Geometria wykreślna. 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Transkrypt

1 Geometria wykreślna 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1

2 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Elementy wspólne punkt przecięcia, punkt przebicia, krawędź Konstrukcja punktu przebicia, metoda ogólna Konstrukcja punktu przebicia - zadanie Konstrukcja krawędzi - zadanie Cień jako rzut środkowy i równoległy Cień własny, rzucony i wzajemny Konstrukcja cienia na rzutnie i cienia wzajemnego jako punktu przebicia promienia świetlnego - zadania 2

3 ELEMENTY WSPÓLNE punkt przecięcia, punkt przebicia, krawędź 3

4 Konstrukcja punktu przebicia, metoda ogólna p a 4

5 Konstrukcja punktu przebicia, metoda ogólna 1. Przyjmujemy pomocniczą płaszczyznę g przechodzącą przez prostą p. p g a 5

6 Konstrukcja punktu przebicia, metoda ogólna 1. Przyjmujemy pomocniczą płaszczyznę g przechodzącą przez prostą p. 2. Wyznaczamy krawędź przecięcia się płaszczyzn g i a (k). p k g a 6

7 Konstrukcja punktu przebicia, metoda ogólna 1. Przyjmujemy pomocniczą płaszczyznę g przechodzącą przez prostą p. 2. Wyznaczamy krawędź przecięcia się płaszczyzn g i a (k). S p k g 3. Punkt przecięcia się prostej p i krawędzi k jest szukanym punktem przebicia (S). a 7

8 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia Wyznaczyć punkt przebicia odcinka AB z trójkątem PQR. Określić widoczność. B A A B 8

9 Konstrukcja punktu przebicia, metoda ogólna 1. Przyjmujemy pomocniczą płaszczyznę g przechodzącą przez odcinek AB. 2. Wyznaczamy krawędź przecięcia się pł. g z trójkątem k. Q 1 B g 3. Punkt S - przecięcie się krawędzi k z odcinkiem AB jest szukanym punktem przebicia. S k R A P 2 9

10 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia Przyjmujemy płaszczyznę g przechodzącą przez odcinek AB. Ze względu na specyfikę konstrukcji w rzutach Monge a, przyjmujemy położenie rzutujące płaszczyzny, bez znaczenia czy będzie to płaszczyzna poziomo czy pionowo rzutująca. W tym przypadku wybrano położenie pionowo rzutujące. g A B A B 10

11 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia B Płaszczyzna g przecina się z trójkątem PQR wzdłuż prostej k. 1 Zatem punkty 1 i 2 to miejsca przecięcia się prostej k z bokami trójkąta. A 2 g =k A B 11

12 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia Wyznaczamy rzuty poziome punktów 1 i 2. 1 B 2 g =k A A 1 B 12 2

13 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia B Wyznaczamy rzut poziomy prostej k. 1 2 A g =k 1 A k B 13 2

14 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia B Odcinek AB i prosta k leżą na tej samej płaszczyźnie g, 1 a zatem przecinają się. W rzucie poziomym widoczny 2 jest ich punkt przecięcia S. Zaznaczamy rzut poziomy A punktu S, a następnie jego rzut pionowy -. g =k A S k 1 B 14 2

15 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia B Określamy widoczność. 1 2 A g =k 1 A S k B 15 2

16 ZADANIE 1 Konstrukcja punktu przebicia Określamy widoczność. 4 1 =5 B g =k 3 A 1 A S B 3 =4 k

17 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia Skonstruować krawędź m przecięcia się płaszczyzn a = PQR i b= m,n. n Określić widoczność trójkąta PQR. m n' 17

18 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia Krawędź przecięcia wyznaczamy stosując dwukrotnie konstrukcję przebicia. Wybieramy dowolnie jeden z danych elementów (jedną z prostych określających Q m n S b płaszczyznę b (m,n ) lub jeden z boków trójkąta PQR i szukamy jego punktu przebicia z drugą płaszczyzną. P R 18

19 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia n =e W tym przypadku wybrano prostą n. Przyjęto przechodzącą przez nią pionowo rzutującą płaszczyznę pomocniczą e. m m n' 19

20 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia 1 n =e =k Płaszczyzna e przecina się z trójkątem PQR wzdłuż krawędzi k. m Przy pomocy punktów 1, 2 wyznaczamy jej rzut poziomy. 2 2 m n' 1 20 k

21 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia 1 n =e =k Proste n i k leżą na tej samej płaszczyźnie e, T m a zatem przecinają się. W rzucie poziomym widoczny jest ich punkt przecięcia T. Zaznaczamy rzut poziomy 2 2 punktu T, a następnie jego rzut pionowy - T. T m n' 1 21 k

22 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia 1 n =e =k m Jako drugi element wybrano odcinek PR. Przyjęto przechodzącą przez niego pionowo rzutującą płaszczyznę pomocniczą d. 2 2 T d T m n' 1 22 k

23 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia 1 n =e =k m Płaszczyzna d przecina się z płaszczyzną a =m,n wzdłuż krawędzi l. Przy pomocy punktów 3, 4 wyznaczamy jej rzut poziomy. T 2 =3 2 d =l m 4 T l n' k

24 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia 1 n =e =k m Odcinek PR i prosta l leżą na tej samej płaszczyźnie d, a zatem przecinają się. W rzucie poziomym widoczny jest ich punkt przecięcia U. Zaznaczamy rzut poziomy T 2 =3 2 d =l U m 4 punktu U, a następnie jego rzut pionowy - U. T l U n' k

25 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia 1 n =e =k m Punkty T i U wyznaczają szukaną krawędź przecięcia q. T 2 =3 d =l U 4 2 m q T l U n' k

26 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia Krawędź q przecina się również z innymi elementami płaszczyzn (punkty 5 i 6). q 5 T 2 =3 1 d =l U n =e =k m 4 6 Ich rzuty powinny się zgadzać (leżeć na odpowiednich odnoszących). q 2 5 T 3 l 1 U m n' k

27 ZADANIE 2 Konstrukcja krawędzi przecięcia Określamy widoczność. q 5 T 2 =3 1 d =l U n =e =k m m q 5 T 3 l 1 U n' k

28 CIENIE B Konstrukcja punktu przebicia = s Cień Wyznaczyć cień punktu B na trójkąt PQR = Wyznaczyć punkt przebicia promienia świetlnego przechodzącego przez B z trójkątem PQR. A A B 28 s

29 CIENIE B Konstrukcja punktu przebicia = s Cień B c Wyznaczyć cień punktu B na trójkąt PQR = Wyznaczyć punkt przebicia promienia świetlnego przechodzącego przez B z trójkątem PQR. B c B 29 s

30 Cień jako rzut środkowy 30 Obraz S. Can Hoogstratena Taniec Cieni (1675)

31 Cień jako rzut równoległy 31

32 Rodzaje cienia - własny - rzucony - wzajemny wzajemny własny rzucony 32

33 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Wyznaczyć cień trójkąta ABC na rzutnię poziomą i pionową. s x12 33 s

34 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Rozpoczynamy od wyznaczenia cienia trójkąta na rzutnię poziomą. Przez punkty P i Q prowadzimy promienie świetlne w rzucie pionowym. Ich przecięcia się z rzutnią poziomą to cienie na tą Qc1 rzutnię. Punkt R, leżący na rzutni jednoczy się ze swoim punktem cienia (ze względu na czytelność rysunku nie opisuje się takich punktów). 34 Pc1 s s x 12 = p 1

35 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Prowadzimy promienie świetlne w rzucie poziomym, wyznaczamy rzuty poziome cieni punktów P i Q. Qc1 s Qc1 Pc1 x 12 = p 1 35 Pc1 s

36 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Po połączeniu cieni punktów otrzymujemy cień trójkąta. Qc1 s Qc1 Pc1 x12 Pc1 s 36

37 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Po połączeniu cieni punktów otrzymujemy cień trójkąta. Qc1 s Qc1 Pc1 x12 Pc1 s 37

38 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Część cienia wypada za rzutnią pionową, a więc realnie nie będzie istnieć. Qc1 s Qc1 Pc1 x12 Wnioskujemy zatem, że cień załamie się i wystąpi na rzutni pionowej. Pc1 s 38

39 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Konstruujemy cień punktu Q (którego cień na rzutnię poziomą wypadł za rzutnią pionową) na rzutnię pionową. Qc1 s Qc1 Na promieniu świetlnym przechodzącym przez punkt Q w rzucie poziomym zaznaczamy jego przecięcie z rzutnią pionową - to cień na tą rzutnię. Pc1 Pc1 Qc2 s x 12 = p 2

40 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 5 Na promieniu świetlnym w rzucie pionowym wyznaczamy cień punktu Q na rzutnię pionową w rzucie pionowym Qc1 Qc2 s Qc1 Pc1 Qc2 x 12 = p 2 Pc1 s 40

41 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Łącząc cień punktu Q na rzutnię pionową z punktami cienia trójkąta leżącymi na osi rzutów x 12 (M i N) otrzymujemy szukany fragment cienia trójkąta na rzutnię pionową. Qc1 Qc1 N Pc1 Qc2 Qc2 M s x 12 = p 2 41 Pc1 s

42 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3 Określamy widoczność cienia. Qc1 Qc2 s Qc1 N Pc1 Qc2 M x12 Pc1 s 42

43 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Wyznaczyć cień trójkąta ABC na rzutnię poziomą i na trójkąt PQR Qc1 Qc2 B s Qc1 N Pc1 Qc2 M C =A x12 s Pc1 B =C A

44 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Wyznaczamy cień punktu B na rzutnię poziomą. Qc1 Qc2 B s Qc1 N Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 M C =A s x12 Pc1 B =C A

45 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Rysujemy cień trójkąta ABC na rzutnię poziomą. Qc1 Qc2 B s Qc1 N Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 M C =A s x12 Pc1 B =C A

46 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Zaznaczamy widoczność cienia. Qc1 Qc2 B s Qc1 N Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 M C =A s x12 Pc1 B =C A

47 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Szukamy cienia wzajemnego punktu B na trójkąt PQR. Przyjmujemy pomocniczą płaszczyznę e. Płaszczyzna przecina się z trójkątem wzdłuż krawędzi k. Qc1 Qc1 N Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 2 Qc2 M 1 C B e =k =A s s x12 Pc1 B =C A

48 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a e =k B 1 Qc2 s Qc1 Wyznaczamy rzut poziomy krawędzi k. 2 Qc1 N Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 M k C 1 =A s x12 Pc1 2 B =C A

49 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Przecięcie się krawędzi k z promieniem świetlnym z punktu B jest cieniem wzajemnym punktu na trójkąt. Qc1 Qc1 N Pc1 Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 2 Qc2 2 Ba M Ba k 1 C 1 B B =C e =k =A s A s x12

50 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Wyznaczamy pozostałe cienie wzajemne korzystając z promieni wstecznych. Qc1 Qc1 N Pc1 Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 2 Qc2 2 Ba M k 3c1 Ba 1 C 1 4c1 B 4 a 3 a B =C =3 e =k 4 =A s A s x12

51 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Wyznaczamy pozostałe cienie wzajemne korzystając z promieni wstecznych. Qc1 Qc1 N Pc1 Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 2 Qc2 2 Ba M Ba k 1 C 1 4c1 B 4a 3a B =C =3 e =k 4 =A s A s x12

52 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a Wyznaczamy rzut pionowy cienia wzajemnego. Qc1 Qc2 Ba 1 B e =k s Qc1 N Pc1 Bc1 Bc1 2 Qc2 M 3a C k 1 4c1 3 4a 4 =A s x12 Pc1 2 Ba 4a 3a B =C 4 A

53 Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego Zadanie 3a e =k B 1 Qc2 s Qc1 Ba 2 Qc1 N Pc1 Bc1 Bc1 Qc2 M 3a C k 1 4c1 4a =A s x12 Pc1 2 Ba 4a 3a B =C 4 A

54 Konstrukcja cienia przy oświetleniu z punktu świetlnego S. Zadanie 4 Wyznaczyć cień trójkąta PQR na rzutnię poziomą i pionową. x12 54

55 Konstrukcja cienia przy oświetleniu z punktu świetlnego S. Zadanie 4 Wyznaczamy cień punktu P na rzutnię poziomą. Pc1 x12 Pc1 55

56 Zadanie 4 Ponieważ punkt Q leży wyżej niż punkt świetlny S, nie rzuci realnego cienia na rzutnię poziomą. W takim przypadku do wyznaczenia cienia boku PQ posłużymy się dowolnym punktem pomocniczym leżącym na tym boku (np. punkt 1). 1 1c1 1c1 Pc1 x12 Pc1 1 56

57 Zadanie 4 Z tego samego powodu do wyznaczenia cienia boku QR także posłużymy się dowolnym punktem pomocniczym leżącym na tym boku (np. punkt 2). 1 1c1 2 1c1 Pc1 2c1 x12 57 Pc1 1 2c1 2

58 Zadanie 4 Mając wyznaczone cienie punktów 1 i 2 można już narysować cień trójkąta na rzutnię poziomą. 1 1c1 2 1c1 Pc1 2c1 x12 58 Pc1 1 2c1 2

59 Zadanie 4 Ponieważ punkt Q leży na rzutni pionowej i mamy punkty cienia na osi (M, N) rzutów można wyznaczyć cień na tej rzutni. 1 1c1 2 1c1 Pc1 2c1 x12 59 Pc1 1 2c1 2

60 Zadanie 4 Zaznaczamy widoczność. 1 1c1 2 1c1 Pc1 2c1 x12 60 Pc1 1 2c1 2

61 Materiały do wykładu: Zad. 1. Konstrukcja punktu przebicia Zad. 2. Konstrukcja krawędzi przecięcia B m A n A B m n' 61

62 Materiały do wykładu: Zad.3. Wyznaczyć cień trójkąta ABC na rzutnię poziomą i pionową s 62 s

63 Materiały do wykładu: Zad.3. Wyznaczyć cień trójkąta ABC na rzutnię poziomą i trójkąt PQR. B Qc2 s Qc1 Qc1 N Pc1 Qc2 M C =A x12 s Pc1 A B =C

64 Materiały do wykładu: Zad. 4. Wyznaczyć cień trójkąta PQR na rzutnię poziomą i pionową. x12 64