Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 9. 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 9.1. Wstęp Omówene zagadnena statecznośc sprężystej uładów prętowych naeży rozpocząć od przybżena probemu w sense fzycznym. Z utratą statecznośc mamy do czynena, gdy newea zmana przyczyny powoduje bardzo dużą zmanę sutu. Ideane sprężysty pręt przy pewnej wartośc sły ścsającej zmena w sposób nagły swą prostonową postać przyjmuje położene wygęte, czy pręt doznaje wyboczena (rys. 9.1). w Rys. 9.1. Postać wyboczena pod wpływem dzałana sły osowej W środu rozpętośc pręta będze występował moment jao sute dzałana sły ścsającej na pewnym mmośrodze, na ramenu równym wartośc ugęca tego pręta w. Odchodzmy od zasady zesztywnena, tóra załada, że cała przed, ja po odształcenu tratowane są ja bryły sztywne, zajmujące taże po obcążenu onfgurację perwotną. Utrata statecznośc nastąp po osągnęcu przez słę osową pewnej wartośc rytycznej, tórej towarzyszą dwa stany równowag odpowadające prostonowej ub rzywonowej os pręta. Oznacza to, że daszy wzrost obcążena może następować po dwóch śceżach równowag. Punt w tórym występuje rozdwojene śceż (stanu równowag) nazywamy puntem bfuracj. 9.. Wyznaczane sły rytycznej Anazę utraty statecznośc (wyboczena) uładów prętowych doonamy na przyładze dowonego pręta (rys. 9.), tóry jest dowone zamocowany obcążony dowonym słam. Do taego pręta przyładamy stałą słę normaną (ścsającą). q(x) x y,w Rys. 9.. Pręt dowone obcążony poddany dzałanu sły osowej
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH Pod wpływem dzałana sł uład doznaje pewnego odształcena. W stane odształconym wycnamy z uładu mały eement dx (rys 9.3) na tóry dzałają sły zarówno wewnętrzne ja zewnętrzne. q(x) M T φ M+dM +d dw T+dT dx Rys. 9.3. esończene mały eement poddany dzałanu sł wewnętrznych zewnętrznych Da eementu dx zapsujemy warun równowag: Y T q x dx T dt q x = dt dx (9.1) M M q x dx dx T dt dx M dm dw M q x dx T dx dt dx M dm dw pomjając wartośc małe wyższego rzędu oraz reduując wyrazy podobne otrzymujemy ostateczne: dm dx =T dw=t w' (9.) dx Poneważ sła normana ne ma zwązu z rzywzną pręta obowązuje zaeżność: d w = M x dx Po zróżnczowanu podstawenu wyrażena (9.) otrzymujemy równane różnczowe os odształconej: w III = dm dx = T wi (9.3) Koejne różnczowane podstawene zaeżnośc (9.1) daje: czy w IV w II =q x
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 3 d 4 w dx d w dx =q x Aby rozwązać równane różnczowe najperw zajmujemy sę całą ogóną rozwązana. Rozwązujemy przypade równana jednorodnego (załadamy q x ): gdze d 4 w dx d w (9.4) dx = Rozwązane można przyjąć w postac weomanu: a jego podstawe oreśmy równane ąta obrotu w x =C 0 C 1 x C sn x C 3 cos x (9.5) x =tg x = równane momentu zgnającego dw x =C dx 1 C cos x C 3 sn x (9.6) M x = d w dx = [ C sn x C 3 cos x] (9.7) Z warunu (9.3) wyznaczymy równane sły poprzecznej dm x T x = dw dx dx = [ 3 C cos x 3 C 3 sn x] [C 1 C cos x C 3 sn x]= = 3 [C cos x C 3 sn x ] [C cos x C 3 sn x ] C 1 = (9.8) =[C cos x C 3 sn x] C 1 = C 1 Stałe C trzeba wyznaczyć na podstawe warunów brzegowych. Dasze rozważana przeprowadzmy da prętów o zdefnowanych podporach. Przyład 1 Oreśene stanu równowag be wonopodpartej o jednorodnych warunach brzegowych (rys. 9.4) Rys. 9.4. Bea wonopodparta poddana dzałanu sły osowej
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 4 ajperw naeży oreść warun brzegowe, tóre posłużą do wyznaczena stałych ze wzorów (9.5), (9.6), (9.7), (9.8): da x = 0 da x = w w Korzystając z równana os odształconej w(x) otrzymujemy zaeżnośc: natomast ze wzoru (9.7) otrzymujemy zwąz: w x C 0 C 3 w x= C 0 C 1 C sn C 3 cos x C 3 x= [ C sn C 3 cos ] W ten sposób otrzymaśmy uład równań agebracznych jednorodnych z czterema newadomym C 0, C 1, C, C 3, da tórego netrywane rozwązane (trywane rozwązane to C 0 = C 1 = C = C 3 = 0) uzysamy, gdy wyznaczn uładu będze równy zero. Po zreduowanu równań perwszego trzecego (C 0 = C 3 = 0) { C C 1 sn C sn det W =det 0 sn Z przyrównana wyznaczna do zera otrzymujemy równane charaterystyczne, sn a z nego perwast, czy wartośc własne λ. Poneważ funcja sn x osąga zero da x = nπ to: =n = n (9.9) gdze n oreśa czbę naturaną. Z warunu (9.4) wemy, że: = (9.10) Wobec tego
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 5 = n = n (9.11) Wartośc własnych jest nesończene wee 1,,..., n z uwag na postać funcj sn x a ażdej odpowada jedna postać wyboczena. Rozważana bea może doznać wyboczena po przeroczenu przez słę osową wartośc rytycznej oreśonej wzorem (9.11). Przyład Wyznaczene sły rytycznej da be poddanej dzałanu sł osowych momentów M (rys. 9.5). M M δ Rys. 9.5. Bea wonopodparta poddana dzałanu momentów sły osowej Z równana pracy wrtuanej wyznaczamy wartość ugęca w środu rozpętośc be: = 1 8 M Funcję n ugęca wyrażoną przez zmenną bezwymarową: przyjmujemy w postac weomanu: gdze x = (9.1) w =C 0 C 1 C sn C 3 cos (9.13) = = (9.14) Oreśamy warun brzegowe da anazowanej be: da x = 0, da x =, =1 w 0 w' ' 0 = M 0
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 6 w 1 w' ' 1 = M 1 Wyorzystując wzory (9.5), (9.6), (9.7), (9.8) można wyznaczyć wartośc C0, C1, C, C3 z uładu równań: {w 0 =C 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0 w 1 =C 0 C 1 1 C sn 1 C 3 cos 1 w' ' 0 = C sn 0 C 3 cos 0 = M 0 w' ' 1 = C sn 1 C 3 cos 1 = M 1 tóry po uproszczenu przyjmuje postać: {C 0 C 3 C 0 C 1 C sn C 3 cos C 3 = M 0 = M C sn C 3 cos = M 1 = M Podstawając zaeżność (9.14) możemy z równana trzecego wyznaczyć wartość C 3: C 3 = M C 3 = M astępne na mocy równana perwszego wyczamy wartość C0: C 0 = C 3 = M Z równana czwartego czymy wartość C: C sn M cos = M C = M 1 cos sn a onec wyznaczam ostatną wartość C 1: M C M 1 1 cos sn sn M cos C 1 = M M M cos M cos C 1 Otrzymane wartośc pozwoą nam wyznaczyć ostateczne równane n ugęca: w = M 0 M 1 cos sn sn M cos = M [ 1 cos sn sn cos 1 ] ponadto podstawając przeształcone wyrażene (9.14) możemy zapsać równane n ugęca w eo
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 7 zmenonej postac: w = M [ 1 cos sn ] sn cos 1 (9.15) Wartość ugęca be da = 1 x= zaeży od parametru ν, zgodne z (9.15): w 1 = M [ 1 cos sn sn cos ] 1 = M [1 cos sn sn cos 1]= sn cos = M 1 cos sn cos cos cos = M 1 cos 1 cos cos cos = = M cos cos = M 1 cos cos Ostateczne wartość n ugęca be w połowe jej rozpętośc wynos: w 1 1 cos M = f = cos Da be ne obcążonej słą osową pownnśmy otrzymać wartość M 8. Poneważ: 1 cos m 0 cos = 1 8 (9.16) to f = M 8. Przyrównując przemeszczene wyboczenowe f(ν) (bea obcążona słą ) do przemeszczena w bece bez ścsana otrzymujemy funcję: F = f = M 1 cos cos 1 8 M 8 1 cos = cos (9.17)
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 8 Wyres powyższej funcj w zaeżnośc od weośc parametru ν przedstawono na rys. 9.6. F(ν) 1 π ν Rys. 9.6. Funcja porównawcza Funcja posada asymptotę da ν = π. Wobec tego wyboczene (duży wzrost przemeszczena bez zmany obcążena) nastąp gdy: Stąd sła rytyczna wynos: Da sły rozcągającej musmy zmenć zna sły osowej: = = (9.18) S r = = (9.19) = (9.0) Obczena przeprowadzamy anaogczne ja da sły ścsającej ub też stosując teorę czb zespoonych można wprost zastosować wzory transformacyjne wprowadzając w mejsce parametru ν parametr zastępczy, tóry wynos: gdze: Da zmennych zespoonych wprowadzamy funcje hperboczne, = (9.1) = 1 (9.) cos =cosh sn = snh (9.3) tórych pochodne wynoszą odpowedno: cosh '=snh snh '=cosh
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 9 Ja wemy funcje hperboczne (snh ν cosh ν) ne są funcjam oresowym, zatem ne stneje sła rytyczna da pręta rozcąganego. Da różnego typu bee, w zaeżnośc od sposobu podparca otrzymujemy różne wartośc sły rytycznej: bea obustronne utwerdzona (rys. 9.7): Rys. 9.7. Bea obustronne utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej bea jednostronne utwerdzona (rys. 9.8): S r = 0,5 (9.4) Rys. 9.8. Bea utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej bea utwerdzona z przegubem (rys. 9.9): S r = (9.5) Rys. 9.9. Bea utwerdzona z przegubem na jednym ońcu poddana dzałanu sły osowo ścsającej S r = 0,7 (9.6) Mnożn, tóry występuje w manownu wyrażena na słę rytyczną nazywany jest współczynnem wyboczenowym μ. 9.3. Oreśene wzorów transformacyjnych da prętów poddanych dzałanu sły normanej Wzory transformacyjne metody przemeszczeń, podobne ja wartość sły rytycznej zaeżeć będą od sposobu podparca be. Ponżej przedstawono a przyładów różnego sposobu podparć:
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 10 Przyład 3 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be obustronne utwerdzonej (rys. 9.10). aeży rozwązać zadane nejednorodne. Wartośc przemeszczeń przywęzłowych przyjmujemy jao znane. Zwroty sł przemeszczeń przyjmujemy jao dodatne te, tóre są zaznaczone na rys. 9.10. φ φ v v Rys. 9.10. Bea obustronne utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej Zadane poega na znaezenu reacj pomędzy węzłowym przemeszczenam, a słam przywęzłowym (np.,, v, v ). Wyznacza sę je z warunów brzegowych, tóre w tym przypadu wszyste są nezerowe: w x =v w x= =v x = x= = Przyjmujemy funcję n ugęca w postac weomanu: w x =C 0 C 1 x C sn x C 3 cos x Daej orzystamy ze zwązów (9.5) (9.6), co prowadz do uładu równań nejednorodnych: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 v =C 0 C 1 C sn C 3 cos =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C =C 1 C cos C 3 sn Z powyższego uładu równań wyznaczamy wartośc C 0, C 1, C, C 3. Znając już wartośc stałych C j można w prosty sposób, ze zwązów (9.7) (9.8) dojść do wzorów transformacyjnych, tóre w ogónej postac można zapsać: =M 0 = ' ' ' (9.7) =M = ' ' ' (9.8) T =T =T 0 =T = ' ' (9.9)
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 11 Kąt obrotu cęcwy pręta jest zaeżny od przemeszczeń węzłowych: = v v Przyjmując oznaczena: = 1 f = tg (9.30) możemy zapsać współczynn α', β', γ', δ' w prostych postacach: '= tg tg f (9.31) '= sn sn f (9.3) '= ' '= tg f (9.33) '= 3 f (9.34) Można wyonać przejśce granczne jeże przyjmemy, to w prosty ecz bardzo pracochłonny sposób orzystając z reguły de 'Hosptaa możemy poczyć wartośc współczynnów: m ' =4 0 (9.35) = (9.36) m ' 0 m ' =m ' 0 0 m ' 0 m ' =4 =6 (9.37) 0 =1 (9.38) tóre porywają sę z wartoścam występującym we wzorach transformacyjnych pręta utwerdzonego bez sły osowej. Przyład 4 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be z przegubem (rys. 9.11). φ v v Rys. 9.11. Bea utwerdzona z przegubem na jednym ońcu poddana dzałanu sły osowo ścsającej
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 Tym razem warun brzegowe obejmują przemeszczena sły (warun nematyczne statyczne): w x =v w x= =v x = M x= a podstawe wzorów (9.5), (9.6), (9.7) tworzymy uład równań: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 v =C 0 C 1 C sn C 3 cos =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C [ C sn C 3 cos ] z tórego wyznaczamy wartośc C0, C1, C, C3. a ch podstawe ze wzorów (9.7) (9.8) tworzymy funcje: gdze: =M 0 = ' ' ' ' (9.39) =M (9.40) T =T =T 0 =T = ' ' ' ' (9.41) ' '= tg tg 3 ' '= tg (9.4) (9.43) = I tym razem przejśce granczne, gdy prowadz do poprawnych rezutatów. =m 0 tg m ' '=m 0 0 tg =H m 0 tg cos 1 cos 1 =m 0 tg cos tg sn =m sn 0 tg sn tg sn sn tg cos = 1 cos tg cos tg sn 4 = sn 4 cos tg 4 cos =m = 0 cos sn 4 tg sn 4 cos tg 4 cos =m 0 cos =[ 0 0 0 4 = 6 ] =3 (9.44)
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 13 =m 0 m ' '=m 0 0 3 tg =H m 6 cos 3 sn == H m sn 0 =m 0 6 cos 1 sn 6 cos cos 3 3 cos =m 1 cos 1 0 1 cos = 6 cos 6 sn 6 sn 6 cos = cos =[ 6 0 0 = 6 ] =3 (9.45) Przyład 5 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be o schemace ja na rys. 9.1. φ φ v Rys. 9.1. Bea utwerdzona z podporą śzgową na jednym ońcu poddana dzałanu sły osowo ścsającej Ta ja w poprzednm zadanu oreśamy warun brzegowe: w x =v T x= x = x= = W rzeczywstośc ugęce w punce będze równe zero, ne ma to jedna wpływu na wartośc momentów sł poprzecznych da danej be, gdyż wartość C 0 ne występuje we wzorze na T. Po rozpsanu powyższych warunów brzegowych otrzymujemy uład równań nejednorodnych: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 C 1 =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C =C 1 C cos C 3 sn Z powyższych równań wyznaczamy wartośc C0, C1, C, C3. Poneważ we wzorze na M znajdują sę tyo wartośc C C 3, a z drugego równana brzegowego wemy, że C 1, zatem: C = Podstawamy powyższą zaeżność do ostatnego równana brzegowego:
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 14 przeształcamy je w następujący sposób: cos C 3 sn C 3 sn = cos Otrzymujemy szuaną wartość C3, tóra wynos: C 3 = 1 sn cos Podstawamy wartośc C C3, do równana na M, przy x = 0: M x = C sn 0 1 C 3 cos 0 = [ sn cos 1] M x = [ sn cos 1] Zaeżnośc oreśające poszczegóne współczynn: = = = = podstawamy do równana na M. Otrzymujemy wzór transformacyjny: = [ 1 sn cos 1] = tg sn Anaogczne postępujemy obczając wzór na. Ostateczne wzory transformacyjne da danej be możemy zapsać w następujący sposób: gdze: =M 0 = ' ' ' ' ' ' (9.46) =M = ' ' ' ' ' ' (9.47) T =T =T 0 =T (9.48) ' ' '= tg ' ' '= sn = (9.49) (9.50)
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 15 Jeże przyjmemy, możemy z reguły de 'Hosptaa poczyć wartośc współczynnów: m ' ' '=m 0 0 tg =H m 0 m ' ' '=m 0 0 1 =m cos =1 1 0 cos 1 sn =H m 0 tóre są zgodne ze wzoram da be bez ścsana. (9.51) 1 cos = 1 (9.5) Przyład 6 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be ewostronne utwerdzonej (rys. 9.13). φ v Rys. 9.13. Bea utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej Tym razem mamy dwa warun statyczne dwa nematyczne: w x =v M x= x = T x= W rzeczywstośc ugęce w punce podobne ja w poprzednm przypadu będze równe zero ta samo ne ma wpływu na wartość momentów sł poprzecznych da danej be. Podstawając powyższe zaeżnośc do znanych nam już wcześnej wzorów otrzymujemy oejno równana: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 [ C sn C 3 cos ] =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C C 1 Z uładu równań nejednorodnych wyznaczamy wartośc C0, C1, C, C3. Poneważ we wzorze na M znajdują sę tyo wartośc C C 3, a z ostatnego równana brzegowego wemy, że C 1 = 0, zatem: C = Podstawamy powyższą zaeżność do równana drugego:
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 16 [ sn C 3 cos ] oraz dzemy przez wyrażene przeształcamy: C 3 = sn cos Otrzymujemy szuaną wartość C3, tóra wynos: C 3 = tg Podstawamy wartośc C C3, do równana na M, przy x: =M x = C sn 0 C 3 cos 0 = tg Korzystając z zaeżnośc: = = = = otrzymujemy ostateczną postać wzoru transformacyjnego na moment: = tg = tg Ostateczne wzory transformacyjne da danej be możemy zapsać w następujący sposób: gdze: Jeże przyjmemy to: =M 0 = IV (9.53) =M (9.54) T =T =T 0 =T (9.55) IV = tg (9.56) = m IV (9.57) 0
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 17 Przemeszczene podpory ne powoduje powstana sł wewnętrznych. atomast we wspornu z słą osową występuje zgnane (sła poprzeczna jest zerowa). Przyład 7 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be poddanej dzałanu sły rozcągającej (rys. 9.14). φ v Rys. 9.14. Bea z przegubem z utwerdzenem śzgowym poddana dzałanu sły osowo rozcągającej. W przypadu be poddanej dzałanu sły rozcągającej naeży rozwązać równane różnczowe: Zna - oznacza dzałane sły rozcągającej, ponadto: Całę ogóną w tym przypadu przyjmujemy w postac weomanu: a jego podstawe oreśmy równane ąta obrotu d 4 w dx d w (9.58) dx = (9.59) w x = C 0 C 1 x C snh x C 3 cosh x (9.60) x =tg x = równane momentu zgnającego równane sły poprzecznej Oreśamy warun brzegowe: dw x = C dx 1 C cosh x C 3 snh x (9.61) M x = d w dx = [ C snh x C 3 cosh x] (9.6) T x = dm x dw dx dx = C 1 (9.63)
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 18 w x =v T x= M x x= = Po rozpsanu powyższych warunów brzegowych otrzymujemy uład równań nejednorodnych, z tórych wyznaczymy wartośc C 0, C 1, C, C 3 : {v= C 0 C 1 0 C snh 0 C 3 cosh 0= C 0 C 3 C 1 [ C snh 0 C 3 cosh 0] = C 1 C cosh C 3 snh C 1 C 3 Ja wdać wszyste wartośc poza wartoścą C znajdującą sę we wzorze na M są równe zero, zatem: C = cosh Podstawamy wartość C do równana na, przy x = : =M x= = C snh = [ cosh snh ] = [ tgh ] Korzystając z zaeżnośc: C 3 cosh = [ cosh snh ] = = = = = otrzymujemy wzór transformacyjny: = [ tgh ] = tgh Zauważmy, że da be o dentycznym schemace statycznym, ae poddanej se ścsającej otrzymabyśmy następujący wzór transformacyjny: = tg Oznacza to, że możemy w prosty sposób zapsać wzory transformacyjne da pręta poddanego se rozcągającej, na podstawe wzorów otrzymanych da tego samego pręta, gdy dzała na nego sła ścsająca.
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 19 Aby otrzymywane wyrażene można było łatwo przeształcać, doprowadźmy równane różnczowe da pręta rozcąganego do postac dentycznej ja da pręta ścsanego. Wyonujemy podstawene a podstawe wyrażena otrzymujemy poneważ: = d 4 w dx d w dx d 4 w dx d w dx = Soro obydwa równana różnczowe maja taą samą postać, to rozwązana otrzymane da pręta ścsanego, są prawdzwe (przy odpowednm podstawenu) równeż da pręta rozcąganego. W tej sytuacj, aby uzysać odpowedną postać równań, naeży wyonać następujące podstawena: pamętając jednocześne, że = 1. = sn =sn = snh cos =cos =cosh Ostateczne wzory transformacyjne da danej be (rys.9.14) poddanej se rozcągającej możemy zapsać w następujący sposób: gdze: Jeże przyjmemy to: =M 0 (9.64) =M = ' ' ' ' (9.65) T =T =T 0 =T (9.66) ' ' ' '= tgh (9.67) = m ' ' ' ' (9.68) 0 co oznacza, że moment przywęzłowy M w bece ne obcążonej osowo wynos zero.
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 0 9.4. Ogóne wzory transformacyjne da prętów poddanych dzałanu sły normanej Wyznaczone dotychczas wzory transformacyjne można wyrazć w nnej forme: da pręta obustronne utwerdzonego (rys 9.15): φ φ v v Rys. 9.15. Bea obustronne utwerdzona Wzory transformacyjne mają postać (jest to nna postać wzorów transformacyjnych z przyładu 3): = c s r (9.69) Pomędzy współczynnam zachodz reacja: Wartośc współczynnów możemy wyznaczyć ze wzorów: przy ścsanu = s c r (9.70) r =s c (9.71) sn cos c s = 1 cos sn sn s s = 1 cos sn (9.7) (9.73) przy rozcąganu c r snh cosh = cosh 1 snh snh s r = cosh 1 snh (9.74) (9.75) Bez wzgędu na zna dzałającej sły osowej współczynn λ wynos
Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 da pręta z przegubem (rys. 9.16): = φ v v Rys. 9.16. Bea utwerdzona z przegubem na jednym ońcu Wzory transformacyjne mają postać (jest to nna postać wzorów transformacyjnych z przyładu 4): = c (9.76) Wartość współczynna wyznaczamy w zaeżnośc od zwrotu sły osowej: przy ścsanu: c s = sn sn cos (9.77) przy rozcąganu: c r snh = snh cosh (9.78) Podobne ja poprzedno parametr λ ne zaeży od znau sły osowej = poneważ jej zna uwzgędnono w funcjach trygonometrycznych.