ROZDZIAŁ I. WPROWADZENIE DO MEODY ELEMENÓW SKOŃCZONYCH W rozdzal tym omówmy podstawow kocpcj algorytm mtody lmtów skończoych. Podamy tż zbęd formacj dotycząc mchak cała stałgo. Jak jż psalśmy w wstęp zakładamy, ż czytlk za podstawow zagada wytrzymałośc matrałów tor sprężystośc, poda t formacj będą jdy przypomm wprowadzm do stosowago przz as zaps macrzowgo. Czytlkom, którzy chcą pogłębć wadomośc z tj dzdzy polcamy przstdowa odpowdch pozycj ltratry podaych a końc ksążk, w szczgólośc polcamy ksążk S.moshk D.N.Goodra [7], Y.C.Fga [3] oraz P.Jastrzębskgo. [8].. GENEZA I POSAWOWA KONCEPCJA MEODY ELEMENÓW SKOŃCZONYCH Początków mtody lmtów skończoych doszkwać sę moża w latach 20 30 XX wk, kdy w USA G.B.May H.Cross oraz A.Ostfld w Holad, korzystając z prac J. C. Maxwlla, A. Castlao O. Mohra, zapropoowal mtodę rozwązywaa zagadń mchak kostrkcj zaą dzsaj jako mtoda przmszczń. Uogóla tj mtody a zagada mchak kotm dokoal w połow XX wk J.Argyrs, P.C.Patta, S.Klsy, M.rr, R.Clogh. W latach 60 70 mtoda lmtów skończoych przszła szrg modyfkacj m.. dzęk pracom O.C.Zkwcza, Y.K.Chga, R.L.aylora, któr czyły z j współczs arzędz słżąc do rozwązywaa zagadń mchak cała stałgo, przpływów cpła, mchak płyów, pól lktromagtyczych, tp. Podstawową kocpcją mtody lmtów skończoych (MES) jst poszkwa rozwązaa złożogo problm (opsago zwykl rówam różczkowym) przz zastąp go prostszym, zblżoym. Prowadz to ajczęścj do zalza rozwązaa przyblżogo, którgo dokładość zalży od przyjętych mtod aproksymacj. W zagadach mchak rozwąza polga ajczęścj a zalz przmszczń, odkształcń aprężń kotm. Zagada t występją w statyc dyamc kostrkcj prętowych, powrzchowych (tarcz, płyty, powłok) bryłowych. Rówowaga cała okrśloa jst zwykl rówam (lb kładm rówań) różczkowym, któr ms być 8
spło wwątrz obszar cała, oraz warkam brzgowym, któr spło być powy a jgo powrzch. Zalz ścsłych rozwązań takch zagadń jst ajczęścj bardzo trd lb wręcz możlw. Mtoda lmtów skończoych propoj astępjący sposób poszkwaa rozwązaa przyblżogo [9]: Obszar cała zostaj podzloy a mał fragmty zwa lmtam skończoym. Nskończoa lczba pktów kotakt a brzg lmtów zostaj zrdkowaa do kotakt tylko w wybraych pktach (węzłach) lmtów. Przmszcza węzłów staową poszkwa wadom zadaa. Przmszcza pktów lżących wwątrz lmt zostają zalżo od przmszczń węzłów. Dokoj sę to przz dobra odpowdch fkcj aproksymjących zwaych fkcjam kształt. Aproksymacja przmszczń pozwala oblczyć odkształca, apręża wwątrz lmt oraz sły a jgo brzgach. Wyzaczamy sły brzgow lmtów w pktach kotakt - są to sły węzłow, któr zalżo są od przmszczń węzłów. Zwązk mędzy słam przmszczam węzłowym okrśla tzw. macrz sztywośc lmt. Układ rówań rówowag zostaj zapsay dla wszystkch węzłów co sprowadza zagad do rozwązaa kład rówań algbraczych, często lowych. Rozwąza takgo kład rówań wraz z odpowdm warkam brzgowym pozwala oblczyć odkształca apręża wwątrz lmtów. Aproksymacja wymaga rozwązaa szrg problmów, z których ajważjszym wydają sę być dobór fkcj kształt oraz sposób dyskrtyzacj obszar. Dobór modl kostrkcj (sprężysta, plastycza, prętowa, płytowa tp.) oraz sposób dyskrtyzacj wymaga sporgo dośwadcza. W astępych rozdzałach ksążk przkażmy formacj łatwając pracę mj dośwadczoym żytkowkom systmów MES. 2. PODSAWOWE ZAŁOŻENIA I WIERDZENIA MECHANIKI CIAŁA SAŁEGO Podamy traz klka podstawowych założń twrdzń mchak, z których będzmy korzystać w dalszych rozdzałach tj ksążk. 2.. Założa dotycząc lowgo modl kostrkcj Zajmować będzmy sę w tym w dalszych rozdzałach lowym problmam mchak. Zaczy to, ż zarówo gomtrycz jak fzycz procs dformacj kostrkcj 9
da sę opsać lowym rówaam różczkowym. Pocąga to za sobą astępjąc koskwcj: Przmszcza pktów kostrkcj powstał w czas dformacj są mał. Przmszcza low są dżo mjsz od charaktrystyczgo wymar kostrkcj (p. gęc blk jst klkast razy mjsz od jj dłgośc) a kąty obrot dżo mjsz od jdośc (p. kąt obrot węzła mjszy od 0.0 rad). Odkształca są rówż mał co pozwala wyrazć zwązk mędzy odkształcam przmszczam przy pomocy rówań lowych. Matrał jst lowo-sprężysty tz. współczyk rówań kostyttywych, opsjących zwązk apręż-odkształc, są stał. Moż wydawać sę, ż tak wlk ogracza ałożo zarówo a gomtrę kostrkcj jak a charaktrystykę matrał moco ograczą zakrs stosowaa modl. W stoc wark t spła bardzo wl kostrkcj tworzoych przz żyrów, węc obszar stosowalośc modl lowgo jst bardzo dży. Nalży zdawać sob jdak sprawę z tych barr, gdy przystępjmy do ops rzczywstgo problm rówaam mchak. 2.2. Napręża odkształca Składow tsora apręża ozaczać będzmy tradycyj (jak w wększośc ksążk pośwęcoych mtodz lmtów skończoych) tz. składow ormal ozaczo będą ltram s x, s y, s z a składow stycz t xy, t xz, t yz. Z względ a symtrę tsora apręża [7],[3] żywać będzmy tylko tych szśc składowych. Zbra w macrz kolmową tworzą o wktor aprężń: Øs s s s = t t º t x y z xy xz yz dfcj: ø. (.) Rówż składow tsora odkształca ozaczać będzmy tradycyj przyjmjąc x = x, x y y =, y z = z, z (.2) 0
g xy x y = +, g y x xz x = + z, g z x yz y z = +, z y gdz: x, y, z, są składowym ormalym odkształca (wydłżam jdostkowym) a g xy, g xz, g yz składowym styczym (kątam odkształca postacowgo), x, y, z są składowym wktora przmszcza w kartzjańskm kładz współrzędych. Składow odkształca rówż zapszmy w postac macrzy kolmowjwktora odkształca: Ø = g g º g x y z xy xz yz ø. (.3) Przyjęc w dfcj wktora odkształca składowych g j (kątów odkształca postacowgo) zamast zwykłych tsorowych dfcj łatwa oblcza pracy sł wwętrzych: w = s d = s d, (.4) gdz ozacza objętość cała. 2.3. Rówaa kostyttyw Zwązk mędzy składowym tsora apręża a składowym tsora odkształca (lb jak w aszych ozaczach mędzy wktoram s ), jak jż wspomalśmy przy założach poczyoych a wstęp, wyraża sę lowym rówam: s = D, (.5) = D - s, (.6) gdz D jst kwadratową macrzą o wymarach 6x6 Øl + 2m l l 0 0 0ø l l + 2m l 0 0 0 l l l + 2m 0 0 0 D =, 0 0 0 m 0 0 0 0 0 0 m 0 º 0 0 0 0 0 m zawrającą dw stał matrałow l m zwa stałym Lamgo. (.7)
Poważ zacz częścj żywa sę ych stałych matrałowych, a maowc: modł Yoga - E oraz współczyka Possoa -, podamy zalżośc mędzy m a stałym Lam go: E l =, ( + )( - 2) E m =. (.8) 2( + ) Stała Lamgo m ozaczaa jst tż ltrą G os azwę modł Krchoffa. Macrz odwrota stałych matrałowych D - ma zwykl prostą bdowę, którą ajlpj pokazać przy życ stałych E, : D - = Ø - - 0 0 0 ø - - 0 0 0 - - 0 0 0. (.9) E 0 0 0 2( + ) 0 0 0 0 0 0 2( + ) 0 º 0 0 0 0 0 2( + ) Warto zaważyć, ż macrz D jst symtrycza tz. zachodz zalżość D=D, którą będzmy często wykorzystywać w przkształcach. 2.4. Płask sta apręża założ: W zagadach dotyczących ckch tarcz wygodym proszczm jst s = 0, t = 0, t = 0, (.0) z zx zy któr prowadz to do tzw. płaskgo sta apręża (P.S.N.). Wstawając rówaa (.0) do (.5) po względ (.7) otrzymamy: ( ) = - + - z x y, g zx = 0, g zy = 0. (.) Wktory aprężń odkształcń oraz macrz stałych sprężystych w płaskm sta apręża rdkją sę zatm o połowę: Øs s = s º t x y xy ø Ø, = º g x y xy ø, (.2) 2
Ø ø 0 E D = - 2 0-0 0, (.3) º 2 Ø - 0 ø D - = - 0. E º 0 0 2( + ) (.4) 2.5. Płask sta odkształca W zagadach dotyczących dformacj masywych bdowl często występj sta odkształca opsay rówaam: = 0, g = 0, g = 0, (.5) z zx zy któr po podstaw do (.6) przy względ (.9) dają astępjąc rlacj: ( ) s = s + s, t zx = 0, t zy = 0 (.6) z x y Sta tak azywamy płaskm stam odkształca (P.S.O.). Zwązk mędzy zrdkowaym wktoram aprężń odkształcń (.2) prowadz po względ (.5) (.6) do astępjących macrzy stałych sprężystych: Ø ø - 0 E D = - 0 ( + )( - 2) - 2, (.7) 0 0 º 2 D - = - E 2 Ø - ø 0 - - 0. (.8) - 2 º 0 0-2.6. Rówaa rówowag Warkm koczym, aby cało pozostało rchom, jst spł przz sły zwętrz, dzałając a to cało szśc rówań rówowag: = P = 0, M = 0, (.9) = któr zapsać tż moża skalar: 3
P X = M X = = 0 ; P Y = 0 ; P Z = 0 ; = = = = 0 ; M Y = 0 ; M Z = 0, = (.20) gdz: P X, P Y, P Z są składowym -tj sły P a M X, M Y, M Z momtam tj sły względm os kład współrzędych, jst loścą przyłożoych sł. Gdy kład sł lży w płaszczyź (p. XY) to rówaa rówowag (.20) rdkją sę do trzch astępjących rówań: P X = = 0 ; P Y = = 0 ; M Z = = 0. (.2) 2.7. Zasada prac wrtalych Rówaa rówowag (.9) okrślają wark, któr ms spłać kład sł dzałających a bryłę sztywą. W przypadk cała sprężystgo, któr dformj sę pod dzałam sł, msmy okrślć tż wark dla sł wwętrzych. Moża to zrobć stosjąc zasadę prac wrtalych (przygotowaych), która mów, ż dla cała zajdjącgo sę w rówowadz praca sł zwętrzych a przmszczach wrtalych rówa jst wzrostow rg potcjalj sł wwętrzych: = P = Es, (.22) gdz: jst wktorm przmszcza wrtalgo w pkc, kropka ozacza loczy skalary wktora sły P oraz wktora przmszcza wrtalgo, E s - jst rgą potcjalą sł wwętrzych: E s = s d = sd. (.23) W rówa (.23) ozacza wktor odkształca powstałgo podczas wrtalgo przmszcza. Przmszcz wrtal powo spłać astępjąc wark [0]: ms być skończ mał, dowol, zalż od sł dzałających a bryłę, zgod z węzam, a węc tortycz możlw, zalż od czas. 4
Rówa (.22) będz (w różych waratach) wlokrot wykorzystywa w dalszych rozdzałach ksążk. 2.8. wrdz Clapyroa otrzymamy: = P Zamając w rówaach (.22) (.23) przmszcza wrtal a rzczywst = s d = sd. (.24) Rówa to wyraża trść twrdza Clapyroa, któr głos, ż dla kład sprężystgo, zajdjącgo sę w rówowadz, praca sł zwętrzych rówa jst rg potcjalj sł wwętrzych (rg sprężystj). 2.9. wrdza E.Bttgo o wzajmośc prac J.C.Maxwlla o wzajmośc przmszczń Podstawmy do rówaa (.22), wyrażającgo zasadę prac wrtalych, zwązk kostyttywy (.5): = P = ( ) s d = D d = D d. (.25) W otrzymaym rówa wykorzystao symtrę macrzy sprężystośc D=D. Zastosjmy traz zasadę pracy wrtalj co aczj, maowc przyłożymy obcąż wrtal czyl kład sł P j, dzałających w tych samych węzłach co sły rzczywst, lcz różych co do wartośc krk. Praca tych sł a rzczywstych przmszczach kład wys: = P j j = s d = ( D) d = D d. (.26) Praw stroy rówań (.25) (.26) są dtycz co łatwo moża sprawdzć bzpośrdm rachkm. Otrzymamy zatm rówość: P = P = =, (.27) która wyraża zasadę wzajmośc prac sformłowaą przz E.Bttgo w 972 r. Zasadę tę zapsać moża astępjąco [0]: Układ sł P wykoj taką samą pracę a przmszczach wywołaych kładm sł P j jak kład sł P j a przmszczach wywołaych przz sły P. 5
Gdy sprowadzmy oba kłady sł do pojdyczych sł jdostkowych, dzałających w pkc a, otrzymamy: a a = a a. (.28) Zwązk t os azwę zasady wzajmośc przmszczń został sformłoway przz J.C.Maxwlla w 864 r. 3. ALGORYM MEODY ELEMENÓW SKOŃCZONYCH Jako mtoda komptrowa, mtoda lmtów skończoych charaktryzj sę ścśl okrśloym, prostym algorytmm. Przdstawmy traz ajważjsz krok tgo algorytm. Nktór z ch omówmy późj bardzo szczgółowo. A. Dyskrtyzacja W tj faz astępj podzał kostrkcj a lmty skończo. W przypadk kostrkcj prętowych jst to często podzał atraly, tz. każdy prosty odck pręta staj sę lmtm. W przypadk kostrkcj powrzchowych dzlmy obszar a lmty trójkąt, czworokąt, a w przypadk kostrkcj bryłowych tworzymy lmty czworośc, szścośc. Dcydjmy o mjscach kotakt lmtów, podajmy współrzęd węzłów sposób połącza z m lmtów. B. worz macrzy sztywośc lmtów Na podstaw daych topologczych podaych w krok prwszym oraz daych matrałowych, tworzo są macrz wyrażając zwązk mędzy słam węzłowym a przmszczam węzłów lmt. C. Agrgacja czyl bdowa globalj macrzy sztywośc Macrz sztywośc lmtów dzlo są w tym krok a blok, a t a podstaw formacj o topolog kostrkcj wstawa są do macrzy globalj. Często a tym tap do macrzy globalj wprowadza sę modyfkacj względając wark brzgow. D. Bdowa globalgo wktora obcąża Oblcza t są wktory obcążń lmtów, a t po podzl a odpowd blok wstawa są do globalgo wktora obcążń węzłowych. Po zakończ bdowy wktora alży zmodyfkować jgo składow tak, aby względo zostały wark brzgow. 6
E. Rozwąza kład rówań Na tym tap rozwązay zostaj kład rówań lowych, w wyk czgo otrzymjmy przmszcza węzłów kostrkcj. F. Oblcz sł wwętrzych rakcj węzów Po oblcz przmszczń moża oblczyć odkształca, apręża sły wwętrz w kostrkcj. Po oblcz sł węzłowych lmtów oblczyć tż moża rakcj węzów (podpór) kostrkcj. Systmy MES mają zwykl bdowę modłową. Poszczgól tapy algorytm ralzowa są przz wyspcjalzowa modły systm. Krok prwszy (A) zpłoy podam daych matrałowych opsm obcąża kostrkcj ralzoway jst przz modł azyway prprocsorm. W dawych systmach plk daych tworzoy był ręcz w dytorz tkstów. Obc taką sytację spotyka sę bardzo rzadko, gdyż poda daych dla typowgo zadaa MES (klka tysęcy węzłów) jst pracą bardzo żmdą. Współczs prprocsory są zwykl programam grafczym wyposażoym w arzędza łatwając grację satk lmtów. Etapy (B), (C), (D), (E) ralzowa są zwykl przz modł zway procsorm. Oprócz opsaych wczśj opracj, procsor często zajmj sę odpowdm porządkowam rówań, aby zmjszyć lość pamęc zbędj do przchowaa macrzy sztywośc przyspszyć procs rozwązaa kład rówań. Etap szósty (F) zpłoy wzalzacją wyków ralzoway jst przz postprocsor. Dża lość wyków jaką zyskjmy po rozwąza kład rówań oblcz sł wwętrzych sprawa, ż bardzo trdo aalzować j bz pomocy tchk wzalych. Współczs systmy MES zaopatrzo są w grafcz postprocsory rysjąc kolorow mapy aprężń, przmszczń ych łatwających aalzę paramtrów. Poważ tchk wzalzacj, choć moco zwąza z mtodą lmtów skończoych, są jj częścą będą omawa w tj ksążc. Skpmy sę a tych tapach, któr zwąza są z oblczam a węc a procsorz częśc postprocsora. 3.. worz macrzy sztywośc lmt Jak jż wspomalśmy a wstęp tgo rozdzał (p..) po podzal kostrkcj a lmty skończo zakładamy, ż kotaktją sę o z sobą tylko w węzłach. Wygod będz wyobrazć sob węzł jako pkt matraly, porszający sę w czas dformacj spowodowaj oddzaływam zwętrzym a kostrkcję (sły, tmpratra tp.). Rch 7
węzła moża opsać podając składow wktorów przmszcza. W zalżośc od typ lmt trsować as będą róż rodzaj tgo rch. Raz będą to tylko przsęca (w lmtach kratowc, tarczach, bryłach), ym razm zbęd okażą sę rówż kąty obrot (w lmtach ramowych, płyt powłok). Wszystk zbęd składow przmszcza węzła tworzą kład paramtrów azyway stopam swobody. Ilość stop swobody węzła ozaczać będzmy przz N D. W ab.. poda są formacj o lośc stop swobody węzłów typowych kostrkcj żyrskch. Stop swobody poda są jako składow wktorów przmszczń w kartzjańskm kładz współrzędych. ab.. Rodzaj kostrkcj Ilość stop Przsęca Obroty swobody N D x y ż j x j y j z krata płaska 2 krata przstrza 3 rama płaska 3 rama przstrza 6 rszt 3 tarcza 2 płyta 3 powłoka 6 bryła 3 Wyobraźmy sob dowoly lmt (dla wygody wźmmy lmt płask, który łatwo arysować) czworokąty o mrz (Rys..). Węzły tgo lmt są pomrowa lokal:, j, k, l oraz mają swoj mry global:, j, k, l. Współrzęd węzłów podajmy zawsz w kładz globalym XY, al dla wygody żywamy w czas tworza macrzy sztywośc lmt, kład lokalgo xy, który wybramy zpł dowol. 8
Rys.. Przmszcza węzła grpjmy w wktorz przmszczń: X = Ø º ø Y, j jx = Ø º ø jy, k kx = Ø º ø ky, l lx = Ø º ø ly. (.29) Zbór przmszczń wszystkch węzłów lmt tworzy wktor przmszczń węzłowych lmt: Ø = º j k l Ø ø = º postac wktora: X Y jx jy kx ky lx ly ø. (.30) Przmszcz dowolgo pkt m lżącgo wwątrz lmt zapszmy w X ( X, Y) ( X, Y) = Ø º ø Y ( X, Y). (.3) Gdy składow wktorów okrślo są w kładz lokalym ozaczać j będzmy zakm ' (prm) p.: x ( x, y) '( x, y) = Ø º ø y ( x, y).(.3a) 9
Podob ozacza moża wprowadzć w rówaach (.29) (.30), lcz a raz dla wygody żywać będzmy jdy zwązków globalych. Przyjmjmy traz, ż przmszcz dowolgo pkt m moża zalżć od przmszczń węzłów lmt: ( x, y) = N ( x, y), (.32) gdz N(x,y) jst macrzą, którj składow zalżą od współrzędych pkt. Wymary macrzy N(x,y) zalżą od rodzaj lmt. Ilość wrszy macrzy N(x,y) rówa jst lośc stop swobody pkt m a lość kolm - lośc stop swobody lmt. W aszym przykładz, gdz pkt ma dwa stop swobody, a lmt ma 4x2=8 stop swobody, macrz N(x,y) ms mć dwa wrsz osm kolm. Rówa (.32) wygod będz zapsać w rozwętj postac: [ j k l ] ( x, y) = N ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) Ø ø j, (.32a) k º l gdz macrz N (x,y)... N l (x,y) są macrzam kwadratowym zawrającym fkcj wpływ przmszczń węzłów... l a przmszcz pkt m. Fkcj t w mtodz lmtów skończoych oszą azwę fkcj kształt, odgrywają o klczową rolę w formłowa rówań MES. Macrz N (x,y)... N l (x,y) oszą azwę macrzy fkcj kształt węzłów... l, a macrz N ( x y), jst macrzą fkcj kształt lmt. Oczywst jst, ż fkcj kształt powy spłać pw wark, któr dcydją o ch przydatośc do aproksymacj pola przmszczń lmt. Wyobraźmy sob, ż pkt m zajdj sę w węźl, wtdy jgo przmszcza powy być rów przmszczom tgo węzła, a przmszcza węzłów pozostałych powy mć a żadgo wpływ (Rys..2). 20
Wark t wyrazć moża astępjąco: ( ) Rys..2 N x, y = d, (.33) p q q pq gdz d pq jst dltą Krockra: d pq = 0 - gdy p=q, - gdy p q a p q ozaczają dowoly z lokalych mrów węzłów... l. Wark typ (.33) pozwalają okrślć współczyk fkcj kształt. Iym warkam, któr spłać mszą fkcj N p (x,y), będzmy zajmowal sę w jdym z astępych pktów. Podstawając rówa (.32) do (.2) oblczymy składow wktora odkształca lmt: = D N ( x y),, (.34) gdz D jst macrzą o wymarach 3 x N D dla płaskch staów apręża odkształca lb 6 x N D dla staów przstrzych (N D jst loścą stop swobody węzła), zawrającą opratory różczkow wykając z dfcj odkształca (.2). Dla lmt tarczowgo N D =2, macrz opratorów różczkowych przyjmj postać astępjącą: Ø x 0 ø D= 0 y, (.35) º y x gdz symbol x ozacza różczkowa względm x: x = x, a y - względm y. 2
Przyjmjmy ozacza: D N ( x, y) B ( x, y) = (.36) koskwt D N ( x, y) B ( x, y) : =, (.37) D N ( x, y) B ( x, y) l =, l łatwając dalsz przkształca. Po względ tgo ozacza zwązk (.34) przdstawć moża astępjąco: = B ( x y),, (.38) Macrz B(x,y) ma wymary 3 x D (lb 6 x D dla przstrzgo sta apręża). Dla czworokątgo lmt tarczy macrz B(x,y) ma wymary 3x8. Podob jak poprzdo N(x,y), podzlmy traz macrz B(x,y) a blok: [ j k l ] B ( x, y) = B ( x, y) B ( x, y) B ( x, y) B ( x, y). (.39) Macrz B... B l oszą azwę macrzy gomtryczych węzłów... l, a B (x,y) macrzą gomtryczą lmt. Zastąpmy traz oddzaływaa występjąc mędzy węzłam a lmtm słam skpoym. Schmat tych oddzaływań pokazj Rys..3. Rys..3 Zbrzmy traz składow sł węzłowych w wktory sł węzłowych: 22
f F X = Ø º ø F Y, f j F jx = Ø º ø F jy, f F kx = Ø º ø F ky, f F lx = Ø º ø Oraz sły oddzałjąc a lmt w wktor sł węzłowych lmt: F ly. (.40) f Øf f = f º f j k l Ø F F ø F F = F F F º F X Y jx jy kx ky lx ly ø. (.4) Poszkjmy zalżośc mędzy słam węzłowym f a przmszczam węzłowym. Zastosjmy zasadę prac wrtalych (.22) traktjąc sły węzłow jak obcąż zwętrz lmt. Elmt obcążoy jst takż a swom brzg wwątrz, a obcąż to, zalż od współrzędych pkt, ozaczymy przz: (, ) q x y q = Ø º q x y ( x, y) ( x, y) ø. (.42) Rówaa kostyttyw(.5) (lb p.(.2), (.3) dla płaskgo sta apręża) zpłmy traz o częśc pozwalając względć odkształc apręża początkow. ( ) s = D - o + s o, (.43) gdz o jst wktorm odkształcń początkowych (p. spowodowaych obcążm trmczych), a s o wktorm aprężń początkowych. Zapsjmy traz rówa (.22) wyrażając rówość pracy sł zwętrzych sł wwętrzych lmt w rówowadz: ( ) f ( ) q( ) + x, y x, y da = s d. (.44) A Lwa stroa tgo rówaa przdstawa pracę sł zwętrzych a prawa - sł wwętrzych lmt, A ozacza powrzchę lmt a jgo objętość. Podstawmy do tgo rówaa zalżośc (.32), (.38) oraz (.43): [ o ] ( ) f ( N ) q ( B da ) D( B o ) + = - + s d. (.45) A Po przkształc otrzymamy z tgo rówaa ostatczą formę: 23
f = K - f q - f + f s. (.46) gdz ozaczoo: o o wktor sł węzłowych wywołaych obcążm zwętrzym: q ( ) f = N qda A, (.47) wktor sł węzłowych wywołaych odkształcm początkowym: f o = ( B ) D o d, (.48) wktor sł węzłowych wywołaych aprężam początkowym: f so = ( B ) s o d macrz sztywośc lmt: ( ) d K = B DB, (.49). (.50) Oblczo t wktory obcążń węzłowych objmją sły dzałając a lmt. Przy kłada rówań rówowag węzłów alży j wząć z zakm przcwym. Macrz K moża podzlć a blok macrzy kwadratowych K pq opsjących wpływ przmszczń węzła q a sły w węźl p: pq ( p ) K = B DB qd. (.5) W macrzy sztywośc lmt cztrowęzłowgo (Rys..3) będz tych bloków 4x4=6. Poważ macrz sztywośc jst symtrycza tz. K = ( K ), co wyka z rówaa (.50) a jst prostą koskwcją zasady wzajmośc prac E.Bttgo, to blok K pq spłać mszą wark: K qp = ( K pq ). (.52) Rówa (.50) (lb (.5)) opsj klczowy tap bdowy rówań rówowag kostrkcj. N zawsz jdak macrz sztywośc ms być wyzaczaa tym sposobm. Dla lmtów prostych takch, jak pręty kratowcy lb ramy stją (raz prostsz) sposoby otrzymaa zwązk (.46). Pokażmy życ tych sposobów w rozdzałach astępych. Jżl wszystk przkształca prowadząc do rówaa (.50) wykoywa były w lokalym kładz współrzędych (xyz), to otrzymaa macrz sztywośc powa być 24
jszcz prztrasformowaa do kład globalgo (XYZ). rasformacja ta polga a moż macrzy K ' (zak prm ozacza macrz w kładz lokalym) przz macrz obrot lmt. Szczgółowa bdowa tych macrzy omówoa jst w rozdzałach II, III I, t pokażmy jdy dę przkształcń: ( ) K = R K' R gdz R ØR = º, (.53) R j R k ø, (.54) O R... R k - macrzam obrot węzłów... k. Macrz obrot węzłów zawrają cossy kątów mędzy osam kładów globalgo lokalgo: ØC C C xx xy xz R = CyX CyY CyZ º C C C zx zy zz gdz p. ( ) globalgo. C xy ø, (.55) = cos a, td., a xy jst kątm mędzy osą x kład lokalgo osą Y kład xy 3.2. Agrgacja globalj macrzy sztywośc Zalżość (.46) pozwala zapsać rówaa rówowag węzła w postac zawrającj przmszcza węzłów jako wadom. Rys..4 25
Wyobrazmy sob węzł jako zalżą część kostrkcj. Odłączymy lmty od węzłów a ch oddzaływaa zastąpmy słam węzłowym (Rys..4). Zapszmy kład rówań rówowag węzła w postac skalarj: E F X k = k E = 0, F Y k E = 0, F Z k = k = k = 0, (.56a) Dla węzłów z obrotowym stopam swobody kocz będą takż rówaa rówowag momtów: E M X k = k E = 0, M Y k E = 0, M Z k = k = k = 0. (.56b) W rówaach (.56) smowa odbywa sę po wszystkch lmtach dołączoych do węzła, a węc dksy, 2... E są mram lmtów dołączoych do węzła, E jst loścą lmtów dołączoych do węzła. Wstawmy do rówań (.56) zwązk (.46) pamętając o zma zak sł węzłowych, wykającj z zmay zwrot sł, dzałających a lmty węzł (Rys..4): E f k = k - = 0. (.57) W rówa tym symbol f k ozacza tylko t składow wktora f k, któr dzałają a węzł. Przkształcmy to rówa do wygodjszj postac: E k = k k K = p k gdz p = f + f - f, q s o o (.58) jst wktorm sł węzłowych wywołaych obcążm zwętrzym, odkształcam aprężam początkowym. Układając rówaa aalogcz do (.56) dla każdgo węzła kostrkcj otrzymamy kład rówań, który pozwol wylczyć przmszcza węzłów kostrkcj. Poważ smowa w rówaach (.56) odbywa sę po lmtach (przy czym smowa są tylko t wktory sł, któr zwąza są z rówoważoym węzłm), to algorytm tworza kład rówań oparty a rówoważ koljych węzłów jst fktywy. Łatwj bdować kład rówań przz kolj wstawa do go macrzy sztywośc lmtów. Do opracj tj potrzb jst porządkowa węzłów stop swobody. Dotychczas żywalśmy lokalych mrów węzłów lmt, j, k, l.., jdak w czas bdowy globalgo kład rówań kocz jst wprowadz globalj mracj węzłów. Nch ozacza globaly mr węzła o lokalym mrz, s p ch ozacza globaly mr 26
stopa swobody o lokalym mrz p. Utworzymy traz prostokątą macrz połączń lmt - A. Ilość wrszy macrzy A jst rówa globalj lośc stop swobody kostrkcj N k, lość kolm jst rówa lośc stop swobody lmt - N D. Wększość składowych macrzy A jst rówa zro, wyjątk staową składow o wartośc, któr sytowa są w wrszach s p kolmach p. Strktra macrzy A zawra węc formacj o połączach lmt z węzłam lb ścślj o tym, który stopń swobody lmt odpowada globalm stopow swobody kostrkcj. Bdowę macrzy połączń ajłatwj przśldzć moża a przykładz. Rys..5 przdstawa tarczę podzloą a pęć lmtów trójkątych. arcza ma szść węzłów pomrowaych lczbam od do 6, każdy lmt ma lokal ozacza węzłów, j, k. ab..2 przdstawa globalą mrację stop swobody tarczy. ab..2 Rys..5 Nr węzła Global mry stop swobody węzłów X Y 2 2 3 4 3 5 6 4 7 8 5 9 0 6 2 27
ab..3 Nr lmt Global mry stop swobody lmt s p - wktory alokacj X Y jx jy kx ky 2 3 4 5 6 5 6 2 7 8 2 2 3 4 7 8 3 7 8 3 4 9 0 4 7 8 9 0 2 5 5 6 7 8 2 ab..3 przdstawa zalżośc mędzy lokalym globalym stopam swobody. Macrz połączń zbdowaa dla lmt r 3 będz mała węc postać astępjącą: 2 3 4 5 6 2 3 4 5 A 3 = 6 7 8 9 0 2 gdz dla łatwjszj ortacj pomęto wszystk lmty zrow. Pomoż wktora sł węzłowych lmt przz macrz połączń spowodj przs odpowdch bloków wktora lokalgo do wktora globalgo. Możlw jst traz prost smowa tych wktorów: 28
N N E E E A f = A K = A p = = = N. Nalży jszcz wyrazć wktor przmszczń węzłowych lmtów przz wktor globaly: ( ) = A, (.59) który alży podstawć do rówaa (.59). Ostatcz otrzymjmy kład rówań w postac: N E ( ) A K A = A p = = lb krócj K N E, (.60) = p. (.6) N E Macrz K = A K ( A ) p = N E = A p = os azwę globalj macrzy sztywośc kostrkcj, wktor jst globalym wktorm sł węzłowych kostrkcj, wktor zawrający przmszcza wszystkch węzłów jst globalym wktorm przmszczń. Podoba mtoda agrgacj opsaa jst w ksążc G. Rakowskgo [2], gdz macrz A os azwę macrzy przylgaa. Mtoda agrgacj wykorzystjąca macrz połączń jst odpowda do komptrowj mplmtacj, gdyż oprj dżym macrzam A. Bardzj fktywym sposobm jst wykorzysta formacj zawartych w tzw. wktorach alokacj. Wktory t dla omawago przykład tarczy zawart są w ab..3. Mtoda agrgacj, posłgjąca sę wktoram alokacj omówoa będz w rozdzal drgm w czas bdowy macrzy sztywośc kratowcy. 3.3. Uwag dotycząc fkcj kształt lmt Fkcj aproksymjąc pol przmszczń wwątrz lmt czyl fkcj kształt, opsa w p..3., mogą być wybra zpł dowol. Powy o spłać pw wark, któr dcydją o ch jakośc lb przydatośc do aproksymacj przmszczń, odkształcń a w koskwcj aprężń. Krytra t przytaczamy za O.C.Zkwczm [9]. A. Krytrm rch sztywgo 29
Fkcj kształt powy być tak dobra, aby pozwalały a powsta aprężń w lmc, którgo przmszcza wykają jdy z rch lmt jako cała sztywgo. B. Krytrm stałośc odkształcń Fkcj kształt powy zapwać możlwośc powstaa stałgo pola odkształcń wwątrz lmt. C. Krytrm zgodośc odkształcń Fkcj kształt powy zapwać cągłość przmszczń wwątrz lmt, zgodość przmszczń skończo wartośc odkształcń a brzgach sąsadjących lmtów. Krytrm (A) (B) wydają sę oczywst. Poważ możlw są tak stay przmszczń odkształcń, w których powstają stał lb zrow odkształca (apręża), to fkcj aproksymjąc powy bzwzględ możlwć odtworz tych staów. Spł warków (A) (B) zapwają stał low człoy w wlomaach, z których ajczęścj bdjmy fkcj kształt. Krytrm (B) jst ogólm krytrm (A) zostało sformłowa w 965 r. przz Bazlya, Chga, Irosa Zkwcza [9,20]. Krytrm (C) wymaga, aby fkcj kształt zapwały cągłość pochodych do rzęd o jd ższgo ż występjąc w macrzy D (por. rów. (.34)) opratory różczkow dając odkształca w lmc. Wyjaśmy to a przykładz. W tarczy odkształca da są przz prwsz pochod fkcj kształt (por. (.34) (.35)), poważ pol przmszczń ms być cągł a gracy mędzy lmtam, to fkcj kształt mszą być klasy C 0. Dla lmtów płytowych rolę przmszczń płą krzywzy wyrażo przz pochod drggo rzęd (por. rozdz.ii), węc fkcj kształt płyty powy zapwć cągłość powrzch gęca płyty jj prwszych pochodych wwątrz a gracach mędzy lmtam. Pol przmszczń płyty powo być zatm cągł gładk w obszarz płyty. O takch fkcjach mówmy, ż są klasy C. Krytrm (A) (B) mszą być kocz spło, krytrm (C) ms być spło rygorystycz, p. fkcj kształt lmtów płytowych spłają często wark gładkośc (cągłośc prwszych pochodych a gracach lmt). Jżl spło są wszystk krytra, to o lmtach opsywaych przz t fkcj mówmy, ż są dostosowa. Jżl spło są tylko krytra (A) (B) to lmty azywamy dostosowaym. 30
Rzltat stosowaa lmtów dostosowaych dostosowaych przdstawoy jst a Rys..6, gdz podao zbżość wyków zyskaych przy pomocy różych typów lmtów, żytych do dyskrtyzacj kwadratowj płyty. Rys..6 Oprócz trzch wymoych krytrów dodać jszcz moża, któr wskazją a sposób dobor wlomaów aproksymjących. Dobór t pow zapwać zotropę względm os kład współrzędych. Pokażmy to a przykładz bdowaa fkcj kształt lmtów płaskch (tarcza, płyta). Jżl zbór wlomaów aproksymjących przdstawmy w postac trójkąta Pascala, to wybór człoów tgo trójkąta pow być symtryczy względm jgo os. Pokazj to Rys..7. Rys..7 Możlw jst tż życ wlomaów Hrmta (opsaych w rozdzal I tj ksążk) lb Lagraga [9], zawsz jdak pow być zachoway wark zotrop. Na tmat fkcj kształt stj obszra ltratra, zalcamy zapoza sę z ksążkam [, 2, 3, 20]. 3
(.3) (.7) (.35) (.36) (.38) (.50) (.53) ROZDZIAŁ I. WPROWADZENIE DO MEODY ELEMENÓW SKOŃCZONYCH...8. GENEZA I POSAWOWA KONCEPCJA MEODY ELEMENÓW SKOŃCZONYCH...8 2. PODSAWOWE ZAŁOŻENIA I WIERDZENIA MECHANIKI CIAŁA SAŁEGO..9 2.. Założa dotycząc lowgo modl kostrkcj...9 2.2. Napręża odkształca...0 2.3. Rówaa kostyttyw... 2.4. Płask sta apręża...2 2.5. Płask sta odkształca...3 2.6. Rówaa rówowag...3 2.7. Zasada prac wrtalych...4 2.8. wrdz Clapyroa...5 2.9. wrdza E.Bttgo o wzajmośc prac J.C.Maxwlla o wzajmośc przmszczń...5 3. ALGORYM MEODY ELEMENÓW SKOŃCZONYCH...6 3.. worz macrzy sztywośc lmt...7 3.2. Agrgacja globalj macrzy sztywośc...25 3.3. Uwag dotycząc fkcj kształt lmt...29 32