model realzujący warune zgodnośc na ogół pozwala orzymać lepsze prognozy. Mmo jedna spełnena warunu zgodnośc, modele e będą różnć sę pod względem nerpreacj eonomcznej, szczególne modele dla pozomów procesów modele dla przyrosów procesów. Wybór modelu zaem należy rozparywać w oneśce możlwośc współsnena model o różnych specyfacjach nż poszuwana jedynego prawdzwego modelu. Leraura Bonemps, C., Mzon, G. E. (2001), Congruence and Encompasng, w: Sgum, B. (red.), Sudes n Economc Mehodology, Cambrdge, Mass., MIT Press. Engle, R. F., Granger, C. W. J. (1987), Co-negraon and Error Correcon Represenaon: Esmaon and Tesng, Economerca, 55, 251-276. Fszeder, P. (2006), Consequences of Congruence for GARCH Modellng, w: Zelńs, Z. (ed.), Dynamc Economerc Models, Wydawncwo UMK, Toruń, 143 149. Ganger, C. W. J. (1981), Some Properes of Tme Seres Daa and her Use n Economerc Model Specfcaon, Journal of Economercs, 16, 121 130. Granger, C. W. J. (1992), Where Are he Conroverses n Economerc Mehodology?, w: Granger, C. W. J. (red.), Modellng Economc Seres, Clarendonpress, Oxford. Granger, C. W. J., Hyung, N., Jeon, Y. (1992), Spurous Regressons wh Saonary Seres, Dscusson Paper 98-25, Unversy of Calforna, San Dego. Granger, C. W. J., Newbold, P. (1974), Spurous Regresson n Economercs, Journal of Economercs, 2, 111-120. Hendry, D. F. (2000), Economercs: Alchemy or Scence?, Oxford Unversy Press, Oxford. Hendry, D. F., Krolzg, H.-M. (1999), Improvng on Daa Mnng Reconsdered by K. D. Hoover and S.J. Peres, Economercs Journal, vol. 2. Mzon, G. E. (1995), Progressve Modellng of Macroeconomc Tme seres: he LSE Mehodology, w: Hoover, K. D. (red.), Macroeconomcs: Developmens, Tensons and Prospecs, Dordrech: Kluver Acadmc Press. Nelson, C. R., Plosser, C. I. (1982), Trends and Random Wals n Macroeconomc Tme Seres: Some Evdence and Implcaons, Journal of Moneary Economcs, 10, 139-162. Płaowsa, M. (2003), Modelowane nesacjonarnych procesów eonomcznych. Sudum meodologczne, Wyd. UMK, Toruń. Sms, C. A. (1980), Macroeconomcs and Realy, Economerca, 48, 1-48. Zelńs, Z. (1984), Zmenność w czase sruuralnych paramerów modelu eonomerycznego, Przegląd Saysyczny, z. 1/2, 135 148. Zelńs, Z. (2002), Analza wybranych oncepcj modelowana dynamcznego w eonomer, w: Zelńs, Z., Analza eonomcznych procesów sochasycznych. Psma wybrane, Wyd. UMK, Toruń.