ZADANIE 20 BADANIE DRGAŃ STRUNY Cel ćwiczeia Pobudzay do drgań poprzeczych cieki drut stalowy zamocoway w dwóch puktach dostarcza modelowego układu rządzoego klasyczym rówaiem falowym. Model te wyzacza częstość drgaia podstawowego i wyŝszych harmoiczych, jak rówieŝ zaleŝość częstości tych drgań od długości drutu i od siły apiającej drut. Celem ćwiczeia jest sprawdzeie słuszości tych modelowych związków. Masz do dyspozycji: geerator RC; oscyloskop; wzmaciacz; ławę z miarką oraz drutem z szalką zamocowaą a jedym z jego końców; masa szalki w zestawie a wyosi 756 g, a w zestawie b 750 g; układ pobudzający drut do drgań; układ rejestrujący drgaia drutu; odwaŝiki; śrubę mikrometryczą. Wykoaie zadaia Strua, w postaci drutu, pobudzaa jest do drgań elektromagesem z amagesowaym rdzeiem podłączoym do geeratora RC o regulowaej częstotliwości. Efekt rezoasu jest rejestroway za pomocą drugiego idetyczego elektromagesu, który przez wzmaciacz jest podłączoy a wejście oscyloskopu. Śrubą mikrometryczą wykoaj pomiary średicy drutu w róŝych miejscach. Przy maksymalej długości drutu i aciągu 5 kg zmierz częstości kolejych, przyajmiej pięciu, drgań własych (drgaia podstawowego i wyŝszych harmoiczych). Zmierz częstość podstawowego drgaia drutu dla przyajmiej pięciu długości struy przy ustaloym aciągu 5 kg. UWAGA! Ze względu a moŝliwość zerwaia struy, ie przesuwać koika bliŝej iŝ 10 cm od miejsca umocowaia struy. Przy maksymalej długości drutu zmierz częstości drgaia podstawowego dla przyajmiej pięciu obciąŝeń odwaŝikami w zakresie mas od 1 kg do 5 kg. Literatura F.C. Crawford, Fale, PWN, Warszawa 1972; D. Halliday, R. Resick i J. Walker, Podstawy fizyki, t. 2, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003; H. Szydłowski, Pracowia fizycza wspomagaa komputerem, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, szereg wydań w latach 2003 2012; A. Zięba, Aaliza daych w aukach ścisłych i techice, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2013.
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 1 ZADANIE 20 BADANIE DRGAŃ STRUNY Cel ćwiczeia Pobudzay do drgań poprzeczych cieki drut stalowy zamocoway w dwóch puktach dostarcza modelowego układu rządzoego klasyczym rówaiem falowym. Model te wyzacza częstość drgaia podstawowego i wyŝszych harmoiczych, jak rówieŝ zaleŝość częstości tych drgań od długości drutu i od siły apiającej drut. Celem ćwiczeia jest sprawdzeie słuszości tych modelowych związków. Wprowadzeie Szereg dyamiczych zjawisk fizyczych opisuje się tzw. klasyczym rówaiem falowym, czyli liiowym, cząstkowym rówaiem róŝiczkowym drugiego rzędu: 1 ψ ψ ψ = + + ψ, 2 v t x y z gdzie wielkość ψ(x,y,z,t) to p. atęŝeie pola elektryczego bądź magetyczego w fali elektromagetyczej, ciśieie powietrza w fali głosowej lub przesuięcie w pobudzoym do drgań ośrodku ciągłym, przy czym wszystkie te wielkości obserwujemy w pukcie przestrzei określoym współrzędymi x, y i z i w chwili czasu t. Ses wielkości v wyjaśimy iŝej. Jeśli rozciągiemy struę wzdłuŝ wybraego kieruku w przestrzei, który utoŝsamimy z osią X i rozwaŝymy jej wychyleia poprzecze wzdłuŝ osi, którą wybierzemy jako oś Y, to falę ψ będzie reprezetować wychyleie y(x,t) od połoŝeia rówowagi i wychyleie to w pukcie o współrzędej x w chwili czasu t jest rządzoe jedowymiarowym rówaiem falowy: 1 y y =. (1) 2 v t x Ses parametru v występującego w rówaiu falowym omówimy poiŝej, a tu powiemy tylko, Ŝe zdefiioway jest o własościami ośrodka, w którym propaguje się fala. W przypadku struy o polu S przekroju poprzeczego, wykoaej z materiału o gęstości masy ρ i apiętej z siłą F, wyosi o: F v =. ρs RozwaŜmy, czy rówaie falowe dopuszcza rozwiązaia w postaci fali harmoiczej, czyli fali postaci: i( kx ωt) y x, t = Ae, ( ) gdzie 2π 2π k =, ω = = 2πν, (2) λ T przy czym wielkość k zwaa jest liczbą falową, ω częstością kołową fali, a wyraŝeie kx ωt fazą fali. Wielkość λ to długość fali, T jej okres i obie wielkości ukazują ściśle okresowy charakter zmieości wychyleia y w czasie i przestrzei. Wspomimy teŝ, Ŝe obok częstości kołowej ω, mierzoej w radiaach a sekudę, do opisu zmieości w czasie stosowaa jest teŝ odwrotość okresu, czyli częstość ν = 1/T (bez dodatkowego przymiotika) mierzoa w Hertzach (Hz). Oczywiście, rówie dobrze w defiicji fali harmoiczej moŝemy wykorzystać fukcję sius lub cosius, a odwołaie się do fukcji wykładiczej od czysto urojoego argumetu to tylko i wyłączie kwestia wygody. Podstawiając harmoiczą postać fali do rówaia zajdujemy, Ŝe jest oa jego rozwiązaiem, wszakŝe pod warukiem, Ŝe częstość i liczba falowa związae są ze sobą relacją: ω 2 = v 2 k 2, zwaą związkiem dyspersyjym. PoiewaŜ dla częstości mamy dwa rozwiązaia: ω = ±vk, moŝemy więc utworzyć dwa rozwiązaia rówaia falowego: ik( x t) y x, t = Ae v, oraz: ( )
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 2 (, ) y x t = Be ZauwaŜmy takŝe, Ŝe rówaie falowe jest liiowe, więc jeśli dyspoujemy rozwiązaiem o liczbie falowej k 1 i częstości ω 1 = vk 1 oraz rozwiązaiem o liczbie falowej k 2 i częstości ω 2 = vk 2, to suma tych rozwiązań takŝe będzie rozwiązaiem rówaia falowego. Stąd wioskujemy, Ŝe moŝemy utworzyć ogóle rozwiązaie postaci: (, ) ( ) ( v ) ( ) ( + t) ik x ik x t ik x+ t v. ( v ) ( ) ( ) y x t = A k e dk + B k e dk = f x vt + g x + v t, (3) gdzie A(k) oraz B(k), lub alteratywie f oraz g, to dowole fukcje, których postać wyzaczamy z waruków początkowych: y ( x, t) y ( x, t = t0 ) = y0 ( x) oraz = v 0 ( x) (4) t ustalających kształt y 0 (x) struy i prędkość v 0 (x) wszystkich jej puktów w wybraej chwili początkowej t 0. Przedstawioe tu podejście, wiodące do rozwiązaia (3) spełia swoje zadaie dla struy ieskończoej. W przypadku struy o skończoych rozmiarach, a awet struy półieskończoej, obok waruków początkowych do jedozaczego wyraŝeia jej ruchu potrzebe takŝe waruki brzegowe, zadające wartość wychyleia y w pewych wybraych puktach. Problemem tym zajmiemy się w dalszej części. Przyjrzyjmy się teraz wielkości v występującej w rówaiu. Jeśli wyobrazimy sobie, Ŝe p. fukcja f w pewej chwili czasu t 0 osiąga maksimum w pukcie określoym współrzędą x 0, przy czym wartość argumetu fukcji wyosi ξ 0 = x 0 vt 0, to po czasie t tę samą wartość ξ 0 argumetu, a więc i maksimum fukcji, zajdziemy w pukcie o współrzędej x 0 + v t, a więc maksimum to przesuie się w kieruku dodatim osi X z prędkością v, którą azywamy prędkością fali. Rozumując podobie stwierdzamy, Ŝe fukcja g opisuje propagację fali z tą samą prędkością v w kieruku przeciwym. PoiewaŜ prędkość v opisuje propagację płaszczyzy stałej wartości fazy kx ± ωt, więc azywamy ją prędkością fazową i, jak pokazaliśmy, defiiujemy związkiem: ω v f = = ± v. k ZauwaŜmy, Ŝe kształt y(x,t) fali ie ulega zmiaie w trakcie jej wędrówki raz uformoway profil w chwili początkowej, p. w postaci garbu, propaguje się iezmieioy przez wieczość. Jest to rezultat specyficzej postaci związku dyspersyjego ω 2 = v 2 k 2, jaki łączy liczbę falową z częstością. Kosekwecją tej relacji jest idetycza wartość prędkości fazowej dla kaŝdej fali harmoiczej, więc raz uformoway kształt (3) utrzymyway jest w trakcie propagacji fali bez ziekształceia. Przejdźmy teraz do propagacji fali a struie o skończoej długości. Rozwiązaie rówaia falowego zajdujemy tzw. metodą Fouriera, postulującą fukcję y(x,t) w formie iloczyu dwóch iezaych fukcji: y(x,t) = f(t)g(x), z których jeda zaleŝy jedyie od czasu, a druga tylko od połoŝeia. Taką specyficzą postać rozwiązań azywamy falą stojącą. Podstawiając do rówaia falowego zajdujemy: 1 f g g = f, 2 v t x a po podzieleiu stroami przez iloczy fg, otrzymujemy: 1 f 1 g =. 2 v f t g x PoiewaŜ lewa stroa tego rówaia zaleŝy jedyie od czasu t, a prawa od współrzędej x, więc wspóla wartość moŝe być jedyie liczbą κ iezaleŝą od czasu i przestrzei: 1 f 1 g = = κ, 2 v f t g x co prowadzi do dwóch zwyczajych rówań róŝiczkowych: t= t0
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 3 f g 2 = wf, = κ g, w = v κ. t x Widzimy, Ŝe otrzymae rówaie zaleŝości czasowej jest rówaiem oscylatora harmoiczego, jeśli liczba κ jest miejsza od zera lub rówaiem, którego rozwiązaia zachowują się wykładiczo, jeśli liczba ta jest dodatia. Ta druga moŝliwość jest ie do utrzymaia z fizyczego puktu widzeia, gdyŝ sakcjouje arastającą w czasie wykładiczo amplitudę drgań, dla czego w warukach postawioego zadaia trudo zaleźć uzasadieie. Z tego teŝ powodu przyjmiemy, Ŝe iezaa stała jest ujema, co zapiszemy jako κ = k 2 i otrzymamy dwa rówaia: f 2 g = ω f, = k g, ω = v k, t x wiodące do rozwiązaia: y x, t = Acosωt + Bsiωt C coskx + D sikx. (5) ( ) ( )( ) Gdy strua ma długość L i zamocowaa jest a obu końcach, to pukty o współrzędych x = 0 oraz x = L musza pozostawać ieruchome w kaŝdej chwili czasu, a tym samym rozwiązaie (5) musi, w kaŝdej chwili czasu, spełiać waruki brzegowe: y x = 0, t = 0, y x = L, t = 0, ( ) ( ) co prowadzi do rówań: C = 0, D si kl = 0. Pierwsze z rówań usuwa wyraz z fukcją cosius z rozwiązaia (5), drugie zaś prowadzi do wiosku, Ŝe albo współczyik D = 0, czego ie moŝemy zaakceptować, gdyŝ wtedy ie mamy w ogóle drgań, lub teŝ iezaa liczba k, która azwiemy liczbą falową, moŝe przyjmować jedyie wartości: π k, 1,2,3, = = k0 = K, (6) L a skoro ω 2 = v 2 k 2, więc rówieŝ i częstości drgań staja się dyskrete: ω = vk = ω0, ω0 = v k0. (7) Z waruku (6) wosimy, Ŝe i długość fali przyjmuje wartości dyskrete: 2 L λ =, = 1,2,3, K, a więc strua drga tak, Ŝe jej długość staowi wielokrotość połowy długości fali, jak ukazuje to Rysuek 1. Drgaie opisae wartością = 1 azywamy podstawowym. = 1 = 2 = 3 węzły strzałki Rys. 1. Trzy pierwsze mody drgań struy. Korzystając z powyŝszych wyików, szczególe rozwiązaia rówaia falowego moŝemy przedstawić (wchłaiając współczyik D do współczyików A i B) jako: y x, t = Acosω t + Bsiω t si k x. (8) ( ) ( ) O rozwiązaiu tym mówimy, Ŝe przedstawia sobą drgaia włase struy o skończoej długości i zamocowaej a obu końcach. Drgaia takie azywamy takŝe modami własych struy. Z postaci
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 4 tej wyika, Ŝe a struie istieją pukty x m = mπ/k = ml/, m = 0, 1, 2,...,, zwae węzłami, które są zawsze w spoczyku, podczas gdy wszystkie pozostałe pukty drgają harmoiczie z częstości ω, jedą z ieskończoej liczby częstości własych struy. Współrzęde x m = (m ½)L/, m = 1, 2,...,, puktów, które drgają z maksymalą amplitudą, azywamy strzałkami. Przekształcimy jeszcze rozwiązaie (8) do postaci: A B y ( x, t) = ( Acosωt + Bsiωt ) si k x = A + B cosωt + siωt si k x A + B A + B ( ϕ ω ϕ ω ) ( ω ϕ ) = A + B cos cos t + si si t si k x = A + B cos t si k x ( ( k x ( ωt ϕ )) ( k x ( ωt ϕ ))) A + B = si + + si, 2 w której to postaci widzimy, Ŝe kaŝde z drgań własych struy jest złoŝoe z dwóch fal o idetyczych amplitudach i biegących w przeciwych kierukach. Jak widzimy, złoŝeie takich dwóch fal, prowadzące do tworzeia się węzłów i strzałek, przedstawia falę stojącą. PoiewaŜ rówaie falowe jest liiowe, więc spełioe jest oo takŝe przez kombiację liiową rozwiązań. Dlatego ogóle rozwiązaie zajdziemy jako sumę rozwiązań (8) z róŝymi wartościami wektora falowego i częstości, a takŝe z róŝymi współczyikami A oraz B: y ( x, t) = ( A cosωt + B siωt ) si kx, (9) = 1 w którym stałe A oraz B wyzaczoe są przez waruki początkowe (4). ZauwaŜmy, Ŝe rozwiązaie to ie jest juŝ harmoicze, ale jest ciągle periodycze w czasie. Mówimy, Ŝe ogóla postać drgań struy to superpozycja, w postaci szeregu Fouriera, jej drgań własych lub teŝ superpozycja fal stojących. Gdy w ustaloym pukcie x 0 pobudzamy struę siłą harmoiczą Q(t) = Q 0 siωt, to do rozwiązaie swobodego (9) aleŝy dodać wymuszoy ruch ( k ( L x0 )) si si kx si ωt, 0 x x0, (, ) si kl ω yq x t = A k = si kx v, (10) 0 si ( k ( L x) ) si ωt, x0 x L, si kl gdzie stała A zaleŝy od amplitudy Q 0 siły wymuszającej. NaleŜy mieć świadomość, Ŝe powyŝszy opis, zarówo w odiesieiu do drgań swobodych jak i wymuszoych, to obraz wyidealizowaego modelu. W kaŝdym doświadczeiu prowadzoym w realych warukach występuje rozproszeie eergii pierwotie zmagazyowaej w struie i zaik drgań swobodych, a zachowae są jedyie, dzięki stałemu dopływowi eergii dostarczaej przez siłę zewętrzą, drgaia wymuszoe (10), które azywamy rozwiązaiem stacjoarym. Z rozwiązaia tego w szczególości wyika, Ŝe gdy częstość ω siły wymuszającej jest rówa jedej z częstości własych ω struy, to miaowik sik L zika. W ramach rozpatrywaego modelu iterpretujemy to jako brak rozwiązań stacjoarych. MoŜemy oczekiwać, Ŝe w rzeczywistości dyssypacja eergii usuwa tę osobliwość, choć dalej prowadzi do pojawieia się wzrostu amplitudy drgań, ukazującego zjawisko rezoasu (wiiśmy jedak mieć a uwadze fakt, Ŝe w warukach silego rezoasu wychyleia struy mogą być a tyle duŝe, Ŝe zawodzą przybliŝeia stosowae przy wyprowadzaiu rówaia falowego). Spodziewamy się, Ŝe rezoas taki objawi się ajsiliej wtedy, gdy pukt x 0 przyłoŝeia siły zajdzie się w połoŝeiu strzałki drgaia własego, jako Ŝe wtedy zarówo fukcja sik x 0 jak i fukcja si(k (L x 0 )) w licziku amplitudy fali stojącej osiąga, co do wartości bezwzględej, wartość maksymalą. Gdybyśmy mieli pecha i siłę wymuszającą o częstości ω przyłoŝyli do puktu, który jest węzłem drgaia własego o tejŝe częstości ω, to drgań ie spowodujemy. Masz do dyspozycji geerator RC; oscyloskop;
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 5 wzmaciacz; ławę z miarką oraz drutem z szalką zamocowaą a jedym z jego końców; masa szalki w zestawie a wyosi 756 g, a w zestawie b 750 g; układ pobudzający drut do drgań; układ rejestrujący drgaia drutu; odwaŝiki; śrubę mikrometryczą. Układ pomiarowy Schemat aparatury przedstawia Rysuek 2. Zestaw pomiarowy składa się ze stalowego drutu umocowaego a ławie oraz elektromagesu zasilaego z geeratora RC o regulowaej częstości, który pobudza drut do drgań. Do rejestracji drgań słuŝy przetworik, czyli drugi elektromages, z którego sygał podaway jest a wzmaciacz, a astępie a wejście oscyloskopu. Naciąg drutu reguloway jest za pomocą odwaŝików umieszczaych a szalce, a do pomiaru średicy drutu uŝyj śruby mikrometryczej. pobudzaie L detekcja geerator oscyloskop wzmaciacz Rys. 2. Schemat układu pomiarowego Wykoaie ćwiczeia Przed przystąpieiem do pomiarów, zastaów się, w jaki sposób wyzaczysz iepewość pomiaru częstości drgań własych. Uwaga!!! Ze względu a moŝliwość zerwaia struy igdy ie przesuwaj elektromagesu pobudzającego i przetworika bliŝej iŝ 10 cm od miejsca umocowaia struy, a obciąŝając szalkę ie przekraczaj wartości 5 kg. Szczegółowy cel ćwiczeia polega a sprawdzeiu słuszości relacji F ν = v= 2L 2L ρs wyikającej z defiicji (2) oraz wzorów (6) i (7), jak rówieŝ wyzaczeie prędkości v fali oraz gęstości ρ drutu, dlatego teŝ: śrubą mikrometryczą wykoaj pomiary średicy drutu w róŝych miejscach; przy maksymalej długości drutu i obciąŝeiu odwaŝikiem o masie 5 kg wyzacz częstości kilku kolejych drgań własych drutu. Rozpoczij od drgaia podstawowego, a astępie wykorzystując zalezioą wartość częstości, zidetyfikuj i zmierz częstości kolejych kilku, przyajmiej czterech, wyŝszych drgań własych; zmierz podstawową częstość własą drutu dla kilku, przyajmiej pięciu, jego długości przy obciąŝeiu masą 5 kg; przy maksymalej długości drutu zmierz częstości drgaia podstawowego dla kilku,
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 6 przyajmiej pięciu, obciąŝeń odwaŝikami w zakresie mas od 1 kg do 5 kg. W czasie pomiarów koiecza jest powola zmiaa częstości, gdyŝ przy słabym pobudzaiu drutu do drgań, drgaia rezoasowe mogą być obserwoway dopiero po kilku sekudach. Pomiary aleŝy wykoywać w zakresie częstości od około ν = 10 Hz do ν = 2000 Hz. Zalecae jest wykorzystywaie oscyloskopu w tzw. trybie XY. Rezoasowe częstości drgań drutu złoŝoe z częstością geeratora utworzą a ekraie oscyloskopu figury, zwae figurami Lissajous, o przykładowych kształtach ukazaych a Rysuku 3. ν 1 :ν 2 = 1:1 ϕ = 0 45 90 135 180 225 270 315 360 ν 1 :ν 2 = 1:2 ν 1 :ν 2 = 1:3 ν 1 :ν 2 = 2:3 Rys.3. Przykłady krzywych Lissojous dla róŝych stosuków częstości i róŝicy faz. Aaliza wyików pomiarów Aaliza daych wia obejmować astępujące elemety: ustaleie realistyczych, dopuszczalych błędów graiczych wielkości bezpośredio mierzoych i wyzaczeie odpowiadających im iepewości stadardowych pamiętaj, Ŝe zdolość rozdzielcza przyrządu ie musi gwaratować sesowych błędów graiczych (oczywiście, moŝesz teŝ od razu oszacować iepewości stadardowe, bez przechodzeia przez etap błędów graiczych); wyzaczeie, w kaŝdym z kroków aalizy, iezbędych iepewości stadardowych wielkości mierzoych pośredio; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstością drgaia własego a liczbą falową, odwołującą się do pomiarów częstości drgań własych uzyskaych przy ustaloej długości drutu i obciąŝeiu; wyzaczeie, z tych samych daych, prędkości fali oraz gęstość drutu; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstością podstawowego drgaia własego a długością drutu, odwołującą się do pomiarów częstości tego drgaia przy róŝych długościach drutu i stałym obciąŝeiu; wyzaczeie, z tych samych daych, prędkości fali oraz gęstość drutu; stosowie uśredieie wartości prędkości fali uzyskae z obu pomiarów, o ile uzasz taki krok za uzasadioy; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstością podstawowego drgaia własego a obciąŝeiem, odwołującą się do pomiarów częstości tego drgaia uzyskaych przy ustaloej długości drutu i zmieym obciąŝeiu; wyzaczeie, z tych samych daych, gęstość drutu; stosowie uśredieie wartości gęstości drutu uzyskaych ze wszystkich pomiarów, o ile uzasz taki krok za uzasadioy. Jeśli a którymś z etapów aalizy prowadzisz dopasowaie modelowej zaleŝości do daych metodą ajmiejszych kwadratów, obowiązkowo podaj jawą formę wielkości miimalizowaej,
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 7 jako Ŝe postać ta jedozaczie defiiuje, który z wariatów metody wybierasz, a więc jaką postać przybierają wzory a ocey iezaych współczyików modelowej zaleŝości oraz ich iepewości stadardowe i ie musisz cytować stosowych wzorów dla tych obiektów. Literatura uzupełiająca F.C. Crawford, Fale, PWN, Warszawa 1972; D. Halliday, R. Resick i J. Walker, Podstawy fizyki, t. 2, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003; H. Szydłowski, Pracowia fizycza wspomagaa komputerem, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, szereg wydań w latach 2003 2012; A. Zięba, Aaliza daych w aukach ścisłych i techice, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2013. Dodatkowe uwagi odośie do raportu W raporcie zamieść, w stosowie dobraych tabelach, wszystkie surowe wyiki pomiarów tak, aby sięgając jedyie do raportu i bez potrzeby odwoływaia się do protokołu z doświadczeia moŝa było wykoać pełą i iezaleŝą aalizę Twych daych. Zadbaj o wiere przeiesieie zmierzoych wartości do raportu. Nim przygotujesz raport, zazajom się z uwagami zawartymi w opracowaiu Istrukcja - Jak pisać raport końcowy oraz z przykładową realizacją tych uwag w postaci Przykładowy raport końcowy jakie zamieszczoe są a stroie http://aipw.igf.fuw.edu.pl Pracowi wstępej. Wymagaia ukazae w tych opracowaiach będą bezwzględie egzekwowae przy sprawdzaiu Twego raportu. W szczególości pamiętaj o kowecji odoszącej się do precyzji przedstawiaia iepewości, a co za tym idzie, rówieŝ wartości ocey wielkości zmierzoej. Absolutie zalecae jest świadome przyjrzeie się redakcji tekstu a takŝe tabel, rysuków i wzorów, sposobów ich umerowaia, tytułowaia i opisywaia w dowolym, ale wydaym przez uzae wydawictwo, akademickim podręcziku do fizyki, jak rówieŝ zajrzeie do kilku publikacji w róŝych czasopismach aukowych, co moŝe ułatwić podjęcie decyzji co do podziału Twego raportu a części. Pytaia i zadaia defiiujące wymagaia do ćwiczeia Problem 1. W jaki sposób wyzaczysz iepewość częstości drgaia drutu? Problem 2. Rówaie fali dźwiękowej, opisującej wychyleia ψ cząsteczek powietrza z połoŝeia rówowagi, ma postać ψ(x,t)= Acos(kx ωt), gdzie A = 6,0 10 2 mm, k = 5,3 m 1 oraz ω = 1800 s 1. Oblicz stosuek amplitudy drgań cząsteczek ośrodka i długości fali. Oblicz maksymalą prędkość drgań cząsteczek ośrodka i jej stosuek do prędkości fali. Naszkicuj a wykresie kieruki prędkości cząsteczek powietrza w chwili t = 0. Problem 3. W jedorodym ośrodku spręŝystym utworzoo falę stojącą ψ(x,t) = Acos(kx)cos(ωt). Naszkicuj a wykresie wychyleie ψ cząsteczek ośrodka z połoŝeia rówowagi dla chwil czasu: t = 0 oraz t = T/2, gdzie T jest okresem fali oraz ich prędkości w chwili t = T/4. Problem 4. W struie o długości L = 120 cm wywołao falę stojącą. W dwóch puktach struy odległych od siebie o l = 15 cm, amplituda A fali jest rówa 3,5 mm. Ile wyosi maksymala amplituda fali? Której harmoiczej odpowiada ta fala? Problem 5. Wyzacz siłę F aciągu zamocowaej a obu końcach stalowej struy o długości L = 0,5 m i średicy D = 0,2 mm, jeśli wiadomo, Ŝe drga oa z częstością ν = 435 Hz. Problem 6. Jak wykazuje doświadczeie, prędkość v propagacji fal podłuŝych w ośrodku spręŝystym zaleŝy od modułu Youga E ośrodka i jego gęstości ρ. Posługując się metodą aalizy wymiarowej, zapropouj formę wzoru a prędkość fali. Pytaia i zadaia przybliŝające, uzupełiające lub poszerzające treść ćwiczeia Problem 7. PokaŜ, Ŝe fukcja y(x,t) zadaa związkiem (3) jest rozwiązaiem jedowymiarowego, klasyczego rówaia falowego.
BADANIE DRGAŃ STRUNY str. 8 Problem 8. PokaŜ, Ŝe jeśli fukcje f 1 (x,t) oraz f 2 (x,t) są rozwiązaiem jedowymiarowego, klasyczego rówaia falowego, to fukcja f(x,t) = af 1 (x,t) + bf 2 (x,t), gdzie a oraz b to dowole stałe, jest takŝe rozwiązaiem tego rówaia. Problem 9. W istrukcji do ćwiczeia pojawia się prośba, by aciąg drutu ie był igdy większy iŝ 5 kg. Ile to ewtoów? Problem 10. Dae są dwie podłuŝe fale ψ 1 (x,t) = Asi(k 1 x ω 1 t) oraz ψ 2 (x,t) = Bsi(k 2 x ω 2 t) rozchodzące się wzdłuŝ metalowego pręta. Zajdź róŝicę fazy fali wypadkowej względem fazy fal A i fali B. Jakie waruki muszą spełiać k 1, ω 1, k 2, ω 1 aby fala wypadkowa była falą stojącą? Problem 11. W powietrzu rozchodzą się dwie płaskie, podłuŝe fale: jeda wzdłuŝ osi X i ma postać ψ 1 (x,t) = Acos(kx ωt) i druga, wzdłuŝ osi Y, zadaa wzorem ψ 2 (y,t) = Acos(ky ωt). Opisz ruch cząsteczek ośrodka w płaszczyźie XY. Problem 12. Wyzacz rozwiązaie klasyczego, jedowymiarowego rówaia falowego, jeśli w chwili t = 0 ieskończeie długiej struie adao kształt 2 x y0 ( x) = Aexp 2, 2σ gdzie A i σ to zadae stałe, a astępie ją uwolioo bez prędkość początkowej. Problem 13. Wyzacz związek dyspersyjy dla rówaia ψ h ψ ih =, 2 t 2m x gdzie i 2 = 1, i podaj ogólą postać jego rozwiązaia. Problem 14. PokaŜ, Ŝe tor puktu o współrzędych x(t) = Asi(ωt), y(t) = Acos(2ωt), to parabola. Problem 15. Strua o masie m, zamocowaa a obu końcach, drga z częstością podstawową ω, przy czym maksymale wychyleie struy wyosi A. Wyzacz maksymalą eergię kietyczą struy oraz jej średią eergię kietyczą w czasie jedego okresu. Problem 16. Rówaie falowe ma postać 2 ψ = α ψ + β ψ. 2 t x y Ile wyosi prędkość fali w wzdłuŝ osi X? A wzdłuŝ osi Y? Opracował: NN, Uzupełił: Roma J. Nowak, 18 listopada 2014.