1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

Podobne dokumenty
Przestrzenie liniowe

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Układy równań liniowych

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

14. Przestrzenie liniowe

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Rozwiązania, seria 5.

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych

9 Przekształcenia liniowe

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Kombinacje liniowe wektorów.

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Przestrzenie wektorowe

Przekształcenia liniowe

Praca domowa - seria 6

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

1 Działania na zbiorach

Zadania egzaminacyjne

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

1 Macierze i wyznaczniki

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

13 Układy równań liniowych

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.

1 Zbiory i działania na zbiorach.

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS

Przestrzenie liniowe

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

1 Relacje i odwzorowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

3 Przestrzenie liniowe

Wektory i wartości własne

Algebra liniowa z geometrią

1 Podobieństwo macierzy

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Układy liniowo niezależne

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I

Prawdopodobieństwo i statystyka

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Wektory i wartości własne

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

a) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;

Statystyka i eksploracja danych

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Transkrypt:

B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R 4 wynoszą [ 3, ], a wektora (, 6, 0, ) wynoszą [ 3, 4 ] Wyznaczyć tę bazę tabelkę Ponadto C 2 Suma sporządzać Zbadać liniową niezależność funkcji x,, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [, ) 2 Znaleźć macierz przejścia z bazy {( 2, 0, ), (,, ), ( 0,, )} do bazy {(,, ), (, 0, ), ( 0, 0, )} przestrzeni R 3 Odpowiedzi do zestawu B Dane wektory nie tworzą bazy 2 Szukana baza { (, 3 2, 4, ), ( 0, 2,, ) } 3 3 Funkcje są liniowo niezależne 0 2 2 0 2 Odpowiedzi do zestawu C

E 2 Suma Wektory u, v, w należą do przestrzeni liniowej U Zbadać, czy wektor 5 u 3 v + 4 w jest kombinacją liniową wektorów u v + 2 w, 2 u v + w, 4 u 3 v + 5 w 2 Podać wymiary przestrzeni liniowych macierzy stopnia 4: i) symetrycznych; ii) antysymetrycznych; iii) diagonalnych; iv) trójkątnych górnych Odpowiedzi do zestawu E Dany wektor jest kombinacją liniową wskazanych wektorów 2 Wymiary wynoszą kolejno 0, 6, 4, 0 tabelkę Ponadto L 2 Suma sporządzać Uzasadnić z definicji liniową niezależność funkcji f, g, h : R R mających pochodne rzędu 2 i spełniających warunek f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) g ( ) h ( ) h ( ) h ( ) > 0 2 Wektory (, 3,,, 3 ), ( 2, 7, x, 4, 5 ), ( 3, 8, 5, 0, ) tworzą bazę przestrzeni liniowej zawierającej wektor u = (, 2, 8, y, 0 ) Podać x, y oraz znaleźć współrzędne wektora u w danej bazie Odpowiedzi do zestawu L Funkcje są liniowo niezależne 2, współrzędne x =, y = [, 3, 2 ]

U 2 Suma Uzasadnić, że funkcje x, x 2, x + e x, x 2 + e x są liniowo zależne w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na zbiorze R 2 Napisać macierz przejścia z bazy B do bazy B przestrzeni R 3 dla B = { ( 2,, 0 ), ( 2, 0, ), ( 2, 0, 0 ) }, B = { ( 2, 0, ), ( 0,, ), ( 2,, 0 ) } tabelkę Ponadto V 2 Suma sporządzać Uzasadnić, że funkcje 2x + 5 cos x, 5x 2 cos x, x są liniowo zależne w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 0, 2π ] 2 Napisać macierz przejścia z bazy B = { x 2 2, x 2 x, 2 + x } do bazy B = { 2 x, x 2 + 2, 2 } przestrzeni R 2 [x] --- 0 2 0 2 2 2 Odpowiedzi do zestawu U --- 0 2 2 2 0 2 Odpowiedzi do zestawu V

X 2 Suma Określić wymiar przestrzeni liniowej V utworzonej z wektorów v = ( s + 2u, s + t + 3u, 2s t + 3u, s + 2t + 4u ), gdzie s, t, u R 2 Znaleźć współrzędne wektora p = x 3 6x 2 + 3x w wybranej bazie przestrzeni liniowej U = { p R 3 [x] : p ( 3 ) = 3p ( 3 ) } tabelkę Ponadto Y 2 Suma sporządzać Podać wymiar podprzestrzeni lin { ln 3x, ln 5x, ln 7x, ln 9x } przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale (0, ) 2 Wskazać bazę przestrzeni R 3, w której wektor (, 0, 0 ) ma współrzędne [ 0,, ], zaś wektor ( 0, 0, ) współrzędne [,, 0 ] Opisać wszystkie takie bazy Odpowiedzi do zestawu X dim V = 2 2 Współrzędne [, 6, 3 ] w bazie { x 3 + 54, x 2 + 9, x } Odpowiedzi do zestawu Y Wymiar jest równy 2 2 Przykładowa baza { ( 0,, ), ( 0,, 0 ), (,, 0 ) }, dowolna baza { ( a, b, c ), ( a, b, c ), ( + a, b, c ) }, gdzie a, c R, b R \ {0}

Z 2 Suma Niech u = ( 5, 2, ) niech U = { r R3 : r u = 0 } Uzasadnić, że zbiór U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R 3 Znaleźć jej bazę i wymiar 2 Napisać macierz przejścia z bazy { 2, x 2, ( x 2 ) 2 } do bazy standardowej przestrzeni R 2 [x] Odpowiedzi do zestawu Z U = lin { ( 5, 2, ) }, dim U = 2 2 2 0 4 0 0