DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 011/01, zima 1 Własnści sprężyste ciał stałych naprężenie rzciągające naprężenie ścinające naprężenie bjętściwe Względne dkształcenie ciała zależy d naprężenia naprężenie t siła dkształcająca dniesina d jednstki pla pwierzchni, na jaką działa naprężenie = (mduł sprężystści) (dkształcenie) gdy próbka pwraca d pierwtnych wymiarów p usunięciu naprężenia wyklad8 011/01, zima 1
Rzciąganie i ściskanie F Naprężenie σ definiuje się jak: σ = S gdzie di Fj jest wartścią tś siły przyłżnej ł ż jd ciała ł w miejscu, w którym ciał ma ple S przekrju prstpadłeg d kierunku działania siły Miarą dkształcenia jest wielkść bezwymiarwa L/L względna zmiana długści W granicach sprężystści czyli dla małych dkształceń F ΔL bwiązuje praw Hke a = E S L E- mduł Yunga wyklad8 011/01, zima 3 Wybrane własnści sprężyste pewnych materiałów Materiał Gęstść ρ (kg/cm 3 ) Mduł Yunga E (10 9 N/m ) Naprężenie niszczące (10 6 N/m ) Granice sprężystści (10 6 N/m ) (10 N/m ) (10 N/m ) Stal a 7860 00 400 50 Al 710 70 110 95 Betn c 30 30 40 b - Kść 1900 9 b 170 b - a stal knstrukcyjna ASTM-A36, b przy ściskaniu, c dużej wytrzymałści wyklad8 011/01, zima 4
Naprężenie ścinające W przypadku dkształcenia pprzeczneg (ścinania) naprężenie σ definiuje się również jak: F σ = S ale siła działa równlegle d pwierzchni S Miarą dkształcenia jest wielkść bezwymiarwa /L F Δ = G S L mduł ścinania wyklad8 011/01, zima 5 Naprężenie bjętściwe Naprężeniem jest ciśnienie p cieczy F p = S Jednstką ciśnienia jest 1 Pa = 1N/m Miarą dkształcenia jest względna zmiana bjętści V/V ΔV K - mduł sprężystści p = K V bjętściwej lub mduł ściśliwści wyklad8 011/01, zima 6 3
Przykład 1 Na dnie Oceanu Spkjneg, któreg średnia głębkść jest równa kł 4000 m, panuje ciśnienie 4,0 10 7 N/m. Ile wynsi, związana z tym ciśnieniem, względna zmiana bjętści V/V wdy a ile kulki wyknanej ze stali? Mduł ściśliwści wynsi, 10 9 N/m dla wdy, a dla stali 16 10 10 N/m. Rzwiązanie: ΔV = V p K 7 dla wdy ΔV 4 10 = = 1,8 % 9 V, 10 dla kuli stalwej ΔV V 7 4 10 = 16 10 10 = 0,05% wyklad8 011/01, zima 7 Oscylatr harmniczny siła harmniczna F = k siła F prprcjnalna d wychylenia z płżenia równwagi zwrt siły: d płżenia równwagi F ΔL = E k = ES / L S L Tylk dla małych wychyleń z płżenia równwagi!!! k k k wyklad8 011/01, zima 8 k 4
Równanie ruchu trzymujemy z II zasady dynamiki Newtna d F wyp = ma = m trzymujemy gólne równanie różniczkwe scylatra harmniczneg równanie drugieg rzędu stałych ł współczynnikach, jednrdne F wyp = F = k prównując i przekształcając d m + k = 0 P pdzieleniu przez d m, przyjmując, że = mamy m + = 0 k wyklad8 011/01, zima 9 Przypmnienie: Równanie scylatra harmniczneg d m + k = 0 wyprwadziliśmy również z zasady zachwania energii mechanicznej wyklad8 011/01, zima 10 5
scylatr harmniczny prsty (bez tłumienia i bez wymuszenia) d + = 0 częstść drgań własnych Częstść drgań własnych zależy wyłącznie d parametrów układu drgająceg. Dla układu masa m sprężyna stałej sprężystści k: k = m Wzór ten pzwala zawsze kreślić kres drgań T π T = = π wyklad8 011/01, zima 11 m k Rzwiązanie równania scylatra harmniczneg prsteg π czas t π π Okres ruchu T = czas, w jakim wyknywane jest jedn pełne drganie T = 1 ν faza (t) = m cs( t + ϕ) wychylenie z płżenia równwagi częstść amplituda faza pczątkwa Amplituda = wartść bezwzględna maksymalneg wychylenia z płżenia równwagi częsttliwść = liczba drgań (cykli) na sekundę (jednstka 1Hz) wyklad8 011/01, zima 1 6
Prędkść w ruchu harmnicznym d(t) d v(t) = = m ϕ ( cs( t + )) π π czas t π v(t) = msin( t + ϕ) Przyspieszenie dv(t) d a(t) = = msin( t + ϕ) a(t) = ( ) cs( t + ϕ) wyklad8 011/01, zima 13 a m = W ruchu harmnicznym przyspieszenie jest prprcjnalne d przemieszczenia ale ma przeciwny znak Sprawdzenie czy prpnwana funkcja (t) = m cs( t + ϕ) jest rzwiązaniem ą równania gólneg: g d + = 0 Należy pdstawić: d = a = d równania gólneg Otrzymujemy: + = 0 z czeg wynika, że Częstść drgań prsteg scylatra harmniczneg jest = równa częstści drgań własnych wyklad8 011/01, zima 14 7
Siła w ruchu harmnicznym przyspieszenie a = Z II zasady dynamiki: ale siła harmniczna: F wyp = ma = m F = k k = m Wiemy, że = k m czyli jeszcze raz: = wyklad8 011/01, zima 15 Energia w ruchu harmnicznym energia ptencjalna sprężystści E p = k E p = 1 k m cs ( t + ϕ) energia kinetyczna E k 1 = m m sin ( t + ϕ) E k = v m wyklad8 011/01, zima 16 8
Całkwita energia w ruchu harmnicznym E = E p + E k 1 = k m 1 cs ( t + ϕ) + m m sin ( t + ϕ) ale k = m czyli E = 1 k 1 ( cs ( t + ϕ) + sin ( t + ϕ) ) = k cnst m m = Całkwita energia mechaniczna prsteg scylatra harmniczneg jest zachwana wyklad8 011/01, zima 17 Zależnść energii scylatra d wychylenia z płżenia równwagi E p = k E = E parabla k E p dwrócna parabla E 1 = k m 1 k wyklad8 011/01, zima 18 E k k = 1 k( m ) 9
Przy przechdzeniu przez płżenie równwagi: prędkść jest największa przyspieszenie wynsi zer siła wynsi zer energia kinetyczna jest największa Przy maksymalnym wychyleniu z płżenia równwagi: prędkść wynsi zer i zmienia i znak przyspieszenie jest największe siła jest maksymalna energia ptencjalna jest największa wyklad8 011/01, zima 19 PRZYKŁADY OSCYLATORÓW HARMONICZNYCH wyklad8 011/01, zima 0 10
Wahadł trsyjne τ = κθ mment kierujący κ zależy d długści, średnicy i materiału z jakieg wyknan drut wyklad8 011/01, zima 1 d θ I = τ równanie ruchu z II zasady dynamiki dla ruchu brtweg Wahadł trsyjne d θ d θ I = κθ I + κθ = 0 d θ κ + θ = 0 I d θ + θ = 0 równanie scylatra harmniczneg κ = I wyklad8 011/01, zima 11
Wahadł trsyjne κ = I T = π = π I κ kres drgań wahadła trsyjneg wyklad8 011/01, zima 3 Wahadł trsyjne służy d wyznaczania mmentu bezwładnści brył dwlnych nieregularnych kształtach Przykład. Na rysunku przedstawin cienki pręt długści L=1,4 cm i masie m=135 g zawieszny w śrdku na długim drucie. Zmierzny kres T a drgań trsyjnych pręta wynsi,53 s. Następnie na tym samym drucie zawieszn ciał X nieregularnym kształcie i zmierzn kres T b, który wynsi 4,76 s. Wyznaczyć mment bezwładnści ciała X względem si, wkół której zachdzą drgania. Dane: Szukane: L=1,4 cm=0,14 m I b m=135 g= 0,135 kg T a =,53 s T b =4,76 s wyklad8 011/01, zima 4 1
Rzwiązanie: Okres drgań wahadła trsyjneg z prętem: T a Ia = π κ Okres drgań wahadła trsyjneg z ciałem X: b a T b Ib = π κ Szukany mment bezwładnści: T 1 T I b = Ia = ml T 1 T b a wyklad8 011/01, zima 5 I b Odpwiedź: = 6,1 10 4 kg m Wahadł matematyczne Ruch pwduje mment siły ciężkści: τ = L(F g sin θ) = Lmgsin θ znak minus znacza, że mment siły pwduje zmniejszenie kąta θ Krzystając z II zasady dynamiki dla ruchu brtweg: I-mment bezwładnści wahadła względem punktu zawieszenia d θ τ = Iε = I wyklad8 011/01, zima 6 13
Wahadł matematyczne Zakładamy, że kąt θ jest mały (małe drgania) czyli sin θ θ : τ = Lmgθ Równanie scylatra harmniczneg: Częstść drgań: d θ I + Lmg θ = 0 = Lmg I wyklad8 011/01, zima 7 Wahadł matematyczne = Lmg I ale I = ml Częstść nie zależy d masy Okres T nie zależy d masy = T = π g L L g wzór prawdziwy dla małej amplitudy drgań wyklad8 011/01, zima 8 14
Wahadłem fizycznym jest każda bryła sztywna w ruchu drgającym Wahadł fizyczne τ = mghsin θ d θ = mghsin θ IO dla małych kątów θ d θ O + mgh θ = 0 I = mgh I O = I śm mgh + mh wyklad8 011/01, zima 9 Wahadł fizyczne Wahadł fizyczne służy d wyznaczania Iśm + mh przyspieszenia grawitacyjneg g w T = π różnych miejscach na Ziemi i i nie tylk mgh Przykład 3. Przymiar metrwy wyknuje drgania wkół punktu zawieszenia O, znajdująceg się na jednym z jeg kńców, w dległści h d jeg śrdka masy C jak na rysunku. Mierząc kres drgań T, wyznaczyć przyspieszenie g w tym punkcie na Ziemi. Rzwiązanie: 1 I = ml L śm h = 1 T = π 1 3 mg ml L wyklad8 011/01, zima 30 8 π L g = 3 T 15
Wahadł fizyczne Każdemu wahadłu fizycznemu, drgającemu wkół daneg punktu zawieszenia O z kresem T dpwiada wahadł matematyczne długści L drgające z tym samym kresem T. Wielkść L nazywamy y długścią ą zredukwaną wahadła fizyczneg. Punkt znajdujący się w dległści L d punktu zawieszenia O nazywamy śrdkiem wahań wahadła fizyczneg dla daneg punktu zawieszenia. Przykład 4. Znaleźć długść zredukwaną wahadła z pprzednieg przykładu i wyznaczyć śrdek wahań. L L L = T = π 3 czyli 3 g śrdek wahań znajduje się w punkcie P wyklad8 011/01, zima 31 ZADANIE DOMOWE 8.1 Na rysunku przedstawin pingwina skacząceg d wdy z trampliny mającej pstać jednrdnej wąskiej deski, której lewy kniec jest zamcwany na zawiasie, a prawy jest party na sprężynie. Deska ma długść L=m i masę m=1 kg; stała sprężystści k wynsi 1300 N/m. Gdy pingwin skacze d wdy, deska i sprężyna zaczynają wyknywać drgania małej amplitudzie. Zakładamy, że deska jest wystarczając sztywna by się nie uginać. Wyznaczyć kres T drgań. HRW, wyklad8 011/01, zima 3 16
-k V Oscylatr harmniczny tłuminy Siła pru = siła Stkesa F F = bv F stała tłumienia siła wypadkwa F w z II zasady dynamiki czyli = bv k ma = bv k d m = bv k wyklad8 011/01, zima 33 Równanie gólne scylatra harmniczneg tłumineg d d m b k = 0 + + d b d k d 1 d + + = 0 + + 0 = m m τ b β = m 1 m τ = = β b lub czas relaksacji d + β + = 0 d współczynnik tłumienia wyklad8 011/01, zima 34 17
Rzwiązanie równania scylatra harmniczneg tłumineg d d + β + = 0 Dla małych wartści współczynnika tłumienia, prpnujemy rzwiązanie peridyczne, w którym amplituda scylacji maleje wykładnicz z czasem (t) = e βt z(t) a z(t) jest rzwiązaniem prsteg scylatra harmniczneg wyklad8 011/01, zima 35 Sprawdzamy, czy funkcja (t) = e równania d d + β + = 0 βt z(t) jest rzwiązaniem Umwa: dz d z &(t) = βt βt = βe z(t) + e z(t) & d = β e && z + βt z βe βt z(t) & + e ( β ) z 0 = βt && z d z && z (t) = Użyteczne twierdzenie: ( fg )'' = f ''g + f 'g' + fg' ' Jest t równanie scylatra harmniczneg prsteg gdy wtedy z(t) = Acs t wyklad8 011/01, zima 36 ( + φ) = β 18
Rzwiązanie równania scylatra harmniczneg tłumineg (t) bt = m ep cs t m amplituda zależna d czasu ( + φ) b = β = m częstść drgań różna d częstści drgań własnych i zależna d tłumienia tluminy-.xls wyklad8 011/01, zima 37 Rzwiązanie równania scylatra harmniczneg tłumineg w pstaci peridycznej (t) = Aep( βt)cs( t + φ) jest mżliwe tylk dla małych tłumień, tzn. gdy β< ze względu na warunek = β > 0 Przypadek β= nazywamy krytycznym Dla β> mamy rzwiązanie aperidyczne wyklad8 011/01, zima 38 19
A(t) Lgarytmiczny dekrement tłumienia = m bt ep = A m bt ep m m A = A(t = Lgarytmiczny dekrement tłumienia Λ jest t lgarytm naturalny ze stsunku klejnych amplitud A Λ = ln A n n+1+ A(t + T) e Λ = ln = ln A(t) e β(t+ T) = βt wyklad8 011/01, zima 39 βt 0) β = współczynnik tłumienia b m ZADANIE DOMOWE 8. Zastanwić się nad interpretacją fizyczną czasu relaksacji. Obliczyć ile razy zmaleje amplituda drgań scylatra tłumineg w stsunku d amplitudy pczątkwej w czasie równym czaswi relaksacji. wyklad8 011/01, zima 40 0
Straty mcy a współczynnik dbrci Q Współczynnik dbrci Q układu drgająceg jest t z definicji ilczyn π i stsunku energii zmagazynwanej d średniej energii tracnej w jednym kresie T energia zmagazynwana Q = π < energia tracna w T > Dla słab tłumineg scylatra harmniczneg Q τ Wielkść τ lub Q jest dpwiednią miarą braku tłumienia scylatra. Duże τ lub duże Q znacza, że scylatr jest słab tłuminy, np. dla struny frtepianu Q 10 3, dla atmu wzbudzneg Q 10 7 wyklad8 011/01, zima 41 ZADANIE DOMOWE 8.3 W jakim czasie energia scylatra harmniczneg tłumineg zmniejsza się d e -1 swej wartści pczątkwej? Ile pełnych drgań wykna w tym czasie scylatr? wyklad8 011/01, zima 4 1
Oscylatr harmniczny z wymuszeniem - reznans Zakładamy yperidyczne wymuszenie w pstaci siły wymuszającej danej jak: F(t) = F sin t ( ) częstść wymuszenia Równanie scylatra harmniczneg z tłumieniem i wymuszeniem ma pstać: d m + d b + k = F sin( t) wyklad8 011/01, zima 43 Oscylatr harmniczny z wymuszeniem cd. lub p pdzieleniu przez masę: d b d k F + + = sin( t m m m ) i wprwadzeniu standardwych znaczeń: d 1 d + + = α τ 0 sin( t) W stanie ustalnym drgania scylatra zachdzą z częstścią wymuszenia wyklad8 011/01, zima 44
Oscylatr harmniczny z wymuszeniem cd. Rzwiązaniem równania: d 1 d sin( t) + + = α0 τ jest: (t) = ( )sin( t + ϕ( )) Otrzymujemy drgania niegasnące, jak dla prsteg scylatra harmniczneg, amplitudzie niezależnej d czasu, ale amplituda jest funkcją częstści wymuszenia przesunięcie fazwe nie jest dwlną stałą lecz jest również ściśle kreślne przez częstść wymuszenia wyklad8 011/01, zima 45 Przesunięcie fazwe φ() mówi nam, jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły wymuszającej F. (t) = ( )sin( t + ϕ( )) F(t) = F sin( t) 1,50 1,00 φ=-π/ 0,50 Sila 0,00 000 0,00 100 1,00 00,00 300 3,00 400 4,00 500 5,00 600 6,00 700 7,00 800 8,00 900 9,00 10,0000 Serie1 Serie -0,50-1,00-1,50 wyklad8 011/01, zima wymuszny.xls 46 3
Mżna pkazać, że: ( ) ( ) ) + / τ amplituda drgań 1 = α przesunięcie fazwe / τ tgϕ = zależą w kreślny spsób d częstści drgań wymuszny.xls wyklad8 011/01, zima 47 Reznans występuje amplituda siąga wartść maksymalną c w praktyce znacza gdy częstść wymuszenia zbliża się d częstści drgań własnych α = + / τ 1 ( ) ( ) ) ( ) Płżenie maksimum amplitudy wychylenia zależy d tłumienia / wyklad8 011/01, zima 48 4
Przykład 5. Znaleźć warunek reznansu w przypadku gdy: a) rzważamy maksymalną amplitudę wychylenia ma, b) rzważamy maksymalną amplitudę prędkści v ma. Rzwiązanie: a) α d = d d d? f ( = ( ) ( ) ) 1 + / τ Wystarczy znaleźć minimum mianwnika d d f ( ) = f ( rez ) = 0 ) = ( ) + ( τ ) / ( )( ) + ( τ ) / dla rez = τ wyklad8 011/01, zima 49 1 rez = 1 τ Częstść reznansu w przypadku (a) zależy d współczynnika tłumienia Gdy τ tzn. przy braku tłumienia: = rez Amplituda drgań α ( rez ) = 1 ( ) + ( / τ ) ) 0 wyklad8 011/01, zima 50 5
b) amplituda prędkści (t) = ( )sin( t + ϕ( )) d v(t) = (t) = ( )cs( t + ϕ( )) v ma = v ma = α ( ) ( ) 1 ( ) ( ) + / τ dv ma = d wyklad8 011/01, zima 51? ZADANIE DOMOWE 8.4 dv ma d Znaleźć Pkazać, że częstść, przy której występuje maksimum amplitudy prędkści jest równa częstści drgań własnych, niezależnie d tłumienia. wyklad8 011/01, zima 5 6
Kiedy bserwujemy reznans teg typu? Najczęściej w bwdach LRC, mierząc natężenie w bwdzie. Oscylatr mechaniczny Obwód LRC wychylenie z płżenia równwagi, ładunek elektryczny, q prędkść v=d/ natężenie prądu i=dq/ masa, m indukcyjnść, L stała sprężystści, k dwrtnść pjemnści, 1/C stała tłumienia, b rezystancja, R siła, F napięcie, U wyklad8 011/01, zima 53 Krzywa reznanswa dla amplitudy prędkści Płżenie maksimum krzywej reznanswej dla amplitudy natężenia prądu i nie zależy d tłumienia (pru) R wyklad8 011/01, zima 54 7
Składanie drgań harmnicznych zachdzących w tym samym kierunku 1 (t)=a 1 cs( 1 t+φ 1 ) (t)=a cs( t+φ ) w (t)= 1 (t)+ (t) zachdzących w kierunkach wzajemnie prstpadłych (t)=a cs( t+φ ) y(t)=a y cs( y t+φ y ) krzywa y() wyklad8 011/01, zima 55 Wygaszanie i wzmacnianie drgań zachdzących w jednym kierunku Załóżmy: (t) = Acs( t) (t) = Acs( t + ϕ) 1 drgania tej samej amplitudzie A zachdzą z tą samą częstścią, lecz mgą być przesunięte w fazie φ Wwynikuzłżenia trzymujemy: ϕ ϕ = 1(t) + (t) = Acs cs( t + ) wyp drgania amplitudzie zależnej d φ wyklad8 011/01, zima 56 8
ϕ ϕ = 1(t) + (t) = Acs cs( t + ) wyp dla φ=π, wyp =0 całkwite wygaszenie drgań dla φ=π, wyp = A cs (t) dwukrtny wzrst amplitudy drgań - wzmcnienie wyklad8 011/01, zima 57 Dudnienia Nakładanie się drgań bardz zbliżnych częstściach (t) y 1 (t) y Δ = A sin( + )t Δ = A sin( )t Δ Δ = y1 + y = A sin( )t + sin( + ) t y Krzystając ze wzru trygnmetryczneg: sin( α + β) = sin α cs β + cs α sin β Otrzymujemy: Δ y = A cs( t)sin t drgania mdulwanej amplitudzie wyklad8 011/01, zima 58 9
Składanie drgań harmnicznych w kierunkach wzajemnie prstpadłych Krzywe Lissajus Jules Antine Lissajus (18-1880) p raz pierwszy zademnstrwał krzywe w rku 1857 Przykład 6. Znaleźć wynik złżenia drgań prstpadłych pisanych równaniami: (t) = A sin t y(t) = A y sin( t + ϕ) gdy: φ=0, φ=90, φ=180 liss-prez.xls wyklad8 011/01, zima 59 y(t) Elipsa jest wynikiem złżenia drgań: = A y(t) y (t) = A sin t = A y sin( t + (t) = A sin t π sin( t + ) = A π ) Rzwiązanie analityczne: y cs( t) (t) y (t) (t) y (t) = sin t = cs t + = 1 A A A A y wyklad8 011/01, zima 60 y równanie elipsy 30
PODSUMOWANIE Oscylatr harmniczny: małe drgania (mała amplituda drgań) raz małe tłumienia Energia jest zachwana jeśli nie ma tłumienia Tłumienie pwduje spadek amplitudy w funkcji czasu i straty energii Oscylatr wymuszny charakteryzuje się amplitudą zależną d częstści wymuszenia i mże wykazywać reznanswy wzrst amplitudy wyklad8 011/01, zima 61 31