Geometria przestrzenna. Stereometria

Transkrypt

1 1 Geometria przestrzenna. Stereometria 0.1 Graniastos lupy Graniastos lup to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, s a przystaj cymi wielok atami leż acymi w p laszczyznach równoleg lych, a pozosta le ściany s a równoleg lobokami. Wśród graniastos lupów, wyróżniami graniastos lupy proste, w tym prostopad loṡciany i graniastos lupy pochy le. Niżej na rysunku mamy graniastos lup prosty o podstawie trȯjk ata oraz graniastos lup prosty - prostopad loṡcian o podstawie prostok ata h h Granistos lup o podsawie trȯjk ata Granistos lup o podsawie prostok ata Pole powierzchni calkowitej granistoslupa o podstawie wielok ata sk lada siȩ pola podstawy dolnej i podstawy gȯrnej, to znaczy z wielok atȯw przystaj acych o rȯwnych odpowiednich bokach. Na przyk lad, obliczmy pole powierzchni ca lkowitej graniastos lupa o podstawie trȯjk ata rȯwnobocznego P pole podstawy dolnej i gornej trojkata rownobocznego = a 3 pole powierzchni bocznej o wysokoṡci h graniastos lupa = a 3 P pole powierzchni bocznej = 3 a h Sk ad obliczamy pole ca lkowitej powierzchni graniastos lupa o podstawie trȯjk ata

2 rȯwnobocznego P c = a h a. Objetoṡċ graniastos lupa o podstawie trȯjk ata rȯwnobocznego o boku a rȯwne jest pole podstawy razy wysokoṡċ h V c = a 3 Natomiast objȩtoṡċ graniastos lupa o podstawie trȯjk ata o bokach a, b, c, ze wzoru Herona, rȯwne jest pole podstawy razy wysokoṡċ h a + b + c V = p(p a)(p b)(p c) h, p =. }{{ } pole podstawy polowa obwodu podstawy h Graniastos lup pochy ly o podstawie trȯjk ata i prostok ata h h Pole powierzchni ca lkowitej graniastos lupȯw pochy lych i ich objȩtoṡċ obliczamy podobnie jak graniastos lupȯw prostych. 0. Bry ly platoṅskie Wṡrȯd wieloṡcianȯw wyrȯżniamy bry ly platoṅskie, ktȯrych wszystkie ṡciany s a figurami foremnymi, to znaczy maj a wszystkie boki i wszystkie k aty rȯwne. Od czasȯw Euklidesa wiadomo, że figur platoṅskich w przestrzeni jest dok ladnie piȩċ. czworoṡcian foremny, ktȯrego cztery ṡcieny s a trȯjk atami rȯwnobocznymi

3 3 szeṡcian foremny, ktȯrego wszystkie szeṡċ ṡcian s a kwadratami oṡmioṡcian foremny, ktȯrego wszystkie osiem ṡcian s a trȯjk atami rȯwnobocznymi dwunastṡcian foremny, ktȯrego wszystkie dwanaṡcie ṡcian s a piȩciok atami foremnymi dwudziestoṡcian foremny, ktȯrego wszystkie dwadzieṡcia ṡcian s a trȯjk atami rȯwnobocznymi 0..1 Czworoṡcian foremny Powierzchnia czworoṡcianu foremnego sk lada siȩ z czterech ṡcian, ktȯre s a trȯjk atami rȯwnobocznymi o boku a. C H a 0 A a B Czworościan foremny o krawȩdzi a Pole powierzchni ca lkowitej czworoṡcianu foremnego o krawȩdzi a sk lada siȩ z pola czeterech trȯjk atȯw rownobocznych o bokach a. P pole powierzchni calkowitej = a 3 = a 3. Objȩtoṡċ czworoṡcianu foremnego, jak każdego ostros lupa, rȯwna jest iloczynowi 1 wysokoṡci H czworoṡcianu razy pole podatstawy. Pole podstawy to jest pole 3 trȯjk ata rȯwnobocznego P pole podstawy = a 3 Zatem objȩtoṡċ czworoṡcianu foremnego V = 1 3 H a 3 = a 3 1 H Teraz zajmiejmy siȩ obliczeniem wysokoṡci H. Otȯż, wysokoṡċ H obliczymy z trȯjk ata prostok atnego OBC. Mianowicie, z twierdzenia Pitagorasa mamy OC = BC OB, OC = H, BC = a, OB = a 3 = a 3 3 3

4 Sk ad obliczamy H = a ( a 3 3 ) = a 3, H = a 3 Zatem, objȩtoṡ.c czworoṡcianu foremnego V = 1 3 a 3 a 3 = a Sześcian foremny Sześcian foremny jest prostopad lościanem, który ma wszystkie sześć ścian kwadratami o boku a. Szeṡcian foremny o krawȩdzi a a 3 Latwo obliczamy a } {{} a Pole powierzchni calkowitej szescianu P c = 6a. Objetosc szescianu V = a 3. Przekatna podstawy d p = a. Przekatna szescianu d = a 3. Przyk lad 0.1 Dla sześcianu o boku a =, oblicz (i) pole ca lkowitej powierzchni sześcianu, (ii) objȩtość sześcianu.

5 5 (iii) przek atn a podstawy sześcianu. (iv) przek atna sześcianu. Rozwi azanie. Podstawiaj ac do wzorów, obliczamy (i) pole ca lkowitej powierzchni sześcianu P c = 6a = 6 = 96, (ii) objȩtość sześcianu V c = a 3 = 3 = 6. (iii) przek atn a podstawy sześcianu d p = a =. (iv) przek atna sześcianu d = a 3 = 3. Zadanie 0.1 Dla sześcianu o boku a = 5, oblicz (i) pole ca lkowitej powierzchni sześcianu, (ii) objȩtość sześcianu. (iii) przek atn a podstawy sześcianu. (iv) przek atna sześcianu Oṡmioṡcian foremny Trzeci a bry l a platoṅsk a jest oṡmioṡcian foremny, ktȯrego osiem ṡcian s a trȯjk atami rȯwnobocznymi o boku a. a a a } {{} a Pole powierzchni ca lkowitej oṡmioṡcianu foremnego o krawȩdzi a rȯwne jest 8 razy pole trȯjk ata rȯwnobocznego o boku a P pole powierzchni calkowitej = 8 a 3 = a 3 P

6 6 Objȩtoṡċ oṡmioṡcianu foremnego o krawȩdzi a rȯwne jest razy objȩtoṡċ ostros lupa o podstawie kwadratu o boku a i wysokoṡci h = a 0.. Dwunastoṡcian foremny V objetosc = 1 3 a h = 1 3 a a = a3 3 V Czwart a bry l a platoṅsk a jest dwunastoṡcian foremny, ktȯrego dwanaṡcie ṡcian to s a piȩciok aty rȯwnoboczne o boku a. Powierrzchnia ca lkowita dwunastoṡcianu foremnego rȯwna jest dwanaṡcie razy pole piȩciok ata foremnego P pole powierzchni calkowitej = 1 a 3 Objȩtoṡċ dwunastoṡcianu foremnego = 3a 3 P 0..5 Dwudziestoṡcian foremny V = a3 ( ) Pi at a bry l a platoṅsk a jest dwundziestoṡcian foremny, ktȯrego dwadzieṡcia ṡcian to s a trȯjkaty rȯwnoboczne o boku a.

7 7 Powierrzchnia ca lkowita dwunastoṡcianu foremnego rȯwna jest dwanaṡcie razy pole piȩciok ata foremnego P powierzchnia calkowita = 0 a 3 Objȩtoṡċ dwundziestoṡcianu foremnego o krawȩdzi a 0.3 Ostros lupy = 5a 3 P V objetosc dwudziestoscianu foremnego = 5 1 a3 ( 3 + 5) V Ostros lupem nazywamy wielościan, którego podstaw a jest dowolny wielok at a ściany boczne s a trójk ami o wspólnym wierzcho lku. Wśród ostros lupów wyróżniamy ostros lupy foremne, których podstaw a jest wielok ad foremny i spodek wysokości leży w środku okrȩgu opisanego na podstawie ostros lupa Ostros lup prawid lowy o podstawie kwadratu Oznaczenia: a bok kwadratu w podstawie ostros lupa H wysokość ostros lupa h wysokość ściany bocznej ostros lupa l krawȩdź boczna ostros lupa P a pole podstawy ostros lupa P 0 pole ściany bocznej ostros lupa P c pole powierzcni ca lkowitej ostros lupa V objȩtość ostros lupa Pole podstawy ostros lupa foremnego równa siȩ polu kwadratu o boku a P a = a. Pole pobocznicy ostros lupa foremnego P l równe jest polu czterech trójk atów równoramiennych o podstawie a i wysokości h. Natomiast, pole ściany bocznej ostros lupa P 0 równe jest polu trójk ata równoramiennego o podstwie a i wysokości h. P 0 = 1 a h.

8 8 Wysokść ściany bocznej wyrażamy w zależności od boku a i krawȩdzi l. Mianowicie, z twierdzenia Pitagorasa oblicamy wysokość h = l ( a ), h = l a, h = 1 l a. Wtedy pole ściany bocznej P 0 = 1 a l a. Pole ca lkowitej powierzchni ostros lupa równe jest polu czterech trójk atów w podstawie o boku a plus pola cztery trójk atów równoramiennych o podstawie a i ramionach l. Pole powierzchni ca lkowitej ostros lupa foremnego P c = a + P 0, P c = a + a l a }{{ } pole powierzchni i objȩtość ostros lupa foremnego V = 1 3 a H l H a a 0.3. Ostros lup foremny o podstawie sześciok ata foremnego Oznaczenia: a bok sześciok ata w podstawie ostros lupa H wysokość ostros lupa h wysokość ściany bocznej ostros lupa l krawȩdź boczna ostros lupa P a pole podstawy ostros lupa P 0 pole ściany bocznej ostros lupa P c pole powierzcni ca lkowitej ostros lupa

9 9 V objȩtość ostros lupa Jasne, że pole podstawy ostros lupa foremnego równa siȩ polu P a sześciok ata foremnego o boku a P a = 6 a 3 = 3a 3 Pole pobocznicy ostros lupa foremnego P l równe jest polu sześciu trójk atów równoramiennych o podstawie a i wysokości h. Pole ściany bocznej ostros lupa P 0 równe jest polu trójk ata równoramiennego o podstwie a i wysokości h. P 0 = 1 a h. Wysokść ściany bocznej wyrażamy w zależności od boku a i krawȩdzi l. Mianowicie, z twierdzenia Pitagorasa oblicamy wysokość h = l ( a ), h = l a, h = 1 l a. Wtedy pole ściany bocznej P 0 = 1 a l a. Pole ca lkowitej powierzchni ostros lupa równe jest polu sześciok ata foremnego w podstawie o boku a plus pola sze{sciu trójk atów równoramiennych o podstawie a i ramionach l. Pole powierzchni ca lkowitej ostros lupa foremnego P c = P a + 6P 0, P c = 3a 3 i objȩtość ostros lupa foremnego + 6 a l a P c = 3 [a 3 + a l a ] pole powierzchni V = 1 3a 3 H = a 3 H 3 } {{} objetosc V l H h a.

10 10 0. Bry ly Obrotowe Wśród bry l obrotowych wyróżniamy walec, stożek i kulȩ Walec Walec powstaje z obrotu prostok ata wokó l jednego z jego boków. Prosty kszta lt walca prowadzi do oczywistych wzorów na jego ca lkowit a powierzchnie i objȩtość. Powierzchnia ca lkowita P c walca sk lada siȩ z pola podstawy dolnej S = πr, podstawy gȯrnej S = πr oraz powierzchni bocznej P b = πrh i wyrażona jest przez promień r i wysokość h. P powierzchnia calkowita = πr + πrh = πr(r + h). P c i objȩtość walca V = πr h. 0.. Stożek Stożek powstaje z obrotu trójk ata prostok atnego wokó l jednej z jego przyprostok atnych.

11 11. Oznaczenia: r promień podstawy stożka l tworz aca stożka h wysokść stożka P l powierzchna boczna stożka P c powierzchnia ca lkowita stożka V objȩtość stożka Obliczamy powierzchnia podstawy S = πr, powierzchna boczna stożka P l = πr l powierzchnia ca lkowita stożka P c = πr(r + h) objȩtość stożka 1 3 πr h Kula Kula o promieniu r ma powierzchnie P = πr i objȩtość V = 3 πr3 Prof. dr Tadeusz STYṠ Warszawa, 8 marzec, 019.