Rys.1 Schemat układu do badania zjawiska rezonansu w szeregowym obwodzie RLC.

Transkrypt

1 Ćwiczenie A BADANI ZJAWISKA ZONANSU W OBWODZI I. el ćwiczenia: zapznanie ze zjawiskiem reznansu, z metdą pmiaru natężenia prądu i różnicy az scylskpem, wyznaczenie parametrów szeregweg bwdu. II. Przyrządy: uzwjenie nieznanej indukcyjnści, kndensatr nieznanej pjemnści, prnik dekadwy, generatr małej impedancji wyjściwej, scylskp z mżliwścią pracy XY. III. iteratura: []. Kitel, Mecanika, rzdział 7, zad. 8, 9, 0, 4, 6 (scylatr armniczny, scylatr armniczny tłuminy) [].M. Purcell, lektrycznść i magnetyzm, rzdział 8., 8. [3]. P. Feynman, wykłady z izyki, tm I cz. rzdz.-5 (reznans w izyce, metda wielkści zesplnyc, równania różniczkwe, układ liniwy). IV. Wprwadzenie Ze zjawiskiem reznansu najłatwiej jest zapznać się dświadczalnie w szeregwym bwdzie, zasilając g z generatra regulwanej w dpwiednim zakresie częstści, a badając za pmcą scylskpu umżliwiająceg pracę w trybie XY (patrz rys.). We Y = ~ We X = ys. Scemat układu d badania zjawiska reznansu w szeregwym bwdzie. Za pmcą układu pmiarweg przedstawineg pwyżej mżna wyznaczyć zależnści:. mdułu impedancji bwdu d częstści,. amplitudy natężenia prądu d częstści (krzywa reznanswa prądu), 3. różnicy az natężenia prądu i napięcia w bwdzie d częstści. raz wartści: częstści reznanswej bwdu, współczynnika dbrci Q, parametrów, i. PAOWNIA FIZYZNA

2 Ćwiczenie A V. Mdel matematyczny zjawiska reznansu Zgdnie z II prawem Kirca suma napięć cwilwyc na pszczególnyc elementac bwdu musi być równa sile elektrmtrycznej (SM) włącznej w bwód. Załóżmy, iż d układu przyłżn SM amplitudzie, zmienną w czasie (t) = sin(ωt), gdzie ω jest częstścią kątwą. Oznaczając napięcia na elementac,, dpwiedni przez U (t), U (t), U (t) trzymamy równanie di Q sin(ωt) = U (t) + U (t) + U (t) = I + + () dt gdzie I jest natężeniem prądu, a Q ładunkiem na kndensatrze. P zróżniczkwaniu teg równania względem czasu i uwzględnieniu związku I = dq/dt uzyskujemy równanie różniczkwe rzędu drugieg d I di ω cs(ωt) = I dt + + () dt któreg rzwiązaniami są unkcje I(t) = I sin(ωt+φ) i I(t) = I cs(ωt+φ). Amplituda natężenia prądu I dana jest wzrem ( Z mduł impedancji) I = = Z a różnica az φ prądu i SM zależnścią + (ω tg(φ) = ω ) = (3) + (X X) ω ω (4) gdzie ω = π jest częstścią kątwą (pulsacją), częstścią (częsttliwścią), X reaktancją cewki (induktancją), X reaktancją kndensatra (kapacytancją) Dla pewnej częstści kątwej ω = π reaktancja cewki X = ω równa się reaktancji kndensatra X = /ω ω = ω ω = = π i mduł impedancji Z = /I siąga minimum stając się równym prwi rzeczywistemu układu, a amplituda natężenia prądu przyjmuje wartść maksymalną równą I max = /, bwód znajduje się w stanie reznansu. Ważnym parametrem bwdu reznansweg jest bezwymiarwy współczynnik dbrci Q, deiniwany jak (5) (5a) Q = ω P z (6) PAOWNIA FIZYZNA

3 Ćwiczenie A gdzie z jest energią zmagazynwaną w bwdzie, a P średnią energią tracną w czasie jedneg kresu. Krzystając z tej deinicji i analizując szczegółw bwód mżna wyprwadzić następujące wzry na dbrć bwdu Q = Q = ω ω (7) = = (8) zęstści i są takimi częstściami, dla któryc amplituda natężenia prądu przyjmuje wartść I max /. óżnicę nazywamy zwykle pasmem przenszenia bwdu. Wzór (8) jest szczególnie wygdny, jeżeli ccemy wyznaczyć wartść dbrci układu znanej krzywej reznanswej. I [ma] I max = = 0,µF = 00Ω [z] ys. Krzywa reznanswa układu z zaznacznymi częsttliwściami i, dla któryc wartść amplitudy prądu jest równa I max /. Amplitudy napięć na kndensatrze U i napięcie na indukcyjnści U są, kreślne wzrami U = X I = I (9) ω U = X I = ωi (0) i siągają wartści maksymalne U max i U max dpwiedni dla częstści i równyc = Q () = Q () 3 PAOWNIA FIZYZNA

4 Ćwiczenie A zęstści te spełniają relację < < i są tym bliższe częstści reznanswej, im Q psiada wyższą wartść. Z [Ω] X 3000 X Z (z) ys.3 Zależnść mdułu Z, pru pjemnściweg X i pru indukcyjneg X d częstści. Mżna wykazać (czeg tutaj nie rbimy), że w przybliżeniu zacdzi U max = U max Q, a zatem w stanie reznansu amplitudy napięcia na kndensatrze i uzwjeniu mgą być wielkrtnie większe d amplitudy siły elektrmtrycznej, c stanwi najisttniejszą cecę reznansu. Pniżej (rys. 4, 5, 6) przedstawin kilka zależnści, które pzwlą lepiej zrzumieć isttę zjawiska reznansu. 6 I [ma] 5 = = 0,µF = 00Ω =000Ω [z] ys.4 Zależnść amplitudy natężenia prądu d częstści dla dwóc bwdów różniącyc się wartścią pru rzeczywisteg. 4 PAOWNIA FIZYZNA

5 Ćwiczenie A Amplituda U, U, U [V] = = 0,µF = 00Ω [z] ys.5 Zależnść amplitudy napięcia U na indukcyjnści (), U na kndensatrze () i U na prniku () d częstści w bwdzie zasilanym SM amplitudzie = V Amplituda U, U, U [V] 3,5 3,5,5 = = 0,µF = 000Ω 0, [z] ys.6 Zależnści amplitudy napięcia U, U, U d częstści w bwdzie dużej wartści pru rzeczywisteg i małej wartści współczynnika dbrci Q. 5 PAOWNIA FIZYZNA

6 Ćwiczenie A VI. Metda pmiarów Prpnwana tu metda nsi również nazwę metdy igur issajus. Scemat pdstawweg układu pmiarweg przedstawiny jest na rys.. Napięcie przyłżne d układu U = U sin(ωt) mierzne jest za pmcą wejścia Y scylskpu pracująceg w trybie XY, napięcie na prniku U (t) = I sin(ωt + φ) mierzymy za pmcą wejścia X. Na ekranie scylskpu pwstaje braz elipsy, któreg parametry kreślamy stsując scemat przedstawiny na rys.7. Y X D ys.7 Parametry brazu elipsy bserwwaneg na ekranie scylskpu dla 0 < ϕ < π/. Wartść bezwzględną różnicy az natężenia prądu i napięcia w bwdzie bliczamy ze wzru sin φ = (3) Wyskść i szerkść D brazu elipsy są wprst prprcjnalne dpwiedni d pdwjnyc amplitud napięcia układu i natężenia prądu w bwdzie. Amplitudę natężenia prądu I i mduł impedancji Z układu znajdujemy z zależnści: I = Z = U U I Ds = x (4) U s y = = (5) I Ds gdzie s x i s y są dpwiedni współczynnikami dcylania tru X i Y. Wstanie reznansu braz elipsy redukuje się d dcinka linii prstej, a szerkści brazu D dla stałej wartści współczynnika dcylenia s x siąga wartść maksymalną. Dzieje się tak dlateg, że w stanie reznansu znika różnica az φ prądu i napięcia (napięcie i prąd mają zgdne azy), mduł impedancji przyjmuje wartść minimalną, a natężenie prądu wartść maksymalną. óżnica między bwdem idealnym, przedstawinym we wprwadzeniu matematycznym, a bwdem rzeczywistym sprwadza się głównie d teg, iż rzeczywiste źródł SM w pstaci generatra i uzwjenie indukcyjnści psiadają pry rzeczywiste wartściac dpwiedni g i u. Oznacza t, że mduł impedancji całeg bwdu dany jest wyrażeniem: Z ) ω x = (+ g + u ) + ( ω (6) gdzie jest prem prnika. ałkwity pór rzeczywisty bwdu c = + g + u wyznaczyć mżna ze wzru 6 PAOWNIA FIZYZNA

7 Ćwiczenie A c = I max (7) mierząc wcześniej amplitudę SM generatra dłączneg d układu i amplitudę I max natężenia prądu w stanie reznansu. Współczynnik dbrci Q bwdu rzeczywisteg wynsi więc (prównaj ze wzrem (7)) Q = c (8) VII. Pmiary. Zbudwać układ pmiarwy wg scematu zamieszczneg pniżej. Oscylskp ustawić na pracę w trybie XY. We Y = ~ generatr scylskp We X = Uwaga! Jeżeli generatr nie jest wypsażny w układ cyrweg pmiaru częstści, t stsujemy zewnętrzny częstścimierz cyrwy, pdłączając g równlegle d generatra (jak na rysunku pwyżej litera w śrdku kręgu ) alb mierzymy częstści scylskpem.. Dstrić generatr d częstści reznanswej. Pkrętłem regulacji napięcia generatra ustawić dpwiednią wartść amplitudy SM (w granicac kł 8V dczyt w kanale Y scylskpu). W kanale X jest wówczas maksymalna amplituda napięcia U. Dbrać takie współczynniki dcylania s x i s y dla bu trów X i Y, aby wykrzystać cały ekran scylskpu 3. Zmierzyć parametry brazu (, D) raz częstść reznanswą, gdy elipsa przecdzi w linię prstą. 4. W zakresie częstści z wyknać kilkanaście pmiarów (np. c 50 z) parametrów brazu elipsy (nie zapminając ntwaniu wartści współczynników dcylania). W przedziale częstści, w którym krzywa reznanswa szybk zmienia się z częstścią, dknać ddatkwyc pmiarów (np. c 0 z) w celu dkładneg kreślenia jej przebiegu. Wyniki pmiarów zapisać w Tabeli Tabela [z] [cm] D [cm] [cm] s y [V/cm] s x [V/cm] I = Dsx Z= s sin φ = Ds y x φ 5. Pwtórnie dstrić generatr d częstści reznanswej, dłączyć układ d generatra nie wyłączając g ani nie zmieniając warunków pracy i zmierzyć scylskpem amplitudę napięcia wyjściweg generatra jest n równe w przybliżeniu amplitudzie SM. 7 PAOWNIA FIZYZNA

8 Ćwiczenie A 6. Nie wyłączając generatra ani nie zmieniając amplitudy napięcia wyjściweg pdłączyć generatr d układu zbudwaneg wg scematu z rys. 8a dla pjemnści lub wg scematu z rys. 8b dla indukcyjnści. We Y = scylskp ~ generatr a) We X = We Y = scylskp ~ generatr b) We X = ys. 8 Scemat układu d wyznaczania krzywej reznanswej: a) na kndensatrze, b) na indukcyjnści. 7. Dstrić generatr d częstści reznanswej. Zmierzyć częstść reznanswą i amplitudę U max lub i amplitudę U max w zależnści d wybranej wersji układu. 8. W przedziale częstści z dknać kilkunastu pmiarów amplitudy napięcia U na kndensatrze lub amplitudy U na indukcyjnści, tak jak w punkcie 4 (wyknanie tyc pmiarów uzgdnić z prwadzącym zajęcia). Wyniki zebrać w Tabeli Tabela [z] D [cm] s x [V/cm] U = D s x [V] U = D s x [V] 9. Odłączyć układ d generatra bez wyłączenia g z sieci i zmierzyć amplitudę napięcia na wyjściu generatra punkt ten wyknać tylk wtedy, gdy w punkcie 6 -tym zmienine zstał napięcie wyjściwe. 0. Wyknanie teg punktu plecamy studentm bardziej zaawanswanym (nie z pwdu szczególnyc trudnści lecz bardziej z braku czasu). Pwyższa metda (patrz punkt VI) nie pzwala cenić w spsób bezpśredni zmiany znaku kąta ϕ pdczas przejścia teg kąta przez wartść zer (ϕ = 0). Dlateg w pbliżu częstści 8 PAOWNIA FIZYZNA

9 Ćwiczenie A reznanswej należy przełączyć scylskp z pracy XY na pracę dwukanałwą z liniwą pdstawą czasu. Obserwując przesuwanie się sinusidy reprezentującej napięcie U względem sinusidy reprezentującej prąd I, kreślić znak kata ϕ dla częstści mniejszyc i większyc d. VIII. Opracwanie wyników pmiarów.. Wykreślić zależnść mdułu impedancji Z, amplitudy natężenia prądu I i mdułu różnicy az ϕ prądu i napięcia d częstści. Jeśli wyknywan punkt VII.8 wykreślić zależnść amplitudy napięcia U na pjemnści lub U na indukcyjnści w unkcji częstści;. Obliczyć wartść indukcyjnści, pjemnści, całkwiteg pru rzeczywisteg c i współczynnika dbrci Q bwdu metdą graiczną i/lub metdą analityczną. Metda graiczna a) ałkwity pór rzeczywisty c bwdu bliczamy ze wzru c = b) Odczytujemy z wykresu zależnści amplitudy natężenia prądu d częstści wartści, (patrz rys.) i bliczamy wartść współczynnika dbrci Q = c) związując układ równań Q =, = znajdujemy wartści i. c π d) Prównujemy wartść współczynnika dbrci, uzyskaną w pkt.b z wartścią U max U max Q = lub Q=. Metda analityczna a) ałkwity pór rzeczywisty bwdu bliczamy tak, jak pprzedni tj. w metdzie graicznej. b) W celu znalezienia wartści indukcji i pjemnści przekształcamy dpwiedni wzór wyrażający zależnść mdułu impedancji Z układu d częstści kątwej ω: Z = + (ω ), ω Z = + ω - +, ω Z ω = ω + ω 4 ω +. Następnie wprwadzamy nwe zmienne izyczne y = Z ω, x = ω, trzymując wielmian stpnia drugieg: y = x + ( )x +, czyli w pstaci y = ax + bx + c, gdzie a =, b =, c =, któreg współczynniki wyznaczamy metdą najmniejszyc kwadratów. Wartści parametrów i trzymamy ze wzrów = a, =. Ob- c liczenia pwyższe najłatwiej wyknać w xcelu stsując między innymi dpwiednią pcję I max 9 PAOWNIA FIZYZNA

10 Ćwiczenie A Kreatra wykresów. Mżna też użyć inneg narzędzia psiadająceg pcję dpaswywania unkcji teretycznej d danyc dświadczalnyc np. OIGIN. c) Znając wartści c,, bliczamy współczynnik dbrci Q (wzór (8)), a trzymaną wartść Q prównujemy z wartścią trzymaną ze wzru U U max max Q = lub Q =. IX. Ocena dkładnści Na dkładnść wyznaczenia mdułu impedancji mają wpływ trzy czynniki:. Dkładnść dczytu długści dpwiednieg dcinka na ekranie scylskpu jest na rzędu = = D = l x = ±mm,. Dkładnść skalwania scylskpu w pstaci maksymalnej niepewnści względnej współczynnika dcylania = = = 0, 03, s s sy sx st s y x t 3. Dkładnść skalwania prnika wzrcweg w pstaci maksymalnej niepewnści względnej jeg pru elektryczneg. Ostatecznie maksymalna niepewnść względna wartści mdułu impedancji Z dana jest przez Z Z s = + s y y D s + + D s x x + Maksymalna niepewnść względna różnicy az ϕ wynsi ϕ ϕ = +. 0 PAOWNIA FIZYZNA