CPS - - 006/007 ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET Ropatrymy agadieie odtwaraia dysretego sygału casowego x[] jego trasformaty X(. Do wyaceia ciągu x[] w sposób jedoacy musimy ać obsar bieżości (OZ. Odwracaie X( pre roład a ułami proste Aaliując systemy LTI wyle trasformatę ZET prebiegów otrymujemy w postaci - fucji wymierej mieej P P. Niech daa będie trasformata sygału dysretego x[] w postaci: X B A M b + b + + b 0 M N a a N + + + ora stopień wielomiau w liciu jest miejsy od stopia wielomiau w miaowiu t. M<N. Jeżeli M N to musimy astosować dieleie wielomiaów aby predstawić X( w formie astępującego wyrażeia: X M N f + 0 B A Wówcas stopień wielomiau w liciu B jest tera miejsy od stopia wielomiau w miaowiu.
P a CPS - - 006/007 Metoda roładu a ułami proste powala a wyaceie trasformaty odwrotej wyrażeia: Trasformatę odwrotą sumy B A, M N 0 f otrymamy wyorystując trasformatę delty δ [ ] Z w diediie casu. ora właściwość presuięcia ciągu W wielu problemach pratycych trasformata X( wyrażoa jest jao stosue - wielomiaów mieej a ie P P. W taich prypadach możemy stosować metodę roładu a ułami proste jeżeli - wceśiej prestałcimy X( do postaci stosuu wielomiaów o mieej P P. Kowersji tej możemy dooać popre wyciągięcie pred awias w liciu ajwięsej potęgi, a w miaowiu wyciagięcie pred awias ajwięsej potęgi raem e współcyiiem pry tej potęde. UPryład: Jeżeli trasformata ma postać X + 3 3 6+ 9 0 W liciu wyciągiemy pre awias P X 3 w miaowiu 3P P. ( + 0 3 3 ( + 3 3 + 0 3 + 3 3 Roład a ułami proste stosuje się do wyrażeia w awiasie, atomiast cyi jest uwględiay późiej astosowaiem właściwości presuwaia ciągu w casie. 3
są CPS -33-006/007 Roład a ułami proste fucji w postaci X + + + M b0 + b + + bm N a an wyouje się popre prestałceie wielomiau w miaowiu wyrażeia X( do postaci ilocyu wielomiaów pierwsego stopia X ( d ( d ( d M b0 + b + + bm N gdie dbb bieguami fucji X(. Jeżeli wsystie bieguy są jedorote to możemy fucję X( apisać w postaci sumy ułamów prostych w postaci: X A A A + + + d d d N N Współcyii oblicamy ależości: i ( i A d X Z di Odwrotą trasformację ZET ażdego sładia osobo wyacamy wyorystując pary trasformat prostych ciągów: [ ] Z A A d OZ > d d A A [ ] Z d OZ < d d Im Re 0 d Im Re 0 d
jest CPS -44-006/007 Relacje pomiędy obsarem bieżości (OZ wiąaym X( i ażdym bieguem determiują, tóre sładii są trasformatami ciągów lewostroych, a tóre prawostroych. Jeżeli biegu dbib wieloroty o rotości r, to otrymamy r sładiów rowiięcia wiąaych tym bieguem: A A A,,, d d d i i ir i i i r Współcyii oblicamy ależości: A im, r m d r r m ( di X ( ( r m! d d i Trasformację odwrotą otrymamy wyorystując pary: ( + ( + m [ ] ( m A A d OZ >d! Z im, im, i m i ( d i Im 0 d Re ( + ( + m [ ] ( m A A d OZ < d! Z im, im, i m i ( d i Im Re 0 d Położeie bieguów wględem OZ fucji X( determiuje to, tóra trasformata odwrota, lewostroa cy prawostroa ostaie wybraa do odwróceia sładia. Aby poprawie wyacyć odwrotą trasformatę ZET ależy po rołożeiu fucji X( a ułami proste oreślić dla ażdego sładia jego obsar bieżości. Polega to a oreśleiu dla ażdego biegua jego położeia wględem obsaru bieżości fucji X(. Jeżeli OZ fucji X( ma promień więsy iż biegu musimy wybrać prawostroą trasformatę odwrotą. Jeżeli OZ fucji X( a promień miejsy iż biegu ależy wybrać lewostroą trasformatę odwrotą dla tego sładia.
CPS -55-006/007 UPryład: Należy wyacyć odwrotą trasformatę ZET pry adaym obsare bieżości + X OZ < < Zastosujemy roład a ułami proste: ( ( ( ( A X Z + ( ( ( ( X + 4 Po wyaceiu współcyiów X A A + + ( ( ( ( A X Z ( ( ( ( A + + 4 + + ( ( ( 3 ( A X Z 3 + ( ( ( ( +
CPS -66-006/007 Zajdiemy tera odwrotą trasformatę ZET dla ażdego sładia X( biorąc pod uwagę położeie bieguów wględem obsaru bieżości. Obsar bieżości OZ ora położeie bieguów prestawia rysue. Im{} Re{} 0 /. Obsar bieżości ma promień więsy iż biegu, więc dla pierwsego sładia X( astosujemy prawostroą trasformację odwrotą [ ] Z. Obsar bieżości ma promień miejsy iż biegu, więc dla drugiego sładia X( astosujemy lewostroą trasformację odwrotą Z [ ] 3. Obsar bieżości ma promień więsy iż biegu, więc dla treciego sładia X( astosujemy prawostroą trasformację odwrotą Z [ ] Sumując poscególe sładii otrymujemy ostatecie [ ] ( [ ] [ ] [ ] x
P i P CPS -77-006/007 UPryład: Wyacyć odwrotą trasformatę ZET 0 4 + 4 X OZ < 3 4 Bieguy trasformaty ZET ajdują się w putach - ora. Obsar bieżości ora położeie bieguów prestawia rysue. Im{} Re{} - 0 Na wstępie ależy prestałcić X( do postaci ilorau wielomiaów mieej P 3 tego wyprowadając pred awias w liciu P miaowiu P - P. Dooamy X 3 ( 0 4 + 4 ( 3 0 4 + 4 3 Cyi uwględimy późiej stosując właściwość presuięcia w diediie casu.
CPS -88-006/007 Stosując dieleie wielomiaów reduujemy stopień wielomiau w liciu: + 3 3 4 4 0 + : + ( 4 + + 3 6 8 + 6 3 3 5 5 W( + + 5 + 3+ Dooamy roładu a ułami proste 3 ( + ( + + 5 3 + ( ( ( 3 + W + 3+ + OZ < ( Promień obsaru bieżości jest miejsy iż promieie wsystich bieguów, dlatego astosujemy lewostroą trasformatę odwrotą: [ ] [ ] 3 [ ] δ + δ [ ] + 3 [ ] w Ale W( X Zgodie własością presuięcia w casie Ostatecie [ ] w [ + ] x + + 3 [ ] δ[ ] + δ[ + ] ( [ ] + 3 [ ] x
P są P i P lub CPS -99-006/007 Odwracaie X( pre rowiięcie w sereg potęgowy (sygały jedostroe. Jeżeli predstawimy fucję X( w postaci seregu potęgowego mieej P to - godie defiicją trasformaty ZET, współcyii pry P wartościami olejych próbe sygału x[]. - Metoda jest ograicoa dla prebiegów jedostroych, t. jeżeli obsar bieżości defiiuje ależość >a lub <a. Jeżeli OZ jest <a to X( jest seregiem potęgowym mieej i geeruje ciąg lewostroy. Jeżeli OZ jest >a to X( jest seregiem potęgowym mieej P prawostroy. - geeruje ciąg Sereg potęgowy otrymamy dieląc wielomia w liciu pre wielomia w miaowiu X(. UPryład: Wyacymy odwrotą trasformatę ZET fucji + X( OZ > stosując rowiięcie w sereg potęgowy Im{} 0 / Re{}
CPS -0-006/007 - Stosujemy dieleie wielomiaów mieej P P, poieważ obsar bieżości dotycy sygału prawostroego: + : + + : Zatem oblicoy sereg potęgowy 3 + + + +... + : 3 3 3 X + + + + odpowiada sygałowi: [ ] [ 0] [] [ ] [ 3] x x x x x 0 dla< 0
CPS - - 006/007 Jeżeli mieimy obsar bieżości dla tej samej fucji < rowijamy X( wględem mieej : Im{} 0 / Re{} Rowijamy fucję w sereg potęgowy mieej + : + 4 3 8 6 3 + + : + 4 4 8 8 8 6 6 Otrymujemy 3 8 6 3 X +
CPS - - 006/007 wyrażeie to jest trasformatą prebiegu: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x 0 dla> 0 x 0 x 8 x 6 x 3 3 Metoda wyorystująca sereg potęgowy do odwróceia trasformaty dotycy rówież wyrażeń, tóre ie są w postaci ilorau wielomiaów. Poauje to astępujący pryład: UPryład Należy wyacyć ciąg, tórego trasformata ZET a postać X e OZ Wyorystamy ależość e a a 0! Stąd fucję X( moża predstawić w postaci seregu: X 0! 0 ( tórego trasformata odwrota jest ciągiem lewostroym pryjmującym astępujące wartości:! 0 dla > 0 i ieparyste x [ ] poostale!
P po CPS -3-006/007 Odwracaie X( astosowaiem metody residuów Oacmy pre C dowoly orąg położoy wewątr pierścieia o promieiach a i b: a< < b i środu w pucie 0. Oblicymy całę rywoliiową fucji X( wdłuż tego oręgu. Na podstawie właściwości liiowości możemy mieiać olejość operacji całowaia i sumowaia. [ ] X d x d C C x [ ] d C Jeżeli mieą wyraimy w postaci wyładicej j re ϕ całowaie fucji P - rywej C wyrażoe w uładie bieguowym pryjmie postać ϕ d π jre C π r e π j j ( ϕ e dϕ r π π j, 0, re j j ϕ jϕ dϕ
CPS -4-006/007 Zatem wyorystując właściwość presuięcia w casie możemy apisać C C C π jx[ ] X d π jx[ ] X d π [ ] X d jx Ostatecie oleje wartości próbe sygału otrymamy rowiąując wyrażeie całowe x [ ],,,0,,, π j X d C Powyżse wyrażeie całowe jest pryjmowae jao defiicja odwrotego prestałceia ZET i jest stosowaa do obliceia trasformaty odwrotej. Do oblicaia całi po rywej amiętej wyorystuje się twierdeie Cauchy ego o residuach. π j C e X d r s X w bieguach wewątr C Wyorystując twierdeie Cauchy ego o residuach, fucję orygialą moża wyacyć jao sumę residuów licoych dla wsystich bieguów [ ] x res X i gdie dla r rotego biegua dbib r d res F ( d F di! d ( r r r i di
UPryład: CPS -5-006/007 Dla więsych lub rówych : X( > a a x res X res i i a [ ] (biegu roty rówy a x a a a a a [ ] lim ( [ ] lim [ ] UPryład: X + + > + ( ( + + + F X >. dla 0 dwa bieguy dbb- (r dbb0 (r + + d + + x[ 0] res F( + res F( ( + + + 0. dla dwa bieguy dbb- (r dbb0 (r [] ( + d ( + 0 + + + + x res F res F + + + + 0 0 3. dla jede biegu dbb- (r [ ] + + ( + ( + ( + 0 [ ] x res F +
CPS -6-006/007 Oblicaie odwrotej trasformaty ZET w Matlab ie Fucja MATLAB-a residue powala roładać a ułami proste trasformatę ZET, - wyrażoą w postaci ilorau dwóch wielomiaów mieej P P. Format poleceia jest astępujący: [r, p, ] residue(b,a gdie b, a są wetorami repreetującymi współcyii wielomiaów w liciu i miaowiu w ieruu malejących potęg mieej. Wetor r repreetuje współcyii roładu a ułami proste, odpowiedio do bieguów daych jao wetor p. Wetor awiera współcyii odpowiadające sładiom wiąaym olejymi - potęgami P P, tóre pojawiają się gdy stopień licia jest rówy lub więsy od stopia miaowia. UPryładU oblicaia trasformaty odwrotej: X 3 4 0 4 + 4 Pred astosowaiem obliceń w MATLABIE ależy wielomiay w liciu i miaowiu - predstawić wględem mieej P P: X 3 3 0 4 4 0 4 4 3 + + Y( X Y 3 0 4 + 4
CPS -7-006/007 Zastosujemy fucję residue do wyaceia roładu wyrażeia Y(:»[r,p,] residue([ 0 4 4], [ -] r -3 p - 3 - Zatem roład jest astępujący: 3 + + + 3 Y Aby wyacyć trasformatę odwrotą ależy oreślić obsar bieżości fucji Y(. Graice obsaru bieżości wyacają bieguy BB, BB-.» plae([ -0-4 4], [0 - -] 0.5 Imagiary Part 0-0.5 - -.5 - -0.5 0 0.5.5.5 Real Part
CPS -8-006/007 Jeżeli obsar bieżości wybieremy a ewątr oręgu o promieiu, to orygiał jest fucją casu prawostroą, dla casów od 0 do. 3 [ ] + ( [ ] + 3δ[ ] δ[ ] y ostatecie uwględiając współcyi i presuięcie: 3 + + [ ] [ ] 3 δ[ ] δ[ x + + + + + ] *Prygotowao a podstawie: S. Hayi, B.Va Vee Sigals ad System New Yor 999