Geometria odwzorowań inżynierskich rzut cechowany 07

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 7, Geometria odwzorowań inżynierskich rzut cechowany 07 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Definicja rzutu cechowanego Rys : Definicja rzutu cechowanego: a) aparat rzutuj acy rzutu cechowanego: p laszczyzna π - rzutnia, jednostka miary (1j); a1) a) aparat rzutuj acy rzutu cechowanego po wyborze kierunku i punktu zerowego ( oczywiście na rzutni) czyli osi liczbowej; rzut prostok atny f π (X) = X, punktu X na p laszczyznȩ π; a2 a4) rzut prostok atny ω(x) = x punktu X na oś liczbow a R (na rysunku: x = 3, zatem rzutem punktu X jest punkt wraz z cech a X (3)) Rzut cechowany znajduje zastosowanie w odwzorowaniu powierzchni topograficznych. Metoda ta jest po l aczeniem geometrycznego rzutu prostok atnego i analitycznego odwzorowania prostej na zbiór liczb rzeczywistych R. Jest to bowiem odwzorowanie f : E 3 π R, Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Ilustracja pogl adowa aparatu rzutuj acego rzutu cechowanego: a) Ilustracja pogl adowa rzutu cechowanego prostej; a ) rzut cechowany prostej; b) Ilustracja pogl adowa odwzorowania p laszczyzny w rzucie cechowanym; b ) odwzorowanie p laszczyzny w rzucie cechowanym. Cyfry oznaczaj ace punkty maj a dwojaki sens - oznaczaj a identyfikator punktu i cechȩ gdzie f = (f π, ω), przy czym f π jest rzutem prostok atnym przestrzeni euklidesowej E 3 na paszczyznȩ π, zaś (ω) jest odwzorowaniem przestrzeni euklidesowej E 3 na dowolnie wybran a prost a R (dok ladniej oś liczbow a) prostopad l a do rzutni π. Mamy f(x) = (f π (X), ω(x)). Oznaczaj ac f π (X) = X, ω(x) = x otrzymujemy zapis f(x) = (X, x), który jeszcze skracamy do X (x). Punkt X jest rzutem prostok atnym punktu X na p laszczyznȩ π, liczbȩ x nazywamy cech a punktu X. Symbol X (x) oznaczać bȩdzie rzut cechowany punktu X na p laszczyznȩ π (Rys ). Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne. Rzeczywiście wystarczy popatrzeć na zapis wzajemnie jednoznacznych odwzorowań: g : E 3 R 3, h : R 3 R 2 R, h 1 : R 2 π. Rzut cechowany, jako że jego sk ladow a jest rzut prostok atny, ma wszystkie niezmienniki rzutu prostok atnego. 2. Rzut cechowany prostej Rysunek przedstawia ilustracjȩ pogl adow a aparatu rzutuj acego rzutu cechowanego oraz ilustracjȩ pogl adow a rzutu cechowanego prostej i odwzorowania p laszczyzny w rzucie cechowanym. Na odwzorowanej, w rzucie cechowanym, prostej (Rys ) zaznaczono rzuty kilku punktów. Prosta jednak jest jednoznacznie odwozorowana, gdy dane s a rzuty jej dwóch różnych punktów (Rys ). W odniesieniu do prostej wprowadza siȩ niezwykle pożyteczne pojȩcie modu lu. Modu lem m l prostej l nazywamy d lugość (zmierzon a dan a jednostk a) odcinka bȩd acego rzutem takiego odcinka prostej l, którego końce maj a cechy różni ace siȩ o 1. Stopniowanie prostej polega na wyznaczaniu rzutów punktów tej prostej o kolejnych cechach

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 3 Rys : Zestopniowanie prostej i równoczesne wyznaczenie modu lu prostej: b) ilustracja stopniowania prostej poprzez k lad boczny prostej (obrót prostej l doko la jej rzutu l o k at 90 o, warto porównać z k ladem trapezowym odcinka w rzutach Monge a), w k ladzie widoczny k at nachylenia prostej do rzutni i nachylenie: n l = tgϕ = 1 m l ; a1 a2) podzia l odcinka AB na trzy równe czȩści poprzez wybranie dowolnej pó lprostej o pocz atku B i odmierzenia na niej trzech równych odcinków (ilustruj a to okrȩgi o równych promieniach); a3) a5) realizacja podzia lu za pomoc a twierdzenia Talesa; a6) zestopniowana prosta, modu l prostej - to d lugość jednego z odcinków {[AC], [CD], [DB]} (AC = CD = DB) zmierzona jednostk a ca lkowitych (Rys ). Wykonujemy je w celu znalezienia modu lu prostej lub realizacji innych konstrukcji, na przyk lad konstrukcji poprowadzenia p laszczyzny przez prost a. Nachyleniem n l prostej l nazywamy tangens k ata jaki tworzy prosta l z rzutni a π. Modu l prostej jest odwrotności a nachylenia, t.zn. m l = 1 n l. Rzeczywiście n l = tgϕ = 1j = 1 m l j m l (Rys b). 3. Odwzorowanie p laszczyzny Podobnie jak w przypadku innych rzutów, p laszczyznȩ odwzorujemy za pomoc a elementów j a wyznaczaj acych. Proste poziome (równoleg le do rzutni) odwzorowywanej p laszczyzny nazywać bȩdziemy poziomymi lub warstwowymi (na Rys proste 1 α, 2 α,...), ich rzuty poziomicami lub warstwicami (na Rys proste 1 α, 2 α,...). Proste te s a przekrojami p laszczyzn równoleg lych do rzutni π (Rys b). Każd a prost a przecinaj ac a prostopadle warstwowe p laszczyzny α nazywać bȩdziemy prost a spadu p laszczyzny α. Niech s α oznacza prost a spadu p laszczyzny α (Rys b,07-04c). Dla dowolnej prostej l p laszczyzny α mamy: m sα m l n sα n l. Zatem prosta spadu spośród wszystkich prostych na p laszczyźnie ma najmniejszy modu l, czyli najwiȩksze nachylenie. Modu l m sα prostej spadu nazywać bȩdziemy modu lem p laszczyzny, który bȩdziemy oznaczać krócej przez m α (= m sα ). Jako nachylenie n α p laszczyzny α przyjmujemy (określamy) nachylenie jej prostej spadu, czyli

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Wyznaczanie warstwic p laszczyzny i równoczesne wyznaczanie modu lu p laszczyzny: a1) zestopniowanie prostej (AB); a2) wyznaczenie warstwicy 3 α - l aczymy prost a punkty o tych samych cechach; a3 a5) przez punkty o cechach ca lkowitych prowadzimy kolejne warstwice - proste równoleg le; b b1) wyznaczanie prostej l o danym module m l, leż acej na p laszczyźnie α; c) wyznaczanie modu lu m α i równocześnie prostej spadu s α p laszczyzny α; strza lka oznacza kierunek spadu p laszczyzny, czyli kierunek zmniejszania siȩ cech punktów p laszczyzny, przy odzworowaniu p laszczyzny za pomoc a warstwic czȩsto umieszcza siȩ prost a spadu (ze strza lk a). n α = 1 m α. Aby jednoznacznie wyznaczyć p laszczyznȩ za pomoc a poziomic, wystarczy wyznaczyć jej dwie jakiekolwiek poziomice. P laszczyzna jest zestopniowana, jeśli wyznaczone s a jej poziomice o kolejnych ca lkowitych cechach. Wyznaczanie warstwic p laszczyzny określonej za pomoc a trójk ata opisuje rysunek Na rysunkach 07-04b,b1 mamy konstrukcjȩ prostej o danym module (nachyleniu) leż acej na danej p laszczyźnie i przechodz acej przez punkt P. Czy na danej p laszczyźnie można zawsze znaleźć prost a o dwolnym, z góry zadanym, nachyleniu? Rysunek 07-04c przedstawia wyznaczenie modu lu i jednocześnie prostej spadu p laszczyzny przechodz acej przez punkt P i może być pomocny przy odpowiedzi na powyższe pytanie. 4. Elementy wspólne: p laszczyzna-p laszczyzna, p laszczyzna-prosta Dowolnie odwzorowan a p laszczyznȩ możemy przedstawić za pomoc a warstwic. St ad elementy wspólne dwu p laszczyzn, czyli krawȩdzie, konstruujemy l acz ac dwa punkty wspólne jednoimiennych warstwic (maj acych tȩ sam a cechȩ) (Rys ). Punkt wspólny prostej z p laszczyzn a znajdujemy wykorzystuj ac poprzedni a konstrukcjȩ. Mianowicie, wcześniej przez prost a prowadzimy p laszczyzn a (przez zestopniowane punkty prostej prowadzimy warstwice) i znajdujemy krawȩdź (Rys ). Punkt wspólny tej krawȩdzi z wyjściow a prost a jest szukanym punktem. Przy znajdowaniu punktu wspólnego prostej z p laszczyzn a ta trzyetapowa konstrukcja jest stosowana zreszt a we wszystkich rodzajach rzutów.

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 5 Rys : Wyznaczenie krawȩdzi wspólnej p laszczyzn trójk atów α(abc), β(p QR) (a a7) i przenikania trójk atów (a8): a1) konstrukcja warstwic p laszczyzny β(p QR); a2) konstrukcja warstwic p laszczyzny α(abc); a3) znalezienie dwóch punktów wspólnych obu p laszczyzn (strza lki); a4) konstrukcja krawȩdzi k αβ ; a5) znalezienie punktów przebicia p laszczyzn α, β odpowiednio krawȩdziami (AB), (P R); a6 a7) określenie widoczności elementów i zaznaczenie lini a grub a przenikaj acych siȩ elementów; a8) przenikaj ace siȩ trójk aty z pominiȩciem linii niewidocznych 5. Wzajemne po lożenie prostych Jak wiadomo, dwie proste mog a mieć wzajemne po lożenia. Mog a być równoleg le. Wówczas z uwagi na to, że rzut cechowany jest rzutem prostoktnym, rzuty prostych musz a być równoleg le oraz musz a mieć ten sam modu l oraz cechy punktów na tych prostych musz a zmieniać siȩ w tej samej orientacji (rys a). Symbolicznie zapisujemy (m l = m k, l k ) l k. Na rysunku 07-07b mamy obrazy dwu prostych skośnych, mimo, że rzuty l, k s a prostymi równoleg lymi i odwzorowane proste maj a taki sam modu l. Mamy bowiem l k ). Mog a być przecinaj ace siȩ. Wtedy wyznaczaj a tȩ sam a p laszczyznȩ, czyli proste l acz ace ich punkty o tych samych cechach musz a być równoleg le (rys d ). Gdy ten warunek nie jest spe lniony mamy rzuty prostych skośnych (rys c). 6. Prosta prostopad la do p laszczyzny Rzut prostej prostopad lej do p laszczyzny jest w oczywisty sposób prostopad ly do warstwic tej p laszczyzny. Jest konsekwencja obowi azywania w rzucie prostok atnym niezmiennika charakterystycznego rzutowania prostok atnego. Warto porównać konstrukcjȩ prostej prostopad lej do p laszczyzny w rzutach prostok atnych na dwie rzutnie. Konstrukcjȩ tȩ omówimy rozwi azuj ac nastȩpuj ace Zadanie 1 Przez dany punkt P(1) poprowadziċ prost a p prostopad l a do p laszczyzny α określonej za pomoc a warstwic (rys e).

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Punkt wspólny p laszczyzny α(3 α, 4 α ) z prost a l(ab) znajdujemy w sposób nastȩpuj acy: a1 a3) stopniujemy prost a (odcinek [AB]) (AB); a4) prowadzimy warstwicȩ 3 β dowolnej p l p laszczyzny; a5 a6) drug a równoleg l a warstwicȩ 4 β ; a7) znajdujemy krawȩdź k jako prost a l acz ac a punkty przeciȩcia jednoimiennych warstwic p laszczyzny α; a8) punkt przeciȩcia L prostych l i k jest szukanym punktem, na koniec zaznaczamy widoczność elementów kieruj ac siȩ wysokości a - cechami punktów Rozwi azanie: Szukana prosta p leży w p laszczyźnie prostopad lej do rzutni. Rzutem takiej p laszczyzny jest prosta p. Przez punkt P poprowadźmy wiȩc p laszczyznȩ β (prostopad l a do p laszczyzny α i do rzutni), której rzutem jest prosta p (rys e1). Jest to tzw. p laszczyzna profilowa p laszczyzny α. Znajdźmy profil α p laszczyzny α (rys e1) oraz profil P punktu P. Powyższ a konstrukcjȩ należy interpretować jako k lad p laszczyzny β na rzutniȩ. Nastȩpnie poprowadźmy przez punkt P prost a p prostopad l a do prostej α. Poprowadzona prosta jest (w profilu) szukan a prost a. Na rysunku 07-07e2 konstruujemy także modu l m p tej prostej. Jego dok ladny opis zosta zilustrowany na rysunkach 07-07f f2. 7. Odwzorowanie krzywych i powierzchni Zak ladany, że odwzorowywane krzywe i powierzchnie s a prawie regularne, t.zn. maj a proste i p laszczyzny styczne wszȩdzie z wyj atkiem skończonej (w praktyce niewielkiej) liczby punktów. Nachyleniem krzywej w danym punkcie nazywać bȩdziemy nachylenie stycznej do tej krzywej w tym punkcie. W praktyce nachylenie krzywej wyznaczamy jako nachylenie siecznej tej krzywej, bliskiej danej stycznej. Istotnym problemem przy odwzorowaniu krzywych jest ich aproksymacja okrȩgami 1. 1 jak już by lo powiedziane okr ag i prosta s a podstawowymi krzywymi w logice konstrukcji edytorów graficznych, w tym AutoCAD a, obok tzw. krzywych sklejanych. Na nich to wykonywane s a podstawowe operacje geometryczne. Krzywe, w szczególności warstwice powierzchni, aproksymować bȩdziemy okrȩgami i to najczȩściej tak, uzyskać krzywe regularne - maj ace wszȩdzie styczn a

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 7 Rys : Po lożenie prostych: a)proste równoleg le (rzut cechowany jest rzutem prostok atnym), rzuty tych prostych musz a być równoleg le oraz musz a mieć ten sam modu l oraz cechy punktów na tych prostych musz a zmieniać siȩ w tej samej orientacji; b) proste skośne leż ace w p laszczyznach równoleg lych (prostopad lych do rzutni); c) proste skośne; d) proste przecinaj ace siȩ. Konstrukcja prostej prostopad lej do p laszczyzny: e1) przez punkt P poprowadzimy wiȩc p laszczyznȩ β (prostopad l a do p laszczyzny α i do rzutni), której rzutem jest prosta p, znajdujemy profil α p laszczyzny α oraz profil P punktu P (konstrukcjȩ interpretujemy jako k lad p laszczyzny β na rzutniȩ), nastȩpnie poprowadzimy przez punkt P prost a p prostopad l a do prostej α, poprowadzona prosta p jest (w profilu) szukan a prost a; e2) konstruujemy modu l m p tej prostej wybieraj ac na niej punkt Q(2) o cesze różni acej siȩ (od cechy punktu P(1)) o jeden; f f2) dok ladny opis konstrukcji modu lu Krzyw a, której nachylenie w każdym jej punkcie jest jednakowe nazywamy krzyw a stokow a (Rys a2b). Powierzchniȩ terenu (zwan a też powierzchni a topograficzn a) przecinamy p laszczynami poziomymi leż acymi na określonych wysokościach nad poziomem morza (również pod poziomem morza w przypadku depresji). W przekrojach otrzymujemy linie poziome tej powierzchni. Rzuty tych linii (warstwice) narysowane w skali tworz a plan poziomicowy tej powierzchni. Jeżeli krzywa c leży na powierzchni i przecina linie poziome tej powierzchni, to zestopniuj a one rzut krzywej. W szczególności krzywe przecinaj ace prostopadle linie poziome powierzchni s a liniami spadu powierzchni. Z uwagi na niezmiennik charakterystyczny rzutu prostok atnego rzut linii spadu przecina prostopadle poziomice. Rysunek pokazuje jak wyznaczamy rzuty linii spadu powierzchni. Punkt linii spadu jest punktem styczności okrȩgu o środku w punkcie poprzednim. Ponieważ punkt taki trudno znaleźć, przyjmujemy go jako w środku krzywoliniowej ciȩciwy okrȩgu. Im okr ag ma mniejszy promień, tym dok ladniejsza jest konstrukcja (07-06). Linie spadu nie s a jednoznacznie określone w t.zw. punktach stacjonarnych powierzchni (Rys b). S a to punkt wierzcho lkowy (szczyt lub kopa), w którym powierzchnia przyjmuje maksimum lokalne; w rzucie cechowanym szczyt jest to czȩść terenu z uk ladem warstwic o rosn acych cechach, ale o coraz mniejszych obwodach redukuj acych siȩ w końcu do punktu wierzcho lkowego,

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Konstrukcja linii spadu i linii stokowej: a a2) wyznaczanie kolejnych punktów linii spadu powierzchni topograficznej; a2b) konstrukcja linii stokowej o danym (module m c ) Rys : Przekroje powierzchni topograficznej p laszczyzn a: a a1) przekrój p laszczyzn a pionow a α powierzchni topograficznej - profil; b b1) linia przenikania powierzchni topograficznej i p laszczyzny α punkt kotlinowy, w którym powierzchnia przyjmuje minimum lokalne; w rzucie cechowanym kotlina jest to czȩść terenu z uk ladem warstwic o malej acych cechach, ale o coraz mniejszych

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 9 Rys : Konstrukcja powierzchni stokowej Φ, czyli powierzchni o sta lym nachyleniu równym n Φ = 4: a1) wyznaczenie modu lu m 3 Φ = 3 j za pomoc a twierdzenia Talesa; a2) 4 konstrukcja obwiedni rodziny stożków (w rzucie na p laszczyźnie jest to obwiednia rodziny okrȩgów o promieniach bȩd acych wielokrotnościami modu lu m Φ (= 3j)) 4 obwodach redukuj acych siȩ w końcu do punktu kotlinowego, punkt siod lowy, w którym czȩść powierzchni jest pod p laszczyzn a styczn a, czȩść nad p laszczyzn a styczn a. Na mapach warstwicowych zwykle podaje siȩ po lożenie i wysokość W punkcie tym przecinaj a siȩ linie grzbietowa i ściekowa. Linia grzbietowa, to taka linia spadu od której oddalaj a siȩ inne linie spadu (w kierunku zmniejszaj acych siȩ cech lini poziomych). Linia ściekowa, to taka linia spadu do której zbliżaj a siȩ inne linie spadu (w kierunku zmniejszaj acych siȩ cech lini poziomych). Nachylenie powierzchni w danym punkcie jest to nachylenie p laszczyzny stycznej do tej powierzchni w tym punkcie. Powierzchniȩ, która w każdym swym punkcie ma jednakowe nachylenie, nazywamy powierzchni stokow a. Rysunek pokazuje konstrukcjȩ powierzchni stokowej. Powierzchnia stokowa powstaje jako obwiednia 2 rodziny stożków o wierzcho lkach na danej krzywej o tworz acych maj acych jednakowe nachylenie (Rys ). W rzucie otrzymujemy obwiedniȩ rodziny okrȩgów 3 o promieniach bed acych wielokrotnościami 3j. Profilem terenu nazywać bȩdziemy przekrój powierzchni terenu p laszczyzn a prostopad l a 4 do rzutni (Rys a1). Profil terenu jest niewidoczny w rzucie i dlatego przedstawiamy go w rzucie bocznyn na p laszczyznȩ równoleg l a do tn acej p lszczyzny profilowej lub, jak kto woli, 2 Obwiedni a rodziny powierzchni F(x,y,z,C)=0 nazywamy powierzchni a, która do każdej powierzchni obwodzonej rodziny jest styczna wzd luż pewnej krzywej oraz sk lada siȩ wy l acznie z krzywych styczności. 3 Obwiedni a jednoparametrowej rodziny krzywych F(x,y,C)=0 nazywamy krzyw a o nastȩpuj acych w lasnościach: (1) w każdym swoim punkcie jest ona styczna do krzywej należ acej do obwodzonej rodziny, (2) jest styczna do każdej krzywej tej rodziny, (3) żaden jej luk nie pokrywa siȩ z żadn a z krzywych rodziny.

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Punkty charakterystyczne w terenie: b) S - szczytowy i wychodz aca z niego linia grzbietowa (linie spadu oddalaj a siȩ ), K - kotlinowy i dochodz aca do niego linia ściekowa (linie spadu zbliżaj a siȩ ), P - siod lowy (przeciȩcia siȩ linii grzbietowej i ściekowej; a) tworzenie nowych warstwic za pomoc a interpolacji w k ladzie p laszczyzny profilowej (Rys a1). 8. Projekt robót ziemnych przy budowie drogi Zadanie 2 Na planie poziomicowym terenu wykonanym w skali 1 : 200 zaznaczony jest rzut s osi s drogi przechodz acy przez punkt niwelacyjny N(75) leż acy na poziomicy 75 terenu. Szerokość drogi jest równa 6m, a jej nachylenie n d = 12, 5%. Droga biegnie na nasypie (gdy jej wysokości s a wiȩksze od wysokości terenu) i w wykopie (gdy jej wysokości s mniejsze od wysokości terenu). Nasyp i wykop s a ograniczone p laskimi skarpami, które przechodz a przez krawȩdzie korony drogi i maj a nachylenia odpowiednio n n = 2 3, n w = 3 4, (Rys.07-12). Wyznaczyć plan drogi, skarpy nasypu i wykopu oraz dwa przekroje pionowe poprzeczne - profile na nasypie i w wykopie. Przyjmujemy, że poziomice s a wyznaczone przez przekroje terenu p laszczyznami poziomymi w odleg lości 1m. W skali 1:200 mamy 1cm 2m, zatem 0, 5cm 1m, sz = 6m 3cm. Dalej n n = 2, m 3 n = 2 (m 3 n = 3 0, 5cm = 7, 5mm), n 2 w = 3 m 4 w = 4 (m 3 w = 4 0, 5cm = 3 6, 66mm). Nachylenie drogi n d = 12, 5% n d = 1. Zatem m 8 d = 8 0, 5cm = 4cm. Na Rys a przyjȩto za lożenia do projektu rzutu drogi. Najpierw wykonuje siȩ stopniowanie drogi (osi drogi). Modu l drogi w przyjȩtej skali wynosi 4cm, rysujemy warstwice drogi poprzez odmierzenie (za pomoc a cyrkla) odcinków na osi drogi. Nastȩpnie wyznaczamy punkty przejścia nasypu w wykop poprzez przeciȩcie wbranych warstwic drogi z odpowiednimi warstwicami powierzchni topograficznej (w terenie) (punkty P i Q na Rys a1). Linia l acz a punkty P i Q (przerywana na rysunku 08-12a1) rozdziela roboty ziemne na dwie czȩści. W celu wyznaczenia warstwic nasypu i wykopu rysujemy okrȩgi: w czȩści nasy-

11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 11 Rys : Za lożenia do projektu rzutu drogi. Stopniowanie drogi. Wyznaczenie punktów przejścia nasypu w wykop powej - okr ag o promieniu m n = 3 2, w czȩći, gdzie jest wykop - okr ag o promieniu m w = 4 3. Okrȩgi o promieniach m w, m n pozwol a nastȩpnie konstruować warstwice nasypów i wykopów. Pamiȩtamy, że okr ag narysowany w miejscu, gdzie jest nasyp ma cechȩ o jeden niższ a niż punkt, w którym znajduje siȩ rzut jego środka, natomiast okr ag narysowany w miejscu, gdzie jest wykop ma cechȩ o jeden wyższ a niż punkt, w którym znajduje siȩ rzut jego środka. W szczególności na rysunku 07-12a1: okr ag narysowany w punkcie o cesze 74 ma cechȩ 73, zaś okr ag narysowany w punkcie o cesze 77 ma cechȩ 78. Pamiȩtaj ac o tym rysujemy pierwsze styczne do okrȩgów l acz ac punkt o danej wysokości (cesze) z punktem znajduj acym siȩ na okrȩgu (styczności) (Rys a2). Kolejne warstwice rysujemy równoleg le do pierwszej narysowanej z zachowaniem odstȩpu równego promieniowi okrȩgu. Można też konstruować okrȩgi o promieniach bȩd acych wielokrotnościami promienia pierwszego podstawowego okrȩgu (modu lu p laszczyzny) (na Rys a2 tego nie uczyniono). Punkty przeciȩcia siȩ poziomic nasypu i wykopu z odpowiednimi poziomicami powierzchni topograficznej wyznaczaj a punkty linii przenikania (zetkniȩcia siȩ) powierzchni terenu z p laszczyzn a nasypu (Rys a3). Konstrukcja lini przejścia powierzchni topograficznej terenu w nasyp lub wykop przedstawiona już na Rys a1 geometrycznie oznacza liniȩ przekroju powierzchni topograficznej p laszczyzn a drogi (por. konstrukcjȩ na Rys b b1). Nastȩpnie wykonujemy profile drogi jako przekroje wybranymi p laszczyznami pionowymi. Na Rys wykonano dwa profile drogi w miejscach na nasypie (poziomica drogi 72, 5m n.p.m.) i w wykopie (poziomica drogi 78m n.p.m). Ogólnie konstrukcja profilu zosta la wcześniej omówiona na Rys a,a1. Czytelnik samodzielnie wykona przekrój pod lużny terenu i drogi (wzd luż drogi osi) wzoruj ac siȩ na konstrukcji przekroju wykopu pod basen (Rys ).

12 12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Konstrukcja warstwic nasypu i wykopu, pierwsze styczne do okrȩgu, nastȩpne równoleg le do nich. Punkty przeciȩcia siȩ poziomic nasypu i wykopu z odpowiednimi poziomicami powierzchni topograficznej wyznaczaj a punkty linii przenikania tej powierzchni z p laszczyznami nasypu i wykopu. 9. Projekt wykopów pod basen p lywacki Zadanie 3 Wykonać w skali 1 : 300 projekt wykopów pod basen p lywacki. Doko la basenu splantować pas terenu o szerokości 9m. Wymiary basenu i jego usytuowanie oraz profil pod lużny w p laszczyźnie symetrii określony jest na rysunkach (Rys ). Nachylenie wykopów n w = 1, nachylenie nasypów n n = 2 3. Na rysunkach pokazano sposób wyznaczenia za lożonego profilu. Przyjȩto, że basen ska ladać siȩ bȩdzie z dwu czȩści g lȩbszej na poziomie 24m n.p.m., i p lytszej z nachyleniem 4% poczynaj ac od poziomu 27m n.p.m. ze spadkiem w stronȩ czȩści g lȩbszej. Po przyjmujȩciu osi symetrii projektowanych wykopów, poziomu dna czȩści g lȩbszej, znajdujemy przekrój pod lużny basenu w sposób nastȩpuj acy: rysujemy stopniowe linie profilowe poziomych p laszczyzn (Rys )w odleg lości jednej jednostki, czyli 1 cm, nastȩpnie znajdujemy punkty przeciȩcia p laszczyzny przekroju (rzut tej p laszczyzny pokrywa siȩ z pod lużn a 3 osi a symetrii basenu) z warstwicami terenu i ich odnosz ace do odpowiednich prostych warstwowych stopniowych: odnosz aca punktu przeciȩcia warstwicy 24 dochodzi do prostej warstwowej stopniwej 24, odnosz aca punktu przeciȩcia warstwicy 25 dochodzi do prostej warstwowej stopniwej 25 itd. Otrzymane punkty l aczymy krzywymi (aproksymuj acymi), które to krzywe l acznie tworz a krzyw a profilow a pod lużn a (Rys ). Nastȩpnie przyjmujemy rzut (obrys) górnego poziomu basenu (granice splantowanego pasa)(rys ). Po uwzglȩdnieniu m n = 1 n n = 1cm, m 2 w = 1 n w = 1 cm, otrzymujemy profil pod lużny basenu (Rys ). Zaznaczamy liniȩ gruntu rodzimego (wykop) i czȩść nawiezion a (nasyp). Jeśli nasyp jest przed lużeniem wykopu w kierunku pionowym (dok ladniej ukośnym), to przyjmujemy, że

13 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 13 Rys : Profile drogi (przekroje p laszczyznami pionowymi, prostopad lymi do rzutu osi drogi) wykonano: przekrój nasypu na wysokości 72, 5m n.p.m nawierzchni drogi, przekrój wykopu na wysokości 78m n.p.m Rys : Warstwice terenu w skali 1:300 oraz wyznaczona jednostka nachylenie nasypu jest równe nachyleniu wykopu (Rys ). Nastȩpnie Rysujemy warstwice wykopu wzglȩdniaj ac wartość modu lu wykopu. Odleg lość warstwic jest równa m w = 1 cm 3 (Rys ). W przypadku, gdy warstwice przecinaj a siȩ problem znalezienia lini roz-

14 14 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Przyjmujemy osie symetrii projektowanych wykopów, poziom dna czȩści g lȩbszej, p laszczyzny warstwicowe oraz odnosz ace punktów przeciȩcia p laszczyzny przekroju z warstwicami terenu do odpowiednich prostych warstwowych stopniowych, cdn. Rys : Otrzymane punkty l aczymy krzywymi (aproksymuj acymi), które to krzywe l acznie tworz a krzyw a profilow a

15 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 15 Rys : Przyjmujemy rzut (obrys) górnego poziomu basenu (granice splantowanego pasa) Rys : Po uwzglȩdnieniu m n = 1 n n = 1 cm, m 2 w = 1 pod lużny basenu n w = 1 cm, otrzymujemy profil 3 graniczaj acej jest prosty. Oczywiście dok ladnie znalezionymi s a tylko punkty przeciȩcia siȩ warstwic. Pozosta le czȩści krzywej - linie l acz ace te punkty - znajdujemy metod a interpolacji

16 16 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Rys : Zaznaczamy liniȩ gruntu rodzimego (wykop) i czȩść nawiezion a (nasyp). Jeśli nasyp jest przed lużeniem wykopu w kierunku pionowym (dok ladniej ukośnym), to przyjmujemy, że nachylenie nasypu jest równe nachyleniu wykopu Rys : Rysujemy warstwice wykopu wzglȩdniaj ac wartość modu lu wykopu. Odleg lość warstwic jest równa m w = 1 3 cm

17 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany 17 Rys : Znajdujemy punkty zerowe robót, to znaczy punkty rozgraniczaj ace wykopy od nasypów. Tu s a to punkty przeciȩcia siȩ warstwic o cesze 28. Po narysowaniu warstwic nasypu i wykopu znajdujemy liniȩ rozgraniczaj ac a nasyp z powierzchni a terenu ( warstwice terenu (wyjściowe) i odpowiadaj ace im (maj ace tȩ sam a cechȩ) warstwice nasypu i wykopu 4. W przypadku, gdy linia rozgraniczaj aca biegnie równolegle do warstwic terenu ca la krzywa wyznaczana jest interpolacyjnie. Linia zetkniȩcia siȩ nasypu z powierzchni a topograficzn a terenu (lewa strona rysunku 07-20) jest tak a w laśnie lini a. Nastȩpnie rysujemy warstwice wykopu zdejmuj ac urobek w celu splantowania pasa okalaj acego zbiornik. Odleg lość warstwic jest równa m w = 1cm. 3 Znajdujemy punkty zerowe robót, to znaczy punkty rozgraniczaj ace wykopy od nasypów. Tu s a to punkty przeciȩcia siȩ warstwic o cesze 28. Rysujemy warstwice nasypu wzglȩdniaj ac wartość modu lu nasypu. Odleg lość warstwic jest równa m n = 1 cm (prawa strona rysunku). 2 Warstwice terenu (wyjściowe) i odpowiadaj ace im (maj ace tȩ sam a cechȩ) warstwice nasypu przecinaj a siȩ w punktach wyznaczaj acych liniȩ rozgraniczaj ac a nasyp od powierzchni terenu. Nastȩpnie rysujemy warstwice wykopu zdejmuj ac urobek w celu splantowania pasa okalaj acego zbiornik. Odleg lość warstwic jest równa m w = 1 cm. Warstwice terenu (wyjściowe) i odpowiadaj ace 3 im (maj ace tȩ sam a cechȩ) warstwice wykopu przecinaj a siȩ w punktach wyznaczaj acych liniȩ rozgraniczaj ac a wykop od powierzchni terenu (Rys ). Zwróćmy uwagȩ na fakt, że czȩść nasypu bȩd aca przed lużeniem wykopu przyjȩta na rysunku ma takie samo nachylenie jak wykop. 4 W celu zwiȩkszenia dok ladności konstrukcji znajdujemy warstwice pośrednie. Otrzymujemy je prowadz ac odcinki tworz ace z s asiednimi warstwicami k aty bliskie k atom prostym. Nastȩpnie odcinki te dzielimy na pewn a liczbȩ równych czȩści (n), jednakow a na wszystkich odcinkach. Odpowiadaj ace sobie punkty l aczymy odcinkami lub liniami przy krzywiku. W praktyce konstrukcji w rzucie cechowanym interpolowanie czȩsto oznacza intuicyjne rysowanie krzywych l acz acych punkty znalezione metod a dok ladn a (Rys a). Na rysunku 07-11a wyznaczono warstwicȩ pośredn a metod a interpolacji (n = 2), warstwica pośrednia jest tu lini a l acz ac a środki odcinków prawie prostopad lych l acz acych s asiednie warstwice

18 18 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 7, rzut cechowany Literatura [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Lew95] Z. Lewandowski: Geometria wykreślna. PWN. Warszawa [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1994.