PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

Transkrypt

1 PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź kąty trójkąta równoramiennego, w którym kąt przy podstawie jest pięć razy mniejszy od przyległego do niego kąta zewnętrznego. Zad.3 (c>3) Liczby 2c-2, c+1, 2c+2 są długościami boków trójkąta. Do jakiego przedziału należy c? Zad.4 (tak) Sprawdź czy trójkąt o bokach a) 4, 5, 8 b) 10, 7, 7 c) 2, 2, 10 d) jest rozwartokątny. Zad.5 ( ) Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 16 i 12. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego. Zad.6 ( ) Dany jest trójkąt prostokątny, jedna z przyprostokątnych jest o 4 dłuższa od drugiej, jeden z kątów ostrych ma miarę 30 o. Oblicz długość krótszej przyprostokątnej. Zad.7 (9, 40, 41) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 i jednocześnie dłuższa od drugiej o 32. Wyraź przyprostokątne za pomocą przeciwprostokątnej a następnie oblicz długości boków trójkąta. Zad.8 W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną na odcinki. Oblicz tę wysokość. Zad.9 Punkt należy do okręgu o średnicy. Punkt leży w odległości 12 od punktu i w odległości 4 od odcinka. Oblicz długość i. 1

2 Zad.10 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 8 i 6. Oblicz różnicę długości środkowej i wysokości tego trójkąta poprowadzonych z wierzchołka kąta prostego. Zad.11 W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długości przyprostokątnych pozostają w stosunku 3:4. Oblicz obwód tego trójkąta. Zad.12 oki trójkąta maja długość: Niech D oznacza spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka. Oblicz Zad.13 Oblicz długość cięciwy okręgu o promieniu 6,5, która leży w odległości 2,5 od środka tego okręgu. Zad.14 (64) W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30. Środek ciężkości tego trójkąta znajduje się w odległości od podstawy. Oblicz obwód trójkąta. Zad.15 W trójkącie równoramiennym podstawa II=6, środkowa IEI=12. Oblicz środkową IDI. Zad.16 ( ) W trójkącie równobocznym bok jest o 3 dłuższy od wysokości. Oblicz długość boku trójkąta. Zad.17 ( ) ok trójkąta równobocznego ma długość 6. Oblicz odległość środka ciężkości trójkąta od jego boków. Zad.18 W trójkącie rozwartokątnym boki przy kącie rozwartym α mają długość 5 i 8, a jego pole jest równe 10. Oblicz α. Zad.19 W trójkącie równoramiennym cosinus jednego z kątów jest równy: -0,8. Wiedząc, że pole tego trójkąta jest równe 7,5 oblicz długość ramienia. Zad.20 P =108 P E =? E 2

3 Zad.21 oki pewnego trójkąta mają długość: 10, 11, 12. Połączono środki jego boków otrzymując nowy trójkąt. Oblicz obwód powstałego trójkąta. Zad.22 W trójkącie połączono środki boków otrzymując trójkąt Obwód trójkąta jest o 20 mniejszy od obwodu trójkąta. Oblicz obwód trójkąta. TRÓJKĄT WPISNY/OPISNY N OKRĘGU (wzór Herona i wzory na promień okręgu) Zad.23 (20, 10 ) Trzy okręgi o środkach O 1, O 2, O 3 i promieniach odpowiednio 2, 3, 5 są styczne zewnętrznie. Oblicz obwód i pole trójkąta którego wierzchołkami są środki tych okręgów. Zad.24 (4) Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość 6. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego. Zad.25 (72 o, 72 o, 36 o ) Na trójkącie równoramiennym : II=II opisano okrąg o środku O. Oblicz miary kątów trójkąta wiedząc, że. Zad.26 ( ) Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy. Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o 4 dłuższa od drugiej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną. Zad.27 W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 4. Spodek tej wysokości leży w odległości 1 od środka okręgu opisanego na trójkącie. Oblicz promień okręgu opisanego i długości boków tego trójkąta. Zad.28 W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 65, a wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 60. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad.29 Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną i wynosi 7. Oblicz obwód trójkąta. 3

4 Zad.30 (10) Ramię trójkąta równoramiennego jest równe 5, kąt między ramionami ma miarę 120 o. Znajdź długość średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad.31 (15 o, 50 o, 115 o ) W okrąg wpisano trójkąt równoramienny : II=II, kąt jest równy 50 o. Oblicz miary kątów trójkąta M jeżeli M jest punktem przecięcia stycznej do okręgu w punkcie i przedłużenia boku. Zad.32 ( ) Dany jest trójkąt równoramienny, w którym II=II=26 i wysokość IDI=24. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad.33 ( ) Wysokość trójkąta równobocznego jest o 3 dłuższa od promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz długość boku trójkąta. Zad.34 (45 o, 60 o, 75 o ) Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym. Kąt S jest trzy razy większy od kąta S, a kąt S jest dwa razy większy od kąta S. Oblicz miary kątów trójkąta. Zad.35 (2) Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wiedząc, że obwód trójkąta wynosi 30 a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 6,5. Zad.36 Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość: Zad.37 (2) Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie K. Wiadomo, że IKI=4 i IKI=6. Oblicz promień tego okręgu. Zad.38 (1, 2, 3) W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 3 i 4 wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków na jakie punkty styczności podzieliły boki tego trójkąta. Zad.39 ( ) W trójkąt równoramienny, w którym, wpisano okrąg, którego promień jest równy 3. Oblicz długość boków trójkąta. Zad.40 (50 o, 50 o, 80 o ) W trójkącie równoramiennym : II=II wpisano okrąg o środku O. Oblicz miary kątów trójkąta jeżeli. 4

5 Zad.41 Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o bokach: 13, 13, 24. Zad.42 ( ) Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest o 4 krótszy od promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz obwód trójkąta. Zad.43 (5,7,6) W trójkącie o bokach 12,14,16 wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków na jakie podzieliły boki trójkąta punkty styczności z okręgiem. Zad.44 ( ( ) ) W trójkącie dane są:. Wysokość D jest równa 3. Oblicz pole trójkąta oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zad.45 oki trójkąta mają długość 21,20,13. Oblicz pole trójkąta, wysokości, promień okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie. Zad.46 Dwa boki trójkąta mają długość 17 i 25, jego pole wynosi 210, a promień okręgu wpisanego 6. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta i promień okręgu opisanego. TRÓJKĄTY PODONE Zad.47 (3) W trapezie D, w którym IID przedłużono ramiona D i do przecięcia się w punkcie E. Oblicz IEI jeśli IDI=1, II=1,5 oraz IDEI=2. Zad.48 (21, 28) Na boku trójkąta obrano punkt K taki że IKI:IKI=3:4. Przez punkt K poprowadzono prostą równoległą do boku. Przecięła ona bok trójkąta w punkcie L. Oblicz ILI i ILI jeśli II=49. Zad.49 Na boku trójkąta obrano punkt M, tak że. Przez punkt M poprowadzono prostą równoległą do boku, która przecięła bok w punkcie N. Oblicz oraz jeśli Zad.50 W trapezie D podstawy i D mają odpowiednio długość: 12 i 7 oraz ramię D wynosi 8. O ile należy wydłużyć ramię D aby przecięło się z przedłużeniem ramienia? 5

6 Zad.51 W trapezie długości podstaw wynoszą 5 i 8, a ramion 3 i 4. Ramiona trapezu przedłużono do przecięcia w punkcie P. Oblicz obwód trójkąta, którego jednym z wierzchołków jest punkt P a dwa pozostałe są końcami dłuższej podstawy trapezu. Zad.52(4,8;11,2) W trójkącie wysokość D dzieli bok na odcinki i ok ma długość 16. Wyznacz długości odcinków na jakie symetralna boku podzieli bok. Zad.53 (30 o ) D IDI = IDI D =? D Zad.54 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość: Punkt D dzieli bok w stosunku: Punkt E należy do boku i odcinek DE jest prostopadły do boku. Oblicz stosunek Zad.55(4) W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 6, a wysokość D ma długość 12. W trójkąt ten wpisano kwadrat, którego dwa wierzchołki należą do podstawy, a dwa do ramion i. Oblicz długość boku kwadratu. Zad.56 W ostrokątnym trójkącie równoramiennym :, wysokość D przecięła się z wysokością E w punkcie S. Wysokość E dzieli ramię na odcinki Oblicz sinus kąta E. Wykaż, ze Trójkąt DS jest podobny do trójkąta SE i oblicz stosunek ich pól. Zad.57 (3, 5, ) W trójkącie dane są długości boków II=12, II=8, II=10. Punkt D dzieli bok na takie dwa odcinki że IDI:IDI=3:5. Przez punkt D poprowadzono prostą równoległą do boku, która przecięła bok w punkcie E. Oblicz długości boków E, E, DE. Zad.58 (13, 5) Obwód trójkąta wynosi 27. Połączono środki jego boków i otrzymano trójkąt DEF. Oblicz obwód tego trójkąta. Podaj skalę podobieństwa trójkątów i DEF. Zad.59 oki trójkąta maja długość: 8, 10, 12. Trójkąt jest podobny do trójkąta i jego obwód wynosi 6. Oblicz skalę podobieństwa. 6

7 Zad.60 ( ) Obwód trójkąta jest równy 9. Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali k = 4, dwa jego boki mają długość I 1 1 I=10, I 1 1 I=12. Oblicz długość boków trójkąta. Zad.61 (14) Obwód trójkąta jest równy 21. Prosta równoległa do podstawy przecina wysokość D w punkcie P, a boki i odpowiednio w punktach E i F. Wiedząc, że IDPI:IPI=1:2 oblicz obwód trójkąta EF. Zad.62 (6) Trójkąt ma obwód równy 30, a pole 24. Obwód trójkąta podobnego do trójkąta wynosi 15. Oblicz pole trójkąta Zad.63 (21, 14) Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych i wynosi. Wiedząc, że podstawa 1 1 trójkąta jest o 7 krótsza od podstawy trójkąta oblicz I 1 1 I i II. Zad.64 (3, 4, 5) W trójkącie prostokątnym : =90 o, przyprostokątna ma długość 12. Odcinek DE prostopadły do przeciwprostokątnej dzieli trójkąt na dwie figury o polach P 1 =6 i P 2 =90. Oblicz długości boków trójkąta DE. *Zad.65 ( W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 40. W trójkąt ten wpisano koło styczne do ramion w punktach D i E. Wiedząc, że oblicz pole tego koła oraz pole trójkąta. Zad.66 W trójkąt równoramienny o bokach 13, 13, 10. Wpisano koło. Styczna do koła równoległa do podstawy odcina od trójkąta trójkąt DE. Oblicz pole odciętego trójkąta. Zad.67 (25, 250, 40) W kole poprowadzono cięciwy i D, które przecięły się w punkcie E. Pole trójkąta E jest o 210 większe od pola trójkąta ED. Wiedząc, że IEI=40, IEDI=16, IEI=10 oblicz IEI, pole trójkąta E oraz pole trójkąta ED. P 2 D E P 1 E D 7