zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Podobne dokumenty
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu

Planimetria czworokąty

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Wymagania kl. 2. Uczeń:

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

G i m n a z j a l i s t ó w

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Sprawdzian całoroczny kl. III

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

OSTROSŁUPY. Ostrosłupy

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

MATURA Powtórka do matury z matematyki. Część VII: Planimetria ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Zwróć uwagę. Czytaj uważnie treści zadań i polecenia. W razie potrzeby przeczytaj je kilka razy.

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

Wymagania edukacyjne z matematyki

Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

LXI Olimpiada Matematyczna

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

4. RACHUNEK WEKTOROWY

LX Olimpiada Matematyczna

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

w edukacji matematycznej uczniów

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

5. Zadania tekstowe.

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

ZAKRES WYMAGAŃ Z MATEMATYKI

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Spis treści. Podstawowe definicje. Wielokąty. Trójkąty. Czworokąty. Kąty

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Transkrypt:

zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy połowie jego długości. Niech D ędzie środkiem odcink AC trójkąt ABC, E (uzupełnij, ptrz rysunek ook) D C Wykż, że ABC ~ CDE C jest kątem wspólnym ABC i CDE. D jest środkiem AC, ztem: CD = AC. 1 2 E jest środkiem CB, ztem zchodzi równość:. N mocy cechy k ABC ~ CDE, skl podoieństw k = 1 2. Trójkąty są podone, co możn powiedzieć o zleżności między kątmi (w puste miejsce wpisz odpowiedni znk: =, <, >) CDE CAB A E B CED CBA Co możn powiedzieć o okch AB i DE (prostopdłe, równoległe): AB DE Skl k =, 1 ztem oki AB i DE są. 2 1

Zdnie 2. D jest środkiem odcink AC, E jest środkiem odcink CB. Olicz owód trójkąt ABC, wiedząc, że CD = 5 cm, CE = 4 cm, DE = 7 cm. Zdnie 3. Wykż, że trzy wyrżeni w podnej kolejności: 1 + x y 1, 5 x 1 y, 11 x tworzą ciąg rytmetyczny, y 1, x R. 1 y Te trzy wyrżeni tworzą ciąg rytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy różnic między drugim i pierwszym wyrzem ędzie tk sm jk między trzecim i drugim. 1 = 1 + x pierwszy wyrz ciągu y 1 2 = 5 x drugi wyrz ciągu 1 y 3 = 11 x trzeci wyrz ciągu 1 y 2 1 = 5 x 1 y 1 + x y 1 = 5 x 1 y + 1 + x 1 y = 6 1 y Olicz różnicę: 3 2 = Skoro 2 1 = 3 2 to te trzy wyrżeni tworzą ciąg rytmetyczny. Sprwdź, czy te trzy wyrżeni w innej kolejności: 11 x 1 y, 1 + x y 1, 5 x 1 y rytmetyczny dl: y 1, x R. tworzą ciąg 2

Zdnie 4. Wykż, że licz 3 18 2 18 jest liczą podzielną przez 19. Stosując wzór ( n ) k = nk, możn przeksztłcić różnicę potęg w nstępujący sposó: 3 18 2 18 = 3 9.2 2 9.2 = (3 9 ) 2 (2 9 ) 2 Stosując wzór skróconego mnożeni 2 2 = ( )( + ) i wzór nk = ( n ) k, możn dokonć kolejnych przeksztłceń: (3 9 ) 2 (2 9 ) 2 = (3 9 2 9 )(3 9 + 2 9 ) (3 3 3 2 3.3 )( 3 3.3 + 2 3.3 ) = ((3 3 ) 3 (2 3 ) 3 )((3 3 ) 3 + (2 3 ) 3 ) Zstosuj wzór n różnicę sześcinów: 3 3 = ( )( 2 + + 2 ) (3 3 ) 3 (2 3 ) 3 = (3 3 2 3 ) Zstosuj wzór n sumę sześcinów: 3 + 3 = ( + )( 2 + 2 ) (3 3 ) 3 + (2 3 ) 3 = Ztem: 3 18 2 18 = (3 3 2 3 ) (3 3 + 2 3 ) Licz 19 jest jednym z czynników: 3 3 2 3 = 27 8 = 19 co dowodzi, że licz 3 18 2 18 jest podzieln przez 19. Zdnie 5. Wykż, że licz 2 18 1 jest liczą podzielną przez 7. 3

Zdnie 6. Dny jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 i 12. Olicz długości odcinków, n jkie dzieli punkt styczności okręgu wpisnego w trójkąt przeciwprostokątną. Przenlizuj i uzupełnij rozwiąznie tego zdni. Sporządź rysunek. O środek okręgu x = + A, B, C wierzchołki trójkąt 5 F C E r r O r x Olicz długość przeciwprostokątnej, stosując twierdzenie Pitgors. A D 12 B Promień r tego okręgu możn wyznczyć z zleżności pomiędzy polem i owodem trójkąt: P = Owód 2. r P = 1 2. 5. 12 = 30 Owód = 5 +12 +13 = 30 30 = 30. r 2 r = 2 N rysunku poprowdź trzy promienie łączące środek okręgu z punktmi styczności. D, E, F punkty styczności Czworokąt ADOF jest kwdrtem o oku 2. Ztem: CF = 5 AF = 5 2 = 3 DB = 12 AD = 12 2 = 10 Czworokąty OECF i DOEB są deltoidmi, ztem: CE = FC => = 3 DB = EB => = 10 4

Zdnie 7. Olicz promień okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny równormienny o przeciwprostokątnej długości 6 2. Zdnie 8. Znjdź łąd w rozumowniu, wynikiem którego jest wniosek, że 2. 2 = 5. 16 16 = 20 20 4. 4 4. 4 = 5. 4 5. 4 4. (4 4) = 5. (4 4) / (4 4) 4 = 5 2. 2 = 5 Czy zuwżyłeś, że oustronnie wykonno dzielenie przez 0? Zdnie 9. Znjdź łąd w rozumowniu, wynikiem którego jest wniosek, że 1 = 2. 1 = 1 2 2 4 + 4 1 2 = 4 + 4 1 2 2 6 + 4 1 2 = 8 12 + 4 1 2 2 6 + 9 2 = 8 12 + 9 2 / 2 1 3 + 9 4 = 4 6 + 9 4 1 2 2. 1. 3 2 + ( 3 2 ) 2 = 2 2 2. 2. 3 2 + ( 3 2 ) 2 ( 1 3 2 ) 2 = ( 2 3 2 ) 2 / 1 3 2 = 2 3 2 1 = 2 5

Zdnie 10. N trójkącie ABC opisno okrąg. Co możn powiedzieć o trójkącie ABC, jeżeli widomo, że środek okręgu leży n jednym z oków trójkąt? C A O B Zdnie 11. Olicz pole i owód trójkąt równormiennego ABC, wiedząc, że środek okręgu opisnego n tym trójkącie dzieli jeden z oków n połowy, średnic tego okręgu wynosi 6 cm. C x x A 6 cm B Środek okręgu nleży do jednego z oków trójkąt, ztemδ ABC jest prostokątny równormienny, średnic okręgu jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąt. Stosując twierdzenie Pitgors, olicz x. Olicz pole i owód trójkąt. 6

Zdnie 12. Wyzncz wszystkie wrtości prmetru m, dl których nierówność mx 2 + x + 1 > 0 jest spełnion przez kżdą liczę rzeczywistą. Wrunki zdni ędą spełnione, jeśli rmion proli skierowne ędą do góry (m > 0) orz ędzie ujemn (rk miejsc zerowych). Δ m > 0 Nleży oliczyć. = 1 4m < 0 1 4m < 0 4m < 1 m < 1 4 m > 1 4 orz m > 0 Wyzncz część wspólną przedziłów. 0 1 4 Zdnie 13. Wyzncz wszystkie wrtości p, dl których nierówność px 2 x + 2 > 0 jest spełnion przez kżdą liczę rzeczywistą. 7

Zdnie 14. Kolejne kroki pewnego dowodu przedstwiono n rysunkch. c 2 2 c c c 2 Wynik z tego, że A. ( + )( + ) = c 2 B. 2 2 = c 2 C. 2 + 2 = c 2 Zdnie 15. Wiedząc, że licz 10 jest niewymiern, wykż, że licz 2 + 5 jest niewymiern. Przypuśćmy, że licz 2 + 5 jest wymiern. Wówczs licz ( 2 + 5 ) 2 jest. N mocy wzoru ( 2 + 5 ) 2 = 7 + 2 10. Przyjmijmy, że ( 2 + 5 ) 2 = p i p W. Wówczs p = 7+ 2 10. Wyzncz z powyższej równości 10. 10 =...... Licznik tego ułmk jest liczą. Minownik tego ułmk jest liczą. Ztem 20 jest liczą. Porównj otrzymny wniosek z złożeniem zdni. Odp. Licz 2 + 5 jest. 8

Zdnie 16. Wiedząc, że cos2x jest liczą niewymierną, rozstrzygnij, czy cosx jest również liczą niewymierną. Zdnie 17. Dl pewnych zdrzeń P(A ) = 22 25, P(B ) = 7 10, P(A B) = 2 5. Olicz P(A B). Olicz P(A), korzystjąc z równości: P(A) = 1 P(A ). P(A) = Olicz P(B), korzystjąc z równości: P(B) = 1 P(B ). P(B) = Olicz P(A B), korzystjąc z równości: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 9

Zdnie 18. Dl pewnych zdrzeń P(A ) = 1 4, P(B ) = 1 15, P(A B) = 16 16. Olicz P(A B). ODPOWIEDZI Zdnie 2. 32 cm Zdnie 3. Nie Zdnie 7. 6 3 2 Zdnie 9. ( 1 3 2 ) 2 = 1 3 2 = 3 2 1 Zdnie 10. Trójkąt ABC jest prostokątny (kąt wpisny oprty n średnicy), środek okręgu leży n przeciwprostokątnej. Zdnie 11. P = 9 cm 2 Owód = (6 2 + 6) cm 10

Zdnie 12. m ( 1 4 ; + ) Zdnie 13. p > 1 8 Zdnie 14. C Zdnie 17. P(A) = 3 25, P(B) = 3 10, P(A B) = 1 50 Zdnie 18. P(A B) = 3 4 11