Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej; Matematyka cz II; WNT, Warszawa, 1984 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981 W.Stankiewicz; Zadanie z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN, Warszawa, 1983
Płat powierzchniowy zorientowany Definicja 1. Płat powierzchniowy dwustronn ma którym wyróżniono jedną ze stron nazywamy płatem zorientowanym. Wyróżnioną stronę płata nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany oznaczamy tym samym symbolem co płat. Płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do płata oznaczamy przez -.
Płat powierzchniowy zorientowany Dla płatów zamkniętych w przestrzeni za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego stronę zewnętrzną. Dla płatów, które są wykresami funkcji z=f(x,y), x=g(z), y=h(x,z) za stronę dodatnią przyjmujemy zwykle górną część takiego płata.
Postać wersora normalnego płata Fakt Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcji z=f(x,y), gdzie (x,y)d to wersor normalny n tego płata wystawiony w punkcie (x 0,y 0,z 0 ) gdzie z 0 =f(x 0,y 0 ) wyraża się wzorem p z n q x 0, y 0 p q 1,, 2 2 2 2 2 1 p q 1 p q 1 p q z x 0, y 0 gdzie x y Wersor normalny n można przedstawić w postaci n cos,cos, cos gdzie,, oznaczają kąty między wersorem a dodatnimi częściami odpowiednio osi OX, OY, OZ. 2
Definicja Definicja 2. Niech F P, Q, R będzie polem wektorowym na płacie gładkim. Całką powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie definiujemy wzorem. P x, zdydz Qx, zdzdz Rx, zdxdy Px, zcos Qx, zcos Rx, zcos ds
Zamiana na całkę podwójną Twierdzenie 1. Jeżeli gładki płat zorientowany jest wykresem funkcji z=z(x,y), gdzie (x,y)d oraz pole wektorowe jest ciągłe na, to F P, Q, R D P x, zdydz Qx, zdzdz Rx, y zdxdy P, z x z y x, zx, y Qx, zx, y Rx, zx, y dxdy Podobne równości mają miejsce gdy płat jest wykresem funkcji postaci x=x(z), y=y(x,z).
Zamiana na całkę podwójną Przykład 1. Obliczyć podaną całkę zorientowaną. xdydz y dzdz z dxdy wewnętrzna strona półsfery x 2 +y 2 +z 2 =R 2, z 0
Strumień pola wektorowego Definicja 3. Strumień pola wektorowego F P, Q, R przez powierzchnię zorientowaną (ze strony ujemnej na dodatnią) określamy wzorem Pdydz Qdzdz Rdxdy
Strumień pola wektorowego Przykład Obliczyć strumień pola wektorowego F, x, z z, x y przez powierzchnię - górna strona płaszczyzny 3x+6y-2z=6 odciętej płaszczyznami układy współrzędnych.
Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego Twierdzenie 2. Jeżeli 1) jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego VR 3 2) pole wektorowe F P, Q, R jest różniczkowalne w sposób ciągły na V, to Pdydz Qdzdz Rdxdy divf dv V
Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego Przykład Obliczyć całkę powierzchniową z podanego pola wektorowego po wskazanym płacie zorientowanym. F, x, z x, y z - zewnętrzna strona sfery o równaniu x 2 +y 2 +z 2 =9
Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego Przykład Obliczyć całkę powierzchniową z podanego pola wektorowego po wskazanym płacie zorientowanym. F 2 x, z x y z, x z - zewnętrzna strona powierzchni walca x 2 +y 2 =4 zamknięta płaszczyznami z=0 i z=1.
Wzór Stokesa Twierdzenie 3. Jeżeli 1) jest płatem kawałkami gładkim zorientowanym, którego brzeg jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją płata 2) pole wektorowe F P, Q, R jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie (łącznie z brzegiem ) to Pdx Qdy Rdz R y Q dydz z P z R Q dzdx x x P dxdy y
Wzór Stokesa Przykład Korzystając ze wzoru Stokesa obliczyć całkę krzywoliniową x ydx y zdy z x jeżeli łuk jest brzegiem zorientowanym dodatnio względem płata - dolna strona stożka 2 2 z x y odciętego płaszczyzną z=0. dz 1
Wzór Stokesa Przykład Obliczyć podaną całkę krzywoliniową z podanego pola wektorowego po wskazanym łuku zorientowanym oraz sprawdzić otrzymany wynik wykorzystując tw. Stokesa. F 2x,3 4z - brzeg półsfery z 4 x y przebiegany w stronę przeciwną do ruchu wskazówek zegara. 2 2
Zastosowania Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany Parcie cieczy o ciężarze właściwym C na dodatnią stronę płata zorientowanego, który jest zanurzony w tej cieczy.
Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana