Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Transkrypt

1 Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest równoboczny. b) Udowodnij, że DE AB, EF BC, DF AC. Zadanie. Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, punkty A 1, B 1, C 1 są odpowiednio środkami boków BC, AC, AB, zaś punkty K, L, M środkami odcinków SA, SB, SC (rysunek obok). Wykaż, że A 1 B 1 C 1 KLM. Zadanie. W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC w punkcie M. Przez punkt M prowadzimy prostą równoległą do BC, przecinającą bok AB w punkcie N. Udowodnij, że MN = BN. Zadanie 4. Kąty ABC oraz DBC to kąty przyległe. Poprowadzono dwusieczne tych kątów oraz prostą, równoległą do prostej AD, która przecina te dwusieczne odpowiednio w punktach E i F, zaś ramię BC w punkcie K (rysunek obok). Udowodnij, że EK = KF. Zadanie 5. W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek B i odłożono taki odcinek BD, że BD = BC. Następnie połączono punkty C i D (rysunek obok). Wykaż, że CDA = 1 CBA. 1

2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok). Udowodnij, że MD + MS = AB. Zadanie 7. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok). DM MS Udowodnij, że 1. AB AC Zadanie 8. W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono przeciwprostokątną AB i tak obrano na przedłużeniach punkty D i E, że AD = AC oraz BE = BC (rysunek obok). Udowodnij, że DCE = 15. Zadanie 9. W okręgu poprowadzono średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD (rysunek obok). Udowodnij, że ACD CDA = 90. Zadanie 10. Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, z których najmniejszą jest liczba k, gdzie k C, podzielona przez daje resztę. Zadanie 11. Wykaż, że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to liczba postaci x 6 x 4 x + 1 jest podzielna przez. Zadanie 1. W trójkącie ABC długości boków wynoszą: AB = c, AC = b, BC = a, gdzie 0 < a < b < c. Pole tego trójkąta wynosi. Wykaż, że AC > 6.

3 Zadanie 1. W równoległoboku ABCD poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych BAD oraz ADC, które przecięły się w punkcie M (rysunek obok). Wykaż, że AMD jest prosty. Zadanie 14. ab Wykaż, że jeśli a > i b < 4, to 4 b a. Zadanie 15. Wiadomo, że x + y + = 0. Udowodnij, że wartość wyrażenia x + y + x y 4 jest najmniejsza dla x = y = 1. Zadanie 16. Wykaż, że jeśli x > k, to wyrażenie x + 5x kx 5k przyjmuje tylko wartości dodatnie. Zadanie 17. W trapezie ABCD podstawy mają długości: AB = a oraz CD = b, gdzie a > b > 0 oraz BAD + ABC = 90. Środek M podstawy AB połączono ze środkiem N podstawy DC (rysunek obok). a b Wykaż, że MN =. Zadanie 18. Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego prawdziwa jest nierówność tg + ctg. Zadanie 19. W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD oraz CE, które przecięły się w punkcie M. Wiadomo, że AD CE = oraz MAC + ACM = 60. Wykaż, że pole trójkąta ABC wynosi 1. Zadanie 0. Udowodnij, że jeśli x + x = y + y, to x = y lub y = x 1.

4 Zadanie 1. Wykaż, że jeśli a i b nie są równe zeru i a + b 0 i a a b 1 b, to a b. Zadanie. Udowodnij, że iloczyn cyfr dowolnej liczby czterocyfrowej jest mniejszy od tej liczby. Zadanie. Udowodnij, że funkcja x 10x 5x f(x) =, gdzie x R { 5, 0, 5}, x 5x nie ma miejsc zerowych. Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór wartości funkcji x 8x 16 f(x) =, gdzie x 4, x 4 jest dwuelementowy. Zadanie 5. Wykaż, że jeśli a b < 0 i a + b > 0, to a < b. Zadanie 6. Udowodnij, że jedynym rozwiązaniem równania x + y 1x + y + 7 = 0 jest para liczb (6, 1). Zadanie 7. Na bokach AC oraz BC trójkąta ABC tak wybrano NC punkty M i N, że MN AB oraz k, k (0,1). BN Pole trójkąta ABC wynosi S. k S Wykaż, że pole trójkąta MNC jest równe. (k 1) 4

5 Zadanie 8. Wykaż, że jeśli a R i b R, gdzie a 0, b 0 i a + b 0 oraz a ab = ab b a b 1 a b, to lub 0. a b a b Zadanie 9. Długość a boku rombu oraz długości jego przekątnych d 1, d spełniają warunek d 1 d = a. Udowodnij, że kąt ostry rombu spełnia warunek: 0 < tg < 1. Zadanie 0. W kole o środku O i promieniu r (r > 0) zaznaczono kąt środkowy AOB o mierze 10. Następnie poprowadzono styczne do okręgu o(o, r) w punktach A i B, które przecięły się w punkcie C (rysunek obok). Wykaż, że odległość punktu C od środka okręgu jest równa długości średnicy tego okręgu. Zadanie 1. Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną AB oraz AD = DB (rysunek obok). Wykaż, że CAD = 60. Zadanie. Rzucono raz dwiema kostkami do gry. Rozważmy zdarzenia: A na co najmniej jednej kostce wypadło sześć oczek, B na każdej kostce wypadła parzysta liczba oczek. Wykaż, że P(A B) = 6 1. Zadanie. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC. Wykaż, że AB AC AD. 5

6 Zadanie 4. Romb ABCD zawiera się w płaszczyźnie. Przez środek symetrii rombu prowadzimy prostą p, prostopadłą do płaszczyzny. Na prostej p (poza płaszczyzną ), wybieramy punkt M (rysunek obok). Wykaż, że punkt M jest równo odległy od boków rombu. Zadanie 5. Okręgi o 1 (O 1, r 1 ) oraz o (O,r ), gdzie r 1 > r są zewnętrznie styczne w punkcie S. Przez punkt S prowadzimy prostą k, która przecina okrąg o 1 w punkcie A i okrąg o w punkcie B oraz prostą l, która przecina okrąg o 1 w punkcie C i okrąg o w punkcie D (rysunek obok). Wykaż, że AC BD. Zadanie 6. Dany jest sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu BCC 1 B 1 (rysunek obok). Wykaż, że odcinek DO jest prostopadły do odcinka BC 1. 6