KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ
|
|
- Milena Biernacka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof 1. WłaściwoW ciwości statystyczne światła a termicznego ( losowego( losowego ) A. NatęŜ ęŝenie (intensywność ść) ) promieniowania B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy C. Koherencja przestrzenna 2. Interferencja w świetle częś ęściowo koherentnym A. Interferencja dwóch wiązek częś ęściowo koherentnych B. Interferencja a koherencja czasowa C. Interferencja a koherencja przestrzenna
2 Właściwości statystyczne światła termicznego Promieniowanie zdecydowanej większości źródeł światła odbywa się na drodze emisji spontanicznej. Atomy lub cząsteczki wzbudzane do wyŝszych stanów energetycznych przez aktywację termiczną, elektryczną itp. przypadkowo i niezaleŝnie powracają do stanu podstawowego i emitują światło. Promieniowanie będące sumą licznych, niezaleŝnych procesów nazywane jest promieniowaniem (światłem) termicznym. Kontrastowo róŝnym od promieniowania termicznego jest stosunkowo dobrze uporządkowane promieniowanie wymuszone, emitowane przez laser. Dowolną falę optyczną opisuje funkcja falowa u(r,t) = Re{U(r,r)}, gdzie U(r,t) oznacza zespoloną funkcję falową. Przykładowo, U(r,t) = U(r) exp(-i2πνt) dla światła monochromatycznego, lub teŝ U(r,t) moŝe być sumą podobnych funkcji dla wielu częstotliwości występujących w świetle polichromatycznym. Dla światła termicznego, obydwie funkcje u(r,t) i U(r,t) są funkcjami losowymi, które moŝna charakteryzować pewnymi średnimi statystycznymi. A. NatęŜenie (intensywność) światła NatęŜenie (intensywność) światła koherentnego (patrz poprzednie części wykładu) jest równe kwadratowi modułu zespolonej funkcji falowej,. (1) W przypadku światła termicznego U(r,t) jest losową funkcja czasu i połoŝenia. Intensywność jest równieŝ opisana funkcją losową. Intensywność średnią moŝna zdefiniować jako (2) gdzie < > oznacza uśrednianie wielu wartości funkcji losowej dla róŝnych wartości czasu i połoŝenia. Wartość I(r,t) nazywamy intensywnością (w domyśle uśrednioną), a U(r,t) 2 jest intensywnością chwilową (losową). Dla światła monochromatycznego i źródła punktowego operacja uśredniania nie jest konieczna, wszystkie realizacje (dla kaŝdej chwili) dają ten sam wynik. Średnia intensywność moŝe nie zaleŝeć od czasu lub być funkcją czasu. W pierwszym przypadku fala optyczna jest statystycznie stacjonarna (średnia nie zaleŝy od czasu). Intensywność chwilowa U(r,t) 2 zmienia się losowo w czasie, ale wartość średnia I(r) pozostaje bez zmian. Jest ona tylko funkcją odległości od źródła. Natomiast losowa intensywność U(r,t) 2 zmienia się w czasie i przestrzeni.
3 a) b) IU(r,t)I 2 I(r,t) IU(r,t)I 2 I(r,t) Rys. 1. Fala statystycznie stacjonarna ma niezmienną w czasie średnią wartość intensywności; b) zmienna w czasie intensywność fali statystycznie niestacjonarnej. Przypadek a) odpowiada światłu lampy Ŝarowej ze stabilizowanym zasilaniem prądowym. Przypadek b) ilustruje zasilanie impulsem elektrycznym. t t t t Operację statycznego uśredniania realizuje się zazwyczaj przez uśrednianie w czasie znacznie dłuŝszym od czasu pojedynczej realizacji, tzn. (3) B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy RozwaŜmy zmiany stacjonarnego światła w funkcji czasu dla ustalonego połoŝenia r. Stacjonarna, losowa funkcja U(r,t) ma stałą intensywność I(r) = < U(r,t) 2 >. Dla uproszczenia, opuśćmy zaleŝność od r (r jest ustalone), a więc U(r,t) = U(t) i I(r) = I. Losowe zmiany U(t) charakteryzuje statystyczna średnia nazywana funkcją autokorelacji. Funkcja ta opisuje zakres, w którym funkcja falowa zmienia się zgodnie (unisono) w dwóch oddzielnych chwilach czasowych, a więc ustanawia skalę czasu procesu, która tkwi u podstaw generacji funkcji falowej. Funkcja czasowej koherencji Funkcja autokorelacji stacjonarnej, zespolonej, losowej funkcji U(t) stanowi średnią iloczynu U*(t) i U(t + τ) w funkcji opóźnienia czasowego lub (4)
4 RozwaŜmy przypadek < U(t) > = 0. Faza fazora U(t) moŝe przyjmować kaŝdą wartość między 0 i 2π, patrz rysunek niŝej. Faza iloczynu, czyli kąt między fazorami U(t) i U(t + τ), moŝe Im{U(t)} przyjąć dowolną wartość, a więc funkcja autokorelacji Γ (τ) (wartość średnia) zeruje się. W innym przypadku, jeśli dla danego opóźnienia czasowego τ funkcje U(t) i U(t+τ) są skorelowane, to faza iloczynu U*(t)U(t+τ) przyjmuje uprzywilejowaną wartość i średnia Γ(τ) 0. W teorii koherencji pól optycznych funkcja autokorelacji nazywana jest funkcją korelacji czasowej. MoŜna łatwo wykazać, Ŝe Γ(τ) posiada symetrię hermitowską Γ(-τ) =Γ*(τ), oraz Ŝe intensywność I, dana wzorem (2), jest równa Γ(τ) jeśli τ = 0, Re{U(t)} Zmiany fazora U(t) w czasie, gdy jego argument przyjmuje wartości w przedziale 0,2π. Średnie wartości części rzeczywistej i urojonej są równe zero, a więc <U(t)> = 0. I =Γ( 0) Stopień koherencji czasowej Funkcja autokorelacji Γ(τ) zawiera informację o intensywności I = Γ(0) i stopniu korelacji (koherencji) światła (statystycznie stacjonarnego). Miarą koherencji niezaleŝną od intensywności jest unormowana funkcja autokorelacji * Γ ( ) ( τ) U ( t) U( t + τ) γτ = = * Γ( 0) U ( t) U( t) nazywana zespolonym stopniem koherencji czasowej, której wartość bezwzględna nie moŝe przekroczyć jedności (7) Wartość γ(τ) jest miarą stopnia korelacji między U(t) i U(t+τ). Jeśli światło jest monochromatyczne i pochodzi ze źródła punktowego, tzn. U(t) = A exp(-i2πν 0 t), gdzie A oznacza stałą, wtedy z wzoru (6) otrzymuje się (8) czyli γ(τ) = 1 dla wszystkich wartości τ. Zmieniające się wartości U(t) i U(t + τ) są całkowicie skorelowane dla wszystkich opóźnień τ. Zazwyczaj wartość γ(τ) zmniejsza się od maksymalnej wartości γ(0) = 1 ze wzrostem τ. Dla odpowiednio duŝego opóźnienia τ zmiany stają się całkowicie nieskorelowane. (5) (6)
5 Czas koherencji Jeśli wartość γ(τ) zmniejsza się monotonicznie z opóźnieniem czasowym τ, to dla pewnego przyjętego spadku stopnia koherencji do wartości, np. równej ½ lub 1/e, wartość opóźnienia nazywa się czasem koherencji (patrz rysunek niŝej). Dla τ < fluktuacje pozostają silnie skorelowane, podczas gdy dla τ > są słabo skorelowane. W ogólności jest szerokością funkcji γ(τ). Często do zdefiniowania czasu koherencji stosuje się wzór. (9) Czas koherencji światła monochromatycznego jest nieskończenie długi gdyŝ γ(τ) = 1. a) u(t) γ(τ) 1 t b) u(t) γ(τ) 1 0 τ t 0 τ Przykłady funkcji falowej, stopnia koherencji γ(τ) i czasu koherencji dla pola optycznego o krótkim (a) i długim (b) czasie koherencji. Amplituda i faza funkcji zmieniają się losowo ze stałymi czasowymi równymi, w przybliŝeniu, czasowi koherencji. W obydwu przypadkach czas koherencji jest większy od czasu trwania pojedynczego cyklu. W zakresie czasu koherencji fala jest raczej przewidywalna i moŝe być przybliŝona sinusoidą. W czasie krótszym od czasu koherencji nie jest moŝliwe przewidzenie amplitudy i fazy fali.
6 Światło jest koherentne jeśli odległość c jest znacznie większa od wszystkich róŝnic dróg optycznych występujących w układzie. Odległość (10) nazywa się długością koherencji promieniowania. Gęstość widmowa mocy W celu wyznaczenia średniego rozkładu widmowego światła termicznego oblicza się transformatę Fouriera losowej zespolonej funkcji falowej U(t). Energia składowej zespolonej funkcji falowej o częstotliwości ν (dla ustalonego r) jest równa Średnia energia w zakresie częstotliwości od ν do ν + dν wynosi < V(ν) 2 >, a więc < V(ν) 2 > reprezentuje gęstość spektralną energii promieniowania (na jednostkową powierzchnię i jednostkowy przyrost częstotliwości). Przyjęto, Ŝe zespolona funkcja falowa U(t) spełnia warunek V(ν) = 0 dla ujemnych wartości ν. RozwaŜmy teraz gęstość spektralną mocy. Gęstość spektralna energii w przedziale czasu T jest równa < V T ( ν) 2 >, gdzie (11) Gęstość spektralna mocy to gęstość spektralna energii na jednostkowy przedział (1/T) < V T (ν) 2 >. Rozszerzając przedział czasu T do nieskończoności, T = otrzymujemy czasowy, tzn. Funkcja G(ν) nosi nazwę gęstości spektralnej mocy. Ma ona niezerowe wartości tylko dla dodatnich częstotliwości. PoniewaŜ U(t) zdefiniowano tak, Ŝe U(t) 2 reprezentuje moc na jednostkową powierzchnię lub intensywność (W/cm 2 ), to G(ν) dν reprezentuje średnią moc na jednostkową powierzchnię niesioną przez częstotliwości w zakresie od ν do dν. Tak więc G(ν) odpowiada gęstości spektralnej intensywności (W/cm 2 -Hz), często mówi się o gęstości spektralnej. Całkowita intensywnośćśrednia wynosi (13) Funkcja autokorelacji Γ(τ) funkcji U(t) i gęstość spektralna G(ν) powiązane są przekształceniem Fouriera (14) Związek ten znany jest pod nazwą twierdzenia Wienera-Chinczyna. (12)
7 Szerokość spektralna Szerokość spektralna lub szerokość linii promieniowania to szerokość ν gęstości widmowej G(ν). Z uwagi na związek między G(ν) i Γ(τ) poprzez przekształcenie Fouriera, szerokości tych funkcji są odwrotnie proporcjonalne. Źródło światła o szerokim widmie ma krótki czas koherencji i odwrotnie, patrz rysunek poniŝej. u(t) γ(τ) G(ν) t ν τ ν u(t u(t) ) t γ(τ) γ(τ) G(ν) ν τ ν Dwie fale losowe, odpowiadające im moduły zespolonego stopnia koherencji czasowej i gęstości spektralne (widmowe). W szczególnym przypadku promieniowania monochromatycznego mamy Γ(τ) = Iexp(-i2πν 0 τ), czyli G(ν) = I δ (ν - ν 0 ) zawiera tylko jedną częstotliwość ν 0. W tym przypadku = i ν = 0. Czas koherencji źródła moŝna zwiększyć stosując filtr spektralny, ale odbywa się to kosztem straty energii. Istnieje wiele definicji szerokości widmowej. Najczęściej spotykana to tzw. szerokość połówkowa G(ν), czyli ν 0.5. Związek między czasem koherencji a szerokością widmową zaleŝy od profilu rozkładu widmowego.
8 Związek między szerokością widmową i czasem koherencji Rozkład gęstości widmowej Prostokątny Wg funkcji Lorentza Gaussowski Szerokość widmowa ν 1/ 1/π 0.32/ (2ln2/π) 1/2 / 0.66/ ν 0.5 Inną wygodną definicję szerokości spektralnej przedstawia wzór z którego wynika związek (16) niezaleŝnie od profilu rozkładu gęstości widmowej. Jeśli G(ν) ma rozkład prostokątny w zakresie częstotliwości od ν 0 B/2 do ν 0 + B/2, wtedy ze wzoru (15) otrzymujemy ν c = B. Dwie definicje szerokości widmowej ν c i ν 0.5 ν róŝnią się współczynnikiem mieszczącym się w zakresie od 1/π 0.32 do 1. (15) Przykładowe wartości szerokości widmowej, czasu koherencji i długości koherencji dla kilku źródeł światła (w próŝni) Źródło ν c (Hz) = 1/ ν c l c = c c Promieniowanie słoneczne (λ 0 = µm) 3.75 x fs 800 nm Dioda elektroluminescencyjna (λ 0 = 1 µm, λ 0 = 50 nm) 1.5 x fs 20 µm Niskociśnieniowa lampa sodowa 5 x ps 600 µm Wielomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1.5 x ns 20 cm Jednomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1 x µs 300 m
9 Przykład: Fala zawierająca losową sekwencję falek Światło emitowane przez źródło niekoherentne moŝna zamodelować w postaci sekwencji falek emitowanych losowo w skali czasu. KaŜda falka jest emitowana przez inny atom. ZałóŜmy falkę w postaci zanikającej wykładniczo sinusoidy, tzn. U p (t) = A p exp(-t/ ) exp(-i2πν 0 t), t 0 U p (t) = 0 t < 0 u(t) γ(τ) t 0 τ Światło złoŝone z ciągu falek emitowanych w losowych odstępach czasu charakteryzuje czas koherencji równy czasowi trwania pojedynczej falki. Czasy emisji są całkowicie niezaleŝne, losowo niezaleŝne wartości fazy emisji są zawarte w A p. Wyznaczając charakterystyczne parametry średnie otrzymujemy, Ŝe zespolony stopień koherencji jest równy γ(τ) = exp(- τ / )exp(-i2πν 0 τ). Gęstość spektralna mocy ma rozkład według funkcji Lorentza, G(ν) = ( ν/2π)/[(ν - ν 0 ) 2 + ( ν/2) 2 ], gdzie ν = 1/π. W tym przypadku czas koherencji jest dokładnie równy czasowi trwania pojedynczej falki.
10 C. Koherencja przestrzenna Funkcja wzajemnej koherencji Przestrzenne i czasowe fluktuacje losowego zaburzenia U(r, t) dobrze opisuje równieŝ funkcja korelacji wzajemnej U(r 1, t) i U(r 2, t) w połoŝeniach r 1 i r 2 Γ(r 1, τ) = < U*(r 1, t) U(r 2, t + τ) >. (17) Funkcja ta nosi nazwę funkcji koherencji wzajemnej. Jej unormowana postać (18) nosi nazwę zespolonego stopnia koherencji. Gdy dwa punkty pokrywają się, tzn. r 1 = r 2 = r, wzory (17) i (18) dotyczą wtedy funkcji koherencji czasowej i zespolonego stopnia koherencji czasowej dla połoŝenia r. Dodatkowo, gdy τ = 0 mamy I(r) = Γ(r, r, 0). Zespolony stopień koherencji przyjmujący wartości w zakresie 0 γ(r 1, τ) 1 (19) jest miarą stopnia korelacji między fluktuacjami w punktach r 1 i r 2 opóźnionymi o τ. Przypadki szczególne: moduł zespolonego stopnia koherencji równy 0 i 1. ZaleŜność zespolonego stopnia γ(r 1, τ) od opóźnienia czasowego i odległości między połoŝeniami r 1 i r 2 charakteryzuje koherencję czasową i przestrzenną promieniowania. Dwa przykłady tej zaleŝności pokazano na rysunkach poniŝej.
11 a) b) γ(r 1,r 2,τ γ(r 1,r 2,τ r 1 - r 2 r 1 - r 2 τ τ Dwa przykłady γ(r 1, τ) w funkcji odległości r 1 r 2 i opóźnienia czasowego τ. W przypadku a) maksymalna korelacja dla danego r 1 r 2 występuje dla τ = 0. W przypadku b) maksimum korelacji występuje dla r 1 r 2 = cτ. Intensywność wzajemna (natęŝenie wzajemne) Przestrzenną spójność promieniowania ocenia się badając zaleŝność funkcji koherencji wzajemnej dla ustalonej wartości opóźnienia czasowego τ, zazwyczaj τ = 0 (patrz rys. (a) powyŝej). Funkcja wzajemnej koherencji dla τ = 0, Γ(r 1, 0) = < U*(r 1, t) U(r 2, t) > nosi nazwę funkcji wzajemnej intensywności (natęŝenia wzajemnego) i jest oznaczana, dla prostoty, jako Γ(r 1 ). Gdy róŝnice dróg optycznych w układzie są << l c = c, promieniowanie jest czasowo w pełni koherentne i funkcja koherencji wzajemnej jest harmoniczną funkcją czasu Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), (20) gdzie ν 0 oznacza średnią częstotliwość. Przypadek oświetlenia quasi-monochromatycznego, funkcja wzajemnej intensywności Γ(r 1 ) opisuje w pełni koherencję przestrzenną.
12 Zespolony stopień koherencji γ(r 1, 0) zapisuje się, podobnie, jako γ(r 1 ). Stanowi on unormowaną postać intensywności wzajemnej. γ(r 1 ) przyjmuje wartości od 0 do 1 i stanowi miarę stopnia koherencji przestrzennej (gdy τ = 0). Obszar koherencji Przestrzenną koherencję światła quasi-monochormatycznego, w pewnej płaszczyźnie, w pobliŝu połoŝenia danego wektorem r 2, opisuje γ(r 1 ) będący funkcją odległości r 1 r 2. Obszar w otoczeniu r 2 zakreślany przez wektor r 1, dla którego stopień koherencji jest większy od pewnej przyjętej wartości (np. ½ lub 1/e) nazywany jest obszarem koherencji. γ(r 1 ) γ(r 1 ) (21) O r 1 r 2 r A r 2 c O A c Dwa przykłady unormowanej wartości wzajemnego natęŝenia w funkcji r 1 w pobliŝu ustalonego punktu r 2. Obszar koherencji a wymiary poprzeczne układu optycznego. Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jest większy od średnicy źrenicy układu optycznego, a więc γ(r 1, r 2 ) 1 dla wszystkich punktów źrenicy, promieniowanie moŝna uwaŝać za całkowicie koherentne ( nieograniczony obszar koherencji). Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jest mniejszy od rozdzielczości układu optycznego, to wtedy moŝna zapisać γ(r 1 ) = 0 praktycznie dla wszystkich r 1 r 2. W tym przypadku mamy do czynienia z oświetleniem niekoherentnym.
13 2. Interferencja w świetle częś ęściowo koherentnym Interferencja wiązek częściowo koherentnych widmowo i przestrzennie Dwa częściowo koherentne zaburzenia U 1 i U 2, w wyniku interferencji, dają rozkład intensywności I = < U 1 + U 2 2 >=< U 1 2 > + < U 2 2 > + <U 1 * U 2 > + < U 1 U 2 * > = I 1 + I 2 + Γ 12 + Γ 12* = I 1 + I Re{Γ 12 } skąd = I 1 + I (I 1 I 2 ) 1/2 Re{ γ 12 }, (22) I = I 1 + I (I 1 I 2 ) 1/2 γ 12 cosϕ, (23) gdzie ϕ = arg {γ 12 } jest fazą γ 12. Ostatni wyraz po prawej stronie opisuje interferencję wiązek. Dwa szczególne przypadki to γ 12 = exp(iϕ) i γ 12 = 1, czyli oświetlenie w pełni koherentne, oraz γ 12 = 0, I = I 1 + I 2, czyli oświetlenie w pełni niekoherentne (brak interferencji). Kontrast prąŝków interferencyjnych, definiowany ogólnie znanym wzorem C = (I max I min ) / (I max + I min ), w rozwaŝanym przypadku jest równy Kontrast prąŝków jest więc proporcjonalny do modułu unormowanej funkcji intensywności wzajemnej, tj. γ 12. Gdy I 1 = I 2 mamy C = γ 12. (25) (24)
14 Interferencja a koherencja czasowa RozwaŜmy interferencję częściowo koherentnego zaburzenia U(t) o zespolonym stopniu koherencji czasowej γ(τ) = < U*(t) U(t + τ) > / I 0 z własną repliką przesuniętą w czasie o τ, tzn. U(t + τ). Z wzoru (26), podstawiając U 1 = U(t), U 2 (t + τ), I 1 = I 2 = I 0, γ 12 = < U * (t) U(t + τ)> / I 0 = γ(τ), otrzymuje się I = 2 I 0 [ 1 + Re {γ(τ)} ] = 2 I 0 [ 1 + γ(τ) cosϕ(τ) ], (26) gdzie ϕ(τ) = arg{γ(τ)}. Wynik interferencji w rozwaŝanym przypadku zaleŝy od zespolonego stopnia koherencji czasowej. I/2I 0 U d 1 d γ(τ) 1 Schemat interferometru Michelsona (Twymana-Greena) do pomiaru stopnia koherencji czasowej wiązki o płaskim czole falowym. RozwaŜmy wiązkę o płaskim czole falowym o zespolonym stopniu koherencji równym γ(τ) = γ a (τ) exp(-i2πν 0 τ). Szerokość spektralna promieniowania wynosi ν c = 1/, gdzie jest szerokością γ a (τ) i jednocześnie czasem koherencji. Z ostatniego wzoru otrzymujemy gdzie ϕ a (τ) = arg{γ a (τ)}. I U 1 +U 2 I = 2 I 0 { 1 + γ a (τ) cos[2πν 0 τ + ϕ a (τ)]}, (27) Zakładając ν c << ν 0, funkcje γ a (τ) i ϕ a (τ) zmieniają się bardzo wolno w odniesieniu do okresu 1/ν 0, gdyŝ ν c = 1/ << ν 0. Kontrast interferogramu w pobliŝu danej wartości opóźnienia τ wynosi C = γ(τ) = γ a (τ). Dla τ = 0 osiąga maksymalną wartość równą jedności i zeruje się dla τ >>, tzn. gdy róŝnica dróg optycznych jest znacznie większa od długości koherencji l c = c. 0 0 r=2(d 2 -d 1 )/c
15 Stopień koherencji czasowej wiązki γ(τ) moŝna wyznaczyć mierząc kontrast prąŝków inteferencyjnych w funkcji opóźnienia. Interesujący wynik otrzymuje się zapisując wzór (26) posługując się widmową gęstością mocy. Korzystając ze związku, poprzez przekształcenie Fouriera, między Γ(τ) i G(ν) i zwaŝywszy, Ŝe funkcja G(ν) jest funkcją rzeczywistą oraz 0 G(ν) dν = I 0, otrzymuje się I = 2 0 G(ν) [ 1 + cos(2πντ) ] dν. (28) Ostatni wzór moŝna interpretować jako waŝoną superpozycję interferogramów wytwarzanych przez kaŝdą monochromatyczną długość fali. KaŜda długość fali (częstotliwość) wytwarza interferogram o okresie 1/ν i jednostkowym kontraście. Z powodu róŝnych okresów dla róŝnych częstotliwości w wyniku superpozycji otrzymuje się interferogram o obniŝonym kontraście. Postać wzoru (28) sugeruje metodę wyznaczania gęstości widmowej G(ν) źródła poprzez pomiar rozkładu intensywności interferogramu I w funkcji τ, a następnie obliczenie transformaty Fouriera. Metoda ta znana jest pod nazwą spektroskopii fourierowskiej. Interferencja a koherencja przestrzenna Efekt koherencji przestrzennej na obraz interferencyjny najlepiej ilustruje sławne doświadczenie Younga (interferometr Younga, z podziałem czoła falowego, omówiono w poprzedniej części wykładu dotyczącej róŝnych typów interferometrów). λ/θ I/2I 0 2a θ=2a/d z 2 λ/θ x 1 γ(r 1 ) d Doświadczenie Younga. Unormowane wzajemne natęŝenie między otworkami jest równe γ(r 1 ). ZałoŜono równe intensywności zaburzeń wychodzących z otworków. 0 0 x
16 W parabolicznym przybliŝeniu Fresnela dwie interferujące wiązki o sferycznych czołach falowych (i równych intensywnościach) moŝna zapisać w postaci (29a) U 2 ( r,t) αu r 2,t r r c 2 U r 2 d +,t ( x a) c 2 /2d (29b) Unormowana funkcja korelacji między tymi wiązkami w punkcie r wynosi gdzie γ 12 = < U 1 * (r, t) U 2 (r, t) > / I 0 = γ (r 1, τ x ), (30) jest róŝnicą opóźnień czasowych między dwiema falami. Podstawiając (30) do (23) otrzymuje się rozkład intensywności I I(x) w postaci I(x) = 2 I 0 [1 + γ(r 1, τ x ) cosϕ x ], (32) gdzie ϕ x = arg{γ(r 1, τ)}. Wzór ten opisuje rozkład intensywności prąŝków interferencyjnych w płaszczyźnie obserwacji w funkcji modułu i fazy zespolonego stopnia koherencji przy opóźnieniu czasowym τ x = θx/c. Promieniowanie quasi-mochromatyczne Jeśli teraz moŝemy zapisać γ(r 1, τ) γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), to ostatnie równanie upraszcza się do postaci (31) I(x) = 2 I 0 [ 1 + C cos{2π(θx/λ) + ϕ} ], (33) gdzie λ = c/ν 0, C = γ(r 1 ), τ x = θx/c, ϕ = arg{γ(r 1 )}. Okres prąŝków o sinusoidalnym rozkładzie intensywności wynosi λ/θ. Kontrast prąŝków C jest teraz determinowany przez stopień koherencji przestrzennej między zaburzeniami emitowanymi przez dwa otworki. PołoŜenie prąŝków wzdłuŝ osi x zaleŝy od fazy ϕ.
17 Interferencja w przypadku źródła o skończonych wymiarach poprzecznych Jeśli otworki w ekranie oświetla quasi-monochromatyczna fala płaska propagująca się wzdłuŝ osi z, tzn. U(r, t) = exp(ikz) exp(-i2πν 0 t), to wtedy γ(r 1 ) = 1 i arg{γ(r 1 )} = 0. Jedno z maksimów intensywności prąŝków o jednostkowym kontraście pokrywa się z x = 0. W przypadku wiązki propagującej się pod małym kątem θ x względem osi z, tzn. U(r, t) exp[i(kz + kθ x x)] exp(-i2πν 0 t), wtedy γ(r 1 ) = exp(ikθ x 2a). Pochylenie wiązki oświetlającej otworki prowadzi do zmiany fazy ϕ = kθ x 2a = 2πθ x 2a/λ i poprzecznego przesuwu prąŝków o część okresu (2aθ x /λ). Gdy ϕ = 2π, przesunięcie poprzeczne jest równe okresowi prąŝków. Jeśli wiązka oświetlająca będzie zbiorem niekoherentnych względem siebie fal płaskich, ze źródła widzianego pod kątem θ s z płaszczyzny ekranu z otworkami, wtedy przesunięcie fazowe będzie występowało w zakresie (+/-)2π(θ s /2)2a/λ = (+/-) 2πθ s a/λ i obraz w płaszczyźnie obserwacji będzie stanowił superpozycję wielu rozkładów sinusoidalnych wzajemnie przesuniętych. Gdy θ s = λ/2a faza ϕ zmienia się w zakresie (+/-)π i wystarcza to do spadku kontrastu do zera. Odległość ρ c λ/θ s (34) jest miarą odległości (dlugości lub odcinka ) koherencji w płaszczyźnie ekranu z otworkami. Przyjmijmy, Ŝe kąt pod którym widać słońce wynosi 0.5 o. Wtedy odległość koherencji dla danej długości fali jest równa ρ c λ/θ s 115 λ. Dla λ = 0.5 µm mamy ρ c 57.5 µm. Bardziej ścisłe rozwaŝania dyfrakcyjne (patrz kolejna część wykładu dotycząca obrazowania w oświetleniu niekoherentnym) definiują odległość koherencji ρ c dla kołowego źródła o jednorodnym rozkładzie intensywności jako równą ρ c = 1.22λ/θ s. Wpływ szerokości spektralnej na obraz prąŝkowy w doświadczeniu Younga Przyjmijmy ν c << ν 0. Zespolony stopień koherencji ma teraz postać γ(r 1, τ) = γ a (r 1,τ) exp(-i2πν 0 τ), (35) gdzie γ a (r 1, τ) oznacza wolno zmienną funkcję względem τ (w stosunku do okresu 1/ν 0 ). Podstawiając (35) do (32) otrzymujemy I(x) = 2 I 0 [ 1 + C x cos {2π(θx/λ śr ) + ϕ x } ], (36) gdzie C x = γ a (r 1,τ x ), ϕ x = arg{γ a (r 1, τ x )}, τ x = θx/c, i λ śr = c/ν 0.
18 Okres prąŝków interferencyjnych wynosi teraz λ śr /θ. Ich kontrast C x i faza ϕ x, proporcjonalne do modułu i fazy zespolonego stopnia koherencji, zmieniają się z opóźnieniem czasowym τ x = θx/c. Jeśli γ a (r 1, τ) = 1 dla τ = 0, stopień koherencji zmniejsza się ze wzrostem τ i zeruje się dla τ >> ; kontrast C x = 1 dla x = 0 i zmniejsza się ze współrzędną x, zeruje się dla x >> x c = c /θ. PrąŜki są widzialne w zakresie x c = l c / θ, (37) gdzie l c = c jest długością (drogą) koherencji, a θ jest kątem pod którym widać otworki. I/2I 0 x c = lc θ 2 2a θ Płaszczyzna obserwacji 1 d Ekran 0 0 x Wiązka padająca Kontrast prąŝków interferencyjnych dla współrzędnej x jest równy stopniowi koherencji w płaszczyźnie ekranu z otworkami dla opóźnienia czasowego τ x = θx/c. W przypadku pełnej koherencji przestrzennej liczba obserwowanych prąŝków jest równa x c / (λ śr /θ) = l c /λ śr = c /λ śr = ν 0 / ν c. Jest więc ona równa ilorazowi długości koherencji l c i średniej długości fali λ śr, lub ilorazowi średniej częstotliwości ν 0 i spektralnej szerokości linii widmowej ν c. Jeśli γ(r 1, 0) < 1, tzn., źródło nie jest przestrzennie koherentne, kontrast prąŝków będzie szybciej zanikał i liczba obserwowanych prąŝków będzie mniejsza.
ĘŚCIOWO KOHERENTNYM. τ), gdzie Γ(r 1. oznacza centralną częstotliwość promieniowania quasi-monochromatycznego.
OBRAZOWANIE W OŚWIETLENIU CZĘŚ ĘŚCIOWO KOHERENTNYM 1. Propagacja światła a częś ęściowo koherentnego prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof PoniŜej zajmiemy się propagacją promieniowania quasi-monochromatycznego,
Bardziej szczegółowoRejestracja i rekonstrukcja fal optycznych. Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie.
HOLOGRAFIA prof dr hab inŝ Krzysztof Patorski Krzysztof Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie a) Laser b) odniesienia
Bardziej szczegółowoBADANIE INTERFEROMETRU YOUNGA
Celem ćwiczenia jest: BADANIE INTERFEROMETRU YOUNGA 1. poznanie podstawowych właściwości interferometru z podziałem czoła fali w oświetleniu monochromatycznym i świetle białym, 2. demonstracja możliwości
Bardziej szczegółowoINTERFERENCJA WIELOPROMIENIOWA
INTERFERENCJA WIELOPROMIENIOWA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski W tej części wykładu rozważymy przypadek koherentnej superpozycji większej liczby wiązek niż dwie. Najważniejszym interferometrem wielowiązkowym
Bardziej szczegółowoWłasności światła laserowego
Własności światła laserowego Cechy światła laserowego: rozbieżność (równoległość) wiązki, pasmo spektralne, gęstość mocy oraz spójność (koherencja). Równoległość wiązki Dyfrakcyjną rozbieżność kątową awkącie
Bardziej szczegółowoRys. 1 Interferencja dwóch fal sferycznych w punkcie P.
Ćwiczenie 4 Doświadczenie interferencyjne Younga Wprowadzenie teoretyczne Charakterystyczną cechą fal jest ich zdolność do interferencji. Światło jako fala elektromagnetyczna również może interferować.
Bardziej szczegółowoODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM
ODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu jest model matematyczny procesu formowania obrazu przez pojedynczy układ optyczny w oświetleniu
Bardziej szczegółowofalowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoZjawisko interferencji fal
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoPonadto, jeśli fala charakteryzuje się sferycznym czołem falowym, powyższy wzór można zapisać w następujący sposób:
Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym Spis treści 1 Powtórka z fizyki Zjawisko Interferencji 1.1 Koherencja czasowa i przestrzenna 1.2 Droga i czas koherencji 2 Lasery 2.1 Emisja Spontaniczna 2.2
Bardziej szczegółowoPROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE
PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu są podstawowe transformacje fazowe
Bardziej szczegółowoInterferencja. Dyfrakcja.
Interferencja. Dyfrakcja. Wykład 8 Wrocław University of Technology 05-05-0 Światło jako fala Zasada Huygensa: Wszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elementarnych kulistych fal
Bardziej szczegółowoGWIEZDNE INTERFEROMETRY MICHELSONA I ANDERSONA
GWIEZNE INTERFEROMETRY MICHELSONA I ANERSONA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zestawienie i demonstracja modelu gwiezdnego interferometru Andersona oraz laboratoryjny pomiar wymiaru sztucznej gwiazdy.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Doświadczenie interferencyjne Younga. Rys. 1
Ćwiczenie 4 Doświadczenie interferencyjne Younga Wprowadzenie teoretyczne Charakterystyczną cechą fal jest ich zdolność do interferencji. Światło jako fala elektromagnetyczna również może interferować.
Bardziej szczegółowoKOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ
KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inż. Krzyszof Paorski 1. WłaściwoW ciwości saysyczne świała a ermicznego ( losowego( losowego ) A. Naęż ężenie (inensywność ść) ) promieniowania
Bardziej szczegółowoPomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła
Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoMetody Optyczne w Technice. Wykład 5 Interferometria laserowa
Metody Optyczne w Technice Wykład 5 nterferometria laserowa Promieniowanie laserowe Wiązka monochromatyczna Duża koherencja przestrzenna i czasowa Niewielka rozbieżność wiązki Duża moc Największa możliwa
Bardziej szczegółowoZjawisko interferencji fal
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoGŁÓWNE CECHY ŚWIATŁA LASEROWEGO
GŁÓWNE CECHY ŚWIATŁA LASEROWEGO Światło może być rozumiane jako: Strumień fotonów o energii E Fala elektromagnetyczna. = hν i pędzie p h = = hν c Najprostszym przypadkiem fali elektromagnetycznej jest
Bardziej szczegółowoZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL
ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL X L Rys. 1 Schemat układu doświadczalnego. Fala elektromagnetyczna (światło, mikrofale) po przejściu przez dwie blisko położone (odległe o d) szczeliny
Bardziej szczegółowoDYFRAKCJA ŚWIATŁA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE
DYFRAKCJA ŚWIATŁA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE I. Cel ćwiczenia: zapoznanie ze zjawiskiem dyfrakcji światła na pojedynczej i podwójnej szczelinie. Pomiar długości fali świetlnej, szerokości szczeliny
Bardziej szczegółowoWykład 17: Optyka falowa cz.1.
Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza
Bardziej szczegółowoLaboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii. Ćwiczenie 6. Badanie właściwości hologramów
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Ćwiczenie 6. Badanie właściwości hologramów Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska Gdańsk 2006 1. Cel
Bardziej szczegółowoFizyka elektryczność i magnetyzm
Fizyka elektryczność i magnetyzm W5 5. Wybrane zagadnienia z optyki 5.1. Światło jako część widma fal elektromagnetycznych. Fale elektromagnetyczne, które współczesny człowiek potrafi wytwarzać, i wykorzystywać
Bardziej szczegółowoOptyka. Optyka geometryczna Optyka falowa (fizyczna) Interferencja i dyfrakcja Koherencja światła Optyka nieliniowa
Optyka Optyka geometryczna Optyka falowa (fizyczna) Interferencja i dyfrakcja Koherencja światła Optyka nieliniowa 1 Optyka falowa Opis i zastosowania fal elektromagnetycznych w zakresie widzialnym i bliskim
Bardziej szczegółowoZjawisko interferencji fal
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 8. Optyka falowa
Wykład FIZYKA II 8. Optyka falowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka.html
Bardziej szczegółowoLaboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii. Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska Gdańsk
Bardziej szczegółowoRys. 1 Schemat układu obrazującego 2f-2f
Ćwiczenie 15 Obrazowanie. Celem ćwiczenia jest zbudowanie układów obrazujących w świetle monochromatycznym oraz zaobserwowanie różnic w przypadku obrazowania za pomocą różnych elementów optycznych, zwracając
Bardziej szczegółowoLaboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 3. Pomiar drgao przy pomocy interferometru Michelsona
Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 3. Pomiar drgao przy pomocy interferometru Michelsona Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WET, Politechnika Gdaoska Gdańsk 006 1. Wstęp Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER
CHARATERYSTYA WIĄZI GENEROWANEJ PRZEZ LASER ształt wiązki lasera i jej widmo są rezultatem interferencji promieniowania we wnęce rezonansowej. W wyniku tego procesu powstają charakterystyczne rozkłady
Bardziej szczegółowoRys. 1 Geometria układu.
Ćwiczenie 9 Hologram Fresnela Wprowadzenie teoretyczne Holografia umożliwia zapis pełnej informacji o obiekcie optycznym, zarówno amplitudowej, jak i fazowej. Dzięki temu można m.in. odtwarzać trójwymiarowe
Bardziej szczegółowoBADANIE I ACHROMATYZACJA PRĄŻKÓW INTERFERENCYJNYCH TWORZONYCH ZA POMOCĄ ZWIERCIADŁA LLOYDA
BADANIE I ACHROMATYZACJA PRĄŻKÓW INTERFERENCYJNYCH TWORZONYCH ZA POMOCĄ ZWIERCIADŁA LLOYDA Celem ćwiczenia jest: 1. demonstracja dużej liczby prążków w interferometrze Lloyda z oświetleniem monochromatycznym,
Bardziej szczegółowoWykład III. Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela
Wykład III Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela Interferencja fal płaskich Na kliszy fotograficznej, leżącej na płaszczyźnie z=0 rejestrujemy interferencję dwóch fal płaskich, o tej
Bardziej szczegółowoDr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska
Podstawy fizyki Wykład 11 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 3, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 2003. K.Sierański, K.Jezierski,
Bardziej szczegółowoPOMIAR DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ ZA POMOCĄ SIATKI DYFRAKCYJNEJ I SPEKTROMETRU
Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Laboratorium Fizyki I P Irma Śledzińska 4 POMIAR DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ ZA POMOCĄ SIATKI DYFRAKCYJNEJ I SPEKTROMETRU 1. Podstawy fizyczne Fala elektromagnetyczna
Bardziej szczegółowoOscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.
Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. Wstęp E B H J D
Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( 0 8854 10 1 As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( 0 4 10 7 Vs/Am),
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej
Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej Wprowadzenie Światło widzialne jest to promieniowanie elektromagnetyczne (zaburzenie poła elektromagnetycznego rozchodzące
Bardziej szczegółowoKatedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Bardziej szczegółowoBADANIE INTERFERENCJI MIKROFAL PRZY UŻYCIU INTERFEROMETRU MICHELSONA
ZDNIE 11 BDNIE INTERFERENCJI MIKROFL PRZY UŻYCIU INTERFEROMETRU MICHELSON 1. UKŁD DOŚWIDCZLNY nadajnik mikrofal odbiornik mikrofal 2 reflektory płytka półprzepuszczalna prowadnice do ustawienia reflektorów
Bardziej szczegółowoI. PROMIENIOWANIE CIEPLNE
I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ
1100-4BW1, rok akademicki 018/19 WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ dr hab. Rafał Kasztelanic Wykład 4 Przestrzeń swobodna jako filtr częstości przestrzennych Załóżmy, że znamy rozkład pola na fale monochromatyczne
Bardziej szczegółowoMikroskop teoria Abbego
Zastosujmy teorię dyfrakcji do opisu sposobu powstawania obrazu w mikroskopie: Oświetlacz typu Köhlera tworzy równoległą wiązkę światła, padającą na obserwowany obiekt (płaszczyzna 0 ); Pole widzenia ograniczone
Bardziej szczegółowoWykład VI Dalekie pole
Wykład VI Dalekie pole Schemat przypomnienie Musimy znać rozkład fali padającej u pad (x,y) w płaszczyźnie układu optycznego Musimy znać funkcję transmitancji układu optycznego t(x,y) Określamy falę właśnie
Bardziej szczegółowoPomiar długości fali świetlnej i stałej siatki dyfrakcyjnej.
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ CHEMICZNY KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW LABORATORIUM Z FIZYKI Pomiar długości fali świetlnej i stałej siatki dyfrakcyjnej. Wprowadzenie Przy opisie zjawisk takich
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 8
Podstawy fizyki wykład 8 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Optyka geometryczna Polaryzacja Odbicie zwierciadła Załamanie soczewki Optyka falowa Interferencja Dyfrakcja światła D.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 71: Dyfrakcja światła na szczelinie pojedynczej i podwójnej
Wydział Imię i nazwisko 1. 2. Rok Grupa Zespół PRACOWNIA Temat: Nr ćwiczenia FIZYCZNA WFiIS AGH Data wykonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 71: Dyfrakcja
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Temat: Interferometr Michelsona 7.. Cel i zakres ćwiczenia 7 INTERFEROMETR MICHELSONA Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z budową i
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie i kompresja danych
Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja
Bardziej szczegółowoOscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] -częstotliwość.
Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali
Bardziej szczegółowoFala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu
Ruch falowy Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Fala rozchodzi się w przestrzeni niosąc ze sobą energię, ale niekoniecznie musi
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II 8. Optyka falowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ Nakładanie się fal nazywamy ogólnie superpozycją. Nakładanie
Bardziej szczegółowoInterferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego.
Ćwiczenie 6 Interferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego. Interferometr Macha-Zehndera Interferometr Macha-Zehndera jest często wykorzystywany
Bardziej szczegółowoWłaściwości światła laserowego
Właściwości światła laserowego Cechy charakterystyczne światła laserowego: rozbieżność (równoległość) wiązki, pasmo spektralne, gęstość mocy spójność (koherencja). Równoległość wiązki Dyfrakcyjną rozbieżność
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. roth t
, H wektory natężenia pola elektrycznego i magnetycznego D, B wektory indukcji elektrycznej i magnetycznej J gęstość prądu elektrycznego Równania Maxwella D roth t B rot+ t J Dla ośrodka izotropowego D
Bardziej szczegółowoOptyka. Optyka falowa (fizyczna) Optyka geometryczna Optyka nieliniowa Koherencja światła
Optyka Optyka falowa (fizyczna) Optyka geometryczna Optyka nieliniowa Koherencja światła 1 Optyka falowa Opis i zastosowania fal elektromagnetycznych w zakresie widzialnym i bliskim widzialnemu Podstawowe
Bardziej szczegółowo= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin
Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta θ. Szczelinę dzielimy na N odcinków i
Bardziej szczegółowoOPTYKA FALOWA. W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę
OPTYKA FALOWA W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę falową. W roku 8 Thomas Young wykonał doświadczenie, które pozwoliło wyznaczyć długość fali światła.
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoWyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszkód za pomocą światła laserowego
Ćwiczenie O5 Wyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszkód za pomocą światła laserowego O5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wykorzystanie zjawiska dyfrakcji i interferencji światła do wyznaczenia rozmiarów
Bardziej szczegółowo2. Całkowita liczba modów podłużnych. Dobroć rezonatora. Związek między szerokością linii emisji wymuszonej a dobrocią rezonatora
. Całkowita liczba modów podłużnych. Dobroć rezonatora. Związek między szerokością linii emisji wymuszonej a dobrocią rezonatora Gdy na ośrodek czynny, który nie znajduje się w rezonatorze optycznym, pada
Bardziej szczegółowon n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A / B 2 1 hν exp( ) 1 kt (24)
n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A 1 2 / B hν exp( ) 1 kt (24) Powyższe równanie określające gęstość widmową energii promieniowania
Bardziej szczegółowoFunkcja falowa i związek między gęstością mocy i funkcją falową to postulaty skalarnego modelu falowego światła.
WPROWADZENIE OPTYKA FALOWA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Światło propaguje się w postaci fal. W próżni prędkość światła wynosi około 3.0 x 10 8 m/s (co odpowiada 30 cm/ns lub 0.3 mm/ps). Wyróżnia
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ ZA POMOCĄ SIATKI DYFRAKCYJNEJ
ĆWICZENIE 84 WYZNACZANIE DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ ZA POMOCĄ SIATKI DYFRAKCYJNEJ Cel ćwiczenia: Wyznaczenie długości fali emisji lasera lub innego źródła światła monochromatycznego, wyznaczenie stałej siatki
Bardziej szczegółowoPODSTAWY DYFRAKCJI WYBRANE ZAGADNIENIA DYFRAKCJI FRAUNHOFERA Krzysztof
PODSTAWY DYFRAKCJI WYBRANE ZAGADNIENIA DYFRAKCJI FRAUNHOFERA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Krzysztof Niniejsza część wykładu obejmuje wprowadzenie do dyfrakcji, opis matematyczny z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoLaboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii. Ćwiczenie 2. Dyfrakcja światła w polu bliskim i dalekim
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Ćwiczenie. Dyfrakcja światła w polu bliskim i dalekim Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska Gdańsk
Bardziej szczegółowoInterferencja promieniowania
nterferencja promieniowania Zastosowania Metrologia Nanotechnologie Czujniki szczególnie światłowodowe Elementy fotoniczne Wyjaśnianie: generacji modów w laserze propagacji modów w światłowodach Generacja
Bardziej szczegółowo(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.
MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1. Rys. 1. W układzie współrzędnych sferycznych (Rys.1) fala sferyczna jest opisana funkcją: A (2a)
Ćwiczenie 1 Regulacja pinholi. Generacja fali płaskiej i sferycznej. Badanie jakości fali płaskiej na etalonie. Interferometr Michelsona. Doświadczenie Younga Część teoretyczna Światło jest falą elektromagnetyczną,
Bardziej szczegółowoHologram gruby (objętościowy)
Hologram gruby (objętościowy) Wprowadzenie teoretyczne Holografia jest bardzo rozległą dziedziną optyki i na pewno nie dziwi fakt, że istnieją hologramy różnego typu. W zależności od metody zapisu hologramu,
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowo- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa)
37. Straty na histerezę. Sens fizyczny. Energia dostarczona do cewki ferromagnetykiem jest znacznie większa od energii otrzymanej. Energia ta jest tworzona w ferromagnetyku opisanym pętlą histerezy, stąd
Bardziej szczegółowoZjawiska w niej występujące, jeśli jest ona linią długą: Definicje współczynników odbicia na początku i końcu linii długiej.
1. Uproszczony schemat bezstratnej (R = 0) linii przesyłowej sygnałów cyfrowych. Zjawiska w niej występujące, jeśli jest ona linią długą: odbicie fali na końcu linii; tłumienie fali; zniekształcenie fali;
Bardziej szczegółowoRys Ruch harmoniczny jako rzut ruchu po okręgu
3. DRGANIA I FALE 3.1. Ruch harmoniczny W szkole poznajemy ruch harmoniczny w trakcie analizy ruchu jednostajnego po okręgu jako rzut na prostą (rys. 3.1). Tak jest w istocie, poniewaŝ ruch po okręgu to
Bardziej szczegółowoLaboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii. Ćwiczenie 1. Przestrzenna filtracja szumu optycznego
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Ćwiczenie 1. Przestrzenna filtracja szumu optycznego Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska Gdańsk
Bardziej szczegółowoWYBRANE ZAGADNIENIA DYFRAKCJI FRESNELA
WYBRANE ZAGADNIENIA DYFRAKCJI FRESNELA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Omawiane zagadnienia z zakresu dyfrakcji Fresnela obejmują: dyfrakcję na obiektach o symetrii obrotowej ze szczególnym uwzględnieniem
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowo18 K A T E D R A F I ZYKI STOSOWAN E J
18 K A T E D R A F I ZYKI STOSOWAN E J P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 18. Wyznaczanie długości fal świetlnych diody laserowej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej Wprowadzenie Światło jest promieniowaniem
Bardziej szczegółowoRys. 1 Pole dyfrakcyjne obiektu wejściowego. Rys. 2 Obiekt quasi-periodyczny.
Ćwiczenie 7 Samoobrazowanie obiektów periodycznych Wprowadzenie teoretyczne Jeśli płaski obiekt optyczny np. przezrocze z czarno-białym wzorem (dokładniej mówiąc z przeźroczysto-nieprzeźroczystym wzorem)
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 14. Maria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYMATYCZNYCH
Ćwiczenie 14 aria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYATYCZNYCH Zagadnienia: Podstawowe pojęcia kinetyki chemicznej (szybkość reakcji, reakcje elementarne, rząd reakcji). Równania kinetyczne prostych
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 11, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 11, 19.03.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 10 - przypomnienie
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FAL ELEKTROMAGNETYCZNYCH: INTERFERENCJA, DYFRAKCJA, POLARYZACJA
WŁASNOŚCI FAL ELEKTROMAGNETYCZNYCH: INTERFERENCJA, DYFRAKCJA, POLARYZACJA 1. Interferencja fal z dwóch źródeł 2. Fale koherentne i niekoherentne 3. Interferencja fal z wielu źródeł 4. Zasada Huygensa 5.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie parametro w wiązki gaussowskiej
Wyznaczanie parametro w wiązki gaussowskiej Spis treści 1. Wstęp... 1 2. Definicja wiązki gaussowskiej... 2 3. Parametry określające wiązkę gaussowską... 4 4. Transformacja wiązki gaussowskiej przez soczewki...
Bardziej szczegółowoDyfrakcja. interferencja światła. dr inż. Romuald Kędzierski
Dyfrakcja i interferencja światła. dr inż. Romuald Kędzierski Zasada Huygensa - przypomnienie Każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali można uważać za źródło nowej fali kulistej. Fale te zwane
Bardziej szczegółowof = 2 śr MODULACJE
5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowon 02 + n 02 ) / (n e2 polaryzator oś optyczna polaryskop polaryzator Rys. 28 Bieg promieni w polaryskopie Savarta.
Interferometria polaryzacyjna Po zapoznaniu się ze zjawiskiem podwójnego załamania w płytce z materiału anizotropowego moŝemy powrócić do części wykładu dotyczącej interferometrii, w szczególności interferometrii
Bardziej szczegółowoPODSTAWY FOTONIKI. Studia Dzienne InŜynierskie. Semestr V, wykład 45 godz. Prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski
PODSTAWY FOTONIKI Studia Dzienne InŜynierskie Semestr V, wykład 45 godz. Prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski WPROWADZENIE Fotonika, optyka a elektronika Przyczyny powstania i rozwoju fotoniki W elektronice
Bardziej szczegółowo