InŜnieria Rolnicza 14/5 Zofia Hanusz *, Zbigniew Siarkowski **, * Katedra Zastosowań Matematki ** Katedra Maszn i Urządzeń Rolniczch Akademia Rolnicza w Lublinie OKREŚLANIE FUNKCJI CELU PRZY DOBORZE MASZYN ROLNICZYCH Streszczenie W prac został przedstawione podstawowe funkcje matematczne najczęściej wkorzstwane do zagadnień prognostcznch w doborze maszn rolniczch. Omówiono podstawowe własności tch funkcji, podano przkład związków pomiędz zmiennmi, w którch stosuje się omawiane tp funkcji. Podano metodę wznaczania parametrów strukturalnch wstępującch w modelu oraz metodę analiz statstcznej modelu. Przedstawiono przkład zastosowania metod do wznaczaniu funkcji celu prz doborze oprskiwacz rolniczch. Słowa kluczowe: funkcja celu, dobór maszn, rozsiewacze nawozów, produkcja rolnicza Wprowadzenie i cel prac Przedstawiona w prac Hanusz i Siarkowskiego [5] metodka ustalania postaci funkcji celu prz doborze maszn i urządzeń do produkcji rolniczej zawiera 6 etapów postępowania. Przedstawione tam etap mają charakter ogóln i określają pełn zakres cznności jakie naleŝ wkonać ab w sposób kompleksow ustalić postać analitczną zaleŝności pomiędz zmienną określaną i określającą. W tej prac przedstawiono najczęściej wkorzstwane funkcje matematczne, które mogą bć wkorzstane do określania funkcji celu, wraŝającej zaleŝność funkcjną zmiennej określanej przez zmienną niezaleŝną. Wraz z równaniami funkcji celu podano przkład związków, które mogą bć opiswane wskazanmi równaniami. Ponadto, postacie niektórch tpów funkcji celu został zobrazowane wkresami. Głównm celem tej prac bło opisanie metodki określania funkcji celu prz doborze maszn i urządzeń do realizacji procesów produkcjnch w rolnictwie. Metodka ta została opisana za pomocą najczęściej wkorzstwanch zaleŝności matematcznch określającch relacje zachodzące pomiędz zmienną objaśnianą i objaśniającą. RozwaŜono kilka rodzajów związków, które mogą bć 135
Zofia Hanusz, Zbigniew Siarkowski wkorzstwane w zaleŝności od charakteru zmiennch i przjmowanch przez nie wartości. Zwrócono takŝe uwagę na cznności, jakie naleŝ przeprowadzić ab osiągnąć ostateczną postać funkcji celu. Metodka określania funkcji celu Prz ustalaniu postaci analitcznej funkcji celu mogą wstąpić dwie stuacje, w którch: znana jest postać równania wnikająca z fizki zjawiska, wówczas zadanie polega na określeniu najlepszch wartości parametrów równania, postać równania nie jest znana i naleŝ ustalić tą postać oraz wartości parametrów wstępującch w równaniu. Liniowa funkcja celu W zagadnieniach poszukiwania związków opisującch zjawiska zachodzące w naukach rolniczch jedną z podstawowch i najczęściej wkorzstwanch zaleŝności jest funkcja liniowa. Taką zaleŝność dobieram wówczas, gd wiadomo, Ŝe nie istnieją punkt optmalne zjawiska, czli nie posiada ono Ŝadnch ekstremów i jest zjawisko ma charakter monotoniczn rosnąc (jak na rs. 1.) lub malejąc. Do wznaczenia współcznników równania b 1 i b wkorzstujem metodę najmniejszch kwadratów, natomiast do badania istotności tch współcznników wkorzstujem test o rozkładzie t-studenta. NaleŜ podkreślić istotę obliczania współcznnika determinacji R, któr określa stopień dopasowania funkcji liniowej do danch ekspermentalnch. Wsoki współcznnik determinacji ( 1) nie zawsze informuje nas o bardzo dobrm dopasowaniu funkcji liniowej do danch ekspermentalnch. Często jest to wnikiem małej liczb punktów doświadczalnch lub punkt doświadczalne są powtarzalnmi pomiarami dla kilku wartości zmiennej objaśniającej. 3 6 18 14 1 6 Rs. 1. Funkcja liniowa = b1 + b Fig. 1. Linear function 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 136
Określanie funkcji celu... ZaleŜność liniowa jest najczęściej stosowana w naukach ekspermentalnch i jest jednocześnie najlepiej opracowaną numercznie funkcją regresjną. W kaŝdm pakiecie statstcznm znajdziem program umoŝliwiając znalezienie jej postaci. Wiele zaleŝności, poprzez przekształcenie zmiennej określającej lub określanej, daje się sprowadzić do zaleŝności liniowej. Dodatkową zaletą funkcji liniowej jest prosta interpretacja uzskanch współcznników w równaniu regresji. Kwadratowa funkcja celu Inną stuację obserwujem wówczas, gd wiadomo, Ŝe w zjawisku wstępuje punkt optmaln tzn. wiem, Ŝe pewna wartość zmiennej określającej determinuje maksmalną bądź minimalną wartość zmiennej określanej. W takiej stuacji, wkreślając punkt doświadczalne na wkresie, obserwujem jedno ekstremum lokalne. Wówczas do opisu danch ekspermentalnch nie moŝem stosować funkcji liniowej lecz dopasowujem funkcję tpu parabolicznego = b + b1 + b (rs. ). Współcznniki równania regresjnego b, b 1 oraz b wznaczam wkorzstując metodę najmniejszch kwadratów a ich łączną istotność werfikujem wkorzstując test F-Fishera lub t-studenta do zbadania istotności poszczególnch współcznników. W praktce moŝe się zdarzć taka stuacja, Ŝe nie zaobserwujem w ekspermencie punktu optmalnego. Świadczć to moŝe o nieodpowiednim określeniu zakresu zmiennej objaśniającej lub czasami stan optmaln nie jest moŝliw do osiągnięcia. 35 3 5 15 1 5-5 -1 6 8 1 1 14 16 18 4 Rs.. Funkcja kwadratowa = b + b1 + b Fig.. Square function Wielomianowa funkcja celu W przpadku, gd obserwacje sugerują kilka ekstremów lokalnch, wówczas poszukujem funkcji wielomianowej postaci = bp + bp 1 + b1 + b, gdzie rząd p p 1 wielomianu p jest wŝsz co najmniej o jeden niŝ obserwowana liczba ekstremów, 137
Zofia Hanusz, Zbigniew Siarkowski tzn. p le + 1 oraz le jest liczbą ekstremów lokalnch (dla dwóch ekstremów lokalnch, por. rs. 3). Współcznniki b p, b p 1,..., b 1 oraz b wznaczam stosując metodę najmniejszch kwadratów, a do testowania istotności wektora współcznników regresjnch b [ b,b, Λ,b, ] = p p 1 1 b, wkorzstujem test F-Fishera. Po odrzuceniu hipotez o nieistotnm wektorze współcznników regresjnch, testujem hipotez szczegółowe dotczące poszczególnch współcznników regresjnch, w oparciu o test t-studenta. Tak jak w poprzednich paragrafach, obliczam takŝe współcznnik determinacji R, w celu sprawdzenia dokładności dopasowania funkcji celu do danch ekspermentalnch. Warto w tm miejscu zwrócić uwagę na fakt, iŝ w stuacji kied niektóre współcznniki regresjne oka- Ŝą się nieistotne i odrzucim je z równania regresjnego to współcznnik determinacji w nowm modelu będzie niŝsz. Z tego teŝ względu, chcąc utrzmać wŝsz stopień dopasowania funkcji celu, w praktcznm zastosowaniu pozostawia się w funkcji celu współcznniki, które nieistotnie róŝnią się od zera na zadanm poziomie istotności. 8 7 6 5 4 3 1 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 Rs. 3. Wielomian 3 stopnia 3 = b3 + b + b1 + b Fig. 3. 3 rd order polnomial Funkcja celu opisująca pewien stał trend W przpadku, gd punkt doświadczalne wskazują na pewien trend rosnąc bądź malejąc, wówczas do określenia związku moŝem takŝe wkorzstać zaleŝność wielomianową nieparzstego stopnia, która posiada jednie punkt przegięcia lecz nie posiada punktów optmalnch. Częściej jednak, do opisu zaleŝności dwóch b1 + b zmiennch poszukuje się funkcji z rodzin funkcji wkładniczej = b e (rs. 4), b1 hiperbolicznej + b = lub funkcji logartmicznej b ln( b ) = (rs. 5). 1 b 138
Określanie funkcji celu... 45 35 5 15 5-5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 Rs. 4. b1 Funkcja wkładnicza = + b Fig. 4. Eponential function 55 5 45 4 35 3 5 15 1 5, 5,1 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6, Rs. 5. Wkres funkcji logartmicznej = b ln( b ) Fig. 5. Logarithmic function. 1 b Współcznniki regresjne we wszstkich tpach powŝszch funkcji mogą bć wznaczone MNK. Niejednokrotnie funkcje celu, poprzez proste przekształcenia zmiennch mogą bć przetransponowane do funkcji liniowej. Dla przkładu, b1 w funkcji hiperbolicznej = + b (rs. 6), wstarcz w miejsce zmiennej 1 opisującej wstawić nową zmienną z = i poszukiwać funkcji celu w postaci b1 + b = b z +, natomiast dla wkładniczej funkcji celu = b e, jeŝeli 1 b 139
Zofia Hanusz, Zbigniew Siarkowski zlogartmujem cechę opiswaną, wówczas ln = lnb + b1 + b = b1 + b ~, gdzie b ~ = lnb + b. JeŜeli zatem wprowadzim nową zmienną opiswaną z = ln w funkcji wkładniczej lub odwrotność zmiennej opisującej w zaleŝności hiperbolicznej, wówczas do opisu funkcji celu w nowm modelu poszukujem liniowej funkcji opisanej w paragrafie.1. 34 8 16 1 4 -, 1, 4, 36, 48, 6, 7, 84, Rs. 6. Wkres funkcji hiperbolicznej =b 1 /+b. Fig. 6. Hperbolic function. Wmierna funkcja celu W niektórch zagadnieniach, zmienne opisujące badan proces nie mogą bć zdefiniowane dla pewnch określonch argumentów. Wartości funkcji w otoczeniu tch argumentów przjmują bardzo duŝe, bądź małe wartości, wówczas do określenia postaci funkcji stosujem funkcje wmierne (iloraz wielomianów). Funkcje te posiadają asmptot pionowe w tch wróŝnionch argumentach zmiennej objaśniającej. Jeśli ponadto wiadomo jest, iŝ funkcja celu nie moŝe przekroczć pewnch zakresów i na końcach określoności zmiennej objaśniającej funkcja celu przjmuje stałe wartości (funkcja celu posiada asmptot poziome), wówczas poszukujem takiej funkcji wmiernej, w której stopień wielomianu wstępującego w liczniku jest nie większ od stopnia wielomianu wstępującego w mianowniku (por. rs. 6). Funkcje ckliczne Kolejn rodzaj poszukiwanch funkcji słuŝącch do opisu funkcji celu mogą stanowić funkcje ckliczne. Funkcje te charakterzują się osclacją wokół linii wznaczającej główn trend. W takich przpadkach funkcja celu moŝe bć kombinacją funkcji trgonometrcznch. Jeśli wartości funkcji zmieniają się w pew-,, wówczas najbardziej odpowiednie będą nm skończonm przedziale [ ] min ma 14
Określanie funkcji celu... funkcje sinusoidalne (rs. 7). JeŜeli oprócz osclacji wokół pewnej linii określającej trend, amplituda odchleń zmienia się wraz ze wzrostem argumentu zmiennej objaśniającej, wówczas moŝe to bć kombinacja funkcji sinusoidalnch oraz zmiennej (rs. 8). Natomiast w przpadku funkcji okresowch z asmptotami pionowmi najlepsze będą funkcje tangensoidalne (rs. 9). Ten rodzaj funkcji moŝe wstępować w badaniach ekonomicznch, w którch wartości funkcji celu powtarzają się w pewnch sezonach. 5 3 1-1 -3-5 6 1 18 4 3 36 4 48 54 6 66 7 78 84 9 96 Rs. 7. Funkcja ckliczna = b sin( b ) + b cos( ) Fig. 7. Cclic function 1 3 b4 4 3 1-1 - -3-4 -5, 1, 4, 36, 48, 6, 7, 84, 96, Rs. 8. Funkcja ckliczna postaci = b sin( b + b ) + b cos( b + ) Fig. 8. Cclic function of the form 1 3 4 5 b6 141
Zofia Hanusz, Zbigniew Siarkowski 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3 1-1 8 16 4 3 4 48 56 64 7 8 88 96 Rs. 9. Funkcja okresowa b tg( b + ) Fig. 9. Periodical function = 1 b o Analiza statstczna parametrów strukturalnch w funkcji celu Po wborze postaci funkcji celu, które został opisane w rozdziale, naleŝ oszacować parametr strukturalne opisujące funkcję. Dla wszstkich przedstawionch funkcji, do oszacowania nieznanch parametrów wkorzstam metodę najmniejszch kwadratów, która minimalizuje sumę kwadratów odchleń wartości oszacowanch funkcji celu od wartości zaobserwowanch w ekspermencie. Dla kaŝdej z omawianch powŝej funkcji celu, wzor do wznaczania ocen dla parametrów będą róŝne. Niektóre z nich, jak w przpadku prostej regresji, wzor na obliczanie współcznnika kierunkowego i wrazu wolnego są powszechnie znane i dostępne w podręcznikach ze statstki matematcznej. Dla innch funkcji celu takie wzor powinn zostać podane ale w konkretnch stuacjach, w którch funkcja celu będzie właściwie dobrana do opisu danch ekspermentalnch. Po oszacowaniu parametrów strukturalnch modelu badam cz wpłw na zmienną określaną jest istotn i ewentualnie modfikujem model opisując funkcję celu poprzez redukcję współcznników nieistotnch. Zarówno w modelu wjściowm jak i modelu zredukowanm wznaczam współcznnik determinacji, R, któr informuje o stopniu dopasowania funkcji celu do danch ekspermentalnch. JeŜeli uzskan współcznnik determinacji jest niski, naleŝ wbrać inną funkcję celu lub do zmiennej objaśniającej dołączć inne zmienne nie uwzględniane dotchczas funkcji celu. W przpadku małej wartości współcznnika determinacji, mogą istnieć 14
Określanie funkcji celu... takŝe inne przczn złego dopasowania funkcji celu. Jedną z takich przczn jest wstąpienie odstającch obserwacji, które zmieniają szacowane współcznniki. Istnieje wiele metod pozwalającch weliminować takie zmienne ale to zagadnienie nie jest przedmiotem tej prac. Przkład doboru funkcji celu prz doborze oprskiwacz rolniczch Prz określaniu zaleŝności pomiędz kosztami eksploatacji oprskiwacz rolniczch wkorzstano metodki opracowane przez Bogdanowicza i in. [1985] oraz Muzalewskiego []. Rozpatrwano gospodarstwa o róŝnej wielkości upraw zbóŝ (od 1ha do 5 ha) oraz 14 tpów oprskiwacz o wdajności od do 19 ha/h. Do przkładu wbrano gospodarstwa, w którm średnia powierzchnia upraw zbóŝ wnosiła około 1,5 ha. Uzskane wniki doboru funkcji celu przedstawiono na rs. 1 1. Jak się naleŝało spodziewać zaleŝność międz wdajnością oprskiwacz a nakładami robocizn opisała najlepiej funkcja hiperboliczna (rs. 1), natomiast zaleŝność pomiędz kosztami eksploatacji i nakładami energetcznmi a wdajnością oprskiwacz najlepiej opisała funkcja wkładniczo-kwadratowa (rs. 11-1). ZauwaŜono, Ŝe dla małch wartości wdajności oprskiwacz koszt eksploatacji szbko maleją ze wzrostem wdajności, natomiast dla duŝch wartości wdajności oprskiwacz spadek ten jest bardzo powoln. 5 Gospodarstwa o średniej powierzchni upraw zbóŝ = 1,5 ha =(1,165)/+(9,85567e-8) r = 1, 4 Nakład robocizn [rbh] 3 1,5 1, 1,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, Wdajność oprskiwacza [ha.h] Rs. 1. Postać funkcji opisującej zaleŝność nakładów robocizn od wdajności oprskiwacz Fig. 1. Function describing the dependence of labor inputs on spreader s efficienc 143
Zofia Hanusz, Zbigniew Siarkowski 1 Gosporadstwa o średniej powierzchni upraw zbóŝ = 1,5 ha =(3,6593)*ep((-,73415)**+(5,1473))+(45,4796) R =,95 11 1 Koszt eksploatacji [zł] 9 8 7 6 5 4 3,5 1, 1,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, Wdajność oprskiwacza [ha/h] Rs. 11. Postać funkcji opisującej zaleŝność kosztów eksploatacji od wdajności oprskiwacz Fig. 11. Function describing the dependence of eploitation costs on spreader s efficienc 9 Gospodarstwa o średniej powierzchni upraw zbóŝ = 1,5 ha =(,61185)*ep((-1,617)**+(8,118633))+(8,95) R =,95 8 7 Nakład energetczne [kwh] 6 5 4 3 1,5 1, 1,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, Wdajność oprskiwacza [ha/h] Rs. 1. Postać funkcji opisującej zaleŝność nakładów energetcznmi od wdajności oprskiwacz Fig. 1. Function describing the dependence of energ inputs on spreader s efficienc 144
Określanie funkcji celu... Podsumowanie W prac przedstawiliśm róŝne tp związków, jakie mogą bć wkorzstwane do określania funkcji celu prz doborze maszn i urządzeń do produkcji rolniczej. Praca ma charakter teoretczn, dając podstawę do podejmowania właściwej deczji o doborze postaci zaleŝności w konkretnch zagadnieniach praktcznch. Szczegółowa postać tego związku zaleŝeć będzie od danch ekspermentalnch. Dla konkretnch układów danch moŝna oszacować parametr modelu a następnie poddać je analizie statstcznej. Często istnieje konieczność szacowania kilku funkcji celu i spośród nich wbrać tą, która charakterzuje się najwŝszm współcznnikiem determinacji. ZaleŜność, wbrana w sposób przemślan i najlepsz spośród kilku moŝliwch, moŝe bć wkorzstwana do właściwego prognozowania. Szczegółowe opracowania takich związków prz doborze maszn i urządzeń rolniczch będzie przedmiotem innch prac. Literatura Bogdanowicz J., Banasiak J., Drozd M., 1985: Technologia prac masznowch w rolnictwie, PWN, Warszawa. Hanusz Z., Siarkowski Z., 5: Metodczne uwarunkowania określania funkcji celu prz doborze maszn i urządzeń do produkcji rolniczej. Materiał na Jubileuszową Konferencję Międznarodową z okazji 35-lecia Wdziału InŜnierii Produkcji AR w Lublinie. Muzalewski A., : Koszt eksploatacji maszn. IBMER. Warszawa. 145
Zofia Hanusz, Zbigniew Siarkowski ESTIMATION OF PURPOSE FUNCTION AT AGRICULTURAL DEVICES SELECTION Summar The paper presents general mathematical functions the most often used for prognostic issues at selection of agricultural devices. Basic properties of these functions were discussed and eamples of interactions between variables, in which discussed function tpes are applied, were given. The method for determination of structural parameters occurring in the model and method of the model s statistical analsis were presented. The eample of the method application for the purpose function determination at manure spreader selection was also presented. Ke words: purpose function, device selection, manure spreaders, agricultural production 146