Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z9, 1 12. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 09 Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina Rys. Z09-01: Ilustracja twierdzenia Dandelina: π s - p laszczyzna przekroju (styczna do sfery wpisanej w powierzchniȩ stożka w punkcie F - ognisku stożkowej przekroju Σ) powierzchni stożka (o k acie rozwarcia 2ϕ) nachylona do osi stożka pod k atem ψ; π o - p laszczyzna okrȩgu styczności sfery i stożka; k(= π o π s ) - kierownica stożkowej przekroju Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Niech dany bȩdzie stożek obrotowy o k acie rozwarcia 2ϕ oraz p laszczyzna π s nachylona do osi stożka pod k atem ψ, przecinaj aca powierzchniȩ stożka w krzywej Σ, któr a nazwiemy krzyw a stożkow a. Rozważmy sferȩ wpisan a w powierzchniȩ stożka, styczn a do p laszczyzny π s w punkcie F, który nazwiemy ogniskiem. Oznaczmy przez Ω okr ag styczności sfery do powierzchni stożka, a przez π o - p laszczyznȩ tego okrȩgu. Przez k oznaczmy prost a wspóln a dwu p laszczyzn π o, π s ) (k = π o π s ). Prost a tȩ nazywać bȩdziemy kierownic a (rys. Z09-01). Możemy sformu lować twierdzenie: Twierdzenie [Dandelina] 1 Jeśli krzywa stożkowa jest przekrojem stożka obrotowego, to stosunek odleg lości dowolnego punktu tej stożkowej od ogniska do odleg lości tego punktu od kierownicy jest sta ly. Rys. Z09-02: Ilustracja (w profilu) wariantów przekroju powierzchni stożkowej w ujȩciu kolineacyjnym: e) w elipsie (prosta graniczna nie przecina okrȩgu styczności); p) w paraboli (prosta graniczna ma jeden punkt z okrȩgiem styczności) Dowód. Niech X bȩdzie dowolnym punktem stożkowej Σ. Oznaczmy przez d(x, F) odleg lość punktu X od ogniska F, a przez d(x, k) odleg lość punktu X od kierownicy k. Oznaczmy przez t tworz ac a stożka, przechodz ac a przez punkt X, przez T - jej punkt przeciȩcia z okrȩgiem styczności Ω, oraz przez Q rzut prostok atny punktu X na kierownicȩ k. Mamy równości: d(x, k) = d(x, Q), d(x, F) = d(x, T). (1) Pierwsza równość wynika z przyjȩtych oznaczeń, druga wyraża równość odcinków [XF], [XT] o wspólnym końcu X, stycznych do sfery w punktach F, T. Odcinki [XT], [XQ] maj a wspólny rzut prostok atny - odcinek [X S] - na oś stożka, gdzie punkt S jest wspólnym rzutem punktów T i Q, leż acych w p laszczyźnie π o, prostopad lej do osi stożka. Mamy wiȩc dwie równości: Korzystaj ac z (1), (2) otrzymujemy d(x, S) = d(x, T)cosϕ, d(x, S) = d(x, Q)cosψ. (2) d(x, F) d(x, k) d(x, T) = d(x, Q) = d(x, S) cosϕ : d(x, S) cosψ = cosψ cosϕ = e. (3)
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 3 Otrzymana wartość e, sta la dla danego stożka obrotowego (k at ϕ) i przyjȩtego po lożenia p laszczyzny (k at ψ), nazywana jest mimośrodem stożkowej. Wartość momośrodu charak- Rys. Z09-03: Twierdzenie Dandelina: h) ilustracja (w profilu) wariantów przekroju powierzchni stożkowej w ujȩciu kolineacyjnym w hiperboli (prosta graniczna przecina okrȩgu styczności w dwóch punktach); o) ilustracja (w profilu) twierdzenia Dandelina teryzuje typ stożkowej: (e) Dla elipsy mamy ϕ < ψ, sk ad cosϕ > cosψ, czyli e < 1. (p) Dla paraboli mamy ϕ = ψ, sk ad cosϕ = cosψ, czyli e = 1. (h) Dla hiperboli mamy ϕ > ψ, sk ad cosϕ < cosψ, czyli e > 1. Twierdzenie Dandelina pozwala wprowadzić definicjȩ stożkowej w oparciu o pojȩcie odleg lości, ognisko, kierownicȩ i mimośród. Tak uczyniono w wyk ladzie 5. Definicja ta l aczy, w elegancki sposób, znane z geometrii szkolnej krzywe: elipsȩ, parabolȩ i hiperbolȩ z powierzchni a stożka obrotowego. Nie jest jednak zbyt wygodn a do rysowania stożkowych za pomoc a konstrukcji p-o, czyli za pomoc a cyrkla i linijki. Twierdzenie Dandelina zachodzi także dla walca obrotowego, przekrojem walca obrotowego jest elipsa lub okr ag. 2. Konstrukcje dyskretne stożkowych Stożkowe maj a wiele interesuj acych w lasności. Wiele z nich może być podstaw a ich definicji. Można je rysować (konstruować) bardzo prostymi metodami za pomoc a cyrkla i linijki pod warunkiem, że s a w specjalny sposób określone. 2.1. Konstrukcja siatkowa elipsy Konstrukcja siatkowa elipsy jest dość prost a konsekwencj a faktu, że elipsa może być traktowana jako obraz okrȩgu w powinowactwie. Konstrukcja, za pomoc a cyrkla i linijki, jest dość prosta przy za lożeniu, że elipsa jest określona (zadana) za pomoc a średnic sprzȩżonych (rys. Z09-04a).
4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-04: Konstrukcja siatkowa elipsy 2.2. Konstrukcja siatkowa paraboli Rys. Z09-05: Konstrukcja siatkowa paraboli: a) dane punkt w laściwy A, styczna a w tym punkcie, punkt niew laściwy C, punkt w laściwy B; a2) przez punkty B i C prowadzimy prost a (o kierunku osi paraboli), otzrymane odcinki dzielimy na dowoln a, tȩ sam a liczbȩ czȩści (tu: cztery); a3) punkty podzia lu l aczymy odpowiednio z punktami B, C propstymi; a4) punkty przeciȩcia odpowiednich prostych leż a na paraboli; a5) parabola zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej zreszt a na podstawie konstrukcji siatkowej Korzystaj ac z twierdzenia Pascala, którego przytaczać tu nie bȩdziemy, można zaproponować konstrukcjȩ siatkow a paraboli. Możliwe jest to przy za lożeniu, że parabola jest
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 5 określona przez cztery elementy: punkt A, prost a a styczn a w punkcie A, punkt niew laściwy C (kierunek osi symetrii paraboli) oraz punkt B (rys. Z09-05a). Prowadzimy przez punkty B i C prost a (o kierunku osi paraboli) (rys. Z09-05a2). Odcinek wyznaczony przez punkt A i tȩ prost a na stycznej a dzielimy na dowoln a ale ustalon a liczbȩ równych odcinków (rys. Z09-05a2) i podobnie postȩpujemy z odcinkiem wyznacznym przez punkt B i styczn a a na prostej przechodz acej przez punkt B. Punkty podzia lu na prostej a l aczymy z punktem C, zaś punkty podzia lu na prostej przechodz acej przez punkt B l aczymy z punktem A. Dalej postȩpujemy podobnie jak w przypadku elipsy. 2.3. Konstrukcja dyskretna hiperboli Hiperbola ma nastȩpu ac a w lasność: jeżeli dowolna prosta przecina hiperbolȩ w dwóch punktach w laściwych, to odcinek tej prostej zawarty pomiȩdzy jednym z tych punktów i jedn a (dowolnie wybran a) z asymptot jest równy odcinkowi zawartemu pomiȩdzy drugim z tych punktów i drug a symptot a. W oparciu o tȩ w lasność hiperbolȩ konstruujemy przez dyskretne uzupe lnianie. Punktem wyjścia s a nastȩpu ace dane: dwie asymptoty i dowolny punkt w laściwy (rys. Z09-06a). Rys. Z09-06: Konstrukcja dysktretnego uzupe lniania hiperboli: a) dane - dwie asymptoty i punkt w laściwy; a1) przez punkt poprowadzono dowoln a prost a; a2) na prostej tej wyznaczono w oparciu o przytoczon a w lasność równości odcinków na prostej miȩdzy punktami hiperboli i asymptotami, drugi punkt; a3) konstrukcjȩ powtórzono dla innej prostej; a4) hiperbola zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej zreszt a na podstawie omawianej w lasności Przyklad 1 Wyznaczyć przekrój powierzchni stożka obrotowego p laszczyzn a, jeśli obiekty te s a odwzorowane w rzutach prostok atnych (rys. Z09-07a). W konstrukcji wykorzystać metodȩ siatkow a. Rozwi azanie. Niech dane bȩd a rzuty Monge a fragmentu stożka obrotowego i p laszczyzny w po lożeniu pionoworzutuj acym (rys. Z09-07a). Odwzorowany uk lad obiektów geometrycznych
6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a) rzuty stożka i p laszczyzny pionoworzutuj acej; a1) konstrukcja rzutu poziomego jednej z osi elipsy; a2) wyznaczenie środka elipsy w celu skonstruowania drugiej osi (cdn) Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a3) a4) wyznaczanie drugiej osi za pomoc a przekroju stożka w okrȩgu p laszczyzn a prostopad l a do osi (równoleg l a do rzutni poziomej); a5) p laszczyzna przecina powierzchniȩ stożkow a w okrȩgu, którego średnica jest równa ciȩciwie konturu (trójk ata równoramiennego) rzutu pionowego stożka, rzut poziomy tego okrȩgu jest okrȩgiem wspó lśrodkowym z konturem rzutu poziomego (cdn) ma p laszczyznȩ symetrii równoleg l a do rzutni pionowej. Z twierdzenia Dandelina i z za lożeń rysunku wynika, że przekrojem stożka jest elipsa. Konstruujemy rzut poziomy osi elipsy
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 7 Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a6) końce drugiej osi elipsy przekroju leż a na okrȩgu przekroju poprzecznego powierzchni stożkowej, w rzucie poziomym znaleziono je w przeciȩciu odnosz acej środka pierwszej osi z rzutem okrȩgu; a7) maj ac osie elipsy (a wiȩc średnice sprzȩżone) elipsȩ skonstruwano metod a siatkow a; a8) elipsa zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej metod a siatkow a równoleg lej do rzutni pionowej, leż acej we wspomnianej p laszczyźnie symetrii (rys. Z09-07a1). W celu skonstruowania drugiej osi w rzucie pionowym wyznaczamy środek elipsy i prowadz- Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii) rzut pionowy wyciȩtej bry ly; ii1) rozwi azanie rozpoczȩto od konstrukcji rzutu pionowego i elementów rzutu poziomego przekroju parabolicznego (znaleziono rzuty wierzcho lka paraboli, kierunek osi paraboli i dwa punkty paraboli); ii2) zastosowano metodȩ siatkow a konstrukcji paraboli
8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii4 ii5) pos luguj ac siȩ pomocniczym przekrojem w okrȩgu, p laszczyzn a przechodz ac a przez końce fragmentu paraboli (określone w rzucie pionowym) wyznaczono w rzucie poziomym końce krzywoliniowego parabolicznego brzegu bry ly Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii6 ii8) konstrukcja eliptycznego brzegu bry ly (por. rys. Z09-07) imy odnosz ac a (rys. Z09-07a2), która pokrywa siȩ prost a zawieraj a oś elipsy w tym rzucie (rys. Z09-07a3). W celu wyznaczenia końców drugiej dokonujemy pomocniczego przekroju stożka p laszczyzn a równoleg l a do rzutni poziomej, przechodz ac a przez środek konstruowanej elipsy (rys. Z09-07a4). Znajdujemy okr ag przekroju w rzucie poziomym, którego średnica jest równa (przystaj aca do) ciȩciwie konturu rzutu pionowego stożka (trójk ata równoramiennego) wyznaczonej przez rzut pionowy p laszczyzny pomocniczej (rys. Z09-07a5) i dwa punkty przeciȩcia
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 9 odnosz acej z tym okrȩgiem (rys. Z09-07a6). Otrzymane osie elipsy (s a to także średnice sprzȩżone elipsy) pozwalaj a skonstruwać metod a siatkow a elipsȩ (rys. Z09-07a7). Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii9 ii11) zastosowanie metody siatkowej Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii12 ii14) zastosowanie metody siatkowej, konstrukcja fragmentu elipsoidalnej czȩści brzegu bry ly Zadanie 1 Wyznaczyć dwa rzuty bry ly bȩd acej fragmentem stożka obrotowego (rys. Z09-09) oraz kuli (rys. Z09-10) wyciȩtej p laszczyznami, jeśli obiekty te s a odwzorowane w rzutach prostok atnych. W konstrukcji wykorzystać metodȩ siatkow a tworzenia elipsy i paraboli.
10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-09: Za lożenia do zadania 1. Z wyj atkiem jednego odcinka (rys. ii) we wszystkich przypadkach odcinki konturu bry ly w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów lub równoleg le do tworz acej konturowej stożka Rys. Z09-09: Za lożenia do zadania 1. Z wyj atkiem jednego odcinka (rys. iv) we wszystkich przypadkach odcinki konturu bry ly w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów lub równoleg le do tworz acej konturowej stożka Rozwi azanie zadania 1 dla za lożeń z rysunku Z09-09ii. Jedna z p laszczyzn zawieraj aca brzeg bry ly jest równoleg la do tworz acej (konturowej) stożka. Indukuje ona paraboliczny fragment brzegu bry ly. Najpierw znadujemy rzut pionowy fragmentu paraboli wraz z wierzcho lkiem i dwoma punktami, nastȩpnie rzuty pionowe wierzcho lka, osi paraboli (uk lad - suma bry l p laszczyzna przecinaj aca w paraboli i stożek jest p laszczyznowosymetryczny) i dwóch punktów (rys. Z09-09ii1). Dane te pozwalaj a zastosować metodȩ siatkow a konstrukcji
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 11 Rys. Z09-10: Za lożenia do zadania 1. W wielu przypadkach odcinki w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów Rys. Z09-10: Za lożenia do zadania 1. W wielu przypadkach odcinki w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów paraboli (rys. Z09-09ii2 ii3). W celu wyznaczenia końców fargmentów paraboli dokonujemy pomocniczego przekroju stożka p laszczyzn a równoleg l a do rzutni poziomej, przechodz ac a przez odcinek l acz acy czȩść paraboliczn a z czȩści a eliptyczn a (rys. Z09-08ii4). Znajdujemy okr ag przekroju w rzucie poziomym, którego średnica jest równa (przystaj aca do) ciȩciwie konturu rzutu pionowego stożka (trójk ata równoramiennego) wyznaczonej przez rzut pionowy p laszczyzny pomocniczej i dwa punkty przeciȩcia odnosz acej z tym okrȩgiem (rys. Z09-08ii4).
12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Otrzymany okr ag umożliwia znalezienie rzutu poziomego drugiej z osi elipsy, ktoŕej fragment jest czȩści a brzegu poszukiwanej bry ly. Konstrukcja elipsy jest analogiczna jak w przyk ladzie 1. Warto zwrócić jeszcze szczególn a uwagȩ na hiperboliczny fragment brzegu bry ly, którego w przjȩtych za lożeniach nie rysujemy. Leży on bowiem w p laszczyźnie profilowej wzglȩdem uk ladu rzutni i jego kszta l jest dobrze scharakteryzowany, jak wiadomo, w zrucie bocznym. Wówczas konstrukcja hiperboli może być zrealizowana po uprzednim wyznaczeniu jej asysmptot. U w a g a! Przekrojem kuli (sfery) dowoln a p laszczyzn a jest ko lo (okr ag). Rzutem równoleg lym (prostok atnym) okrȩgu jest elipsa. Ma to ścis ly zwi azek twierdzeniem Dandelina.