Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Transkrypt

1 Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź uzasadnij. Zad. ( 6 pkt) Sporządź wykres funkcji, która liczbie m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania + 1 x - x + x 1 = m Zad. 3 (6 pkt) Pewien samochód spala średnio 14 litrów benzyny na 100 kilometrów. Właściciel postanowił założyć w nim instalację gazową, która będzie kosztować 000 złotych. Zużycie paliwa (gazu) wzrośnie o 15 %, ale inwestycja i tak będzie opłacalna, bo gaz jest,5 razy tańszy od benzyny. a) Przyjmując cenę benzyny 3,30 złotych za litr, oblicz po przejechaniu ilu kilometrów inwestycja się zwróci. b) Zakładając, że właściciel samochodu przejeżdża nim rocznie kilometrów, oblicz, po ilu latach użytkowania za zaoszczędzone na paliwie pieniądze będzie on mógł kupić skuter wart złotych. Zad 4 ( 6 pkt) Wysokość CC 1 trójkąta ABC ma długość 4 i dzieli podstawę na dwie części AC 1 i C 1 B takie, że AC 1 : C 1 B = 1 : 8. Oblicz: a) długości boków trójkąta, zakładając, że kąt przy wierzchołku C jest prosty, b) długość odcinka DD 1 równoległego do wysokości CC 1 dzielącego trójkąt ABC na dwie figury o równych polach. Zad 5 ( 6 pkt) Na bokach AB i BC równoległoboku ABCD zbudowano na zewnątrz kwadraty ABPQ i BCRS. Wykaż, że odcinki DQ i DR są równej długości oraz wyznacz miarę kąta między nimi.

2 Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki rok Zadanie 1 ( 6 pkt ) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 10 cm i 0 cm. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków, na które ten okrąg podzielił przeciwprostokątną. Zadanie ( 6 pkt ) Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: x y + 1 = ( ) 48 Zadanie 3 ( 6 pkt ) Narysuj wykres funkcji y = x 4x + 4 x + 1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja y = x 4x + 4 x m nie ma miejsc zerowych. Zadanie 4 ( 6 pkt ) W dwóch stopach miedzi i cynku stosunki mas tych metali wynoszą odpowiednio: 4 : 1 i 1 : 3. Po stopieniu 10 kilogramów pierwszego stopu, 16 kilogramów drugiego i pewnej ilości czystej miedzi otrzymano stop, w którym masy miedzi i cynku pozostają w stosunku 3 :.Oblicz ciężar nowego stopu. Zadanie 5 ( 6 pkt) Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i CD równoległoboku ABCD. Wykaż, że: a) Punkty K, L przecięcia przekątnej BD odpowiednio przez proste AN i AM dzielą tę przekątną na 3 równe części, b) Pole pięciokąta KLMCN stanowi 3 1 pola równoległoboku ABCD.

3 Klasa I LO i I Technikum- zakres podstawowy Etap wojewódzki rok Zad 1 ( 6 pkt) Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8 cm. Wewnątrz tego kwadratu wybrano punkty Mi K tak, by trójkąty ABM i CDK były równoboczne. Oblicz pole części wspólnej trójkątówabm i CDK. Zad. ( 6 pkt) a + b + c a b + c a + b c (a + b )( b + c)( c + a) Wiadomo, że = =. Oblicz wartość wyrażenia. a b c abc Zad. 3 (6 pkt) Cenę przejazdu taksówką firmy A opisuje funkcja f (x) =,5x + 5 gdzie x oznacza liczbę przejechanych kilometrów. Na trasie dłuższej niż 5 kilometrów firma ta udziela rabatu w wysokości 10% ceny całego przejazdu. Firma B cenę przejazdu swoimi taksówkami oblicza według wzoru g(x) = x + 8 na trasie o dowolnej długości. a) Z usług której firmy należy skorzystać, jeśli chcemy się przemieścić na odległość 30 kilometrów i zapłacić niższą kwotę za przejazd, b) Wyznacz długość trasy na której kwota zapłacona za przejazd taksówką obu firm jest taka sama. Zad 4 ( 6 pkt) W trapezie ABCD łączymy środek E boku AD z końcami ramienia BC. Oblicz pole powstałego trójkąta BEC, wiedząc, że pole trapezu równa się 16cm. Czy zauważasz jakiś związek pomiędzy polem trójkąta i polem trapezu? Zbadaj, czy jest on spełniony dla każdego trapezu i tak powstałego trójkąta. Zad 5 ( 6 pkt) Jeżeli liczbę dwucyfrową podzielimy przez sumę jej cyfr, to otrzymamy 6 i resztę 3. Jeśli zaś podzielimy tę liczbę przez sumę cyfr powiększoną o to otrzymamy 5 i resztę 5. Znajdź tę liczbę.

4 Klasa I LO i I Technikum zakres podstawowy Etap wojewódzki rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Zadanie 1 (6 pkt) Wykaż, że podane liczby należą do zbioru liczb naturalnych: k = ( 0,07) 3, t = 0,(4) Zadanie (6 pkt) 1 5 1, l = , m = Dorota ma dwa razy więcej pieniędzy niż Ela i trzy razy mniej pieniędzy niż Beata. a) Oblicz jaki procent pieniędzy wszystkich dziewcząt stanowią pieniądze Beaty. b) Oblicz jaką część swoich pieniędzy powinna Beata dać Eli, a jaką Dorocie, aby każda z nich miała tyle samo pieniędzy. c) Beata wpłaciła swoje pieniądze do banku na lokatę, której oprocentowanie roczne wynosi 5%. Po roku oszczędzania i po potrąceniu % podatku od odsetek Beata otrzymała 63,4 złotego. Oblicz jaką kwotę wpłaciła Beata. Zadanie 3 (6 pkt) Funkcja f określona na zbiorze liczb naturalnych większych od 9, przyporządkowuje każdej liczbie n cyfrę dziesiątek liczby n. a) Określ zbiór wartości funkcji f, b) Dla ilu argumentów mniejszych od 999 funkcja f przyjmuje wartość 6? c) Dla jakich k N, liczba 10k jest miejscem zerowym funkcji f? d) Dla jakich n nie zachodzi równość f(n+1) = f(n)? Zadanie 4 (6 pkt) W trapezie równoramiennym ABCD połączono odcinkami środki sąsiednich boków. a) wykaż, że powstały czworokąt EFGH jest rombem, b) oblicz pole rombu, mając dane długości a i b podstaw trapezu (a > b) i miaręα kąta ostrego trapezu Zadanie 5 (6 pkt) Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych równa się sumie średnic koła wpisanego i koła opisanego na tym trójkącie.

5 Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki rok Zadanie 1 ( 6 pkt ) W trójkącie równobocznym ABC poprowadzono wysokość BD i na przedłużeniu wysokości zaznaczono punkt K taki, że BK = AC.Następnie punkt K połączono z punktem A i C. Wyznacz miarę kąta AKC. Rozważ dwa przypadki. Zadanie ( 6 pkt ) Dany jest równoległobok ABCD, którego przekątne mają długość 1 cm i 8 cm. Kolejne środki boków tego równoległoboku połączono odcinkami i otrzymano czworokąt KLMN. Oblicz obwód tego czworokąta. Zadanie 3 ( 6 pkt ) Narysuj wykresy funkcji f : y = x 1 i g : y = x 1. y = x 1 Zakładając, że zbiór rozwiązań układu y = x 1 wyznacza dwusieczną kąta prostego w trójkącie prostokątnym równoramiennym o jednym boku zawartym w OX i polu równym j, wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta. Zadanie 4 ( 6 pkt ) Podstawy trapezu równoramiennego mają długość 4 i 18 a wysokość 14. Wysokość trapezu podzielono w stosunku 4 : 3, licząc od dłuższej podstawy i przez punkt podziału poprowadzono odcinek równoległy do podstaw i łączący ramiona trapezu. Oblicz stosunek pól trapezów, których wspólną podstawą jest odcinek podziału, a drugą jest podstawa trapezu. Zadanie 5 ( 6 pkt) Przy dzieleniu liczb a, b, c przez 5 otrzymujemy odpowiednio reszty 1,, 3. Znajdź resztę z dzielenia sumy kwadratów liczb a, b, c przez 5.