Przykładowe zadania z Analizy Matematycznej II
|
|
- Laura Kania
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przykładowe zadania z Analizy Matematycznej II 17 marca 2016 Prośba: Gdyby okazało się, że któreś z zadań się powtarza to proszę o info na maila. 1 Mini-zadania z teorii ( 1.1 Wyznacz prostopadłą w punkcie P 0 = y = e u sin v, z = v, (u, v) R 2. e e 2, 2, π 4 ) do powierzchni zadanej parametrycznie x = e u cos v, 1.2 Wiadomo, że funkcja y s = e x jest jednym z rozwiązań zagadnienia początkowego x (y e x )+(y e x ) = 0, y (1) = e. Wyznacz przedział na jakim jest ono jednoznaczne. 1.3 Niech H będzie powierzchnią zadaną układem równań parametrycznych x (u, v) = ue v, y (u, v) = u+v, z (u, v) = u. Wyznacz równanie prostopadłej do H w punkcie (0, 1, 0). v 1.4 Niech dane będzie pole wektorowe z x ln y P (x, y, z) := z x ln z ln y, Q(x, y, x) := zx, R (x, y, z) := y xz x+1 ln y. Zbadaj czy to pole jest potencjalne. 1.5 Oblicz a) sin 4 x; b). (4+x 2 ) Oblicz potencjał pola wektorowego P (x, y, z) := e x sin yarctg (z + 1), Q (x, y, z) := e x cos yarctg (z + 1), R (x, y, z) := ex sin y 1+(z+1) Niech E R 3 będzie połową kuli o środku S = (0, 0, 1) i promieniu 1 wyznaczoną przez nierówność x 0. Całkę F (x, y, z) dydz zamień na chałkę iterowaną we współrzędnych walcowych. E 1.8 Niech E R 3 będzie połową kuli o środku S = (0, 0, 1) i promieniu 1 wyznaczoną przez nierówność x 0. Całkę F (x, y, z) dydz zamień na chałkę iterowaną we współrzędnych r, ϕ, ψ. E 1.9 Niech dane będzie pole wektorowe z x ln y P (x, y, z) := z x ln z ln y, Q(x, y, x) := zx, R (x, y, z) := y xz x+1 ln y. Zbadaj czy to pole jest potencjalne Wiadomo, że jednym z rozwiązań zagadnienia początkowego 2y = 3e x 3 y, y (0) = 1 jest funkcja y s = e 3 2 x. Zbadaj na jakim przedziale jest ono jednoznaczne. (tylko jednoznaczność! wymagane uzasadnienie) 1.11 Oblicz 1 0 x Oblicz e x sin (πx) Oblicz sin 6 x + sin 4 x Oblicz współrzędną x 0 środka ciężkości półokręgu x 2 + y 2 = x, y 0 wiedząc, że gęstość zadana 1
2 jest wzorem ρ (x, y) = x Wyznacz równanie stycznej do powierzchni H: x = cos u cos v, y = ve u, z = u w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 0, 0) Wiadomo, że y s = sin t cos t jest rozwiązaniem równania y sin tdy = cos t (dy cos 2 tdt), y ( π 4 ) = 1 2. Zbadaj na jakim przedziale jest ono jednoznaczne Oblicz K ye xy + xe xy dy, gdzie K jest obrysem trójkąta A = (0, 0), B = (1, 1), C = ( 1, 1) zorientowanego zgodnie z ruchem wskazówek zegara Wyznacz równanie stycznej w punkcie (1, 1, 1) do powierzchni zadanej parametrycznie x = u + 1, y = v 1, z = 1 u 2 v Wiadomo, że rozwiązaniem cos xdy = (1 y sin x), y (π) = 0 jest funkcja y 0 (x) = sin x. Na jakim przedziale jest ono jednoznaczne? 1.20 Oblicz masę krzywej K zadanej parametrycznie x = 2 sin t cos t, y = cos 2 t sin 2 t, t 0, π 4 wiedząc, że gęstość wyraża się funkcją F (x, y) = x Wypisz przewidywaną postać rozwiązania szczególnego równania y + 2y + y = x (e x + sin (2x)) Znajdź równanie przestrzeni prostopadłej do L: x := arctgt, y := arccost, z := log (x + 1) w punkcie P 0 = (0, 0, 0) Znajdź równanie stycznej do krzywej opisanej parametrycznie x (t) := ln t, y (t) := sin π 2 t, z := cos π 2 t w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (0, 1, 0). ( ) 1.24 Sprawdź czy pole wektorowe P (x, y) := ycos y, Q (x, y) := y cos y cos y ln y sin y arctgx jest poten- 1+x 2 y cjalne. 2 Całki pojedyncze 2.1 Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji f : 2, 3 R określonej wzorem f (x) := x 4 +3x 2 2x+3 x 3 +x 2 +2x Oblicz: π 4 sin 6 x, π 4 cos 2 x 2.3 Oblicz 8 4x 4x 2 wokół osi OX. 7 2x (2x 7)( 3 7 2x x). 2.4 Niech krzywa K określona będzie układem równań parametrycznych x (t) = 6t [ 1 + 9t + 2; y (t) = t 1; t 1 2 3, 1 ]. 3 Oblicz długość krzywej K oraz wyraź całką (bez obliczania otrzymanej całki) pole obszaru znajdującego się pomiędzy krzywą K oraz osią OX. 2.5 Oblicz: π 2 π Oblicz cos 2 x, (x 2 + 3x) ln 3 x. 1+cos x x 4 +7x 2 2x+15 x 5 +x 4 +8x 3 +8x 2 +16x Niech f : [0; 1], f (x) = 1 2 x x Oblicz pole powierzchni bocznej oraz wyraź całką (bez
3 obliczania otrzymanej całki) objętość bryły powstałej przez obrót wykresu f wokół osi OX. 2.8 Oblicz 6x 4 +11x 2 +5x. x 5 2x 4 +2x 3 4x 2 +x Oblicz długość łuku krzywej zadanej układem równań parametrycznych x = t 2, y = t4 ln t łączącego 4 punkty (x 0, y 0 ) = ( 1, 4) 1 oraz (x1, y 1 ) = (4, 8 ln 2) Oblicz 2x 2 2. x 2 +6x Oblicz pole powierzchni obszaru D ograniczonego krzywymi y 3 4y 2 3y + x = 0 oraz x = Oblicz dt. 2x 7 5 2x Oblicz pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji f (x) = cos (2x), x π 4, π 4 dookoła osi OX (6x 2 +x+1)(x 1) x x x 4 +17x x 6 +17x 4 +63x Oblicz objętość bryły otrzymanej poprzez obrót wokół osi OX wykresu funkcji f : 0, 1 3 R zadanej wzorem f (x) := x. x Oblicz pole i obwód pętli linii x = t ln 2t + 1, y = 2t + 1, t 0, Oblicz a) b) e 2x cos ( 2 x ). 1+sin x 2.19 a) sin ( 2x ) cos (ex) ; b) 7x 2 +3x+5. x 3 +x 3 Całki wielokrotne 3.1 Oblicz objętość bryły ograniczonej walcem x 2 +y 2 = x oraz powierzchniami z = 0 i z = 1 x 2 y Niech D R 2 będzie ograniczony krzywymi y = 4 2x x 2 oraz y = 3 2x x 2. Oblicz masę profilu D jeśli wiadomo, że wykonano go z materiału o gęstości ϱ (x, y) = 0, Oblicz pole płata F (x, y) := 1 2 (x2 y 2 ) wyciętego walcem y 0, x 2 + y 2 y 3.4 Niech E będzie wielościanem o wierzchołkach ( 1, 0, 0), (1, 0, 0), ( 1, 1, 0) oraz ( 1, 0, 1). Oblicz xy (z 1) dydz. E 3.5 Niech E będzie czworokątem o wierzchołkach (0, 1), (1, 3), (0, 4) oraz ( 1, 2). Oblicz E sin(2x+y) dy. x y 3.6 Oblicz pole płata F (x, y) := 1 2 (x2 y 2 ) wyciętego walcem y x, x 2 + y 2 y. 3.7 Oblicz objętość części walca y x, x 2 +y 2 2y zawartej pomiędzy płaszczyzną z = 0 a wykresem funkcji F (x, y) := 4 x 2 y Oblicz D dy (2x y) cos 2 (0,3y 0,1x) 3.9 Oblicz D zdydz gdzie D: z 0 x, z x2 + y 2 1. gdzie D to wielokąt o wierzchołkach (3, 1), (6, 2), (7, 4) oraz (4, 3) Oblicz D ln (y + 4) dy gdzie D: x + 3 y2, x 1 2y y 2 oraz x + 3 y Oblicz D zdydz gdzie D: x2 + y 2 9, y x 0, z = 0, z = 3.
4 3.12 Oblicz D x2 + y 2 dy gdzie D: x 2 + y 2 y Oblicz D zdydz gdzie D jest czworościanem o wierzchołkach (0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1) oraz (0, 1, 1) Oblicz objętość bryły D: z 9 x 2 y 2, z 4 x 2 y 2, z x 2 + y Oblicz masę bryły ograniczonej płaszczyznami układu współrzędnych oraz płaszczyzną 6x+4y+3z = 12 wiedząc, że gęstość wyraża się wzorem ρ (x, y, z) := 1 x+y+z Oblicz pole części płata z = x 2 y 2 zawartej wewnątrz walca x 2 + y 2 4, y x Oblicz pole części płata F (x, y) := ln x y wyciętej walcem x2 + y 2 10x, y x Oblicz objętość słupa 2 x + y π 4 ściętego powierzchniami z = 1, z = sin4 (y+2x) cos 2 (y 2x) Oblicz całkę D z 2 x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 1. x 2 +y 2 +z 2 (x 2 +y 2 ) 3/2 dydz, gdzie D jest obszarem wyznaczonym przez A 3.20 Oblicz całkę D ln (3x + y + 100) sin2 (3x y) dy gdzie D to czworokąt o wierzchołkach A = (0, 0), B = ( 1, 3), C = ( 2, 0) oraz D = ( 1, 3) Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót wykresu funkcji y := e x, x 0, 1 wokół osi OX Oblicz całkę D ln (3x + y + 100) sin2 (3x y) dy gdzie D to czworokąt o wierzchołkach A = (0, 0), B = ( 1, 3), C = ( 2, 0) oraz D = ( 1, 3) Oblicz całkę D oraz z 0. e x2 +y 2 +z 2 +1 x 2 +y 2 +z 2 dydz gdzie D jest wyznaczony nierównościami: 1 x2 + y 2 + z Oblicz całkę D x2 + y 2 dydz gdzie D jest ograniczony powierzchniami x 2 + y 2 = x, z = 0 oraz z = x 2 + y 2. 4 Równania różniczkowe 4.1 Rozwiąż równanie y = 6y 9y + 18 cos (3x) z warunkiem początkowym y (0) = 5, y (0) = y + 34y = 10y + e t 6 6t + 68t Garnek z zupą o temperaturze 40 wystawiono na dwór gdzie było 0. Po 20 minutach zupa miała 5. Podać po jakim czasie temperatura wody osiągnęła y + 34y = 10y + e t 6 6t + 68t Basen odkryty napełniono wodą o temperaturze 30, przy temperaturze 20 na dworze. Temperatura wody po 20 minutach wynosiła -10. Podać po jakim temperatura wody osiągnęła yy + 3x 2 y 2 = 12x Studenci chcieli zrobić sobie basen z wodą morską, ale przesolili i wyszło im stężenie 22%, przy którym unosili się na powierzchni wody. Zaczęli więc dolewać czystej wody z prędkością 20 l/min (nadmiar mieszaniny wylewał się z tą samą prędkością). Po jakim czasie stężenie osiągnie pożądany poziom 3%? (y ) 2 y = 1 y + y.
5 4.9 W celu zbadania zachowania szczepu bakterii umieszczono próbkę zawierającą 10 6 osobników na pożywce i całość wstawiono do podgrzewacza. Po godzinie okazało się, że liczba bakterii podwoiła się. Po jakim czasie populacja osiągnie 90% stanu nasycenia, jeśli wiadomo, że dla zastosowanej pożywki wynosi on 10 7 osobników. (uwaga: nie używać wykładniczego prawa wzrostu a tego uwzględniającego stan nasycenia) 4.10 y 2 (xdy y) = x 2 (3x 2 + 1) 4.11 Pan Bogacz wybudował niewielki basen obok swojej willi. Szybko okazało się, że w dnie są nieszczelności, którymi ucieka woda. W związku z tym zamontowano system monitorujący, który automatycznie dolewał czystą wodę tak aby przez cały czas w basenie było jej dokładnie 10m 3. W konsekwencji, stopniowo malało stężenie środka bakteriobójczego. W momencie w którym osiągnęło ono poziom 0,9kg/m 3 system monitoringu informował obsługę, a ta wrzucała jego kolejną porcję do basenu. Wiedząc, że obsługa wrzucała co 3 dni (=72h) 1kg środka bakteriobójczego, oblicz z jaką prędkością uciekała woda y + 25y = 50x, y (0) = 1, y (0) = 0 = y (0) Studentka obudziwszy się ok. 3 w nocy (z twarzą na zbiorze zadań z analizy matematycznej), postanowiła zrobić sobie kolejną kawę. W tym celu wstawiła wodę. Czajnik po zagotowaniu wody wyłączył się automatycznie. 30min. później okazało się, że temperatura wody to 50C. Po jakim czasie (od zagotowania) studentka powinna była zalać kawę jeśli wiadomo, że dla idealnego efektu należy użyć wody o temperaturze 70 o C? Temperatura otoczenia to 20 o C y x+y = 2 t, y (1) = 0, y (1) = Studenci szykując się do imprezy zrobili w zamrażarce ( 20 o C) wielką bryłę lodu z zagłębieniem na butelki. Jak się okazało, już po 10min. od wyjęcia (zanim włożyli cokolwiek do środka) lód nagrzał się do temperatury 5 o C. Po jakim czasie bryła osiągnie 0 o C jeśli temperatura otoczenia to 30 o C? y sin x + y cos x = 8y 1 sin x cos 3 x 4.17 Obrotny student postanowił każdej ze swoich przyjaciółek podarować pod choinkę króliczka. W tym celu zakupił 20 osobników i zaczął je rozmnażać. W czasie gdy króliki króliczyły się w najlepsze student przeliczył swoje przyjaciółki. Miał ich dokładnie 120. W dniu z przerażeniem zauważył, że ma już dokładnie tyle króliczków ile przyjaciółek. Po namyśle, postanowił kontynuować doświadczenie i rozdzielić wszystkie otrzymane króliczki po równo. Ile króliczków dostała każda z przyjaciółek studenta? (przyjmujemy, że: - wszystkie miesiące są tej samej długości; - student jest na tyle bogaty, żeby utrzymać dowolną liczbę króliczków; - wypada obdarować kogoś ułamkową częścią króliczka) 4.18 (2x 3 + x 2 3x) y = ( 2x 2 6x + 3) y, y ( ) ( 1 2 = 1,y 1 2) = Student celem polepszenia nastrojów kolegów i koleżanek siedzących w sali wykładowej umieścił olejek pomarańczowy tak, że znajdujący się tam wentylator wdmuchuje w ciągu minuty 20m 3 powietrza zawierającego 0, 002% estrów zapachowych. Po jakim czasie studenci będą mogli czuć się odświeżeni, jeżeli odpowiednie ku temu natężenie zapachu to 0, 0004%? Po jakim czasie zaczną kichać, jeżeli dzieje się to dla stężenia 0, 001%? - Sala wykładowa ma 200m (2x 3 + x 2 3x) y = ( 2x 2 6x + 3) y.
6 4.21 y = x y + xy x Studenci po zakończeniu sesji zorganizowali w jednym z pokoi akademikowych libację alkoholową. O godzinie 22:00 postanowili przenieść imprezę do jednego z klubów. Niestety, w czasie wychodzenia z pokoju przewrócili jedną z niedopitych butelek. Jakie będzie stężenie alkoholu w znajdującym w pokoju powietrzu o godzinie 8:00 jeśli wiadomo, że: - z powstałej plamy w ciągu kwadransa wyparowuje 1g alkoholu; - w momencie przewrócenia butelki w pokoju unosiły się 3g alkoholu pochodzącego z wydychanego przez biesiadników powietrza; - kubatura pokoju to 10m 3 ; - w ciągu godziny przez otwarte okno wpada 1m 3 czystego powietrza y = 25 sin x 4 (y + y x) Na skutek awarii do 100l zbiornika z (czystą) benzyną ekstrakcyjną dostał się 1kg chlorku sodu. W celu oczyszczenia, do zbiornika podłączono filtr usuwający 10% zanieczyszczeń z przepływającej przezeń cieczy. Oblicz po jakim czasie stężenie chlorku sodu spadnie o połowę jeśli wiadomo, że w ciągu minuty przez filtr przepływa 2l mieszaniny. 5 Całki krzywoliniowe 5.1 Wyznacz potencjał pola wektorowego P, Q : R 2 R zadanego następująco: P (x, y) := 7 e sin(πy) sin(ey)+π sin(πy) cos(ey) (e 2 π 2 ) 12 7x+1( 4 7x+1 3, 7x+1) Q (x, y) := 12 ( 6 7x x ln 12 7x ) sin (πy) cos (ey). 5.2 Punkt materialny został przesunięty wzdłuż krzywej K x (t) = t 2, y (t) = 4 t 3, z (t) = 9t od A = (0, 0, 0) do B = (1, 4, 9). Oblicz pracę jaką wykonano jeśli opór towarzyszący przemieszczeniu wyraża się 2x+18 funkcją F (x, y, z) := (36+2z+9x) y Niech K będzie krzywą o końcach (0, 0) oraz ( 1 π, 1) zawartą w wykresie funkcji y = sin x. 2 a) Oblicz masę K wiedząc, że gęstość opisana jest funkcją F (x, y) := y cos x. b) Wypisz odpowiednie całki na współrzędne środka ciężkości (bez liczenia). 5.4 Niech K będzie krzywą o końcach (0, 0) oraz ( 1 2 π, 1) zawartą w wykresie funkcji y = sin x. Oblicz masę K wiedząc, że gęstość opisana jest funkcją F (x, y) := y cos x. 5.5 Niech K będzie krzywą dodatnio zorientowaną, składającą się z części osi OX oraz wykresu funkcji y = cos x znajdujących się pomiędzy punktami ( 1 2 π, 0) i ( 1 2 π, 0). Oblicz K y + e x dy. 5.6 Oblicz K x4 dl, gdzie K jest krzywą zamkniętą zawartą w y = ln x od punktu A = (1, 0) do 5.7 Oblicz K x 3 +x+1 x+1 dy gdzie K jest krzywą zawartą w xy = 1 o początku A = ( 2, 1 2) i końcu B = ( 1 2, 2). 5.8 Oblicz K y 3, gdzie K jest ujemnie zorientowanym okręgiem x 2 + y 2 = 8x. Sprawdź, że pole P (x, y) := e y cos x cos 2 y, Q (x, y) := e y sin x (cos 2 y 2 sin y cos y) jest potencjalne i wyznacz potencjał. 5.9 Oblicz pracę wykonaną przez pole P (x, y, z) = 1, Q (x, y, z) = e x z, R (x, y, z) = 1 przy przesunięciu
7 wzdłuż jednego zwoju linii śrubowej x = t, y = cos t, z = sin t Oblicz całkę arctg x sin (2x) dy, gdzie K jest obwodem trójkąta o wierzchołkach K A = (0, 0), B = ( 1, 3) oraz C = ( 1, 3) zorientowanym odwrotnie do ruchu wskazówek zegara Oblicz pracę potrzebną do przemieszczenia punktu materialnego wzdłuż paraboli 2y = 4 x 2 od punktu A = (0, 2) do B = (2, 0) jeśli wiadomo, że siła oporu wyraża się wzorem F (x, y) = x Przy użyciu całki krzywoliniowej oblicz pole obszaru D: x 2 + y & y x.
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowo1 x + 1 dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Zad.1 Całkę podwójną przez: a) y =, y =, = 1; b) y =, y =, y = 1; c) y =, y = 1, y = 5; d) y = ln, y = + 1, y = 1; e) y = ln, = e, y = 1;
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej
Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej. Listazadań
Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LUB ZAGADNIENIE POCZĄTKOWE.......6. ln ln...7..8..9. d d.... co.... in.... in co in.6..7..8.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 4 Pochodne
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoPOZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut
POZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut Klasa Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016
Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy IIIa i IIIb Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ 1. FUNKCJE (11h) Uczeń: poda definicję funkcji (2)
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoZastosowania geometryczne całek
Matematyka Zastosowania geometryczne całek Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-3 Elblag Matematyka p. 1 Zastosowania geometryczne całek
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A06 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Wartość wyrażenia 1 3 + 1 + 3
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009
MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ
POZIOM PODSTAWOWY GR- Czas pracy 170 minut Klasa Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 KWIETNIA 204 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Liczba 2 2 3 2 3 jest równa
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 8 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Funkcja f określona
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI P-1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut Za rozwiązanie wszystkich zadań można uzyskać łącznie 50 punktów BRUDNOPIS Zadanie 1. (1 pkt) ZADANIA ZAMKNIĘTE
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoARKUSZ II
www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoPRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 2002r 1. Narysować wykres funkcji y = 4 + 2 x x 2. Korzystając z tego wykresu określić liczbę rozwiązań równania 4+2 x x 2 = p w zależności
Bardziej szczegółowo