Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

Transkrypt

1 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona na tą podstawę wynosi: A. 6 B. 6 C. 36 D (1p) Promień okręgu opisanego na kwadracie wynosi 4 2. Pole tego kwadratu ma: A. 4 B. 8 C. 16 D (1p) Jeżeli AD BC to długość odcinka AE (patrz rysunek wynosi) A. 8 B. 9 C. 5 D (2p) Oblicz miarę kąta ABC na rysunku poniżej

2 2 6. (2p) Oblicz miarę kąta α na rysunku wiedząc, że punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. (rys 5) 7. (2p) W czworokącie ADCD przekątne są prostopadłe. Udowodnij, że AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 SUMA PUNKTÓW. / 10punktów %

3 3 ZADANIA DO ROZWIĄZANIA PODCZAS LEKCJI 1. Oblicz: a) Pole rombu o boku długości 10 i kącie ostrym 60 o b) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 45 o i ramieniu 6 c) Długość dłuższego boku prostokąta, w którym krótszy bok ma długość 3, a kąt między przekątną a dłuższym bokiem ma 30 o d) Pole równoległoboku o bokach długości 6 i 8 oraz kącie ostrym 30 o (patrz TEORIA - przykład 1) 2. W trójkącie równoramiennym a to długość podstawy, b długość ramienia, h długość wysokości opadającej na podstawę a. Oblicz: a) h, jeśli a = 4, b = 6 b) a, jeśli h = 8, b = 10 c) b, jeśli h = 6 3, a = 6 3. Oblicz długość boku i pole kwadratu, jeśli: a) promień okręgu opisanego na tym kwadracie ma długość 4 b) promień okręgu wpisanego w ten kwadrat ma długość 1 (patrz TEORIA - przykład 2) (patrz TEORIA - przykład 3) 4. Oblicz długość boku, wysokość i pole trójkąta równobocznego, w którym: a) promień okręgu opisanego wynosi 4 b) promień okręgu wpisanego wynosi 3 5. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie, w którym: a) przyprostokątne wynoszą 3 i 4 b) boki mają długość 7, 8, 15 (patrz TEORIA - przykład 4) (patrz TEORIA - przykład 5) 6. Wiadomo, że k l. Oblicz: a) OD, jeśli DC = 3, OA = 5, AB = 2 b) OA, jeśli AB = 4, AD = 6, BC = 10 c) AD, jeśli OA = 6, AB = 5, BC = 8 (patrz TEORIA przykład 6)

4 4 7. Wyznacz miary kątów α i β na rysunkach poniżej (patrz TEORIA przykład 7) 8. Wyznacz miary kąta α na rysunkach poniżej (patrz TEORIA przykład 7) 9. W trapezie ABCD boki AB i CD są równoległe oraz BC = AD. Uzasadnij, że trójkąty ADC i BCD są przystające. (patrz TEORIA przykład 8) 10. Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE

5 5 TEST PODSUMOWUJĄCY LEKCJĘ 1. (1p) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 o i ramieniu długości 4 3 jest równa: A. 6 B. 4 3 C. 4 D (2p) Długość podstawy trójkąta równoramiennego wynosi 6 5, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa 4. Oblicz długość ramienia tego trójkąta. 3. (1p) Okrąg wpisany w kwadrat ma promień długości 4. Pole tego kwadratu wynosi: A. 4 B. 16 C. 32 D (1p) Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 6. Wysokość tego trójkąta ma długość: A. 3 3 B. 6 3 C. 9 D (2p) Oblicz długość odcinka DC wiedząc, że l k oraz OD = 1, AD = 3, BC = 9

6 6 6. (2p) W trapezie ABCD, w którym podstawy AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E. Uzasadnij, że trójkąty ABE i CDE są podobne. 7. (1p) Kąt α na rysunku ma miarę: (rysunek 4) A. 140 o B. 120 o C. 100 o D. 60 o SUMA PUNKTÓW. / 10 punktów %

7 7 BYŁO NA MATURZE 1. Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa długości okręgu ma miarę A. 160 o B. 80 o C. 40 o D. 20 o 2. Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50 o (tak jak na rysunku). Miara kąta α jest równa: A. 25 o B. 30 o C. 40 o D. 50 o 3. Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20 o mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa A. 5 o B. 10 o C. 20 o D. 30 o 4. Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy A. 14 o < α < 15 B. 29 o < α < 30 o C. 60 o < α < 61 o D. 75 o < α < 76 o 5. Odcinki AB i CD są równoległe i AB = 5, AC = 2, CD = 7 (zobacz rysunek). Długość odcinka AE jest równa: A. B. C. 3 D. 5

8 8 6. Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC. 7. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty. 8. Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków odpowiednio AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że BL = BE i DN = DE (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola kwadratu ABCD do pola rombu KLMN jest równy 1:3