Wykład III. Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład III. Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela"

Tadeusz Olszewski
5 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład III Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela

2 Interferencja fal płaskich

4 Na kliszy fotograficznej, leżącej na płaszczyźnie z=0 rejestrujemy interferencję dwóch fal płaskich, o tej samej długości fali λ = 632,8nm i tej samej amplitudzie. Wektor falowy pierwszej fali ma współrzędne k 1 (0,0,k), gdzie k=2 /λ. Wektor falowy drugiej fali ma współrzędne k 2 (0,0.01k,?). Załóż, że w początku układu współrzędnych fazy obu fal są zgodne. Oblicz wynik nakładania się tych fal. δφ = 2π d λ = kd Zmiana fazy przy przejściu pomiędzy powierzchniami falowymi odległymi o d Z-towa składowa wektora falowego k Cz = ± k 2 k 2 Cy = ± k 2 0,01k 2 = ± 0,99k

5 cos α q = k q k Cosinus kierunkowy q dla wektora falowego k k cos α x, cos α y, cos α z Współrzędne jednostkowego wektora falowego w kierunku k Obliczamy odległość d d = y cos α y = y k k y

6 obliczamyć zmianę (przyrost) wartości fazy drugiej fali, gdy przesuniemy się wzdłuż odcinka d. δφ = k C d = k C k Cy k C y = yk Cy Ostatecznie wzór na różnicę faz fali czerwonej i niebieskiej na ekranie, w danej ustalonej chwili czasu, w danym punkcie y, przyjmie postać: δφ = yk Cy + δφ 0

7 ważny trik Jeżeli obliczamy obraz interferencyjny (natężeniowy) jaki dają dwie interferujące fale (niekoniecznie płaskie), to możemy uznać, że fazory reprezentujące jedną z tych fal mają wszędzie kąt fazowy równy zeru. I to nawet wtedy kiedy ta wybrana fala nie jest równoległa do ekranu

8 Mając to na uwadze, w przypadku fali niebieskiej, równoległej do ekranu, możemy przyjąć, że faza fali niebieskiej jest równa zero wszędzie na ekranie. Fazory v N, które reprezentują tą falę mają współrzędne v Nx = A oraz v Ny = 0 Faza fazorów reprezentujących falę czerwoną różni się od fazy fazorów reprezentujących falę niebieską o daną wzorem δφ = yk Cy + δφ 0 Wyznaczając kąt fazorów dla fali czerwonej względem odnośnych kątów fazowych fali niebieskiej możemy zapisać. v Cx = Acos δφ oraz v Cy = Asin δφ

9 Mogę teraz dodać, w każdym punkcie ekranu, fazory obu fal, w efekcie czego otrzymam nowy fazor w o współrzędnych w x = A + Acos δφ = A 1 + cos δφ oraz w y = Asin δφ Natężenie światła to kwadrat długości fazora w I = w x 2 + w y 2 = A cos δφ 2 + sin 2 δφ = 2A cos δφ Korzystając z wzoru δφ = yk Cy + δφ 0 Mamy: I = 2A cos k Cy y + δφ 0

10 Prążki interferencyjne I 2 2A 1 cos k y y 0

12 Szerokość prążków Wartość natężenie powtórzy się tam, gdzie odcinek d będzie równy dokładnie λ, lub faza pod funkcją cosinus we wzorze I 2 2A 1 cos k y y 0 zmieni się o 2 ; stąd mamy warunek δyk Cy = 2π δy = 2π k Cy

13 Zbadam przypadki graniczne. Niech wektory falowe obu fal będą równoległe. W tym przypadku oba wektory falowe mają takie same współrzędne; w szczególności k Cy =k Cy =0. Ze wzoru δy = 2π k Cy wynika, że szerokość prążków jest nieskończona, czyli że nie ma żadnych prążków.

14 Ten sam wniosek możemy wyciągnąć z rysunku Jeżeli oba fronty falowe są wzajemnie równoległe, to odległości d są wszędzie takie same. Zatem w płaszczyźnie całego ekranu mamy taką samą różnicę faz = 0 pomiędzy oboma falami i taką samą wartość sumy obu fal. Powiedzmy, że takie dwie równoległe powierzchnie falowe spotykają się dokładnie w fazie, to znaczy że kąty fazowe na ekranie są zgodne ( =0). Amplitudy tych fal dodają się w prosty sposób; jeżeli obie fale mają te same amplitudy to po ich dodaniu mamy 2A, a natężenie w każdym punkcie ekranu wynosi 4A 2. Rozważmy teraz inną możliwość, obie fale spotykają się w przeciwnej fazie. Ich amplitudy nawzajem zniosą się i amplituda wypadkowa, tak samo jak natężenie na całym ekranie będzie równa zeru.

15 A jeżeli kąt fazowy między falami będzie jakiś inny? Odwołam się do wzoru I = 2A cos k Cy y + δφ 0 kładąc k Cy =0. Ponieważ faza początkowa φ 0, w rozważanym przypadku szczególnym, jest w każdym punkcie ekranu stała na ekranie mamy wszędzie to samo natężenie światła

16 Do tej pory zakładałem, że dwie interferujące fale mają takie same amplitudy. Teraz założę, że amplitudy są różne: pierwsza fala ma amplitudę A 1 a druga A 2 ; przy czym niech A 2 <A 1. Wzór na długość wektora wypadkowego, czyli natężenie ma postać I = w x 2 + w y 2 = A A 2 2 cos 2 δφ + 2A 1 A 2 cos δφ + A 2 2 sin 2 δφ Wzór ten często zapisuje się za pomocą natężeń I = I 1 + I I 1 I 2 cos δφ

19 Kontrast prążków γ = I max I min I max + I min współczynnik kontrastu prążków interferencyjnych Gdy I min =I max kontrast jest równy swej najmniejszej możliwej wartość czyli zeru; wtedy oczywiście żadne prążki nie są widoczne.

20 kontrast dla interferogramu dwóch fal płaskich. Największe natężenie mamy gdy cos(δφ)=1 a najmniejsze gdy cos(δφ)=-1, korzystając ze wzoru I = I 1 + I I 1 I 2 cos δφ γ = I 1 + I I 1 I 2 I 1 I I 1 I 2 I 1 I 2 = 2 I 1 + I I 1 I 2 + I 1 + I 2 2 I 1 I 2 I 1 + I 2

21 W przypadku ogólnym dla fal płaskich I = I 1 + I I 1 I 2 cos xδk x + yδk y + δφ 0 δk x = ± k Cx k Nx δk y = ± k Cy k Ny δφ 0 = ± φ 0C φ 0N

22 Interferometry To optyczne urządzenia pomiarowe wykorzystujące zjawisko interferencji fal

23 Interferometr Michelsona

24 Interferometr Michelsona

25 Kolimator

26 Kolimator z filtrem przestrzennym

27 Interferencja fali kulistych

28 Interferometr Macha-Zehndera

29 Zalety i Wady Rozdzielenie wiązki przedmiotowej i odniesienia Przez badany przedmiot wiązka przedmiotowa przechodzi jednokrotnie Wady Trudniejszy w justowaniu niż interferometr Michelsona Konstrukcja bardziej wrażliwa na wstrząsy

30 Jest wiele innych interferometrów

31 Płytka i klin k 2 2n s d cos 4 n s d cos

34 Testowanie płaskości fali

35 Fotografia Lippmanna

37 Bałagan w długościach fali

38 Szybkie zmiany natężenia światła, powodują, że prążki jasne stają się ciemne i na odwrót miliony razy na sekundę i obraz, prążkowy, ze względu na uśrednianie przez detektor po czasie, staje się jednolity.

39 Zasada Huygensa Zasada Huygensa Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem fali wtórnej. Jeżeli ośrodek jest jednorodny i izotropowy fala wtórna jest falą kulistą (kołową w dwóch wymiarach). Obwiednia fal wtórnych wyznacza powierzchnię frontu falowego w chwili późniejszej.

40 Fakt: Z zasady Huygensa wynika, że w środowisku izotropowym i jednorodnym fala kulista (kołowa) zachowuje swoją geometrię, zmienia się tylko promień sfery (okręgu). Fakt: Z zasady Huygensa wynika, że w środowisku izotropowym i jednorodnym fala płaska zachowuje swoją geometrię, a jej czoło przesuwa się z prędkością fazową.

42 Gdy fala z punktu źródłowego Z kieruje się na szczelinę, lub inną przeszkodę to w przestrzeni między źródłem a przeszkodą nie musimy obliczać, krok po kroku, propagującej się fali. Wiemy, że do przeszkody zachowa ona kształt kołowy (kulisty). Rachunku zaczynają się dopiero w płaszczyźnie przeszkody

43 Dyfrakcja Dyfrakcja to ugięcie fali (również świetlnej) na przeszkodzie

45 Z zasady Huygensa możemy wyprowadzić prawo załamania i odbicia dla ruchu falowego, które są ściśle związane z odnośnymi prawami dla promienia w optyce geometrycznej.

46 Prawo załamania

47 Zasada Huygensa nie uwzględnia interferencji fal świetlnych Przez dwa bardzo małe otwory przechodzą fale prawie kuliste. Różnica dróg od jednego z otworów do punktu P i do punktu Q jest niewielka. Stąd natężenie światła od każdej z fal na ekranie jest praktycznie stałe, a co za tym idzie stałe jest również natężenie światła od sumy fal (przy zaniedbaniu zjawiska interferencji); b) tak wygląda naświetlony ekran. W przykładzie źródła fal kulistych są od siebie oddalone o 2mm, odległości do ekranu wynosi z=200mm, rozmiary ekranu to 10x10mm.

Wiemy jednak, że dwie nakładające się fale interferują ze sobą, przez co obserwowany obraz, dla dwóch otworów jest znacznie bardziej złożony a) Przy oświetleniu obu otworów tą samą falą (np.

48 Wiemy jednak, że dwie nakładające się fale interferują ze sobą, przez co obserwowany obraz, dla dwóch otworów jest znacznie bardziej złożony a) Przy oświetleniu obu otworów tą samą falą (np. falą płaską), natężenie światła na ekranie jest modulowane przez zjawisko interferencji. Na rysunku przyjęto parametry takie jak na rysunku poprzednim, długości fali wynosi 630nm. Prążki są drobne więc wyrysowane są na małym fragmencie ekranu z rysunku poprzedniego; b) rozkład natężenia światła na tym samym drobnym fragmencie ekranu pokazuj, że brak prążków na poprzednim rysunku nie jest kwestią tego, że są one zbyt drobne.

49 Określenie: Zasada Huygensa-Fresnela Każdy punkt ośrodka, do którego dotarła fala świetlna staje się źródłem fali wtórnej. Fale wtórne wygenerowane przez punkty do, którego dotarło czoło fali interferują ze sobą.

50 Wymagania Interferencja i interferometry Kolimator Kontrast prążków Barwy interferencyjne, fotografia Lippmanna

51 Przykładowe zadanie Wskaż prawidłowe zdanie dotyczące barw interferencyjnych a) powstają tylko przy odbiciu światła od płytki płasko-równoległej; b) nie mogą powstać gdy na płytkę pada wiązka światła monochromatyczne; c) zjawisko barw interferencyjnych może zostać wykorzystane do uzyskania szkła barwionego; d) zależą od kąta patrzenia na powierzchnię odbijającą

Podobne dokumenty

Wykład 17: Optyka falowa cz.1.

Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza