Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03A

Transkrypt

1 Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 3A, Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Elementy wspólne prostej i p laszczyzny (okrȩgu i p laszczyzny) Wiele konstrukcji dotycz acych przekrojów, przenikań bry l a wiȩc tworzenia czȩści wspólnych, różnic (także sum) obiektów geometrycznych (zbiorów) odbywa siȩ poprzez wyznaczanie elementów wspólnych prostych (okrȩgów) z p laszczyznami (powierzchniami). Aby wyznaczyć punkty wspólne prostej a (rys. 3A-01a) lub okrȩgu o z p laszczyzn a α postȩpujemy w sposób nastȩpuj acy: (1) przez prost a (okr ag) prowadzimy p laszczyznȩ β (rys. 3A-01a1 (rys. 3A- 01b1)), (2) znajdujemy krawȩdź wspóln a k p laszczyzn α, β (rys. 3A-01a1, 3A-01b1), (3) znajdujemy punkty przeciȩcia prostej (krawȩdzi) k z prost a a (okrȩgiem o). W przypadku prostej wybór p laszczyzny jest dowolny. Ale wybieramy po lożenie najdogodniejsze. Najczȩściej jest to p laszczyzna rzutuj aca. W przypadku okrȩgu p laszczyzna β jest jednoznacznie określona i w rzutach prostok atnych (Monge a) dogodnym jest po lożenie równoleg le do rzutni, w dimetrii kawalerskiej - po lożenie równoleg le do p lszczyzny Oyz, w izometrii wojskowej - po lożenie równoleg le do p laszczyzny Oxy. Omówimy teraz znajdowanie punktów wspólnych prostej z p laszczyzn a w rzutach prostok atnych i w aksonometrii Punkt wspólny prostej i p laszczyzny w rzutach prostok atnych Przyk lad 1 Znaleźć punkt wspólny prostej a z p laszczyzn a pionoworzutuj ac a α (rys. 3A- 02a). Rozwi azanie jest dość proste. Przez prost a a(a, a ) prowadzimy p laszczyznȩ pionoworzutuj ac a β (rys.3a-02a1). Rzut pionowy β p laszczyzny β pokrywa siȩ z rzutem pionowym a prostej a. Obie p laszczyzny α i β s a prostopad le do rzutni pionowej. St ad ich krawȩdź wspólna k jest też prostopad la do rzutni pionowej. Jest wieȩc prost a pionoworzutuj a. Mamy wiȩc k x, zaś k jest punktem (rys. 3A-02a1). Proste k i l daj a, poprzez przeciȩcie rzutów poziomych, szukany punkt przeciȩcia siȩ prostej a z p laszczyzn a α (rys. 3A-02a2). Krawȩdź wspóln a p laszczyzn: p laszczyzny poziomorzutuj acej α i określonej przez trzy punkty A, B, C znajdujemy poprzez dwukrotne zastosowanie wcześniejszej konstrukcji. Kolejno znajdujemy punkty 1 i 2. Przyk lad 2 Znaleźć krawȩdź wspóln a dwu p laszczyzn: p laszczyzny określonej przez trzy punkty (ABC)(A B C, A B C ) z p laszczyzn a poziomorzutuj ac a α(α ) (rys. 3A-02b). Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne Rys. 3A-01: Algorytm znajdowania punktu (punktów) wspólnego (wspólnych) prostej (okrȩgu) z p laszczyzn a. Dane s a: a(b)) p laszczyzna α oraz prosta (okr ag); a1(b1)) prowadzimy p laszczyznȩ β przez prost a (okr ag); a2(b2)) znajdujemy krawȩdź k p laszczyzny β z p laszczyzn a α; a3(b3)) znajdujemy punkt wspólny A (punkty wspólne A 1, A 2 ) prostej a (okrȩgu o) z krawȩdzi a k 1.2. Punkt wspólny prostej i p laszczyzny po lożonych dowolnie w uk ladzie rzutni Monge a Przyk lad 3 Znaleźć punkt wspólny prostej d(d, d ) z p laszczyzn a (ABC)(A B C, A B C ) określon a przez trzy punkty (rys. 3A-03). Pocz atkowa czȩść rozwi azania przebiega analogicznie jak w przyk ladzie 2 (rys. 3A-02b) Kon-

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 3 Rys. 3A-02: Wyznaczanie punktu wspólnego prostej a z p laszczyzn a pionoworzutuj ac a α: a1) przez prost a a prowadzimy p laszczyznȩ pionoworzutuj ac a β i znajdujemy krawȩdź k(k,k ) plaszczyzn α i β. Konstrukcja krawȩdzi wspólnej p laszczyzn: b) poziomorzutuj acej α(α ) i trójk ata ABC(A B C,A B C ), b1 b2) dwukrotne zastosowanie konstrukcji a1 a2. strukcja punktu wspólnego prostej d(d, d ) z p laszczyzn a trójk ata [ABC]([A B C ], [A B C ]). Krawȩdź pomocniczej p laszczyzny poziomorzutuj acej δ zawieraj ac a prost a d(d, d ) z p laszczyzn a trójk ata [ABC]([A B C ], [A B C ]) jest analogiczna jak na rys. 3A-02. Punkt D, bȩd acy rozwi azaniem zadania znajdujemy jako punkt przeciȩcia siȩ prostych k i d poprzez rzut pionowy. Rzut pionowy D punktu D otrzymujemy jako punkt przeciȩcia siȩ prostych k i d (rys. 3A-03a4). Poprzez odnosz ac a kompletujemy jego rzut pionowy (rys. 3A-03a5). W celu podniesienia jakości rysunku i lepszej wizualizacji przestrzennej określamy widoczność elementów. Aby określić widoczoność w rzucie poziomym musimy stwierdzić, który z dwóch punktów nakrywaj acych siȩ w rzucie pionowym 1 punktu 1 jest widoczny dla obserwatora patrz acego z góry. Rzuty pionowe tych punktów na rysunku 3-03a7 s a oznaczone cyframi 1 i 2 w kwadracikach. Widoczny jest ten punkt, który jest bliżej obserwatora (ma wiȩksz a g lȩbokość), tzn. punkt na 1 w kwadraciku, czyli punkt na trójk acie. Zatem prosta d jest w rzucie poziomym zas loniȩta przez trójk at na odcinku [1 D ]. Punkt D, jako punkt przeciȩcia p laszczyzny trójk ata [ABC] prost a d jest miejscem zmiany widoczności. Podobnej analizy dokonujemy w odniesieniu do rzutu pionowego (rys. 3A-03a7). Analizie poddajemy punkty trójk ata (punkt 1 w kwadraciku) oraz prostej (punkt 2 w kwadraciku), których rzutem pionowym jest jest punkt W. Widocznym dla obserwatora jest punkt na trójk acie (ma wiȩksz a g lȩbokość). Prosta w rzucie pionowym jest zas loniȩta przez trójk at na odcinku [W D ] Punkt wspólny prostej i p laszczyzny w aksonometrii W celu wyznaczenia punktu wspólnego prostej z p laszczyzn a w aksonometrii postȩpujemy wed lug zasady postȩpowania omówionej na pocz atku rozdzia lu. Na rysunku 3A-03 mamy

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne Rys. 3A-03: Konstrukcja punktu wspólnego prostej d(d,d ) z p laszczyzn a trójk ata [ABC]([A B C ],[A B C ]): a1 a3) pomocnicz a p laszczyznȩ δ i krawȩdź k(k,k ) znajdujemy analogicznie jak na rysunku 3A-02b b2); a4 a5) punkt D, bȩd acy rozwi azaniem zadania, znajdujemy poprzez rzut pionowy; a6) ustalanie widoczności obiektów w rzucie poziomym poprzez wybór takich punktów na prostej i p laszczyźnie, które maj a ten sam rzut poziomy (1 ), wtedy widoczny jest ten, który ma wiȩksz a wysokość (punkt na trójk acie); a7) w rzucie pionowym... widoczny jest ten, który ma wiȩksz a g lȩbokość (punkt na trójk acie) dane: p laszczyzn a (ABCD)(A a B a C a D a, A a xy Ba xy Ca xy Da xy ) oraz prost a l(la, lxy a ). Przez prost a

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 5 Rys. 3A-04: Konstrukcja punktu wspólnego prostej l(l a,lxy) a i p laszczyzny czworok ata [ABCD]([A a B a C a D a ], [A a xybxyc a xyd a xy]) a w aksonometrii. P laszczyzna pomocnicza jest tak odwzorowana w aksonometrii, że zawiera proste l a,lxy a. W celu znalezienia krawȩdzi p laszczyzny pomocniczej z p laszczyzn a czworok ata, podobnie jak w przypadku rzutów Monge a (rys. A3-03) znajdujemy najpierw: a1) rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego tej krawȩdzi; a2) krawȩdź (1 a 2 a, 1xy2 a xy). a Warto zwrócić a nawet podkreślić, że formalnie konstrukcja w aksonometrii nie różni siȩ od konstrukcji w rzutach Monge a. l(l χ ), gdzie χ {xy, yz, xz} prowadzimy p laszczyznȩ (α) prostopad l a do p laszczyzny χ. Na rysunku 3-03 jest to p laszczyzna prostopad la do p laszczyzny Oxy. P laszczyzna ta przechodzi przez proste l a, lxy a. Jest to wiȩc p laszczyzna rzutuj aca wzglȩdem p laszczyzny Oxy. Konstrukcja krawȩdzi p laszczyzn (ABCD) i χ, w sensie algorytmu geometrycznego, przebiega analogicznie jak w rzutach prostok atnych (rys. 3-02b b2). Przy czym zachodzi tu taka formalna zależność: rzut aksonometryczny rzut pionowy (poziomy), rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego rzut poziomy (pionowy). Warto zauważyć przy tym wiele innych analogii. I tak odpowiednikiem p laszczyzny rzutuj acej w metodzie Monge a jest p laszczyzna prostopadla do jednej z p laszczyzn uk ladu osi aksonometrycznych: Oxy, Oxz, Oyz. Zwykle jest to p laszczyzna prostopad la do p laszczyzny Oxy. W rzucie aksonometrycznym aksonometrycznym p laszczyznȩ tak a reprezentuje prosta leż aca na p laszczyźnie Oxy. Nie wolno jednak bezkrytycznie przenosić w lasności metody Monge a i metody aksonometrycznej, gdyż moż to prowadzić do b lȩdów.

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 1.4. Przenikanie ostros lupów i graniastos lupów Rys. 3A-05: Konstrukcja linii przenikania ostros lupów ( dachu z wież a ): a1) p laszczyzna pionoworzutuj aca α(α ) ściany niższego ostros lupa wyznacza punkt 1(1 ); a2 a3) konstrukcja punktów 2, 3, 4 poprzez obrót jako konsekwencja symetrii bry l; a4 a5) pomocnicza p laszczyzna rzutuj aca β(β ) w celu wyznaczania punktu 5 wspólnego krawȩdzi niższego ostros lupa ze ścian a wyższego (cdn) Powyższe konstrukcje wykorzystamy do wykreślenia przenikania ostros lupów, które mog a być interpretowane jako dach i wieża. Linia przenikania jest wówczas po l aczeniem dachu z wież a (rys. 3A-05). Wielok at przenikania (czȩść wspólna) ma jako wierzcho lki punkty przebicia ścian bocznych jednego ostros lupa (graniastos lupa) krawȩdziami drugiego ostros lupa.

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 7 Rys. 3A-06: Konstrukcja linii przenikania ostros lupów ( dachu z wież a ): a6) krawȩdź k(k,k ) p laszczyzny pionoworzutuj acej β(β ) ze ścian a wyższego ostros lupa; a7) konstrukcja punktu 5(5,5 ); a8 a9) konstrukcja punktów 6, 7, 8 poprzez obrót jako konsekwencja symetrii bry l; a10) konstrukcja l aczenia odcinkami punktów linii przenikania; a11) wszystkie czȩści krawȩdzi widocznych rysujemy lini a grub a () Przyk lad 4 Wyznaczyć linȩ przenikania dwóch ostros lupów czworok atnych prawid lowych (liniȩ po l aczenia dachu z wież a) (rys. 3A-03). Niech dane bȩd a dwa ostros lupy (rys. 3A-05a). Z uwagi na symetriȩ problem sprowadza siȩ do znalezienia rzutów dwóch jego wierzcho lków (pozosta le otrzymujemy przez obrót doko la wysokości ostros lupów). Zauważmy, że dwie ściany niższego ostros lupa o krawȩdziach prosto- pad lych do osi rzutów x s a zawarte w p laszczyznach pionoworzutuj acych. Latwo zna-

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne jdujemy wiȩc rzut pionowy 1 punktu 1 przebicia tej ściany krawȩdzi a wyższego ostros lupa (rys.3a-05a1) i poprzez odnosz ac a rzut poziomy (rys. 3A-05a2). Z uwagi na symetriȩ, pozosta le trzy punkty otrzymujemy przez obrót. Z racji prostopa lości osi obrotu do rzutni poziomej w rzucie poziomym jest to obrót p laski - otrzymujemy punkty 2, 3,4. W rzucie pionowym punkty 2, 3, 4 leż a na tej samej wysokości co punkt 1 (i, naturalnie, na odnosz acych) (rys. 3A-05a3). W celu znalezienia punktu przebicia ściany wyższego ostros lupa krawȩdzi a niższego przez tȩ krawȩdź prowadzimy p laszczyznȩ poziomorzutuj ac a β(β ) (rys. 3A-05a4). Krawȩdź p laszczyzny β ze ścian a wyższego ostros lupa przechodzi przez wierzcho lek tego ostros lupa i przez punkt N(N ), który jest punktem wspólnym p laszczyzny β i krawȩdzi podstawy wyższego ostros lupa. Ponieważ punkt N leży na rzutni poziomej latwo znajdujemy punkt N (na osi rzutów x) i rzut pionowy krawȩdzi k (rys. 3A-05a6). W przeciȩciu prostej k z krawȩdzi a niższego ostros lupa otrzymujemy punkt 5(5 ). Podobnie jak wyżej, z uwagi na symetriȩ, pozosta le trzy punkty (6, 7,8 ) otrzymujemy przez obrót (rys. 3A-05a8 a9) itd. Nastȩpnie l aczymy punkty zachowuj ac zasadȩ: l aczymy punkty leż ace na tej samej ścianie jednego i na tej samej ścianie drugiego ostros lupa (rys. 3-05a10). Widoczne czȩści krawȩdzi dachu i wieży (rys. 3A-05a11) rysujemy lini a grub a. Przyk lad 5 Wyznaczyć linȩ przenikania dwóch ostros lupów czworok atnych prawid lowych (liniȩ po l aczenia dachu z wież a) (rys. 3A-07) w aksonometrii. Aksonometriȩ ostos lupów wraz z lini a przenikania rysujemy nastȩpuj aco. Przenosimy do uk ladu aksonometrycznego obydwa ostros lupy (rys. 3A-07a a1). Równoleg l a do osi O a x a krawȩdź podstawy (leż ac a na osi O a x a ) konstruujemy poprzez trójk at skrótów (rys. 3A- 07a1). Zauważmy, że trójk at skrótów wykorzystujemy tylko raz (rys. 3A-07a a1). Drug a krawȩdź podstawy (leż ac a na osi O a y a ) przenosimy bezpośrednio. Pozosta le elementy znajdujemy przenosz ac bezpośrednio odcinki (na rys. 3A-07a,a2 a3) lub rysuj ac w oparciu o niezmiennik równoleg lości (rys. 3A-07a2 a6). Punkty przebicia scian niższego ostros lupa krawȩdziami wyższego ostros lupa znajdujemy pośrednio wyznaczaj ac krawȩdź ściany z pomocnicz a p laszczyzn a pionow a określon a przez krawȩdź boczn a i jej rzut (rys. 3A-08a81,a82)). Otrzymane punkty (wierzcho lki linii przenikania) l aczymy odcinkami pamiȩtaj ac o zasadzie przynależności odcinka równoczeńie do ścian obu ostros lupów. Widoczne czȩści krawȩdzi rysujemy lini a grub a, niewidoczne - przerywan a. Przenikanie może być wizualizowane z zaznaczeniem krawȩdzi niewidocznych (rys. 3A-08a121). Ale też krawȩdzie niewidoczne, co jest bardziej naturalne, mog a być pominiȩte w wizualizacji (rys. 3A-08a122). 2. Zastȩpcze rzutnie (transformacje) W uk ladzie dwu rzutni podstawowe obiekty: punkt i odcinek s a jednoznacznie odwzorowane. Inaczej jest z innymi obiektami, na przyk lad z prost a. Rzuty prostej profilowej nie odzwierciedlaj a jej jednoznacznie. Ponadto znajduj ace siȩ w p laszczyźnie profilowej nawet takie obiekty jak odcinki nie daj a możliwości zweryfikowania ich wzajemnego po lożenia w uk ladzie dwu rzutni. Na przyk lad nie można znaleźć bezpośrednio punktów wspólnych dwu prostych profilowych. Ponadto bywaj a sytuacje, w których w uk ladzie rzutni π 1 i π 2 istotne w konstrukcji figury p laskie nie leż a w p laszczyznach rzutuj acych 1. Na rysunku 3A-13 przedstawiony jest sposób konstrukcji, w którym korzystamy z trzeciej rzutni (tzw. transformacji). W uk ladzie rzutni pionowej i bocznej prosta profilowa ma po lożenie czo lowe. Z uwagi na 1 Operacje przecinania p laszczyzny lub prostej z p laszczyzn a rzutuj ac a s a znacznie uproszczone

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 9 Rys. 3A-07: Konstrukcja ostros lupów w aksonometrii (przeniesienie z rzutów Monge a) : a a1) krawȩdź podstawy (leż ac a na osi O a x a ) konstruujemy poprzez trójk at skrótów, krawȩdź na osi O a y a przenosimy bezpośrednio; a2) przenosimy z rzutów Monge a wysokość niższego ostros lupa; a3) przenosimy wspó lrzȩdn a geometryczn a wierzcho lka podstawy wyższego ostros lupa; a4) wyznaczamy wspó lrzȩdne pozosta lych wierzcho lków podstawy wyższego ostros lupa; a5) wyznaczamy wierzcho lki podstawy wyższego ostros lupa; a6) rysujemy krawȩdzie boczne niższego ostros lupa (cdn) liczbȩ dodatkowych linii konstrukcyjnych metoda z obrotem jest bardziej ekonomiczna. Rysunek 3A-09 przedstawia rozwi azanie tego samego zadania przy zastosowaniu transformacji uk ladu rzutni, polegaj acej na wprowadzeniu nowej rzutni tak, by p laszczyzna ściany bry ly z któr a przeciȩcia szukamy, mia la po lożenie rzutuj ace wzglȩdem tej rzutni. Wówczas można

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne Rys. 3A-08: Konstrukcja linii przenikania ostros lupów w aksonometrii: a7) przeniesienie wysokości wyższego ostros lupa; a8) konstrukcja dwóch punktów przebicia: a81) ściany niższego ostros lupa krawȩdzi a wyższego (pośrednio znajdujemy krawȩdź ściany z pomocnicz a p laszczyzn a pionow a wyznaczon a przez krawȩdź boczn a i jej rzut); a82)odwrotnie; a9) wyznaczamy pozosta le punkty; a10) otrzymane punkty (wierzcho lki linii przenikania) l aczymy odcinkami; a11) widoczne czȩści krawȩdzi rysujemy lini a grub a, niewidoczne - przerywan a; a12) wizualizacja przenikania z zaznaczeniem (lub nie) krawȩdzi niewidocznych wprowadzić now a rzutniȩ π 3 (rys. 3A-09) tak, by by la prostopad la do jednej z rzutni π 1 i π 2. Prostopad lość jest istotna dlatego, że wtedy jeden z uk ladów rzutni π 1, π 3 lub π 2, π 3 jest uk ladem rzutni Monge a. Rysunek 3A-09a ilustruje wprowadzenie rzutni π 3 takiej, że

11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 11 Rys. 3A-09: Trzecia rzutnia (rzut pomocniczy) w zastosowaniu do konstrukcji punktu leż acego na prostej profilowej: a) wprowadzenie trzeciej rzutni, pomocniczej do wykonywania pewnych konstrukcji; a1) znajdowanie trzeciego rzutu punktu w odwzorowaniu Monge a; b) za lożenia do wyznaczenia linii przenikania graniastos lupa z ostros lupem; b1) znajdowanie trzeciego rzutu uk ladu bry l tak, by p laszczyzna ściany ostros lupa (z któr a przecina siȩ prosta profilowa) mia la po lożenie rzutuj ace, realizacja Monge a rzutu pomocniczego, nastȩpnie konstrukcja punktu przebicia w trzecim rzucie (znalezienie wysokości punktu P) i powrót (strza lka) do rzutu pionowego (rzut poziomy jest trywialny); b2) znalezienie rzutw pozosta lych punktów linii przenikania graniastos lupa z ostros lupem π 1 π 2, zaś na rysunku 3A-09a1 mamy realizacjȩ Monge a rzutowania na trzeci a rzutniȩ. Każdy punkt otrzymuje wtedy jeszcze jeden rzut. Nowy rzut punktu A oznaczać bȩdziemy przez A. Krawȩdź nowego uk ladu rzutni (now a oś rzutów) π 1, π 3 oznaczamy przez x 1. Rzut poziomy i trzeci leż a na odnosz acej wzglȩdem osi x 1. Zwróćmy uwagȩ na zależność miȩdzy wysokościami punktu w rzucie pionowym i w trzecim rzucie - wysokości te s a równe.

12 12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 2.1. Rzutnia boczna W przypadku, gdy wprowadzona nowa rzutnia π 3 jest prostopad la do rzutni π 1 i π 2, tzn. π 1 π 2 π 3 π 1, rzutniȩ π 3 nazywamy rzutni a boczn a (rys. 3A-12b c). Rzutnia boczna jest wykorzystywana do przedstawiania widoku obiektu z profilu (elewacja boczna) lub jako narzȩdzie pomocnicze do konstruowania punktów znajduj acych siȩ na prostych profilowych. Proste profilowe wzglȩdem rzutni bocznej s a prostymi, które maj a charakter prostej: czo lowej lub poziomej (warstwowej). Rzutnia boczna jest trzeci a z sześciu rzutni w rzutowaniu metod a europejsk a lub amerykańsk a Obrót figury Obrót jest znanym przekszta lceniem określonym na p laszczyźnie przez środek obrotu oraz k at obrotu. W sensie geometrycznym obrót, jako przekszta lcenie, jest zbiorem par punktów. Jednak w celu wsparcia naszej wyobraźni obrót punktu wygodnie jest traktować jako operacjȩ fizyczn a (dynamiczn a). W przestrzeni mówimy o obrocie doko la prostej (osi obrotu), gdzie każdy punkt obraca siȩ w swojej p laszczyźnie, prostopad lej do osi obrotu, doko la punktu przeciȩcia osi obrotu z t a p laszczyzn a. W rzutach Monge a obrót naj latwiej opisuje siȩ, gdy oś obrotu jest prostopad la do jednej z rzutni. Wówczas p laszczyzna obrotu jest równoleg la do tej rzutni i prostopad la do drugiej rzutni. Obrót punktu w przestrzeni realizowany w p laszczyźnie obrotu tego punktu jest izometryczny (niezmiennik N5) z operacj a na rzutni (na rys. 3A-10 jest to rzutnia pozioma), w drugim rzucie - z uwagi na rzutuj ace po lożenie p laszczyzny obrotu (na rys. 3A-10 jest to p laszczyzna pionoworzutuj aca) - latwe jest śledzenie rzutu punktu w czasie obrotu, który w tym wypadku porusza siȩ po prostej. Rys. 3A-10: Ilustracja obrotu: i) na p laszczyźnie; ii) w przestrzeni - rysunek pogl adowy; iii) w rzutach Monge a

13 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 13 Rys. 3A-11: Konstrukcja punktów przenikania za pomoc a obrotu krawȩdzi profilowej do po lożenia czo lowego: a1) konstrukcja obróconego rzutu poziomego krawȩdzi; a2) obrót krawȩdzi profilowej do po lożenia czo lowego; a3) wyznaczenie punktu przebicia w po lożeniu obróconym; a4) powrót z obrotu (w rzucie pionowym, w rzucie poziomym mamy sytuacjȩ trywialn a) Rys. 3A-12: Konstrukcja przenikaj acych siȩ bry l: graniastos lupa i ostros lupa w aksonometrii. Linie odnosz ace na ścianach graniastos lupa (krawȩdzie pomocniczych p laszczyzn przekroju ze ścianami graniastos lupa) s a równoleg le do osi Oz uk ladu aksonometrycznego. Linie odnosz ace na ścianach ostros lupa (krawȩdzie pomocniczych p laszczyzn przekroju ze ścianami ostros lupa) przechodz a przez wierzcho lek ostros lupa; a5) wyznaczenie punktu na prostej profilowej w rzucie pionowym; a6) ostateczne wyznaczenie przenikania figur

14 14 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne Rys. 3A-13: Rzutnia boczna wykorzystana do konstrukcji punktu leż acego na prostej profilowej: a1) strza lki wskazuj a kolejność konstruowania punktów; b) rysunek pogl adowy rzutni bocznej; c) realizacja Monge a rzutu bocznego 2.3. Przenikanie trzech ostros lupów - wieże z przyporami na dachach Rys. 3A-14: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa - za lożenia. Brakuj ace wymiary na rysunkach b) i c) s a takie same jak na rysunku a), cdn

15 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 15 Rys. 3A-14: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa - rzuty poziome linii przenikania poszczególnych par ostros lupów, cdn Rys. 3A-14: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa - rzuty pionowe linii przenikania, cdn Trzy ostros lupy przy odpowiednim ustawieniu mog a tworzyć dach z wież a z przyporami w trzech różnych wariantach w zależności od wymiarów poszczególnych bry l. Te trzy różne warianty ilustruj a rysunki 3A-14 a,b,c. Przenikanie trzech figur realizujemy etapami. Przyjmijmy dla u latwienia skróconego opisu algorytmu konstrukcji, że te trzy ostros lupy - to wysoki, średni i niski. Najpierw znajdujemy liniȩ przenikania dwóch ostros lupów, na przyk lad niskiego i średniego potem średniego i wysokiego (rzut poziomy linii przenikania - rys. 3A-14a,b,c,

16 16 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne Rys. 3A-15: Dach z wież a z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa - usuniȩcie linii pomocniczych, cdn Rys. 3A-15: Dach z wież a z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa - ostateczna wersja rysunku po usuniȩciu linii niewidocznych, cdn rzut pionowy linii przenikania - rys. 3A-14a,b,c ) w opisany wcześniej sposób z ewentualnym (jeśli jest to konieczne) zastosowaniem obrotu (rys.3a-11), transformacji (rys. 3A- 09), widoku z profilu, czyli rzutni bocznej (rys. 3A-13). Nastȩpnie sprawdzamy który z nastȩpuj acych trzech przypadków zachodzi. Linie przenikania niskiego ze średnim i średniego z wysokim: a) dotykaj a siȩ wierzcho lkami (rys. 3A-14a ) b) s a roz l aczne (rys. 3A-14b ),

17 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 17 Rys. 3A-15: Dach z wież a z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa. Trzeci wariant w powiȩkszeniu c) przecinaj a siȩ (rys. 3A-14c ). Otrzymujemy wówczas trzy geometrycznie różne sytuacje (rys. 3A-15a,a ; 3A-15b,b ; 3A-15c,c ). Dodatkowego wyjaśnienia wymaga ostatni przypadek (rys. 3A-15c ; 3A- 15c ). W tym przypadku ostros lupy wysoki i niski l acz a siȩ wzd luż krawȩdzi równoleg lych do równoleg lych krawȩdzi ich podstaw (rys. 3A-15c ). Na rysunku przedstawiono również widoki bez krawȩdzi niewidocznych wraz z usuniȩtymi niewidocznymi czȩściami ostros lupów Wykonanie modeli takich ostros lupów wymaga zmierzenia wielkości rzeczywistych tych obiektów. Uzyskuje siȩ to za pomoc a specjalnych konstrukcji zwanych k ladami. K lady opiszemy przy omawianiu geometrii dachów. Literatura [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1994.