Funkcje dwóch i trzech zmiennych

Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2, P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ), (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 + (z 1 z 0 ) 2, P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), P 1 = (x 1, y 1, z 1 ). Definicja 1 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór O(P 0, r) = { P R 2 (R 3 ) : P 0 P < r }.

Definicja 2 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja 3 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A R 2 (R 3 ) o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. z = f(x, y), (x, y) A Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f.

Definicja 4 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór {(x, y, f(x, y)) : (x, y) D f }. Definicja 5 Poziomicą wykresu funkcji f, odpowiadającą poziomowi h R, nazywamy zbiór {(x, y) D f : f(x, y) = h}.

Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x 0, y 0 ). Definicja 6 f jest ciągła w punkcie (x 0, y 0 ), gdy ɛ>0 δ>0 (x,y) D [( (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ) ( f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ɛ)]

Pochodne cząstkowe Definicja 7 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x 0, y 0 ) określamy wzorem o ile ta granica istnieje. f x (x 0, y 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ), x Uwaga 1 Niech F (x) = f(x, y 0 ). Wtedy f x (x 0, y 0 ) = F (x 0 ).

Analogicznie o ile ta granica istnieje. f y (x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ), y Uwaga 2 Niech G(y) = f(x 0, y). Wtedy f y (x 0, y 0 ) = G (y 0 ).

Definicja 8 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D R 2, to funkcje f f (x, y), (x, y), gdzie (x, y) D x y nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.

Płaszczyzna styczna Załóżmy, że pochodne cząstkowe f, f są ciągłe w punkcie (x x y 0, y 0 ). Wtedy płaszczyzna o równaniu z = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + f(x 0, y 0 ) jest styczna do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )).

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Niech f ma pochodne f x, f y na zbiorze otwartym D oraz niech (x 0, y 0 ) D. Definicja 9 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x 0, y 0 ) określamy wzorami: 2 f x 2 (x 0, y 0 ) = x ( f x )(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) = x ( f y )(x 0, y 0 ) = f xy (x 0, y 0 ) 2 f y x (x 0, y 0 ) = y ( f x )(x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) = y ( f y )(x 0, y 0 ) = f yy (x 0, y 0 )

Twierdzenie 1 (Schwartza o pochodnych mieszanych) Niech pochodne cząstkowe 2 f, 2 f istnieją na otoczeniu punktu (x x y y x 0, y 0 ) oraz będą ciągłe w punkcie (x 0, y 0 ). Wtedy 2 f x y (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ).

Pochodna cząstkowa n-tego rzędu n f y k x l (x 0, y 0 ), gdzie k + l = n -pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) powstała w wyniku l- krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania względem zmiennej y

Pochodna kierunkowa funkcji Niech v = (v x, v y ) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D R 2 oraz niech punkt (x 0, y 0 ) D. Definicja 10 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wersora v określamy wzorem: f v (x 0, y 0 ) = lim t 0 + f(x 0 + tv x, y 0 + tv y ) f(x 0, y 0 ). t Uwaga 3 Niech F (t) = f(x 0 + tv x, y 0 + tv y ). Wtedy f v (x 0, y 0 ) = F +(0).

Gradient funkcji Definicja 11 Niech istnieją pochodne cząstkowe f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ). Gradientem funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy wektor grad f(x 0, y 0 ) = ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 )).

Twierdzenie 2 Niech pochodne f, f x y punkcie (x 0, y 0 ) D. Wtedy istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w f v (x 0, y 0 ) = grad f(x 0, y 0 ) v. Interpretacja geometryczna Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.

Ekstrema lokalne Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x 0, y 0 ). Definicja 12 f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne, jeżeli [(x, y) O((x 0, y 0 ), δ) f(x, y) f(x 0, y 0 )]. δ>0 (x,y) D

Twierdzenie 3 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Jeśli f ma ekstremum lokalne w (x 0, y 0 ) i istnieją pochodne cząstkowe f (x x 0, y 0 ), f (x y 0, y 0 ) to f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0.

Twierdzenie 4 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) i f (x x 0, y 0 ) = f (x y 0, y 0 ) = 0 oraz det 2 f (x x 2 0, y 0 ) 2 f (x x y 0, y 0 ) to f ma ekstremum lokalne w (x 0, y 0 ) i jest to : minimum lokalne właściwe, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 albo maksimum lokalne właściwe, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0. 2 f (x x y 0, y 0 ) 2 f > 0 (x y 2 0, y 0 ) Uwaga 4 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x 0, y 0 ) ekstremum lokalnego.

Ekstrema warunkowe Definicja 13 Funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne właściwe z warunkiem g(x, y) = 0 gdy g(x 0, y 0 ) = 0 i δ>0 (x,y) D [(x, y) S((x 0, y 0 ), δ) g(x, y) = 0] [f(x, y) > f(x 0, y 0 )]

Zbiory domknięte Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni: Definicja 14 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli O(P, r) A oraz O(P, r) A. r>0 A -dopełnienie zbioru A.

Definicja 15 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych. Definicja 16 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.

Definicja 17 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu D O(P 0, r). r>0 P 0 Twierdzenie 5 (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to (x 1,y 1 ) D (x 2,y 2 ) D f(x 1, y 1 ) = sup {f(x, y) : (x, y) D} f(x 2, y 2 ) = inf {f(x, y) : (x, y) D}

Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zbiorze domkniętym 1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne. 2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne (ekstrema warunkowe). Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.

Całki podwójne Całka podwójna po prostokącie Niech P = {(x, y) : a x b, c y d} = [a, b] [c, d] i P = {P 1, P 2,..., P n } będzie podziałem prostokąta P na prostokąty P k, 1 k n. Oznaczmy -wymiary prostokąta P k, 1 k n, d k = x k, y k -długość przekątnej prostokąta P k, 1 k n, -średnica podziału P, ( x k ) 2 + ( y k ) 2 δ(p) = max {d k : 1 k n} (x k, y k) P k -punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 k n -zbiór punktów pośrednich podziału P. Σ = {(x k, y k) : 1 k n}

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P. Definicja 18 Sumę nazywamy sumą całkową. n σ(f, P) = f(x k, yk) x k y k k=1 Ciąg podziałów (P n ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli lim δ(p n) = 0. n Definicja 19 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem P f(x, y)dxdy = lim σ(f, P n) n gdzie (P n ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σ n

Twierdzenie 6 (Warunek wystarczający całkowania funkcji) Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty nieciągłości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).

Twierdzenie 7 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c R, to (f(x, y) + g(x, y))dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy, P P P cf(x, y)dxdy = c f(x, y)dxdy, P P f(x, y)dxdy = P P 1 f(x, y)dxdy + P 2 f(x, y)dxdy gdzie {P 1, P 2 } jest podziałem prostokąta P na prostokąty P 1, P 2.

Twierdzenie 8 Jeżeli istnieje f(x, y)dxdy oraz istnieje całka d f(x, y)dy dla każdego x, to P P b f(x, y)dxdy = a d dx c f(x, y)dy = d c b dy a c f(x, y)dx. Wniosek 1 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] [c, d]. Wtedy P b f(x, y)dxdy = a d dx c f(x, y)dy = d c b dy a f(x, y)dx.

Interpretacja geometryczna Niech V = {(x, y, z) : (x, y) P, 0 z f(x, y)}. Wtedy V = P f(x, y)dxdy.

Obszary Definicja 20 Zbiór D R 2 (R 3 ) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą. Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.

Całka podwójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D R 2. Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D P. Określamy funkcję f (x, y) = { f(x, y) dla (x, y) D 0 dla (x, y) R 2 D. Definicja 21 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem f(x, y)dxdy = D P f (x, y)dxdy.

Definicja 22 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)} gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x (a, b). b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)} gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y (c, d).

Twierdzenie 9 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym a) D = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)}, to b f(x, y)dxdy = ( D b)d = {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)}, to d f(x, y)dxdy = ( D a c h(x) g(x) q(y) p(y) f(x, y)dy)dx, f(x, y)dx)dy.

Całka podwójna po obszarze regularnym Definicja 23 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem osi Ox lub Oy ) D 1,..., D n o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Twierdzenie 10 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to f(x, y)dxdy = D D 1 f(x, y)dxdy +... + D n f(x, y)dxdy.

Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Współrzędne biegunowe P = (x, y) (ϕ, ρ), gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P 0 ϕ < 2π (albo π < ϕ π), ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych. { x = ρcosϕ B := y = ρsinϕ. B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y).

Twierdzenie 11 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ) : α ϕ β, g(ϕ) ρ h(ϕ)}, gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] [0, 2π]. Niech f będzie ciągła na obszarze D = B(U). Wtedy f(x, y)dxdy = D U β α [ h(ϕ) g(ϕ) f(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ = f(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.

Całki potrójne Całka potrójna po prostopadłościanie Niech P = {(x, y, z) : a x b, c y d, p z q} = [a, b] [c, d] [p, q] i P = {P 1, P 2,..., P n } będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P k, 1 k n. Oznaczmy -wymiary prostopadłościanu P k, 1 k n, d k = x k, y k, z k ( x k ) 2 + ( y k ) 2 + ( z k ) 2 -długość przekątnej prostopadłościanu P k, 1 k n, -średnica podziału P, δ(p) = max {d k : 1 k n} (x k, y k, z k) P k -punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 k n -zbiór punktów pośrednich podziału P. Σ = {(x k, y k, z k) : 1 k n}

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P. Definicja 24 Sumę nazywamy sumą całkową. n σ(f, P) = f(x k, yk, zk) x k y k z k k=1 Ciąg podziałów (P n ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli lim δ(p n) = 0. n Definicja 25 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem P f(x, y, z)dxdydz = lim σ(f, P n) n gdzie (P n ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σ n

Interpretacja fizyczna całki potrójnej Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę M = P f(x, y, z)dxdydz.

Twierdzenie 12 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α R, β R, to (αf(x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α f(x, y, z)dxdydz + β g(x, y, z)dxdydz, P P P f(x, y, z)dxdydz = P P 1 f(x, y, z)dxdydz + f(x, y, z)dxdydz gdzie {P 1, P 2 } jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P 1, P 2. P 2

Twierdzenie 13 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną) Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] [c, d] [p, q]. Wtedy P b f(x, y, z)dxdydz = a d dx c q dy p f(x, y, z)dz

Całka potrójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V R 3. Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję f (x, y, z) = { f(x, y, z) dla (x, y, z) V 0 dla (x, y, z) R 3 V. Definicja 26 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem V f(x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz. P

Definicja 27 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xoy nazywamy zbiór {(x, y, z) : (x, y) U, D(x, y) z G(x, y)} gdzie U jest obszarem regularnym na xoy, funkcje D i G są ciągłe na U, przy czym D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U. Analogicznie: b) względem xoz {(x, y, z) : (x, z) U, D(x, z) y G(x, z)} c) względem yoz {(x, y, z) : (y, z) U, D(y, z) x G(y, z)}.

Twierdzenie 14 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze V = {(x, y, z) : (x, y) U, D(x, y) z G(x, y)} normalnym względem płaszczyzny xoy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regularnym U, to G(x,y) f(x, y, z)dxdydz = ( f(x, y, z)dz)dxdy. V U Jeżeli gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to D(x,y) U = {(x, y) : a x b, d(x) y g(x)}, V f(x, y, z)dxdydz = b a dx g(x) d(x) dy G(x,y) D(x,y) f(x, y, z)dz.

Całka potrójna po obszarze regularnym Definicja 28 Obszar V, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem płaszczyzn układu ) V 1,..., V n o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Twierdzenie 15 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V, to V f(x, y, z)dxdydz = V 1 f(x, y, z)dxdydz +... + f(x, y, z)dxdydz. V n

Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Współrzędne walcowe P = (x, y, z) (ϕ, ρ, h), gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y), 0 ϕ < 2π, ( π < ϕ π), 0 ρ <, < h < x = ρcosϕ W := y = ρsinϕ z = h. W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

Twierdzenie 16 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ, h) : α ϕ β, d(ϕ) ρ g(ϕ), D(ϕ, ρ) h G(ϕ, ρ)}, gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ρ) : α ϕ β, d(ϕ) ρ g(ϕ)}. Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U), to β α dϕ g(ϕ) d(ϕ) V f(x, y, z)dxdydz = dρ G(ϕ,ρ) D(ϕ,ρ) f(ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.

Współrzędne sferyczne P = (x, y, z) (ϕ, ψ, ρ), 0 ϕ < 2π, ( π < ϕ π), π ψ π, 0 ρ <. 2 2 x = S := y = z = ρcosϕcosψ ρsinϕcosψ ρsinψ. S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

Twierdzenie 17 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ϕ β, d(ϕ) ψ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ρ G(ϕ, ψ)}, gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ψ) : α ϕ β, d(ϕ) ψ g(ϕ)}. Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U), to β α dϕ g(ϕ) d(ϕ) dψ G(ϕ,ψ) D(ϕ,ψ) V f(x, y, z)dxdydz = f(ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ 2 cosψdρ.

Zastosowania całek wielokrotnych Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) D, wyraża się wzorem Zakładamy, że f x, f y Σ = 1 + ( f D x )2 + ( f y )2 dxdy. są ciągłe na obszarze D.

Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru U R 3 o gęstości objętościowej masy γ. MS xy = U zγ(x, y, z)dxdydz, MS xz = MS yz = Współrzędne środka masy obszaru U x c = MS yz M U U xγ(x, y, z)dxdydz., y c = MS xz M, z c = MS xy M yγ(x, y, z)dxdydz,

Szeregi liczbowe Definicja 29 Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (S n ), gdzie S n = a 1 + a 2 + + a n. Szereg oznaczamy przez n=1 a n, a n -n-ty wyraz, S n -n-ta suma częściowa szeregu.

Definicja 30 Mówimy, że szereg n=1 a n jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu (S n ). Oznaczamy: lim n S n = n=1 a n.

Jeżeli lim n S n = ( ), to mówimy, że szereg n=1 a n jest rozbieżny do ( ). Jeżeli lim n S n nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Twierdzenie 18 Jeżeli szeregi n=1 a n, n=1 b n są zbieżne i c R, to a) (a n + b n ) = a n + b n, n=1 n=1 n=1 b) ca n = c a n. n=1 n=1

Twierdzenie 19 Szereg geometryczny n=0 x n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy x < 1, x n = 1 1 x. n=0

Twierdzenie 20 Jeżeli szereg n=1 a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. Uwaga 5 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Kryteria zbieżności szeregów Twierdzenie 21 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n 0, ) [0, ), gdzie n 0 N, będzie funkcją nierosnącą. Wówczas szereg f(n) jest zbieżny całka n=1 n 0 f(x)dx jest zbieżna. n+1 f(x)dx R n n f(x)dx, gdzie R n = i=n+1 f(i) jest n tą resztą szeregu i n n 0.

Twierdzenie 22 Szereg n=1 1 n p jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p 1.

Twierdzenie 23 (Kryterium porównacze) Niech 0 a n b n dla każdego n n 0 i niech szereg n=1 b n będzie zbieżny. Wtedy szereg n=1 a n jest zbieżny. Jeśli n=1 a n jest rozbieżny do to szereg n=1 b n jest też rozbieżny do.

Twierdzenie 24 (Kryterium ilorazowe) Niech a n, b n > 0 (a n, b n < 0) dla każdego n n 0 oraz niech a n lim = k, n b n gdzie 0 < k <. Wówczas szereg n=1 a n jest zbieżny szereg n=1 b n jest zbieżny.

Twierdzenie 25 (Kryterium d Alemberta) 1. Jezeli lim a n+1 < 1, n a n to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. lim a n+1 > 1, n a n lim a n+1 = 1 n a n

Twierdzenie 26 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli n lim a n < 1 n to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. lim n lim n n a n > 1 n a n = 1

Twierdzenie 27 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (b n ) jest nierosnący od numeru n 0 N i lim n b n = 0 to szereg naprzemienny n=1 ( 1) n+1 b n jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu R n b n+1 dla każdego n n 0.

Definicja 31 Mówimy, że szereg n=1 a n jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg n=1 a n jest zbieżny. Twierdzenie 28 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.

Definicja 32 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Szeregi potęgowe Definicja 33 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x 0 R i współczynnikach c n R, nazywamy szereg postaci c n (x x 0 ) n. n=0

Granica górna i dolna ciągu Definicja 34 Niech (k n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (a n ) będzie dowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (a n ) nazywamy ciąg (b n ) określony wzorem b n = a kn, gdzie n N.

Twierdzenie 29 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.

Definicja 35 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a. Symbol ( ) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do ( ).

Definicja 36 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (a n ) (właściwych lub niewłaściwych). Wtedy lim n a n = inf S jest granicą dolną ciągu, a jest granicą górną ciągu. lim n a n = sup S

Twierdzenie 30 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli n lim n a n < 1 to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. n lim n a n > 1 n lim n a n = 1

Promień zbieżności szeregu potęgowego R = 0 gdy n lim n c n =, gdy n 0 < lim n c n <, gdy n lim n c n = 0. 1 lim n n c n

Uwaga 6 R = lim c n, 1 n n - o ile granice w tych wzorach istnieją. R = lim c n n c n+1

Twierdzenie 31 (Cauchy ego-hadamarda) Niech 0 < R < będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n (x x 0 ) n. Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny w każdym punkcie przedziału (x 0 R, x 0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru (, x 0 R) (x 0 + R, ).

Definicja 37 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n (x x 0 ) n nazywamy zbiór { } x R : szereg c n (x x 0 ) n jest zbieżny. n=0

Szereg Taylora funkcji Wzór Taylora Niech f ma w przedziale (x 0 δ, x 0 + δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy gdzie f(x) = n 1 k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x) k! R n (x) = f (n) (c) (x x 0 ) n, n! c-punkt pośredni między x i x o.

Twierdzenie 32 Jeżeli dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) lim n R n (x) = 0, to dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x) = n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n!

Uwaga 7 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że f (n) (x) M dla każdego n N {0} oraz dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ), to lim n R n (x) = 0.

Różniczkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 33 Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n x n. Wtedy ( c n x n ) = nc n x n 1 dla każdego x ( R, R). n=0 Wniosek 2 Jeżeli f(x) = n=0 c n (x x 0 ) n dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ), gdzie δ > 0, to c n = f (n) (x 0 ) n! dla n = 0, 1,... n=1

Całkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 34 Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu n=0 c n x n. Wtedy x ( c n t n c n )dt = 0 n + 1 xn+1 dla każdego x ( R, R). n=0 n=0

Twierdzenie 35 (Abela) Jeżeli szereg f(x) = n=0 c n x n jest zbieżny w końcowym przedziale zbieżności (np. w R), to lim f(x) = c n R n. x R n=0

Szeregi Fouriera Oznaczmy przez L[ π, π] przestrzeń funkcji całkowalnych na przedziale [ π, π]. W przestrzeni tej określamy pseudoiloczyn skalarny (f, g) = π π f(x)g(x)dx

Ciąg funkcji 1, cosx, sinx,..., cosnx, sinnx,... 2π π π π π stanowi układ ortonormalny w L[ π, π].

Definicja 38 Wielomianem trygonometrycznym nazywamy każdą funkcję okresową postaci S n (x) = a 0 n 2 + (a k coskx + b k sinkx), k=1 gdzie a k, b k są współczynnikami rzeczywistymi. Twierdzenie 36 Średni błąd kwadratowy jest najmniejszy jeśli a k = 1 π b k = 1 π δ 2 = 1 π [f(x) S n (x)] 2 dx 2π π π π π π f(x)coskxdx dla k = 0, 1, 2,..., n f(x)sinkxdx dla k = 1, 2,..., n.

Definicja 39 Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci a 0 2 + (a n cosnx + b n sinnx). n=1 Definicja 40 Sumą szeregu trygonometrycznego nazywamy granicę ciągu sum częściowych S n (x) = a 0 n 2 + (a k coskx + b k sinkx). k=1

Szereg Fouriera funkcji Niech f L[ π, π]. Definicja 41 Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny, gdzie a n = 1 π b n = 1 π π π π π f(x)cosnxdx dla n = 0, 1, 2,... f(x)sinnxdx dla n = 1, 2,... Liczby a n, b n nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f. Będziemy stosowali oznaczenie f(x) a 0 2 + (a n cosnx + b n sinnx). n=1

Twierdzenie 37 Jeżeli f L[ π, π], to szereg Fouriera jest zbieżny średnio z kwadratem do danej funkcji, tzn. π lim [f(x) S n (x)] 2 dx = 0 n π

Twierdzenie 38 (Dirichleta) Jeżeli funkcja f okresowa o okresie 2π spełnia warunki: 1. przedział [ π, π] można rozłożyć na skończoną ilość przedziałów otwartych, w każdym z których funkcja f jest ciągła i monotoniczna, 2. w każdym punkcie nieciągłości f istnieją granice f(x ) i f(x + ), to szereg Fouriera tej funkcji jest zbieżny i jego suma równa się f(x) w punktach ciągłości f, a w punktach nieciągłości funkcji suma ta równa się 1 2 [f(x ) + f(x + )]

Uwaga 8 Jeżeli funkcja f jest okresowa o okresie 2π i całkowalna w przedziale [ π, π] oraz jest funkcją 1. parzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem cosinusowym (b n = 0), 2. nieparzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem sinusowym (a n = 0).

Uwaga 9 Zamiast przedziału [ π, π] można rozpatrywać przedział [ l, l]. Szereg Fouriera ma postać a 0 2 + (a n cos πnx + b n sin πnx ), l l gdzie a n = 1 l b n = 1 l l l l n=1 l f(x)cos πnx dx dla n = 0, 1, 2,... l f(x)sin πnx dx dla n = 1, 2,... l

Transformata Fouriera Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji f : R R takich, że całka niewłaściwa jest zbieżna. f(x) dx Definicja 42 Transformatą Fouriera funkcji f L(R) nazywamy funkcję f(y) = 1 2π f(x)e ixy dx.

Twierdzenie 39 Jeżeli f L(R), to transformata f istnieje i jest funkcją ciągłą. Uwaga 10 Jeżeli f L(R) oraz f jest funkcją 1. parzystą, to 2 f(y) = f(x)cosxydx, π 0 2. nieparzystą, to 2 f(y) = i f(x)sinxydx. π 0

Transformata odwrotna do transformaty Fouriera Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji F : R C takich, że całka niewłaściwa jest zbieżna. F (x) dx Definicja 43 Transformatą odwrotną do transformaty Fouriera funkcji F L(R) nazywamy funkcję F (x) = 1 F (y)e ixy dy. 2π Zauważmy, że F (x) = F ( x).

Twierdzenie 40 Jeśli f L(R), to w każdym punkcie x, w którym funkcja f jest różniczkowalna, f(x) = 1 f(y)e ixy dy, 2π gdzie T = lim. T T Uwaga 11 Różniczkowalność można zastąpić słabszym warunkiem: Jeżeli istnieje δ > 0 taka, że f jest monotoniczna w S (x, δ) i S + (x, δ) oraz jest ograniczona w O(x, δ) to f(x + ) + f(x ) 2 = 1 2π f(y)e ixy dy.

Własności transformaty Fouriera Twierdzenie 41 Niech f L(R) i a R. Wtedy 1. jeżeli g(x) = f(x a), to ĝ(y) = f(y)e iay, 2. jeżeli a 0, g(x) = f( x ), to ĝ(y) = a f(ay), a 3. jeżeli założymy dodatkowo, że f jest funkcją różniczkowalną i f L(R), to f (y) = iy f(y).

Definicja 44 Niech f, g L(R). Wtedy funkcję h(x) = nazywamy splotem funkcji f, g i oznaczamy f g. f(x y)g(y)dy

Twierdzenie 42 Jeżeli f, g L(R), to f g L(R) and f g = 2π f ĝ.

Przekształcenie Laplace a Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0, ). Definicja 45 Przekształceniem Laplace a funkcji f nazywamy funkcję F (s) = L {f(t)} = gdzie s jest zmienną rzeczywistą. 0 f(t)e st dt,

Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Laplace a. Twierdzenie 43 Jeżeli f spełnia następujące warunki: 1. ma na każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0, skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, 2. istnieją C R, M > 0 takie, że to L {f(t)} istnieje dla s > C. f(t) Me Ct dla każdego t 0, Funkcję f spełniającą założenia powyższego twierdzenia będziemy nazywali oryginałem.

Linowość przekształcenia Laplace a Twierdzenie 44 Jeżeli istnieją L {f(t)} i L {g(t)} oraz c R, to L {f(t) + g(t)} = L {f(t)} + L {g(t)}, L {cf(t)} = cl {f(t)}.

Twierdzenie 45 Jeżeli funkcje f, g są ciągłe i L {f(t)} = L {g(t)}, to f(t) = g(t) dla każdego t [0, ).

Własności przekształcenia Laplace a Twierdzenie 46 Niech f będzie oryginałem, i F (s) = L {f(t)}, wtedy 1.L {f(at)} = 1F ( s ), gdzie a > 0, a a 2. L {t n f(t)} = ( 1) n F (n) (s), 3. L {e at f(t)} = F (s a), 4. L {1(t τ)f(t τ)} = e sτ F (s), gdzie τ > 0, 5. L { t 0 f(τ)dτ } = F (s) s.

Uwaga 12 Niech funkcje f(t) i g(t) będą określone na przedziale [0, ) oraz całkowalne w każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0 wtedy f(t) g(t) = t 0 f(τ)g(t τ)dτ.

Twierdzenie 47 (Wzór Borela) Jeżeli funkcje f(t) i g(t) są oryginałami, to L {f(t) g(t)} = L {f(t)} L {g(t)}.

Transformata n-tej pochodnej Twierdzenie 48 Jeżeli f oraz jej pochodne f, f,..., f (n 1) są oryginałami, a ponadto funkcja ta ma na przedziale (0, ) ciągłą n-tą pochodną, to istnieje L { f (n) (t) } oraz L { f (n) (t) } = s n L {f(t)} s n 1 f(0 + ) s n 2 f (0 + ) +... sf (n 2) (0 + ) f (n 1) (0 + ).

Niezależne zmienne losowe Funkcje f : [0, 1] R, które mają skończoną liczbę punktów nieciągłości, będziemy nazywali zmiennymi losowymi. Oznaczmy przez {f < x} = {t : f(t) < x}. Definicja 46 Dystrybuantą zmiennej losowej f nazywamy funkcję F f (x) = 1 0 1 {f<x} (t)dt.

Definicja 47 Dystrybuantą typu absolutnie ciągłego nazywamy funkcję postaci F (x) = gdzie p(t) 0, p(t)dt = 1. Funkcję p(x) nazywamy gęstością rozkładu. x p(t)dt,

Definicja 48 Zmienne losowe f i g nazywamy niezależnymi, jeśli dla dowolnych x, y R. 1 0 1 {f<x} {g<y} (t)dt = F f (x)f g (y)

Twierdzenie 49 Jeżeli f i g są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach typu absolutnie ciągłego z gęstościami p i q to f + g ma rozkład o gęstości p q.

Definicja 49 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej f o gęstości rozkładu p nazywamy funkcję ϕ f (t) = 2π p(t). Twierdzenie 50 Jeżeli zmienne losowe f i g o gęstościach rozkładu p i q są niezależne, to ϕ f+g (t) = ϕ f (t) ϕ g (t).