KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ

KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inż. Krzyszof Paorski 1. WłaściwoW ciwości saysyczne świała a ermicznego ( losowego( losowego ) A. Naęż ężenie (inensywność ść) ) promieniowania B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy C. Koherencja przesrzenna 2. Inerferencja w świele częś ęściowo koherennym A. Inerferencja dwóch wiązek częś ęściowo koherennych B. Inerferencja a koherencja czasowa C. Inerferencja a koherencja przesrzenna

Właściwości saysyczne świała ermicznego Promieniowanie zdecydowanej większości źródeł świała odbywa się na drodze emisji sponanicznej. Aomy lub cząseczki wzbudzane do wyższych sanów energeycznych przez akywację ermiczną, elekryczną ip. przypadkowo i niezależnie powracają do sanu podsawowego i emiują świało. Promieniowanie będące sumą licznych, niezależnych procesów nazywane jes promieniowaniem (świałem) ermicznym. Konrasowo różnym od promieniowania ermicznego jes sosunkowo dobrze uporządkowane promieniowanie wymuszone, emiowane przez laser. Dowolną falę opyczną opisuje funkcja falowa u(r,) = Re{U(r,r)}, gdzie U(r,) oznacza zespoloną funkcję falową. Przykładowo, U(r,) = U(r) exp(-i2πν) dla świała monochromaycznego, lub eż U(r,) może być sumą podobnych funkcji dla wielu częsoliwości wysępujących w świele polichromaycznym. Dla świała ermicznego, obydwie funkcje u(r,) i U(r,) są funkcjami losowymi, kóre można charakeryzować pewnymi średnimi saysycznymi. A. Naężenie (inensywność) świała Naężenie (inensywność) świała koherennego (parz poprzednie części wykładu) jes równe kwadraowi modułu zespolonej funkcji falowej,. (1) W przypadku świała ermicznego U(r,) jes losową funkcja czasu i położenia. Inensywność jes również opisana funkcją losową. Inensywność średnią można zdefiniować jako (2) gdzie < > oznacza uśrednianie wielu warości funkcji losowej dla różnych warości czasu i położenia. Warość I(r,) nazywamy inensywnością (w domyśle uśrednioną), a U(r,) 2 jes inensywnością chwilową (losową). Dla świała monochromaycznego i źródła punkowego operacja uśredniania nie jes konieczna, wszyskie realizacje (dla każdej chwili) dają en sam wynik. Średnia inensywność może nie zależeć od czasu lub być funkcją czasu. W pierwszym przypadku fala opyczna jes saysycznie sacjonarna (średnia nie zależy od czasu). Inensywność chwilowa U(r,) 2 zmienia się losowo w czasie, ale warość średnia I(r) pozosaje bez zmian. Jes ona ylko funkcją odległości od źródła. Naomias losowa inensywność U(r,) 2 zmienia się w czasie i przesrzeni.

a) b) IU(r,)I 2 I(r,) IU(r,)I 2 I(r,) Rys. 1. Fala saysycznie sacjonarna ma niezmienną w czasie średnią warość inensywności; b) zmienna w czasie inensywność fali saysycznie niesacjonarnej. Przypadek a) odpowiada świału lampy żarowej ze sabilizowanym zasilaniem prądowym. Przypadek b) ilusruje zasilanie impulsem elekrycznym. Operację saycznego uśredniania realizuje się zazwyczaj przez uśrednianie w czasie znacznie dłuższym od czasu pojedynczej realizacji, zn. (3) B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy Rozważmy zmiany sacjonarnego świała w funkcji czasu dla usalonego położenia r. Sacjonarna, losowa funkcja U(r,) ma sałą inensywność I(r) = < U(r,) 2 >. Dla uproszczenia, opuśćmy zależność od r (r jes usalone), a więc U(r,) = U() i I(r) = I. Losowe zmiany U() charakeryzuje saysyczna średnia nazywana funkcją auokorelacji. Funkcja a opisuje zakres, w kórym funkcja falowa zmienia się zgodnie (unisono) w dwóch oddzielnych chwilach czasowych, a więc usanawia skalę czasu procesu, kóra kwi u podsaw generacji funkcji falowej. Funkcja czasowej koherencji Funkcja auokorelacji sacjonarnej, zespolonej, losowej funkcji U() sanowi średnią iloczynu U*() i U( + τ) w funkcji opóźnienia czasowego lub (4)

Rozważmy przypadek < U() > = 0. Faza fazora U() może przyjmować każdą warość między 0 i 2π, parz rysunek niżej. Faza iloczynu, czyli ką między fazorami U() i U( + τ), może Im{U()} przyjąć dowolną warość, a więc funkcja auokorelacji Γ (τ) (warość średnia) zeruje się. W innym przypadku, jeśli dla danego opóźnienia czasowego τ funkcje U() i U(+τ) są skorelowane, o faza iloczynu U*()U(+τ) przyjmuje uprzywilejowaną warość i średnia Γ(τ) 0. W eorii koherencji pól opycznych funkcja auokorelacji nazywana jes funkcją korelacji czasowej. Można ławo wykazać, że Γ(τ) posiada symerię hermiowską Γ(-τ) =Γ*(τ), oraz Re{U()} że inensywność I, dana wzorem (2), jes równa Γ(τ) jeśli τ = 0, I = Γ( 0) (5) Zmiany fazora U() w czasie, gdy jego argumen przyjmuje warości w przedziale 0,2π. Średnie warości części rzeczywisej i urojonej są równe zero, a więc <U()> = 0. Sopień koherencji czasowej Funkcja auokorelacji Γ(τ) zawiera informację o inensywności I = Γ(0) i sopniu korelacji (koherencji) świała (saysycznie sacjonarnego). Miarą koherencji niezależną od inensywności jes unormowana funkcja auokorelacji * Γ ( ) ( τ) U ( ) U( + τ) γ τ = = * Γ( 0) U () U() nazywana zespolonym sopniem koherencji czasowej, kórej warość bezwzględna nie może przekroczyć jedności (7) Warość γ(τ) jes miarą sopnia korelacji między U() i U(+τ). Jeśli świało jes monochromayczne i pochodzi ze źródła punkowego, zn. U() = A exp(-i2πν 0 ), gdzie A oznacza sałą, wedy z wzoru (6) orzymuje się (8) czyli γ(τ) = 1 dla wszyskich warości τ. Zmieniające się warości U() i U( + τ) są całkowicie skorelowane dla wszyskich opóźnień τ. Zazwyczaj warość γ(τ) zmniejsza się od maksymalnej warości γ(0) = 1 ze wzrosem τ. Dla odpowiednio dużego opóźnienia τ zmiany sają się całkowicie nieskorelowane. (6)

Czas koherencji Jeśli warość γ(τ) zmniejsza się monoonicznie z opóźnieniem czasowym τ, o dla pewnego przyjęego spadku zespolonego sopnia koherencji do warości, np. równej ½ lub 1/e, warość opóźnienia nazywa się czasem koherencji (parz rysunek niżej). Dla τ < flukuacje pozosają silnie skorelowane, podczas gdy dla τ > są słabo skorelowane. W ogólności jes szerokością funkcji γ(τ). Częso do zdefiniowania czasu koherencji sosuje się wzór. (9) Czas koherencji świała monochromaycznego jes nieskończenie długi gdyż γ(τ) = 1. a) u() γ(τ) 1 b) u() γ(τ) 1 0 τ 0 τ Przykłady funkcji falowej, sopnia koherencji γ(τ) i czasu koherencji dla pola opycznego o krókim (a) i długim (b) czasie koherencji. Ampliuda i faza funkcji zmieniają się losowo ze sałymi czasowymi równymi, w przybliżeniu, czasowi koherencji. W obydwu przypadkach czas koherencji jes większy od czasu rwania pojedynczego cyklu. W zakresie czasu koherencji fala jes raczej przewidywalna i może być przybliżona sinusoidą. W czasie krószym od czasu koherencji nie jes możliwe przewidzenie ampliudy i fazy fali.

Świało jes koherenne jeśli odległość c jes znacznie większa od wszyskich różnic dróg opycznych wysępujących w układzie. Odległość (10) nazywa się długością koherencji promieniowania. Gęsość widmowa mocy W celu wyznaczenia średniego rozkładu widmowego świała ermicznego oblicza się ransformaę Fouriera losowej zespolonej funkcji falowej U(). Energia składowej zespolonej funkcji falowej dla usalonego o częsoliwości ν jes równa Średnia energia w zakresie częsoliwości od ν do ν + dν wynosi < V(ν) 2 >, a więc < V(ν) 2 > reprezenuje gęsość spekralną energii promieniowania (na jednoskową powierzchnię i jednoskowy przyros częsoliwości). Przyjęo, że zespolona funkcja falowa U() spełnia warunek V(ν) = 0 dla ujemnych warości ν. Rozważmy eraz gęsość spekralną mocy. Gęsość spekralna energii w przedziale czasu T jes równa < V T ( ν) 2 >, gdzie (11) Gęsość spekralna mocy o gęsość spekralna energii na jednoskowy przedział czasowy, zn. (1/T) < V T (ν) 2 >. Rozszerzając przedział czasu T do nieskończoności, T = orzymujemy Funkcja G(ν) nosi nazwę gęsości spekralnej mocy. Ma ona niezerowe warości ylko dla dodanich częsoliwości. Ponieważ U() zdefiniowano ak, że U() 2 reprezenuje moc na jednoskową powierzchnię lub inensywność (W/cm 2 ), o G(ν) dν reprezenuje średnią moc na jednoskową powierzchnię niesioną przez częsoliwości w zakresie od ν do dν. Tak więc G(ν) odpowiada gęsości spekralnej inensywności (W/cm 2 -Hz), częso mówi się o gęsości spekralnej. Całkowia inensywność średnia wynosi (13) Funkcja auokorelacji Γ(τ) i gęsość spekralna G(ν) powiązane są przekszałceniem Fouriera (14) Związek en znany jes pod nazwą wierdzenia Wienera-Chinczyna. (12)

Szerokość spekralna Szerokość spekralna lub szerokość linii promieniowania o szerokość Δν gęsości widmowej G(ν). Z uwagi na związek między G(ν) i Γ(τ) poprzez przekszałcenie Fouriera, szerokości ych funkcji są odwronie proporcjonalne. Źródło świała o szerokim widmie ma króki czas koherencji i odwronie, parz rysunek poniżej. u() γ(τ) G(ν) Δν τ ν u( u() ) γ(τ) γ(τ) G(ν) Δν τ ν Dwie fale losowe, odpowiadające im moduły zespolonego sopnia koherencji czasowej i gęsości spekralne (widmowe). W szczególnym przypadku promieniowania monochromaycznego mamy Γ(τ) = Iexp(-i2πν 0 τ), czyli G(ν) = I δ (ν - ν 0 ) zawiera ylko jedną częsoliwość ν 0. W ym przypadku = i Δν = 0. Czas koherencji źródła można zwiększyć sosując filr spekralny, ale odbywa się o koszem sray energii. Isnieje wiele definicji szerokości widmowej. Najczęściej spoykana o zw. szerokość połówkowa G(ν), czyli Δν 0.5. Związek między czasem koherencji a szerokością widmową zależy od profilu rozkładu widmowego.

Związek między szerokością widmową i czasem koherencji Rozkład gęsości widmowej Szerokość widmowa Δν 0.5 Prosokąny Wg funkcji Lorenza Gaussowski 1/ 1/π 0.32/ (2ln2/π) 1/2 / 0.66/ Inną wygodną definicję szerokości spekralnej przedsawia wzór z kórego wynika związek (16) niezależnie od profilu rozkładu gęsości widmowej. Jeśli G(ν) ma rozkład prosokąny w zakresie częsoliwości od ν 0 B/2 do ν 0 + B/2, wedy ze wzoru (15) orzymujemy Δν c = B. Dwie definicje szerokości widmowej Δν c i Δν 0.5 Δνróżnią się współczynnikiem mieszczącym się w zakresie od 1/π 0.32 do 1. (15) Przykładowe warości szerokości widmowej, czasu koherencji i długości koherencji dla kilku źródeł świała (w próżni) Źródło Δν c (Hz) = 1/Δν c l c = c c Promieniowanie słoneczne (λ 0 = 0.4 0.8 μm) 3.75 x 10 14 2.67 fs 800 nm Dioda elekroluminescencyjna (λ 0 = 1 μm, Δλ 0 = 50 nm) 1.5 x 10 13 67 fs 20 μm Niskociśnieniowa lampa sodowa 5 x 10 11 2 ps 600 μm Wielomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1.5 x 10 9 0.67 ns 20 cm Jednomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1 x 10 6 1 μs 300 m

Przykład: Fala zawierająca losową sekwencję falek Świało emiowane przez źródło niekoherenne można zamodelować w posaci sekwencji falek emiowanych losowo w skali czasu. Każda falka jes emiowana przez inny aom. Załóżmy falkę w posaci zanikającej wykładniczo sinusoidy, zn. U p () = A p exp(-/ ) exp(-i2πν 0 ), 0 U p () = 0 < 0 u() γ(τ) 0 τ Świało złożone z ciągu falek emiowanych w losowych odsępach czasu charakeryzuje czas koherencji równy czasowi rwania pojedynczej falki. Czasy emisji są całkowicie niezależne, losowo niezależne warości fazy emisji są zaware w A p. Wyznaczając charakerysyczne paramery średnie orzymujemy, że zespolony sopień koherencji jes równy γ(τ) = exp(- τ / )exp(-i2πν 0 τ). Gęsość spekralna mocy ma rozkład według funkcji Lorenza, G(ν) = (Δν/2π)/[(ν - ν 0 ) 2 + (Δν/2) 2 ], gdzie Δν = 1/π. W ym przypadku czas koherencji jes dokładnie równy czasowi rwania pojedynczej falki.

C. Koherencja przesrzenna Funkcja wzajemnej koherencji Przesrzenne i czasowe flukuacje losowego zaburzenia U(r, ) dobrze opisuje również funkcja korelacji wzajemnej U(r 1, ) i U(r 2, ) w położeniach r 1 i r 2 Γ(r 1, τ) = < U*(r 1, ) U(r 2, + τ) >. (17) Funkcja a nosi nazwę funkcji koherencji wzajemnej. Jej unormowana posać (18) nosi nazwę zespolonego sopnia koherencji. Gdy dwa punky pokrywają się, zn. r 1 = r 2 = r, wzory (17) i (18) doyczą wedy funkcji koherencji czasowej i zespolonego sopnia koherencji czasowej dla położenia r. Dodakowo, gdy τ = 0 mamy I(r) = Γ(r, r, 0). Zespolony sopień koherencji przyjmujący warości w zakresie 0 γ(r 1, τ) 1 (19) jes miarą sopnia korelacji między flukuacjami w punkach r 1 i r 2 opóźnionymi o τ. Przypadki szczególne: moduł zespolonego sopnia koherencji równy 0 i 1. Zależność zespolonego sopnia γ(r 1, τ) od opóźnienia czasowego i odległości między położeniami r 1 i r 2 charakeryzuje koherencję czasową i przesrzenną promieniowania. Dwa przykłady ej zależności pokazano na rysunkach poniżej.

a) b) γ(r 1,r 2,τ γ(r 1,r 2,τ r 1 - r 2 r 1 - r 2 τ τ Dwa przykłady γ(r 1, τ) w funkcji odległości r 1 r 2 i opóźnienia czasowego τ. W przypadku a) maksymalna korelacja dla danego r 1 r 2 wysępuje dla τ = 0. W przypadku b) maksimum korelacji wysępuje dla r 1 r 2 = cτ. Inensywność wzajemna (naężenie wzajemne) Przesrzenną spójność promieniowania ocenia się badając zależność funkcji koherencji wzajemnej dla usalonej warości opóźnienia czasowego τ, zazwyczaj τ = 0 (parz rys. (a) powyżej). Funkcja wzajemnej koherencji dla τ = 0, Γ(r 1, 0) = < U*(r 1, ) U(r 2, ) > nosi nazwę funkcji wzajemnej inensywności (naężenia wzajemnego) i jes oznaczana, dla prosoy, jako Γ(r 1 ). Gdy różnice dróg opycznych w układzie są << l c = c, promieniowanie jes czasowo w pełni koherenne i funkcja koherencji wzajemnej jes harmoniczną funkcją czasu Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), (20) gdzie ν 0 oznacza średnią częsoliwość. Przypadek oświelenia quasi-monochromaycznego, funkcja wzajemnej inensywności Γ(r 1 ) opisuje w pełni koherencję przesrzenną.

Zespolony sopień koherencji γ(r 1, 0) zapisuje się, podobnie, jako γ(r 1 ). Sanowi on unormowaną posać inensywności wzajemnej. γ(r 1 ) przyjmuje warości od 0 do 1 i sanowi miarę sopnia koherencji przesrzennej (gdy τ = 0). Obszar koherencji Przesrzenną koherencję świała quasi-monochormaycznego, w pewnej płaszczyźnie, w pobliżu położenia danego wekorem r 2, opisuje γ(r 1 ) będący funkcją odległości r 1 r 2. Obszar w ooczeniu r 2 zakreślany przez wekor r 1, dla kórego sopień koherencji jes większy od pewnej przyjęej warości (np. ½ lub 1/e) nazywany jes obszarem koherencji. γ(r 1 ) γ(r 1 ) (21) O r 1 r 2 r 1 1 r 1 A 2 c O A c Dwa przykłady unormowanej warości wzajemnego naężenia w funkcji r 1 w pobliżu usalonego punku r 2. Obszar koherencji a wymiary poprzeczne układu opycznego. Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jes większy od średnicy źrenicy układu opycznego, a więc γ(r 1, r 2 ) 1 dla wszyskich punków źrenicy, promieniowanie można uważać za całkowicie koherenne ( nieograniczony obszar koherencji). Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jes mniejszy od rozdzielczości układu opycznego, o wedy można zapisać γ(r 1 ) = 0 prakycznie dla wszyskich r 1 r 2. W ym przypadku mamy do czynienia z oświeleniem niekoherennym.

Wzajemna gęsość widmowa (mocy) Naężenie wzajemne Γ(r 1 ) sanowiące szczególny przypadek funkcji koherencji wzajemnej Γ(r 1, τ) dla τ = 0 jes dobrą miarą opisu koherencji przesrzennej świała quasi-monochromaycznego. Inne przydane podejście bazuje na opisie koherencji przesrzennej w domenie częsoliwości analizuje się korelację przesrzenną dla danej częsoliwości. Funkcja wzajemnej gęsości widmowej jes zdefiniowana jako przekszałcenie Fouriera funkcji wzajemnej koherencji Γ(r 1, τ) względem τ G 1 2 1 2 ( r,r, ν) = Γ( r,r, τ) exp( i2 π ν τ) dτ. Gdy r 1 = r 2 = r, funkcja wzajemnej gęsości widmowej saje się funkcją widmowej gęsości mocy G(ν) dla położenia r, parz wzór (14). Unormowaną posać wzajemnej gęsości widmowej, zespolony sopień koherencji widmowej, opisuje wzór ( r,r, ν) g = 1 2 G( r1,r2, ν) (,r, ν) G( r,r, ν) 1 [ G 1 1 2 2 ]2 Warość zespolonego sopnia koherencji widmowej zawiera się w przedziale od 0 do 1. Sanowi on miarę sopnia koherencji przesrzennej między r 1 i r 2 dla częsoliwości ν. W eorii koherencji wiele problemów zdecydowanie upraszcza się, gdy zespolony sopień koherencji promieniowania można przedsawić jako iloczyn dwóch czynników: jednego zależnego ylko od zmiennych przesrzennych, drugiego zależnego ylko od opóźnienia czasowego. Taką funkcję koherencji określa się jako redukowalną. Właściwość ę można wyrazić również w równoważny sposób w dziedzinie widmowej, gdzie definiuje się ją jako wzajemną czysość widmową. Możemy zapisać eraz G(r 1, ν) = Γ(r 1 ) g(ν). Analogicznie, funkcję koherencji wzajemnej musimy eraz zapisać w posaci Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) γ(τ), gdzie γ(τ) sanowi odwroną ransformaę Fouriera g(ν). Jeśli przy rozdziale właściwości przesrzennych i widmowych przyjęo g(ν)dν = 1, wedy Γ(r 1 ) = Γ(r 1, 0), a więc Γ(r 1 ) odpowiada inensywności wzajemnej. Czyse widmowo świało ma dwie ważne właściwości: Dla pojedynczego położenia r, mamy G(r, r, ν) = Γ(r, r) g(ν) = I(r) g(ν). Widmo ma en sam rozkład dla wszyskich położeń. W przypadku obrazowania przez układ opyczny, obraz ma wszędzie ę samą barwę, przy zmiennym rozkładzie naężenia w obrazie. (22) (23)

Unormowana wzajemna gęsość widmowa mocy g(r 1, ν) = Γ(r 1 ) / [Γ(r 1, r 1 ) Γ(r 2 )] 1/2 = γ(r 1 ) (24) nie zależy od częsoliwości ν. Unormowana inensywność wzajemna γ(r 1 ) opisuje koherencję przesrzenną dla wszyskich częsoliwości. 2. Inerferencja w świele częś ęściowo koherennym Inerferencja wiązek częściowo koherennych widmowo i przesrzennie Dwa częściowo koherenne zaburzenia U 1 i U 2, w wyniku inerferencji, dają rozkład inensywności I = < U 1 + U 2 2 >=< U 1 2 > + < U 2 2 > + <U 1 * U 2 > + < U 1 U 2 * > = I 1 + I 2 + Γ 12 + Γ 12* = I 1 + I 2 + 2 Re{Γ 12 } skąd = I 1 + I 2 + 2 (I 1 I 2 ) 1/2 Re{ γ 12 }, (25) I = I 1 + I 2 + 2 (I 1 I 2 ) 1/2 γ 12 cosϕ, (26) gdzie ϕ = arg {γ 12 } jes fazą γ 12. Osani wyraz po prawej sronie opisuje inerferencję wiązek. Dwa szczególne przypadki o γ 12 = exp(iϕ) i γ 12 = 1, czyli oświelenie w pełni koherenne, oraz γ 12 = 0, I = I 1 + I 2, czyli oświelenie w pełni niekoherenne (brak inerferencji). Konras prążków inerferencyjnych, definiowany ogólnie znanym wzorem C = (I max I min ) / (I max + I min ), w rozważanym przypadku jes równy Konras prążków jes więc proporcjonalny do modułu unormowanej funkcji inensywności wzajemnej, j. γ 12. Gdy I 1 = I 2 mamy C = γ 12. (28) (27)

Inerferencja a koherencja czasowa Rozważmy inerferencję częściowo koherennego zaburzenia U() o zespolonym sopniu koherencji czasowej γ(τ) = < U*() U( + τ) > / I 0 z własną repliką przesunięą w czasie o τ, zn. U( + τ). Z wzoru (26), podsawiając U 1 = U(), U 2 ( + τ), I 1 = I 2 = I 0, γ 12 = < U * () U( + τ)> / I 0 = γ(τ), orzymuje się I = 2 I 0 [ 1 + Re {γ(τ)} ] = 2 I 0 [ 1 + γ(τ) cosϕ(τ) ], (29) gdzie ϕ(τ) = arg{γ(τ)}. Wynik inerferencji w rozważanym przypadku zależy od zespolonego sopnia koherencji czasowej. I/2I 0 U d 1 d 2 2 2 γ(τ) 1 U 1 +U 2 0 0 r=2(d 2 -d 1 )/c I Schema inerferomeru Michelsona (Twymana-Greena) do pomiaru sopnia koherencji czasowej wiązki o płaskim czole falowym. Rozważmy wiązkę o płaskim czole falowym o zespolonym sopniu koherencji równym γ(τ) = γ a (τ) exp(-i2πν 0 τ). Szerokość spekralna promieniowania wynosi Δν c = 1/, gdzie jes szerokością γ a (τ) i jednocześnie czasem koherencji. Z osaniego wzoru orzymujemy I = 2 I 0 { 1 + γ a (τ) cos[2πν 0 τ + ϕ a (τ)]}, (30) gdzie ϕ a (τ) = arg{γ a (τ)}. Zakładając Δν c << ν 0, funkcje γ a (τ) i ϕ a (τ) zmieniają się bardzo wolno w odniesieniu do okresu 1/ν 0, gdyż Δν c = 1/ << ν 0. Konras inerferogramu w pobliżu danej warości opóźnienia τ wynosi C = γ(τ) = γ a (τ). Dla τ = 0 osiąga maksymalną warość równą jedności i zeruje się dla τ >>, zn. gdy różnica dróg opycznych jes znacznie większa od długości koherencji l c = c.

Sopień koherencji czasowej wiązki γ(τ) można wyznaczyć mierząc konras prążków ineferencyjnych w funkcji opóźnienia. Ineresujący wynik orzymuje się zapisując wzór (29) posługując się widmową gęsością mocy. Korzysając ze związku, poprzez przekszałcenie Fouriera, między Γ(τ) i G(ν) i zważywszy, że funkcja G(ν) jes funkcją rzeczywisą oraz 0 G(ν) dν = I 0, orzymuje się I = 2 0 G(ν) [ 1 + cos(2πντ) ] dν. (31) Osani wzór można inerpreować jako ważoną superpozycję inerferogramów wywarzanych przez każdą monochromayczną długość fali. Każda długość fali (częsoliwość) wywarza inerferogram o okresie 1/ν i jednoskowym konraście. Z powodu różnych okresów dla różnych częsoliwości w wyniku superpozycji orzymuje się inerferogram o obniżonym konraście. Posać wzoru (31) sugeruje meodę wyznaczania gęsości widmowej G(ν) źródła poprzez pomiar rozkładu inensywności inerferogramu I w funkcji τ, a nasępnie obliczenie ransformay Fouriera. Meoda a znana jes pod nazwą spekroskopii fourierowskiej. Inerferencja a koherencja przesrzenna Efek koherencji przesrzennej na obraz inerferencyjny najlepiej ilusruje sławne doświadczenie Younga (inerferomer Younga, z podziałem czoła falowego, omówiono w poprzedniej części wykładu doyczącej różnych ypów inerferomerów). λ/θ I/2I 0 2a θ=2a/d z 2 λ/θ x 1 γ(r 1 ) d Doświadczenie Younga. Unormowane wzajemne naężenie między oworkami jes równe γ(r 1 ). Założono równe inensywności zaburzeń wychodzących z oworków. 0 0 x

W parabolicznym przybliżeniu Fresnela dwie inerferujące wiązki o sferycznych czołach falowych (i równych inensywnościach) można zapisać w posaci (32a) U 2 ( r,) αu r 2, r r c 2 U r 2 d +, ( x a) c 2 /2d (32b) Unormowana funkcja korelacji między ymi wiązkami w punkcie r wynosi gdzie γ 12 = < U 1* (r, ) U 2 (r, ) > / I 0 = γ (r 1, τ x ), (33) jes różnicą opóźnień czasowych między dwiema falami. Podsawiając (33) do (26) orzymuje się rozkład inensywności I I(x) w posaci I(x) = 2 I 0 [1 + γ(r 1, τ x ) cosϕ x ], (35) gdzie ϕ x = arg{γ(r 1, τ)}. Wzór en opisuje rozkład inensywności prążków inerferencyjnych w płaszczyźnie obserwacji w funkcji modułu i fazy zespolonego sopnia koherencji przy opóźnieniu czasowym τ x = θx/c. Promieniowanie quasi-mochromayczne Jeśli eraz możemy zapisać γ(r 1, τ) γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), o osanie równanie upraszcza się do posaci (34) I(x) = 2 I 0 [ 1 + C cos{2π(θx/λ) + ϕ} ], (36) gdzie λ = c/ν 0, C = γ(r 1 ), τ x = θx/c, ϕ = arg{γ(r 1 )}. Okres prążków o sinusoidalnym rozkładzie inensywności wynosi λ/θ. Konras prążków C jes eraz deerminowany przez sopień koherencji przesrzennej między zaburzeniami emiowanymi przez dwa oworki. Położenie prążków wzdłuż osi x zależy od fazy ϕ.

Inerferencja w przypadku źródła o skończonych wymiarach poprzecznych Jeśli oworki w ekranie oświela quasi-monochromayczna fala płaska propagująca się wzdłuż osi z, zn. U(r, ) = exp(ikz) exp(-i2πν 0 ), o wedy γ(r 1 ) = 1 i arg{γ(r 1 )} = 0. Jedno z maksimów inensywności prążków o jednoskowym konraście pokrywa się z x = 0. W przypadku wiązki propagującej się pod małym kąem θ x względem osi z, zn. U(r, ) exp[i(kz + kθ x x)] exp(-i2πν 0 ), wedy γ(r 1 ) = exp(ikθ x 2a). Pochylenie wiązki oświelającej oworki prowadzi do zmiany fazy ϕ = kθ x 2a = 2πθ x 2a/λ i poprzecznego przesuwu prążków o część okresu (2aθ x /λ). Gdy ϕ = 2π, przesunięcie poprzeczne jes równe okresowi prążków. Jeśli wiązka oświelająca będzie zbiorem niekoherennych względem siebie fal płaskich, ze źródła widzianego pod kąem θ s z płaszczyzny ekranu z oworkami, wedy przesunięcie fazowe będzie wysępowało w zakresie (+/-)2π(θ s /2)2a/λ = (+/-) 2πθ s a/λ i obraz w płaszczyźnie obserwacji będzie sanowił superpozycję wielu rozkładów sinusoidalnych wzajemnie przesunięych. Gdy θ s = λ/2a faza ϕ zmienia się w zakresie (+/-)π i wysarcza o do spadku konrasu do zera. Odległość ρ c λ/θ s (37) jes miarą odległości (dlugości lub odcinka ) koherencji w płaszczyźnie ekranu z oworkami. Przyjmijmy, że ką pod kórym widać słońce wynosi 0.5 o. Wedy odległość koherencji dla danej długości fali jes równa ρ c λ/θ s 115 λ. Dla λ = 0.5 μm mamy ρ c 57.5 μm. Bardziej ścisłe rozważania dyfrakcyjne (parz kolejna część wykładu doycząca obrazowania w oświeleniu niekoherennym) definiują odległość koherencji ρ c dla kołowego źródła o jednorodnym rozkładzie inensywności jako równą ρ c = 1.22λ/θ s. Wpływ szerokości spekralnej na obraz prążkowy w doświadczeniu Younga Przyjmijmy Δν c << ν 0. Zespolony sopień koherencji ma eraz posać γ(r 1, τ) = γ a (r 1,τ) exp(-i2πν 0 τ), (38) gdzie γ a (r 1, τ) oznacza wolno zmienną funkcję względem τ (w sosunku do okresu 1/ν 0 ). Podsawiając (38) do (35) orzymujemy I(x) = 2 I 0 [ 1 + C x cos {2π(θx/λ śr ) + ϕ x } ], (39) gdzie C x = γ a (r 1,τ x ), ϕ x = arg{γ a (r 1, τ x )}, τ x = θx/c, i λ śr = c/ν 0.

Okres prążków inerferencyjnych wynosi eraz λ śr /θ. Ich konras C x i faza ϕ x, proporcjonalne do modułu i fazy zespolonego sopnia koherencji, zmieniają się z opóźnieniem czasowym τ x = θx/c. Jeśli γ a (r 1, τ) = 1 dla τ = 0, sopień koherencji zmniejsza się ze wzrosem τ i zeruje się dla τ >> ; konras C x = 1 dla x = 0 i zmniejsza się ze współrzędną x, zeruje się dla x >> x c = c /θ. Prążki są widzialne w zakresie x c = l c / θ, (40) gdzie l c = c jes długością (drogą) koherencji, a θ jes kąem pod kórym widać oworki. I/2I 0 x c = lc θ 2 2a θ Płaszczyzna obserwacji 1 d Ekran 0 0 x Wiązka padająca Konras prążków inerferencyjnych dla współrzędnej x jes równy sopniowi koherencji w płaszczyźnie ekranu z oworkami dla opóźnienia czasowego τ x = θx/c. W przypadku pełnej koherencji przesrzennej liczba obserwowanych prążków jes równa x c / (λ śr /θ) = l c /λ śr = c /λ śr = ν 0 /Δν c. Jes więc ona równa ilorazowi długości koherencji l c i średniej długości fali λ śr, lub ilorazowi średniej częsoliwości ν 0 i spekralnej szerokości linii widmowej Δν c. Jeśli γ(r 1, 0) < 1, zn., źródło nie jes przesrzennie koherenne, konras prążków będzie szybciej zanikał i liczba obserwowanych prążków będzie mniejsza.